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第3章第2节 数学探究活动：生日悖论的解释与模拟
题型1 古典概型及其概率计算公式
▉题型1 古典概型及其概率计算公式
【知识点的认识】
1．定义：如果一个试验具有下列特征：
（1）有限性：每次试验可能出现的结果（即基本事件）只有有限个；
（2）等可能性：每次试验中，各基本事件的发生都是等可能的．
则称这种随机试验的概率模型为古典概型．
*古典概型由于满足基本事件的有限性和基本事件发生的等可能性这两个重要特征，所以求事件的概率就可以不通过大量的重复试验，而只要通过对一次试验中可能出现的结果进行分析和计算即可．
2．古典概率的计算公式
如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是；
如果某个事件A包含的结果有m个，那么事件A的概率为P（A）．
1．从大于1且小于50的整数中任意选取1个，则被选取的整数是质数的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：根据题意，设A＝“被选取的整数是质数”，
大于1且小于50的整数共有48个，
其中质数包含2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，共15个，
故P（A）．
故选：C．
2．为加强学生身体健康，某校对学生进行了体能测试．已知同学甲在立定跳远项目中每次及格的概率均为0.6，现采用随机模拟的方法估计甲在立定跳远项目中3次机会里至少及格2次的概率：先由计算器产生0到9范围内的整数随机数，指定0，1，2，3表示没有及格，4，5，6，7，8，9表示及格，再以每3个随机数为一组，代表3次立定跳远的结果．经随机模拟产生了如下20组随机数：
759 421 113 215 345 257 704 066 186 203
037 624 616 045 601 366 959 742 710 428
据随机模拟试验估计，甲在立定跳远项目中3次机会里至少及格2次的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：随机模拟试验估计，甲在立定跳远项目中3次机会里至少及格2次，
∴在每组随机数中，至少有2个数字在4，5，6，7，8，9中，
即代表甲在立定跳远项目中3次机会里至少及格2次，
经统计，20组中一共有13组符合要求，
有：759，345，257，704，066，186，624，616，045，366，959，742，428，
故概率为．
故选：D．
3．一箱猕猴桃共有20个，其中有若干个为烂果（烂果率低于50%），从这一箱猕猴桃中任取2个，恰有1个烂果的概率为，则这箱猕猴桃的烂果个数为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【解答】解：设这箱猕猴桃的烂果个数为n，
则从这一箱猕猴桃中任取2个，恰有1个烂果的概率P，
即，
整理得n2﹣20n+84＝0，
解得n＝6或14，
因为烂果率低于50%，所以n＜10，
所以n＝6，
即这箱猕猴桃的烂果个数为6个．
故选：C．
4．二进制是以2为基数代表系统的二进制，通常用0和1表示．二进制011（2）化为十进制的计算公式如下：．若从二进制数000（2），001（2），010（2），110（2），101（2），111（2）中任选一个，则二进制数所对应的十进制数大于3的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：由题意，，
，，
，，
可得二进制数所对应的十进制数大于3的有3个，
所以二进制数所对应的十进制数大于3的概率为．
故选：C．
5．一批零件共有10个，其中有3个不合格．随机抽取3个零件进行检测，恰好有1件不合格的概率是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解答】解：根据题意，从10个零件中抽取3个的总方式数为，
恰好有1件不合格，即1个合格，2个不合格，其取法有种，
故要求概率．
故选：B．
6．已知甲组共20人，乙组共30人，现按比例采用分层随机抽样的方法从这两组中共抽取5人参加升国旗仪式，在被抽取的这5人中随机抽取2人担任旗手，则被抽取的这2人中至少有1人是甲组的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：根据题意，甲组共20人，乙组共30人，现按比例采用分层随机抽样的方法从这两组中共抽取5人参加升国旗仪式，
则从甲组中抽取人，记为A，B；
从乙组中抽取人，记为a，b，c．
在被抽取的这5人中随机抽取2人担任旗手的总情况有（A，B），（A，a），（A，b），（A，c），
（B，a），（B，b），（B，c），（a，b），（a，c），（b，c），共10种，
其中被抽取的这2人中至少有1人是甲组的情况有7种，
分别为（A，B），（A，a），（A，b），（A，c），（B，a），（B，b），（B，c），
故所求概率为．
故选：B．
7．在某次猜数字游戏中，答案是一个无重复数字的三位数．一位同学第一次猜318，只有一个数字猜对且在相对应的位置上；第二次猜329，只有一个数字猜对且不在对应的位置上；第三次猜128，只有一个数字猜对且在对应的位置上．根据上述信息，该同学第四次猜对的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：由题意，∵一位同学第一次猜318，只有一个数字猜对且在相对应的位置上，
第二次猜329，只有一个数字猜对且不在对应的位置上，
∴第一次猜对的数字不可能是3．
若第一次猜对的数字是1，它在十位上，
∴第二次猜对的数字可能是3，它本应该在个位上，也可能是9，它本应该在百位上，
∵第三次猜128，只有一个数字猜对且在对应的位置上，矛盾，∴第一次猜对的数字是8，它在个位上，
∴第二次猜对的数字可能是3，它本应该在十位上，也可能是2，它本应该在百位上，
∵第三次猜128，只有一个数字猜对且在对应的位置上，∴这个三位数字不可能包含1，2，
∴第一次猜对的数字是8，它在个位上，第二次猜对的数字可能是3，它本应该在十位上，
而答案是一个无重复数字的三位数，
∴百位上不可能是0，1，2，3，8，只可能是4，5，6，7，9五种可能，
∴该同学第四次猜对的概率是．
故选：B．
8．现有10名学生参加某项测试，可能有学生不合格，从中抽取3名学生成绩查看，记这3名学生中不合格人数为ξ，已知，则本次测试的不合格率为（　　）
A．10% B．20% C．30% D．40%
【答案】C
【解答】解：有10名学生参加某项测试，可能有学生不合格，
从中抽取3名学生成绩查看，记这3名学生中不合格人数为ξ，，
∴，
化简得n（10﹣n）（9﹣n）＝6×3×7，解得n＝3，
∴本次测试的不合格率为．
故选：C．
9．某地区公共卫生部门为了了解本地区中学生的吸烟情况，对随机抽出的200名学生进行调查．为了得到该敏感性问题的诚实反应，设计如下方案：每个被调查者先后抛掷两颗骰子，调查中使用两个问题：①第一颗骰子的点数是否比第二颗的大？②你是否经常吸烟？两颗骰子点数和为奇数的学生如实回答第一个问题，两颗骰子点数和为偶数的学生如实回答第二个问题．回答“是”的学生往盒子中放一个小石子，回答“否”的学生什么都不用做．若最终盒子中小石子的个数为57，则该地区中学生吸烟人数的比例约为（　　）
A．0.035 B．0.07 C．0.105 D．0.14
【答案】B
【解答】解：由题意，两颗骰子点数和为奇数与偶数的概率相等，都为，
则回答问题①②的人数均为100，
两颗骰子点数和为奇数时，点数第一次比第二次大的概率是，
所以回答问题①时，大约有10050人回答“是”，
所以回答问题②时，大约有57﹣50＝7人回答”是”，
故该地区中学生吸烟人数的比例约为0.07．
故选：B．
10．一个盒子里装有相同大小的白球、黑球共20个，其中黑球6个，现从盒中随机的抽取5个球，则概率为的事件是（　　）
A．没有白球 B．至多有2个黑球
C．至少有2个白球 D．至少有2个黑球
【答案】B
【解答】解：表示任取5个球中，有2个黑球的概率，
表示任取5个球中，有1个黑球的概率，
表示任取5个球中，没有黑球的概率，
所以表示任取5个球中，至多有2个黑球的概率．
故选：B．
11．一批产品共有7件，其中5件正品，2件次品，现从7件产品中一次性抽取3件，设抽取出的3件产品中次品数为X，则P（X＝1）＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：由题意可知，P（X＝1）．
故选：B．
12．一个袋子中有两个黑球和三个白球，如果一次从中取出两个球，记“恰好抽到一个黑球和一个白球”为事件A，则P（A）＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：由题意可知，P（A）．
故选：B．
13．袋中有5个白球，4个黑球，从中依次不放回取球，当取出三个相同颜色的球时停止取球，记X为取出球的总数，则X＝4的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：X＝4的情况有两种：
①前三次抽到2个白球和1个黑球，第四次抽到白球，概率为：
P1，
②前三次抽到2个黑球和1个白球，第四次抽到黑球，概率为：
P2，
∴X＝4的概率为P＝P1+P2．
故选：A．
14．已知a∈{0，1，2}，b∈{﹣1，1，3，5}，则函数f（x）＝ax2﹣2bx在区间（1，+∞）上为增函数的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：∵a∈{0，1，2}，b∈{﹣1，1，3，5}，
∴基本事件总数n＝3×4＝12，
函数f（x）＝ax2﹣2bx在区间（1，+∞）上为增函数，
①当a＝0时，f（x）＝﹣2bx，符合条件的只有：（0，﹣1），即a＝0，b＝﹣1；
②当a≠0时，需要满足，符合条件的有：（1，﹣1），（1，1），（2，﹣1），（2，1），共4种，
∴函数f（x）＝ax2﹣2bx在区间（1，+∞）上为增函数的概率是p．
故选：A．
15．某密码锁的一个密码由3位数字组成，每一位均可取0，1，2，…，9这10个数字中的一个，小明随机设置了一个密码，则恰有两个位置数字相同的概率为（　　）
A．0.09 B．0.12 C．0.18 D．0.27
【答案】D
【解答】解：从0到9这10个数字中选3个，共有103种方法，
恰有两个位置数字相同的方法：
先从3个位置中选1个，从0到9这10个数字中选一个数字放入，剩下的两个位置再从剩下的9个数字中选一个数字放入（两个位置数字相同），有种方法，
所以所求概率．
故选：D．
16．某人用字母v，r，y各1个和2个字母e拼写英语单词“every”，那么他写错这个英语单词的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：对e，v，e，r，y5个字母排列也就是将e，v，e，r，y放入5个确定的位置，
先从5个位置中选出2个位置放2个e，有种方法，再将剩下3个字母全排放入其他两个位置，有种方法，
因此共有种方法，而写对的可能只有1种，
所以他写错这个英语单词的情况有60﹣1＝59种，
所以他写错这个英语单词的概率为．
故选：D．
17．我国周朝时期的商高提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例．在西方，最早提出并证明此定理的为公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派，他们用演绎法证明了直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方之和．在3，4，5，6，8，10，12，13这8个数中任取3个数，这3个数恰好可以组成勾股定理关系的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：在这8个数中任取3个数共有56种取法，
能组成勾股定理关系的有（3，4，5），（6，8，10），（5，12，13），共3组，
∴这3个数恰好可以组成勾股定理关系的概率为P．
故选：D．
（多选）18．已知一袋中有大小、质地相同的4个红球和2个白球，则下列结论中正确的有（　　）
A．从中任取3个球，恰有1个白球的概率是
B．从中有放回地取球6次，每次任取1个球，则取到红球的次数的方差为
C．现从中不放回地取球2次，每次任取1个球，则在第一次取到红球后，第二次再次取到红球的概率为
D．从中有放回地取球3次，每次任取1个球，则取到两次红球的概率为
【答案】ABD
【解答】解：对于A，恰有1个白球的概率为，故A正确；
对于B，每次任取1个球，取到红球的次数，
则方差为，故B正确；
对于C，设A为事件“第一次取到红球”，B为事件“第二次取到红球”，
则，，
所以，故C错误；
对于D，每次取到红球的概率，所以有放回地取球3次，每次任取1个球，
取到两次红球的概率为，故D正确．
故选：ABD．
19．将1，2，3，4，5，6随机填入如图所示的三角形图形中的6个圈中，每个数恰好出现一次，则三角形三边上的数字之和均相等的概率为 　　 ．
【答案】．
【解答】解：根据题意，将6个数字随机填入6个圈中，有720种填法，
设每条边上的3个数之和为s，则3s≥（1+2+3+4+5+6）+1+2+3＝27，
3s≤（1+2+3+4+5+6）+4+5+6＝36，
∴27≤3s≤36，解得9≤s≤12，
①当s＝9时，3个顶点所填的3个数只能为1，2，3，
如图（1），此时其有填法3×2＝6种，
②当s＝10时，设3个顶点所填的3个数之和为t，
则t＝3×10﹣（1+2+3+4+5+）＝9，
∵9＝2+3+4，9＝1+3+5，9＝1+2+6，
∴3个顶点所填3个数只能为{2，3，4}，{1，3，5}或{1，2，6}，
当3个顶点所填的3个数为{2，3，4}时，
∵顶点分别填3，4的这条边上的3个数之和为10，
从而这条边中间只能填3，这与每个数恰出现一次矛盾，
此时没有适合条件的填法，
同样道理，3个数为{1，2，6}时也没有适合条件的填法，只能为1，3，5，
如图（2），此时填法共有3×2＝6种；
③当s＝11时，3个顶点所填的3个数应为2，4，6，此时共有填法3×2＝6种；
④当s＝12时，3个顶点所填的3个数应为4，5，6，此时共有填法3×2＝6种．
综上，满足条件的填法共有6×4＝24种，故所求概率为．
故答案为：．
20．现有6根小棒，其长度分别为1，2，3，4，5，6，从这6根小棒中随机抽出3根，则抽出的3根小棒首尾链接（不能折断小棒），能构成三角形的概率是 　　 ．
【答案】．
【解答】解：现有6根小棒，其长度分别为1，2，3，4，5，6，从这6根小棒中随机抽出3根，
基本事件总数n20，
其中抽出的3根小棒首尾链接（不能折断小棒），能构成三角形包含的基本事件有：
（2，3，4），（2，4，5），（2，5，6），（3，4，5），（3，4，6），（3，5，6），（4，5，6），共7个，
则抽出的3根小棒首尾链接（不能折断小棒），能构成三角形的概率是P．
故答案为：．
21．在某次学校的游园活动中，高二（6）班设计了这样一个游戏：在一个纸箱里放进了5个红球和5个白球，这些球除了颜色不同外完全相同，一次性从中摸出5个球，摸到4个或4个以上红球即为中奖，则中奖的概率是　0.103　 ．（精确到0.001）
【答案】0.103
【解答】解：∵总的基本事件为从10个球中取出5个共252种，
摸到4个或5个红球共26种，
∴中奖的概率为：0.103
故答案为：0.103
22．某运动员每次投篮投中的概率均是0.6，用计算机产生0～9之间的随机整数，当出现随机数0～5，表示“投中”，出现6～9表示“未投中”．以每3个随机数为一组，代表该运动员3次投篮的结果，产生了20组随机数：783 062 228 049 276 102 734 933 750 076 140 065 061 215 693 599 494 411 987 789．据此估计“该运动员连续投篮3次至少投进2个球”的概率为 　0.65　 ．
【答案】0.65．
【解答】解：根据题意，20组随机数中，
表示“该运动员连续投篮3次至少投进2个球”的有：062 228 049 102 734 933 750 140 065 061 215 494 411，共13组数据，
则要求概率P．
故答案为：0.65．
23．假设有两箱零件，第一箱内装有10件，其中有2件次品；第二箱内装有20件，其中有3件次品．现从两箱中随意挑选一箱，然后从该箱中随机取1个零件，则取出的零件是次品的概率是 　　 ．
【答案】
【解答】解：设Ai（i＝1，2）表示从第i箱取到的零件是次品，B表示从第一箱中取零件，表示从第二箱中取零件，
由全概率计算公式得取出的零件是次品的概率是：
P（A）＝P（A1|B）P（B）+P（A2|）P（）
．
故答案为：．
24．甲和乙玩纸牌游戏，已知甲手中有2张10和4张3，乙手中有4张5和6张2，现从两人手中各随机抽取两张牌并交换给对方，则交换之后甲手中牌的点数之和大于乙手中牌的点数之和的概率为 　　 ．
【答案】．
【解答】解：一开始两人手中的牌的点数和是相等的，要想交换之后甲手中的牌的点数之和更大，则甲被抽取的两张牌的点数的和应该更小，若甲被抽取的两种牌中有点数为10的牌，则这两张牌的点数之和肯定更大，不合题意，故甲只能被抽取两张3，故其抽取的两张牌的点数之和为6，而乙抽取的两张牌的点数之和要大于6，则必然要至少有一张5，
综上所述，P．
25．已知5个零件中有2个次品，从中不放回地任选2个零件，则取到1个次品的概率为 　　 ．
【答案】．
【解答】解：设事件A表示从中不放回地任选2个零件，取到1个次品，
5个零件中从中不放回地任选2个零件，可能发生的事件总数为10，事件A包含的事件数为6，
所以．
故答案为：．
26．如图，一个质点从原点0出发，每隔一秒随机、等可能地向左或向右移动一个单位，共移动六次，在质点第一秒末位于﹣1的位置的条件下，该质点共经过两次1的位置的概率为　　 ．
【答案】．
【解答】解：当质点第一秒位于﹣1的位置时，还需要移动5次，共有25＝32种移动路线，
若该质点经过两次1的位置，可能的路线为：﹣1→0→1→0→1→0，﹣1→0→1→0→1→2，﹣1→0→1→2→1→2，﹣1→0→1→2→1→0，
共4种情况，
所以该质点共经过两次1的位置的概率为．
故答案为：．
27．“石头、剪刀、布”是我们小时候常玩的游戏，游戏规则如下：
①石头赢剪刀，剪刀赢布，布赢石头；
②两人游戏时，出相同的手势为平局；多人游戏时都出相同的手势或者三种手势都出现为平局．现有n（n≥3）人玩游戏．
若3人玩一轮游戏，平局的概率P（3）＝ 　　 ；若求n（n≥3）人玩一轮游戏，平局的概率P（n）＝ 　　 ．（结果用n表示）
【答案】①；②．
【解答】解：用坐标（x，y，z）表示三人出的手势顺序，则三人所有可能手势情况有：
（布，布，布），（石头，石头，布），（石头，布，石头，），（布，石头，石头），
（石头，石头，剪刀），（石头，剪刀，石头，），（剪刀，石头，石头），（布，布，石头），
（石头，剪刀，布），（石头，布，剪刀），（剪刀，石头，布），（剪刀，布，石头），
（布，石头，剪刀），（布，剪刀，石头），（石头，石头，石头），（剪刀，剪刀，剪刀），
（布，石头，布），（石头，布，布），（剪刀，布，布），（布，剪刀，布），
（布，布，剪刀），（剪刀，剪刀，布），（剪刀，布，剪刀），（布，剪刀，剪刀），
（石头，剪刀，剪刀），（剪刀，石头，剪刀），（剪刀，剪刀，石头），共27种，
其中平局的情况有：
（石头，剪刀，布），（石头，布，剪刀），（剪刀，石头，布），（剪刀，布，石头），
（布，石头，剪刀），（布，剪刀，石头），（石头，石头，石头），（剪刀，剪刀，剪刀），
（布，布，布），共有9种，
所以平局的概率；
由于平局的情况比较多，我们可以考虑n（n≥3）人玩游戏分出胜负的概率P1，
，
其中表示分出胜负的三种情况，
即n人只出了①石头，剪刀；②石头，布；③剪刀，布，此时分胜负，
而分出胜负与平局是对立事件，
故．
故答案为：①；②．
28．用0，1，2这三个数字组成一个三位数（每个数字只能用一次），则这个三位数是偶数的概率为 　　 ．
【答案】．
【解答】解：0，1，2这三个数字组成一个三位数共有4种情况，其中偶数有3种情况，
故所求概率为．
故答案为：．
29．如图，O是正八边形A1A2A3A4A5A6A7A8的中心，从其八个顶点中随机取出四个顶点为顶点作四边形，则可作平行四边形的概率为 　　 ，则可作梯形的概率为 　　 ．（用数字作答）
【答案】；．
【解答】解：从八个顶点中随机取出四个顶点为顶点作四边形，可得四边形的个数为 ；
八个顶点的连线中有 4 条过中心 O，即有 4 条直径，每两条直径可确定一个平行四边形，可得平行四边形的个数为 ，所以可作平行四边形的概率为 ；
梯形可由两条平行但不等的弦的四个顶点构成．如图，设 m，n 分别为正八边形的两条不同类型的对称轴．
（1）以n为对称轴的平行弦A2A8，A3A7，A4A6中，有1对平行且相等，所以3条平行弦可构成个梯形，而类似的平行弦共有4组，所以可构成梯形 个．
（2）以 m 为对称轴的平行弦A1A8，A2A7，A3A6，A4A5中，有2对平行且相等，所以4条平行弦可构成 个梯形，而类似的平行弦共有4组，所以可构成梯形 个；
综合（1）（2）可得共有梯形24个，故可作梯形的概率为 ．
故答案为：；．
30．甲和乙两个箱子中各装有大小质地完全相同的10个球，其中甲箱中有5个红球、2个白球和3个黑球，乙箱中有4个红球、3个白球和3个黑球．若从甲箱中不放回地依次随机取出2个球，则两次都取到红球的概率为 　　 ；若先从甲箱中随机取出一球放入乙箱；再从乙箱中随机取出一球，则从乙箱中取出的球是红球的概率为 　　 ．
【答案】；．
【解答】解：设事件A表示从甲箱中随机取出一个红球放入乙箱，事件B表示甲箱中随机取出一个2白球或黑球球放入乙箱，
设事件C表示先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，再从乙箱中随机取出一球，从乙箱中取出的球是红球，
从甲箱中不放回地依次随机取出2个球，则两次都取到红球的概率为：
P；
P（A），P（C|A），P（B），P（C|B），
∴若先从甲箱中随机取出一球放入乙箱；再从乙箱中随机取出一球，则从乙箱中取出的球是红球的概率为：
P（C）＝P（A）P（C|A）+P（B）P（C|B）．
故答案为：；．
31．某党支部有10名党员，7男3女，从中选取2人做汇报演出，若X表示选中的女党员数，则P（X＜2）＝ 　　 ．
【答案】．
【解答】解：由题意X服从超几何分布，X的可能取值为0，1，2，
所以．
故答案为：．
32．甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1，3，5，7，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后轮次中不能使用）．则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为 　　 ．
【答案】．
【解答】解：甲出1一定输，所以甲最多得3分，
若得3分，就只有一种组合1﹣8、3﹣2、5﹣4、7﹣6；
若得2分有三类，分别列举如下：
①出3和出5的赢，其余输：1﹣6，3﹣2，5﹣4，7﹣8；
②出3和出7的赢，其余输：1﹣4，3﹣2，5﹣8，7﹣6；1﹣8，3﹣2，5﹣6，7﹣4；1﹣6，3﹣2，5﹣8，7﹣4；
③出5和出7的赢，其余输：1﹣2，3﹣8，5﹣4，7﹣6；1﹣4，3﹣8，5﹣2，7﹣6；1﹣8，3﹣4，5﹣2，7﹣6；1﹣6，3﹣8，5﹣2，7﹣4；1﹣8，3﹣6，5﹣2，7﹣4；1﹣6，3﹣8，5﹣4，7﹣2；1﹣8，3﹣6，5﹣4，7﹣2；
共12种组合满足要求，而所有组合为种，
所以甲得分不小于2的概率为．
故答案为：．
33．10个考签中有4个难签，3人参加抽签（不放回），甲先，乙次之，丙最后．求：
（1）甲抽到难签的概率；
（2）在甲抽到难签后，乙抽到难签的概率；
（3）甲、乙两人有人抽到难签的概率．
【答案】（1）．
（2）．
（3）．
【解答】解：（1）10个考签中有4个难签，3人参加抽签（不放回），甲先，乙次之，丙最后，
依题意，10个考签中有4个难签，
所以甲抽到难签的概率是．
（2）甲抽到难签后，还剩9个考签中有3个难签，乙抽到难签的概率为．
（3）“甲、乙两人有人抽到难签”的对立事件为“甲、乙都没抽到难签”，
甲、乙都没抽到难签的概率为，
所以甲、乙两人有人抽到难签的概率为．
34．某电子设备制造厂所用的元件是由甲、乙、丙三家元件制造厂提供的，根据以往的记录有如表所示的数据．设这三家工厂的产品在仓库中是均匀混合的且不区别标志．
元件制造厂 次品率 提供元件的份额
甲 0.02 0.2
乙 0.01 0.7
丙 0.03 0.1
（I）在仓库中随机取一只元件，求它是次品的概率；
（Ⅱ）在仓库中随机地取一只元件，若已知取到的是次品，求此次品出自甲工厂生产的概率．
【答案】（Ⅰ）0.014；（Ⅱ）．
【解答】解：（Ⅰ）设A表示“取到的是一只次品”，B1表示“所取到的元件是由甲制造厂提供的”，
B2表示“所取到的元件是由乙制造厂提供的”，B3表示“所取到的元件是由丙制造厂提供的”，
则P（B1）＝0.2，P（B2）＝0.7，P（B3）＝0.1，
P（A|B1）＝0.02，P（A|B2）＝0.01，P（A|B3）＝0.03，
由全概率公式得：
P（A）＝P（B1）P（A|B1）+P（B2）P（A|B2）+P（B3）P（A|B3）
＝0.2×0.02+0.7×0.01+0.1×0.03＝0.014．
（Ⅱ）该元件出自甲工厂的概率为：
P（B1|A）．
35．甲、乙两人进行知识问答比赛，共进行多轮抢答赛，每轮比赛中有3道抢答题，每道题均有人抢答，其计分规则如下：初始甲、乙双方均为0分，答对一题得1分，答错一题得﹣1分，未抢到题得0分，最后总分累计多的人获胜．假设甲、乙抢到每题的成功率相同，且甲、乙每题答题正确的概率分别为和．
（1）求甲在一轮比赛中获得1分的概率；
（2）求甲在每轮比赛中获胜的概率；
（3）求甲前三轮累计得分恰为6分的概率．
【答案】（1）；
（2）；
（3）．
【解答】解：（1）由题意，设甲在一轮比赛中共抢到i（i＝0，1，2，3）道题为事件Ai，
甲在一轮比赛中得i（i＝0，1，2，3）分为事件Bi，
则，
所以；
（2）设甲在一轮比赛中获胜为事件C，
由题意可知，，
，
，
，
，
所以P（C）＝P（A0）P（C|A0）+P（A1）P（C|A1）+P（A2）P（C|A2）+P（A3）P（C|A3）
；
（3）因为，，
，，
设甲前三轮累计得分恰为6分为事件D，
所以
＝3
，
所以甲前三轮累计得分恰为6分的概率为．第3章第2节 数学探究活动：生日悖论的解释与模拟
题型1 古典概型及其概率计算公式
▉题型1 古典概型及其概率计算公式
【知识点的认识】
1．定义：如果一个试验具有下列特征：
（1）有限性：每次试验可能出现的结果（即基本事件）只有有限个；
（2）等可能性：每次试验中，各基本事件的发生都是等可能的．
则称这种随机试验的概率模型为古典概型．
*古典概型由于满足基本事件的有限性和基本事件发生的等可能性这两个重要特征，所以求事件的概率就可以不通过大量的重复试验，而只要通过对一次试验中可能出现的结果进行分析和计算即可．
2．古典概率的计算公式
如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是；
如果某个事件A包含的结果有m个，那么事件A的概率为P（A）．
1．从大于1且小于50的整数中任意选取1个，则被选取的整数是质数的概率为（　　）
A． B． C． D．
2．为加强学生身体健康，某校对学生进行了体能测试．已知同学甲在立定跳远项目中每次及格的概率均为0.6，现采用随机模拟的方法估计甲在立定跳远项目中3次机会里至少及格2次的概率：先由计算器产生0到9范围内的整数随机数，指定0，1，2，3表示没有及格，4，5，6，7，8，9表示及格，再以每3个随机数为一组，代表3次立定跳远的结果．经随机模拟产生了如下20组随机数：
759 421 113 215 345 257 704 066 186 203
037 624 616 045 601 366 959 742 710 428
据随机模拟试验估计，甲在立定跳远项目中3次机会里至少及格2次的概率为（　　）
A． B． C． D．
3．一箱猕猴桃共有20个，其中有若干个为烂果（烂果率低于50%），从这一箱猕猴桃中任取2个，恰有1个烂果的概率为，则这箱猕猴桃的烂果个数为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
4．二进制是以2为基数代表系统的二进制，通常用0和1表示．二进制011（2）化为十进制的计算公式如下：．若从二进制数000（2），001（2），010（2），110（2），101（2），111（2）中任选一个，则二进制数所对应的十进制数大于3的概率为（　　）
A． B． C． D．
5．一批零件共有10个，其中有3个不合格．随机抽取3个零件进行检测，恰好有1件不合格的概率是（　　）
A． B．
C． D．
6．已知甲组共20人，乙组共30人，现按比例采用分层随机抽样的方法从这两组中共抽取5人参加升国旗仪式，在被抽取的这5人中随机抽取2人担任旗手，则被抽取的这2人中至少有1人是甲组的概率为（　　）
A． B． C． D．
7．在某次猜数字游戏中，答案是一个无重复数字的三位数．一位同学第一次猜318，只有一个数字猜对且在相对应的位置上；第二次猜329，只有一个数字猜对且不在对应的位置上；第三次猜128，只有一个数字猜对且在对应的位置上．根据上述信息，该同学第四次猜对的概率是（　　）
A． B． C． D．
8．现有10名学生参加某项测试，可能有学生不合格，从中抽取3名学生成绩查看，记这3名学生中不合格人数为ξ，已知，则本次测试的不合格率为（　　）
A．10% B．20% C．30% D．40%
9．某地区公共卫生部门为了了解本地区中学生的吸烟情况，对随机抽出的200名学生进行调查．为了得到该敏感性问题的诚实反应，设计如下方案：每个被调查者先后抛掷两颗骰子，调查中使用两个问题：①第一颗骰子的点数是否比第二颗的大？②你是否经常吸烟？两颗骰子点数和为奇数的学生如实回答第一个问题，两颗骰子点数和为偶数的学生如实回答第二个问题．回答“是”的学生往盒子中放一个小石子，回答“否”的学生什么都不用做．若最终盒子中小石子的个数为57，则该地区中学生吸烟人数的比例约为（　　）
A．0.035 B．0.07 C．0.105 D．0.14
10．一个盒子里装有相同大小的白球、黑球共20个，其中黑球6个，现从盒中随机的抽取5个球，则概率为的事件是（　　）
A．没有白球 B．至多有2个黑球
C．至少有2个白球 D．至少有2个黑球
11．一批产品共有7件，其中5件正品，2件次品，现从7件产品中一次性抽取3件，设抽取出的3件产品中次品数为X，则P（X＝1）＝（　　）
A． B． C． D．
12．一个袋子中有两个黑球和三个白球，如果一次从中取出两个球，记“恰好抽到一个黑球和一个白球”为事件A，则P（A）＝（　　）
A． B． C． D．
13．袋中有5个白球，4个黑球，从中依次不放回取球，当取出三个相同颜色的球时停止取球，记X为取出球的总数，则X＝4的概率为（　　）
A． B． C． D．
14．已知a∈{0，1，2}，b∈{﹣1，1，3，5}，则函数f（x）＝ax2﹣2bx在区间（1，+∞）上为增函数的概率是（　　）
A． B． C． D．
15．某密码锁的一个密码由3位数字组成，每一位均可取0，1，2，…，9这10个数字中的一个，小明随机设置了一个密码，则恰有两个位置数字相同的概率为（　　）
A．0.09 B．0.12 C．0.18 D．0.27
16．某人用字母v，r，y各1个和2个字母e拼写英语单词“every”，那么他写错这个英语单词的概率为（　　）
A． B． C． D．
17．我国周朝时期的商高提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例．在西方，最早提出并证明此定理的为公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派，他们用演绎法证明了直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方之和．在3，4，5，6，8，10，12，13这8个数中任取3个数，这3个数恰好可以组成勾股定理关系的概率为（　　）
A． B． C． D．
（多选）18．已知一袋中有大小、质地相同的4个红球和2个白球，则下列结论中正确的有（　　）
A．从中任取3个球，恰有1个白球的概率是
B．从中有放回地取球6次，每次任取1个球，则取到红球的次数的方差为
C．现从中不放回地取球2次，每次任取1个球，则在第一次取到红球后，第二次再次取到红球的概率为
D．从中有放回地取球3次，每次任取1个球，则取到两次红球的概率为
19．将1，2，3，4，5，6随机填入如图所示的三角形图形中的6个圈中，每个数恰好出现一次，则三角形三边上的数字之和均相等的概率为 　 ．
20．现有6根小棒，其长度分别为1，2，3，4，5，6，从这6根小棒中随机抽出3根，则抽出的3根小棒首尾链接（不能折断小棒），能构成三角形的概率是 　 ．
21．在某次学校的游园活动中，高二（6）班设计了这样一个游戏：在一个纸箱里放进了5个红球和5个白球，这些球除了颜色不同外完全相同，一次性从中摸出5个球，摸到4个或4个以上红球即为中奖，则中奖的概率是　 ．（精确到0.001）
22．某运动员每次投篮投中的概率均是0.6，用计算机产生0～9之间的随机整数，当出现随机数0～5，表示“投中”，出现6～9表示“未投中”．以每3个随机数为一组，代表该运动员3次投篮的结果，产生了20组随机数：783 062 228 049 276 102 734 933 750 076 140 065 061 215 693 599 494 411 987 789．据此估计“该运动员连续投篮3次至少投进2个球”的概率为 　　 ．
23．假设有两箱零件，第一箱内装有10件，其中有2件次品；第二箱内装有20件，其中有3件次品．现从两箱中随意挑选一箱，然后从该箱中随机取1个零件，则取出的零件是次品的概率是 　 ．
24．甲和乙玩纸牌游戏，已知甲手中有2张10和4张3，乙手中有4张5和6张2，现从两人手中各随机抽取两张牌并交换给对方，则交换之后甲手中牌的点数之和大于乙手中牌的点数之和的概率为 　 ．
25．已知5个零件中有2个次品，从中不放回地任选2个零件，则取到1个次品的概率为 　　 ．
26．如图，一个质点从原点0出发，每隔一秒随机、等可能地向左或向右移动一个单位，共移动六次，在质点第一秒末位于﹣1的位置的条件下，该质点共经过两次1的位置的概率为　　 ．
27．“石头、剪刀、布”是我们小时候常玩的游戏，游戏规则如下：
①石头赢剪刀，剪刀赢布，布赢石头；
②两人游戏时，出相同的手势为平局；多人游戏时都出相同的手势或者三种手势都出现为平局．现有n（n≥3）人玩游戏．
若3人玩一轮游戏，平局的概率P（3）＝ 　 ；若求n（n≥3）人玩一轮游戏，平局的概率P（n）＝ 　 ．（结果用n表示）
28．用0，1，2这三个数字组成一个三位数（每个数字只能用一次），则这个三位数是偶数的概率为　 ．
29．如图，O是正八边形A1A2A3A4A5A6A7A8的中心，从其八个顶点中随机取出四个顶点为顶点作四边形，则可作平行四边形的概率为 　 ，则可作梯形的概率为 　　 ．（用数字作答）
30．甲和乙两个箱子中各装有大小质地完全相同的10个球，其中甲箱中有5个红球、2个白球和3个黑球，乙箱中有4个红球、3个白球和3个黑球．若从甲箱中不放回地依次随机取出2个球，则两次都取到红球的概率为 　　 ；若先从甲箱中随机取出一球放入乙箱；再从乙箱中随机取出一球，则从乙箱中取出的球是红球的概率为 　　 ．
31．某党支部有10名党员，7男3女，从中选取2人做汇报演出，若X表示选中的女党员数，则P（X＜2）＝　 ．
32．甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1，3，5，7，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后轮次中不能使用）．则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为 　　 ．
33．10个考签中有4个难签，3人参加抽签（不放回），甲先，乙次之，丙最后．求：
（1）甲抽到难签的概率；
（2）在甲抽到难签后，乙抽到难签的概率；
（3）甲、乙两人有人抽到难签的概率．
34．某电子设备制造厂所用的元件是由甲、乙、丙三家元件制造厂提供的，根据以往的记录有如表所示的数据．设这三家工厂的产品在仓库中是均匀混合的且不区别标志．
元件制造厂 次品率 提供元件的份额
甲 0.02 0.2
乙 0.01 0.7
丙 0.03 0.1
（I）在仓库中随机取一只元件，求它是次品的概率；
（Ⅱ）在仓库中随机地取一只元件，若已知取到的是次品，求此次品出自甲工厂生产的概率．
35．甲、乙两人进行知识问答比赛，共进行多轮抢答赛，每轮比赛中有3道抢答题，每道题均有人抢答，其计分规则如下：初始甲、乙双方均为0分，答对一题得1分，答错一题得﹣1分，未抢到题得0分，最后总分累计多的人获胜．假设甲、乙抢到每题的成功率相同，且甲、乙每题答题正确的概率分别为和．
（1）求甲在一轮比赛中获得1分的概率；
（2）求甲在每轮比赛中获胜的概率；
（3）求甲前三轮累计得分恰为6分的概率．

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