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第3章第3节 二项式定理与杨辉三角
题型1 二项展开式的通项与项的系数 题型2 二项式系数与二项式系数的和
题型3 二项式系数的性质 题型4 二项式定理的应用
▉题型1 二项展开式的通项与项的系数
【知识点的认识】
﹣二项式定理是指（a+b）n的展开形式，其展开式的通项为，其中为二项式系数．
﹣通项公式用于计算展开式中特定项的系数和幂次，特别是在涉及较大指数时，通过通项公式可以直接找到所需项．
1．在的展开式中，第4项的二项式系数为（　　）
A．5 B．10 C．﹣80 D．160
【答案】B
【解答】解：由题意可知第4项的二项式系数为．
故选：B．
2．已知（x2﹣a）（x+1）3的展开式中含x2项的系数为﹣2，则实数a＝（　　）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
【答案】A
【解答】解：二项式（x+1）3展开式的通项公式为，r＝0，1，2，3，
令3﹣r＝0，则r＝3，此时；令3﹣r＝2，则r＝1，此时，，
∴（x2﹣a）（x+1）3的展开式中含x2项的系数为1﹣3a＝﹣2，解得a＝1．
故选：A．
3．已知的展开式的二项式系数和为64，则其展开式的常数项为（　　）
A．240 B．﹣480 C．729 D．3840
【答案】D
【解答】解：根据题意，2n＝64，解得n＝6，
则，故其展开式的常数项为．
故选：D．
4．二项式的展开式中常数项为 　60　 ．
【答案】60．
【解答】解：展开式的通项公式为TC，
令6，解得r＝4，
所以展开式的常数项为C60，
故答案为：60．
5．（x+y）（x﹣y）6的展开式中，x4y3项的系数为 　﹣5　 ．
【答案】﹣5．
【解答】解：（x+y）（x﹣y）6的展开式中，
则x4y3项的系数为 （﹣1）3 （﹣1）2＝﹣5．
故答案为：﹣5．
（多选）6．关于的展开式，下列说法中正确的是（　　）
A．各项系数之和为1
B．第二项与第四项的二项式系数不相等
C．常数项为60
D．有理项共有4项
【答案】ABD
【解答】解：对于A，令x＝1，则展开式中各项系数之和为1，故A正确；
对于B，第二项的二项式系数为，第四项的二项式系数为，故B正确；
对于C，通项为，
令，得r＝2，常数项为，故C错误；
对于D，当r＝0，2，4，6时，，展开式的有理项共有4项，故D正确．
故选：ABD．
（多选）7．若，则（　　）
A．a0＝1
B．a3＝﹣160
C．a1+a2+a3+a4+a5+a6＝0
D．
【答案】ABC
【解答】解：由于，
对于A：令x＝0，故a0＝1，故A正确；
对于B：根据二项式的展开式（r＝0，1，2，3，4，5，6），令r＝3时，，故B正确；
对于C：令x＝1，故1＝a6+a5+a4+a3+a2+a1+a0，故a1+a2+a3+a4+a5+a6＝0，故C正确；
对于D：令x，，所以，故D错误．
故选：ABC．
8．若（1+mx）5＝a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，其中a3＝80．
（1）求m的值；
（2）求（a0+a2+a4）2﹣（a1+a3+a5）2．
【答案】（1）m＝2；
（2）﹣243．
【解答】解：（1+mx）5＝a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，其中a3＝80，
（1）含x3的项为： 12 （mx）3＝10m3x3，
故10m3＝80，解得m＝2；
（2）由（1）可得：（1+2x）5＝a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，
令x＝1可得：35＝a0+a1+a2+a3+a4+a5，
令x＝﹣1可得：（﹣1）5＝a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5，
所以（a0+a2+a4）2﹣（a1+a3+a5）2＝（a0+a1+a2+a3+a4+a5）（a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5）＝﹣243．
9．已知在的展开式中各项系数的和比它的二项式系数的和大992．
（1）求n的值；
（2）求展开式中x6的项．
【答案】（1）5；（2）．
【解答】解：（1）展开式各项系数的和：
令x＝1，故各项系数为4n，二项式的系数和为2n，
各项系数的和比它的二项式系数的和大992．
∴4n﹣2n＝992，即（2n）2﹣2n﹣992＝0，解得2n＝32，∴n＝5．
（2）展开式的通项公式为：，
令，解得r＝2．
展开式中x6的项为：．
10．已知关于x的展开式中的常数项为﹣160，则a＝　1　 ．
【答案】1．
【解答】解：的常数项为，
因此．
故答案为：1．
（多选）11．若，则下列正确的是（　　）
A．a0＝1
B．
C．
D．
【答案】AC
【解答】解：由，
对A：令x＝0，可得1＝a0，故A正确；
对B：对，
令x＝1，可得1＝a0+a1+a2+ +a2023+a2024，①
令x＝﹣1，可得32024＝a0﹣a1+a2﹣ ﹣a2023+a2024，②
①﹣②可得：1﹣32024＝2（a1+a3+a5+ +a2023），
则，
①+②可得：1+32024＝2（a0+a2+ +a2024），则，故B错误，C正确；
对D：对，
令可得：，则，
由A可知，a0＝1，故，故D错误．
故选：AC．
12．已知的展开式二项式系数和为64．
（1）求展开式中的常数项；
（2）求展开式中二项式系数最大的项．
【答案】（1）60．
（2）．
【解答】解：（1）由题意得：的展开式二项式系数和为2n＝64，解得n＝6．
再由通项公式，
令，解得k＝4，
则常数项为．
（2）由于n＝6是偶数，展开式共有7项，则第四项最大，
∴展开式中二项式系数最大的项为．
13．已知的展开式中存在常数项，则n的可能取值为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．8
【答案】C
【解答】解：由于的展开式的通项公式为Tr+1 ，
展开式中存在常数项，则n应该是3的倍数，故n的可能取值为6，
故选：C．
14．（x+y）（x﹣y）5的展开式中x2y4的系数是 　﹣5　 （用数字作答）．
【答案】﹣5．
【解答】解：（x﹣y）5展开式的通项为，
令5﹣k＝2，则k＝3，令5﹣k＝1，则k＝4，
所以（x+y）（x﹣y）5的展开式中x2y4的系数是．
故答案为：﹣5．
15．请从下列两个条件中任选一个，补充在下面已知条件中的横线上，并解答问题，
①第2项与第3项的二项式系数之比是；②第2项与第3项的系数之比的绝对值为；
已知在的展开式中，_____．
（1）求展开式中的常数项，并指出是第几项；
（2）求展开式中的所有有理项．
（3）求展开式中系数绝对值最大的项．
【答案】（1）常数项为60，第5项；
（2）64x6，240x3，60，x﹣3；
（3）．
【解答】解：（1）选①，，则n2﹣6n＝0，∴n＝6，
则（0≤r≤6，r∈N），
令，得r＝4，
即：为常数项，所以常数项为60，为第5项．
选②，，
，则，
即，∴n＝6，
（0≤r≤6，r∈N），
令，得r＝4；
即：为常数项，所以常数项为60，为第5项．
（2）由（1）知，（0≤r≤6，r∈N），
，则r＝0，2，4，6，
r＝0，，r＝2，，
r＝4，，r＝6，，
故有理项为64x6，240x3，60，x﹣3．
（3）假设Tr+1系数绝对值最大，
则，
解得：，又r∈N，∴r＝2，
∴．
▉题型2 二项式系数与二项式系数的和
【知识点的认识】
﹣二项式系数是二项展开式中各项的系数，其性质包括对称性、递推关系以及系数和的计算．例如：系数和的性质．
﹣这些性质在二项式定理的扩展应用中有重要作用，特别是涉及系数和的计算与证明．
16．设，则a2＝ 　120　 ．
【答案】120．
【解答】解：设，
故：．
故答案为：120．
17．已知二项式的展开式中，所有项的二项式系数之和为a，各项的系数之和为b，a+b＝32．
（1）求n的值；
（2）求其展开式中所有的有理项．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）因为a＝2n，b＝（﹣2）n，所以2n+（﹣2）n＝32，
当n为奇数时，此方程无解，
当n为偶数时，方程可化为2×2n＝32，解得n＝4；
（2）由通项公式，
当为整数时，Tr+1是有理项，则r＝0，2，4，
所以有理项为．
18．展开式中二项式系数之和为64，则展开式中的常数项是（　　）
A．﹣160 B．﹣20 C．20 D．160
【答案】A
【解答】解：因为展开式中二项式系数和为64，可得2n＝64，解得n＝6，
，
令2k﹣6＝0，得k＝3，
所以展开式的常数项为．
故选：A．
19．已知二项式，其中a＞0，且此二项式的x3项的系数是﹣22680．
（1）求实数a的值；
（2）求（a0+a2+a4+a6）（a1+a3+a5+a7）的值（结果可保留幂的形式）．
【答案】（1）3；
（2）．
【解答】解：（1）二项式（a﹣2x）7的展开式中含x3的项为，
∴﹣280a4＝﹣22680，
则a4＝81，
又a＞0，解得a＝3；
（2）由（1）可得（a﹣2x）7＝[1﹣2（x﹣1）]7＝a，
令x＝2，则a1①，
令x＝0，则a0﹣a1+a2﹣...﹣a7＝（1+2）7＝37②，
∴由①+②可得：；
由①﹣②可得：，
∴．
20．若二项式（2﹣x）n的展开式中所有二项式系数之和为32，则含x2项的系数是（　　）
A．80 B．﹣80 C．40 D．﹣40
【答案】A
【解答】解：由题知2n＝32，解得n＝5，则为（2﹣x）5，
通项公式为，
所以（2﹣x）5二项式的展开式中含x2项的系数为80．
故选：A．
▉题型3 二项式系数的性质
【知识点的认识】
﹣二项式系数具有多种性质，如对称性、递推关系（帕斯卡三角形）以及生成函数．理解这些性质对于复杂二项式展开的求解与证明至关重要．
﹣特别地，二项式系数的对称性和递推关系是常用的基本工具．
（多选）21．已知，则（　　）
A．a0＝16
B．a1＝﹣96
C．a1+a2+a3+a4＝16
D．展开式中所有项的二项式系数的和为16
【答案】ABD
【解答】解：已知，
对于A：令x＝0，可得24＝a0，故a0＝16，故A正确；
对于B：，所以a1＝﹣96，故B正确；
对于：令x＝1，可得1＝a0+a1+a2+a3+a4，则a1+a2+a3+a4＝﹣15，故C错误；
对于D：展开式中所有项的二项式系数的和为24＝16，故D正确．
故选：ABD．
（多选）22．已知（1+x）n的展开式中第5项与第9项的二项式系数相等，则下列4个数中可能是（1+x）n的展开式的偶数项的二项式系数的是（　　）
A．1 B．12 C．66 D．220
【答案】BD
【解答】解：因为（1+x）n的展开式中第5项与第9项的二项式系数相等，
故，所以n＝4+8＝12，
偶数项的二项式系数分别为，
结合选项可知12，220符合题意．
故选：BD．
23．已知（2﹣3x）2024＝a0+a1x+a2x2+…+a2024x2024，则展开式中所有项的系数和为 　1　 ．
【答案】1．
【解答】解：因为（2﹣3x）2024＝a0+a1x+a2x2+…+a2024x2024，
令x＝1可得（2﹣3）2024＝a0+a1+a2+…+a2024．
所以a0+a1+a2+…+a2024＝1．
故答案为：1．
（多选）24．已知，则下列结论正确的是（　　）
A．a3＝80
B．a4≥|ai|（i＝0，1， ，5）
C．|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|＝242
D．
【答案】BCD
【解答】解：，
对于A，展开式的通项公式为：，k＝0，1，2，3，4，5，
则，故A错误；
对于B，令x＝0，则有（1﹣2×0）5＝a0，即a0＝1，
因为，
所以，，，
，，
故有a4≥|ai|（i＝0，1， ，5），故B正确；
对于C，由选项B可得：a2、a4＞0，a1、a3、a5＜0，
则|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|＝﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5，
令x＝﹣1，则有（1+2）5＝a0﹣a1+a2﹣ ﹣a5，
即，又a0＝1，
故|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|＝﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5＝242，故C正确；
对于D，令，则有，即，
又，故，故D正确．
故选：BCD．
25．已知二项式，且．
（1）求的展开式中的第5项；
（2）求的二项式系数最大的项．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）由，得，即n2﹣n﹣30＝0，
解得n＝6或n＝﹣5（舍去），
的二项式通项为，
当r＝4时，，
所以的展开式中第5项为1215x﹣7．
（2）因为是中最大的，
所以第4项的二项式系数最大，
，
所以的二项式系数最大的项是．
▉题型4 二项式定理的应用
【知识点的认识】
﹣二项式定理在多个数学领域中有广泛的应用，包括组合数学、概率论以及多项式理论．其应用场景包括展开式的简化、系数的计算、概率问题的求解等．
﹣二项式定理的灵活运用可以帮助解决多种复杂的数学问题，特别是在涉及大规模计算时．
26．若正整数a，b满足等式20232025＝2024a+b且b＜2024，则b＝（　　）
A．1 B．2 C．2022 D．2023
【答案】D
【解答】解：20232025＝（2024﹣1）2025
20242025 20242024+... 20242 （﹣1）2023 2024 （﹣1）2024 （﹣1）2025
＝2024[ 20242024 20242023+... 20241 （﹣1）2023 （﹣1）2024]﹣1
＝2024[ 20242024 20242023+... 20241 （﹣1）2023 （﹣1）2024]﹣2024+2023
＝2024a+b，
故b＝2023．
故选：D．
27．已知展开式各项系数之和为64，则展开式中x3的系数为（　　）
A．31 B．30 C．29 D．28
【答案】C
【解答】解：令x＝1，可得展开式各项系数之和为（a﹣1）×26＝64，
得a＝2，
则展开式通项公式为Tr+1中x3的系数为，x2的系数为15，
则展开式中x3的系数为2×15+（﹣1）×1＝29．
故选：C．
28．已知的展开式中第9项是常数项，则展开式中系数的绝对值最大的项是（　　）
A．第6项 B．第7项 C．第8项 D．第9项
【答案】C
【解答】解：已知的展开式中第9项是常数项，
又二项式展开式的通项公式为：，
因为展开式中第9项是常数项，故，解得n＝10，
故第r+1项的系数绝对值为．
设展开式中第r+1项的系数绝对值最大，则有
由①可得：，即，解得；
由②可得：，即，解得．
即，又因为r∈N*，故r＝7，即第8项的系数绝对值最大．
故选：C．
（多选）29．在二项式（x﹣2）6的展开式中，下列结论正确的是（　　）
A．常数项为﹣64
B．含x的系数为﹣192
C．所有的二项式系数之和为64
D．所有项的系数之和为﹣1
【答案】BC
【解答】解：二项式的展开式的通项公式为，r＝0，1，…，6，
令6﹣r＝0，则r＝6，所以常数项为，所以A错误；
令6﹣r＝1，则r＝5，所以含x的项的系数为，B正确；
所有项的二项式系数之和为26＝64，C正确；
令x＝1，可得所有项的系数之和为（1﹣2）6＝1，D错误．
故选：BC．
（多选）30．的展开式中（　　）
A．第三项系数为1792
B．二项式系数最大的项是第5项
C．常数项为240
D．所有项的系数之和为1
【答案】ABD
【解答】解：展开式的通项公式为：（r＝0，1，2，...8），
对于A：第三项系数为，故A正确；
对于B：展开式中共9项，二项式系数最大的项是第5项，故B正确；
对于C：令，解得，又r∈N，所以展开式中不存在常数项，故C错误；
对于D：令x＝1可得所有项的系数之和为（2﹣1）8＝1，故D正确．
故选：ABD．
（多选）31．“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列．从第1行开始，第n行从左至右的数字之和记为an，如a1＝1+1＝2，a2＝1+2+1＝4，…，{an}的前n项和记为Sn，则下列说法正确的有（　　）
A．在“杨辉三角”第9行中，从左到右第7个数字是84
B．在“杨辉三角”中，从第1行起到第12行，每一行从左到右的第2个数字之和为78
C．S10＝1022
D．的前n项和为
【答案】ABD
【解答】解：对于选项A：在“杨辉三角”第9行中，从左到右第7个数字是，故A正确；
对于选项B：从第1行起到第12行，每一行从左到右的第2个数字之和为
，故B正确；
对于选项CD：由题意可知：，
则a1＝2，，可知数列{an}是以首项为2，公比为2的等比数列，
可得，则，故C错误；
因为，
所以的前n项和为
，故D正确．
故选：ABD．
32．已知的展开式中所有二项式系数之和为1024．
（1）求的展开式所有项的系数和；
（2）求的展开式所有偶数项的系数和；（用算式表达）
（3）判断的展开式中第几项的系数绝对值最大．
【答案】（1）1；
（2）；
（3）7．
【解答】解：（1）因为所有二项式系数之和为1024，则2n＝1024，则n＝10，
令x＝1，得（2﹣3）10＝1，所以的展开式所有项的系数和为1；
（2）令的展开式所有项的系数依次为a1，a2，…，a11，
由（1）知，a1+a2+...+a11＝1，
令x＝﹣1，得，
则a2+a4+a6+a8+a10；
（3）由（2）可知的展开式的通项公式为210﹣r3rx﹣r，
由，得，
因为r为整数，所以r＝6，
所以的展开式中第7项的系数绝对值最大．
33．若（2x﹣1）n的展开式中第3项与第9项的二项式系数相等，且（2x﹣1）n＝a0+a1x+a2x2+a3x3+…+anxn．（n∈N*）
（1）求x2的系数a2；
（2）求|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|的值．
【答案】（1）180；
（2）310﹣1．
【解答】解：（1）第3项与第9项的二项式系数相等，
则，解得n＝10，所以n＝10．
所以（2x﹣1）10的展开式中x2项为：，所以a2＝180．
（2）由（1）知，（2x﹣1）10的展开式中，
（2x﹣1）n＝a0+a1x+a2x2+a3x3+…+anxn，
当x＝0时，a0＝1，
由二项展开式可得：
所以a0，a2，a4，a6，a8，a10都是正数，a1，a3，a5，a7，a9都是负数，
所以|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+ +|a10|＝a0﹣a1+a2﹣a3+ +a10
当x＝﹣1时，，
所以．
34．已知，则m除以10的余数为（　　）
A．0 B．1 C．8 D．9
【答案】A
【解答】解：由可得，
，
则得，，
即．
故m除以10的余数为0．
故选：A．
35．当n∈N时，将三项式（x2+x+1）n展开，可得到如图所示的三项展开式和“广义杨辉三角形”：
（x2+x+1）0＝1
（x2+x+1）1＝x2+x+1
（x2+x+1）2＝x4+2x3+3x2+2x+1
（x2+x+1）3＝x6+3x5+6x4+7x3+6x2+3x+1
（x2+x+1）4＝x8+4x7+10x6+16x5+19x4+16x3+10x2+4x+1
若在（1+ax）（x2+x+1）5的展开式中，x7的系数为75，则实数a的值为（　　）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
【答案】A
【解答】解：依题意，“广义杨辉三角形”构造方法为：第0行为1，以下各行每个数是它头上与左右两肩上3数（不足3数的，缺少的数计为0）之和，
所以“广义杨辉三角形”的第5行为1，5，15，30，45，51，45，30，15，5，1，
在（x2+x+1）5的展开式中，x6的系数为45，x7的系数为30，
（1+ax）（x2+x+1）5的展开式中，x7的系数为30+45a＝75，解得a＝1．
故选：A．
36．已知．
（1）若a2＝﹣324，求a4的值；
（2）若，求1+b1+b2+b3+ +b9的值；
（3）用只含有n的式子表示a1+2a2+3a3+ +nan．
【答案】（1）﹣10206；
（2）262144；
（3）3n×2n﹣1．
【解答】解：（1）∵（3x﹣1）n的展开式的通项为（0≤k≤n且k∈N），
∴，即k＝n﹣2且k为奇数，
所以，即，即n（n﹣1）＝72，解得n＝9或n＝﹣8（舍去），
∴．
（2）令x＝﹣1可得，
令x＝0可得b0+b1+b2+b3+ +b9＝﹣1，
∴；
（3）因为，
两边对x求导得：，
令x＝1可得．
37．已知f（x）＝（2x+3）n展开式的二项式系数和为512，且（2x+3）n＝a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+…+an（x+1）n．
（Ⅰ）求a1+a2+a3+…+an的值；
（Ⅱ）求a2的值；
（Ⅲ）求证：f（17）+5能被6整除．
【答案】（Ⅰ）19682；
（Ⅱ）144；
（Ⅲ）详见解答过程．
【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）＝（2x+3）n展开式的二项式系数和为512，
∴2n＝512，解得n＝9，
因为（2x+3）n＝a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+…+an（x+1）n，
令x＝﹣1，可得a0＝1，
令x＝0，可得，
∴．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）＝（2x+3）9，
∵（2x+9）9＝[2（x+1）+1]9，
∴4×36＝144；
（Ⅲ）证明：∵，
又能被6整除，1+5＝6也能被6整除，
∴f（17）+5能被6整除．
38．在“杨辉三角”中，每一个数都是它“肩上”两个数的和，它开头几行如图所示．那么，在“杨辉三角”中，第 　62　 行会出现三个相邻的数，其比为3：4：5．
第0行1
第1行 1 1
第2行 1 2 1
第3行 1 3 3 1
第4行 1 4 6 4 1
第5行 1 5 10 10 5 1
【答案】62．
【解答】解：由题意可知第n∈N行第m∈N个数为，
根据题意，设所求的行数为n∈N*，则存在正整数k，使得连续三项，，，
有且．化简得，，
联立解得k＝27，n＝62，
故第62行会出现满足条件的三个相邻的数．
故答案为：62．第3章第3节 二项式定理与杨辉三角
题型1 二项展开式的通项与项的系数 题型2 二项式系数与二项式系数的和
题型3 二项式系数的性质 题型4 二项式定理的应用
▉题型1 二项展开式的通项与项的系数
【知识点的认识】
﹣二项式定理是指（a+b）n的展开形式，其展开式的通项为，其中为二项式系数．
﹣通项公式用于计算展开式中特定项的系数和幂次，特别是在涉及较大指数时，通过通项公式可以直接找到所需项．
1．在的展开式中，第4项的二项式系数为（　　）
A．5 B．10 C．﹣80 D．160
2．已知（x2﹣a）（x+1）3的展开式中含x2项的系数为﹣2，则实数a＝（　　）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
3．已知的展开式的二项式系数和为64，则其展开式的常数项为（　　）
A．240 B．﹣480 C．729 D．3840
4．二项式的展开式中常数项为 　 　 ．
5．（x+y）（x﹣y）6的展开式中，x4y3项的系数为 　 　　 ．
（多选）6．关于的展开式，下列说法中正确的是（　　）
A．各项系数之和为1
B．第二项与第四项的二项式系数不相等
C．常数项为60
D．有理项共有4项
（多选）7．若，则（　　）
A．a0＝1
B．a3＝﹣160
C．a1+a2+a3+a4+a5+a6＝0
D．
8．若（1+mx）5＝a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，其中a3＝80．
（1）求m的值；
（2）求（a0+a2+a4）2﹣（a1+a3+a5）2．
9．已知在的展开式中各项系数的和比它的二项式系数的和大992．
（1）求n的值；
（2）求展开式中x6的项．
10．已知关于x的展开式中的常数项为﹣160，则a＝ 　 ．
（多选）11．若，则下列正确的是（　　）
A．a0＝1
B．
C．
D．
12．已知的展开式二项式系数和为64．
（1）求展开式中的常数项；
（2）求展开式中二项式系数最大的项．
13．已知的展开式中存在常数项，则n的可能取值为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．8
14．（x+y）（x﹣y）5的展开式中x2y4的系数是 　 （用数字作答）．
15．请从下列两个条件中任选一个，补充在下面已知条件中的横线上，并解答问题，
①第2项与第3项的二项式系数之比是；②第2项与第3项的系数之比的绝对值为；
已知在的展开式中，_____．
（1）求展开式中的常数项，并指出是第几项；
（2）求展开式中的所有有理项．
（3）求展开式中系数绝对值最大的项．
▉题型2 二项式系数与二项式系数的和
【知识点的认识】
﹣二项式系数是二项展开式中各项的系数，其性质包括对称性、递推关系以及系数和的计算．例如：系数和的性质．
﹣这些性质在二项式定理的扩展应用中有重要作用，特别是涉及系数和的计算与证明．
16．设，则a2＝ 　 　 ．
17．已知二项式的展开式中，所有项的二项式系数之和为a，各项的系数之和为b，a+b＝32．
（1）求n的值；
（2）求其展开式中所有的有理项．
18．展开式中二项式系数之和为64，则展开式中的常数项是（　　）
A．﹣160 B．﹣20 C．20 D．160
19．已知二项式，其中a＞0，且此二项式的x3项的系数是﹣22680．
（1）求实数a的值；
（2）求（a0+a2+a4+a6）（a1+a3+a5+a7）的值（结果可保留幂的形式）．
20．若二项式（2﹣x）n的展开式中所有二项式系数之和为32，则含x2项的系数是（　　）
A．80 B．﹣80 C．40 D．﹣40
▉题型3 二项式系数的性质
【知识点的认识】
﹣二项式系数具有多种性质，如对称性、递推关系（帕斯卡三角形）以及生成函数．理解这些性质对于复杂二项式展开的求解与证明至关重要．
﹣特别地，二项式系数的对称性和递推关系是常用的基本工具．
（多选）21．已知，则（　　）
A．a0＝16
B．a1＝﹣96
C．a1+a2+a3+a4＝16
D．展开式中所有项的二项式系数的和为16
（多选）22．已知（1+x）n的展开式中第5项与第9项的二项式系数相等，则下列4个数中可能是（1+x）n的展开式的偶数项的二项式系数的是（　　）
A．1 B．12 C．66 D．220
23．已知（2﹣3x）2024＝a0+a1x+a2x2+…+a2024x2024，则展开式中所有项的系数和为 　 ．
（多选）24．已知，则下列结论正确的是（　　）
A．a3＝80
B．a4≥|ai|（i＝0，1， ，5）
C．|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|＝242
D．
25．已知二项式，且．
（1）求的展开式中的第5项；
（2）求的二项式系数最大的项．
▉题型4 二项式定理的应用
【知识点的认识】
﹣二项式定理在多个数学领域中有广泛的应用，包括组合数学、概率论以及多项式理论．其应用场景包括展开式的简化、系数的计算、概率问题的求解等．
﹣二项式定理的灵活运用可以帮助解决多种复杂的数学问题，特别是在涉及大规模计算时．
26．若正整数a，b满足等式20232025＝2024a+b且b＜2024，则b＝（　　）
A．1 B．2 C．2022 D．2023
27．已知展开式各项系数之和为64，则展开式中x3的系数为（　　）
A．31 B．30 C．29 D．28
28．已知的展开式中第9项是常数项，则展开式中系数的绝对值最大的项是（　　）
A．第6项 B．第7项 C．第8项 D．第9项
（多选）29．在二项式（x﹣2）6的展开式中，下列结论正确的是（　　）
A．常数项为﹣64
B．含x的系数为﹣192
C．所有的二项式系数之和为64
D．所有项的系数之和为﹣1
（多选）30．的展开式中（　　）
A．第三项系数为1792
B．二项式系数最大的项是第5项
C．常数项为240
D．所有项的系数之和为1
（多选）31．“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列．从第1行开始，第n行从左至右的数字之和记为an，如a1＝1+1＝2，a2＝1+2+1＝4，…，{an}的前n项和记为Sn，则下列说法正确的有（　　）
A．在“杨辉三角”第9行中，从左到右第7个数字是84
B．在“杨辉三角”中，从第1行起到第12行，每一行从左到右的第2个数字之和为78
C．S10＝1022
D．的前n项和为
32．已知的展开式中所有二项式系数之和为1024．
（1）求的展开式所有项的系数和；
（2）求的展开式所有偶数项的系数和；（用算式表达）
（3）判断的展开式中第几项的系数绝对值最大．
33．若（2x﹣1）n的展开式中第3项与第9项的二项式系数相等，且（2x﹣1）n＝a0+a1x+a2x2+a3x3+…+anxn．（n∈N*）
（1）求x2的系数a2；
（2）求|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|的值．
34．已知，则m除以10的余数为（　　）
A．0 B．1 C．8 D．9
35．当n∈N时，将三项式（x2+x+1）n展开，可得到如图所示的三项展开式和“广义杨辉三角形”：
（x2+x+1）0＝1
（x2+x+1）1＝x2+x+1
（x2+x+1）2＝x4+2x3+3x2+2x+1
（x2+x+1）3＝x6+3x5+6x4+7x3+6x2+3x+1
（x2+x+1）4＝x8+4x7+10x6+16x5+19x4+16x3+10x2+4x+1
若在（1+ax）（x2+x+1）5的展开式中，x7的系数为75，则实数a的值为（　　）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
36．已知．
（1）若a2＝﹣324，求a4的值；
（2）若，求1+b1+b2+b3+ +b9的值；
（3）用只含有n的式子表示a1+2a2+3a3+ +nan．
37．已知f（x）＝（2x+3）n展开式的二项式系数和为512，且（2x+3）n＝a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+…+an（x+1）n．
（Ⅰ）求a1+a2+a3+…+an的值；
（Ⅱ）求a2的值；
（Ⅲ）求证：f（17）+5能被6整除．
38．在“杨辉三角”中，每一个数都是它“肩上”两个数的和，它开头几行如图所示．那么，在“杨辉三角”中，第 　 　　 行会出现三个相邻的数，其比为3：4：5．
第0行1
第1行 1 1
第2行 1 2 1
第3行 1 3 3 1
第4行 1 4 6 4 1
第5行 1 5 10 10 5 1

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