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第4章第1节 条件概率与事件的独立性
题型1 相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式 题型2 相互独立事件的概率乘法公式
题型3 条件概率 题型4 求解条件概率
题型5 全概率公式
▉题型1 相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式
【知识点的认识】
1．相互独立事件：事件A（或B）是否发生，对事件B（或A）发生的概率没有影响，这样两个事件叫做相互独立事件．
2．相互独立事件同时发生的概率公式：
将事件A和事件B同时发生的事件即为A B，若两个相互独立事件A、B同时发生，则事件A B发生的概率为：
P（A B）＝P（A） P（B）
推广：一般地，如果事件A1，A2，…，An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率之积，即：
P（A1 A2…An）＝P（A1） P（A2）…P（An）
3．区分
互斥事件和相互独立事件是两个不同的概念：
（1）互斥事件：两个事件不可能同时发生；
（2）相互独立事件：一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响．
（多选）1．已知事件A，B满足P（A）＝0.5，P（B）＝0.2，则（　　）
A．若B A，则P（AB）＝0.5
B．若A与B互斥，则P（A+B）＝0.7
C．若P（AB）＝0.1，则A与B相互独立
D．若A与B相互独立，则
2．一道考题有4个答案，要求学生将其中的一个正确答案选择出来．某考生知道正确答案的概率为，而乱猜正确的概率为．在乱猜时，4个答案都有机会被他选择，如果他答对了，则他确实知道正确答案的概率是（　　）
A． B． C． D．
3．有四种礼盒，前三种里面分别仅装有中国结、记事本、笔袋，第四个礼盒里面三种礼品都有，现从中任选一个盒子，设事件A：所选盒中有中国结，事件B：所选盒中有记事本，事件C：所选盒中有笔袋，则（　　）
A．事件A与事件B互斥 B．P（AB）＝P（A）P（B）
C．事件A与事件B∪C互斥 D．P（B∩C）＝0.5
4．某射击比赛中，甲、乙两名选手进行多轮射击对决．每轮射击中，甲命中目标的概率为，乙命中目标的概率为．若每轮射击中，命中目标的选手得1分，未命中目标的选手得0分，且各轮射击结果相互独立．则进行五轮射击后，甲的总得分不小于3的概率为 　 ．
5．如图，A，B是两个独立的开关，设它们闭合的概率分别为，，则该线路是通路的概率为 ．
（多选）6．已知随机事件A，B，且P（A）＝0.4，P（B）＝0.3则下列说法正确的是（　　）
A．若P（AB）＝P（A）P（B），则事件A与事件B相互独立
B．若P（A）+P（B）＝1，则事件A与事件B互为对立事件
C．若事件B A，则P（AB）＝0.3
D．若事件A，B相互独立，则P（A∪B）＝0.7
7．（1）数据x1，x2， ，xn的平均数为，数据y1，y2， ，yn的平均数为，a，b为常数，如果满足y1＝ax1+b，y2＝ax2+b，…，yn＝axn+b，证明：．
（2）证明：如果两个事件A与B独立，那么事件A与也独立．
（3）设数据a1，a2，a3，…，an的均值为，方差为σ2，请利用已经学过的方差公式：来证明方差第二公式：．
8．某学校冰壶队举行冰壶投掷测试，规则为：
①每人至多投3次，先在点M处投第一次，冰壶进入营垒区得3分，未进营垒区不得分；
②自第二次投掷开始均在点A处投掷冰壶，冰壶进入营垒区得2分，未进营垒区不得分；
③测试者累计得分高于3分即通过测试，并立即终止投掷．
已知投掷一次冰壶，甲得3分和2分的概率分别为0.1和0.5．则甲通过测试的概率为（　　）
A．0.1 B．0.25 C．0.3 D．0.35
9．已知甲、乙、丙参加某项测试时，通过的概率分别为0.6，0.8，0.9，而且这3人之间的测试互不影响．
（Ⅰ）求甲、乙、丙都通过测试的概率；
（Ⅱ）求甲未通过且乙、丙通过测试的概率；
（Ⅲ）求甲、乙、丙至少有一人通过测试的概率．
10．11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10：10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束．甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立．在某局双方10：10平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束．
（1）求P（X＝2）；
（2）求事件“X＝4且乙获胜”的概率．
11．甲乙两支排球队进行比赛，先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束．除第五局甲队获胜的概率是，其余每局比赛甲队获胜的概率都是．设各局比赛结果相互独立．
（1）分别求甲队3：0，3：1，3：2胜利的概率；
（2）若比赛结果3：0或3：1，则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为3：2，则胜利方得2分，对方得1分，求乙队得3分的概率．
12．如图是一块高尔顿板示意图：在一块木板上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，小球从上方的通道口落下后，将与层层小木块碰撞，最后掉入下方的某一个球槽内．若小球下落过程中向左、向右落下的机会均等，则小球最终落入②号球槽的概率为（　　）
A． B． C． D．
▉题型2 相互独立事件的概率乘法公式
【知识点的认识】
﹣对于相互独立事件A和B，．
13．抛掷一枚骰子一次，观察向上一面的点数，将结果记作k（k∈{1，2，3，4，5，6}），若事件A＝{2，4，6}，事件B＝{4，5，6}，事件C满足P（ABC）＝P（A）P（B）P（C），则事件C前个数为（　　）
A．9 B．8 C．7 D．6
14．小明和小王两名同学组成诗词挑战杯代表队参加市相关部门组建的猜诗词大会，每轮挑战由小明、小王各猜一句诗词，已知小明每轮猜对的概率为，小王每轮猜对的概率为．在每轮活动中，小明和小王猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响．
（1）求小明在两轮活动中恰好猜对1句诗词的概率；
（2）求诗词挑战杯代表队在两轮活动中猜对3句诗词的概率．
15．围棋起源于中国，据先秦典籍世本记载：“尧造围棋，丹朱善之”，至今已有四千多年历史．围棋不仅能抒发意境、陶冶情操、修身养性、生慧增智，而且还与天象易理、兵法策略、治国安邦等相关联，蕴含着中华文化的丰富内涵．在某次国际围棋比赛最后，中国队有两名选手a，b，日本队有一名选手c，韩国队有一名选手d，规定a与c对阵，b与d对阵，两场比赛的胜者争夺冠军，根据以往战绩，四位选手之间相互获胜的概率如下：
a b c d
a获胜概率 / 0.5 0.6 0.8
b获胜概率 0.5 / 0.5 0.6
c获胜概率 0.4 0.5 / 0.4
d获胜概率 0.2 0.4 0.6 /
则最终中国队获得冠军的概率为（　　）
A．0.240 B．0.328 C．0.672 D．0.760
16．假设P（A）＝0.3，P（B）＝0.2，且A与B相互独立，则P（A∪B）＝　 ．
17．甲、乙、丙、丁四位同学参加校运会4×100米接力赛，教练组根据训练情况，安排了四人的交接棒组合．已知该组合三次交接棒失误的概率分别是，，，假设三次交接棒相互独立，则此次比赛中该组合交接棒没有失误的概率是 　 ．
▉题型3 条件概率
【知识点的认识】
1、条件概率的定义：对于任何两个事件A和B，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做条件概率，用符号P（B|A）来表示．
（2）条件概率公式：称为事件A与B的交（或积）．
（3）条件概率的求法：
①利用条件概率公式，分别求出P（A）和P（AB），得P（B|A），其中P（A）＞0；
②借助古典概型概率公式，先求出事件A包含的基本事件数n（A），再在事件A发生的条件下求出事件B包含的基本事件数，即n（A∩B），得P（B|A）
（多选）18．现有一款闯关游戏，共有4关，规则如下：在第n关要抛掷骰子n次，每次观察向上面的点数并做记录，如果这n次抛掷所出现的点数之和大于2n+n，则算闯过第n关，n＝1，2，3，4．假定每次闯关互不影响，则（　　）
A．直接挑战第2关并过关的概率为
B．连续挑战前两关并过关的概率为
C．若直接挑战第3关，设A＝“三个点数之和等于15”，B＝“至少出现一个5点”，则P（A|B）
D．若直接挑战第4关，则过关的概率是
（多选）19．已知随机事件A，B的对立事件分别为，，若P（A）＞0，P（B）＞0，则（　　）
A．P（A|B）+P（|B）＝1
B．P（B|A）+P（|A）＝P（A）
C．若A，B独立，则P（A|B）＝P（A）
D．若A，B互斥，则P（A|B）＝P（B|A）
▉题型4 求解条件概率
【知识点的认识】
﹣条件概率：在事件B发生的条件下事件A发生的概率，记作P（A|B）．
﹣计算：其中P（B）＞0．
20．长时间玩手机可能影响视力，据调查，某校学生大约40%的学生近视，而该校大约有20%的学生每天玩手机超过1h，这些人的近视率约为50%．现从该校近视的学生中任意调查一名学生，则他每天玩手机超过1h的概率为（　　）
A． B． C． D．
21．甲、乙、丙、丁四名农业专家被派驻到A，B，C三个村进行农业技术指导，若要求每个村至少派驻一名专家，且每名专家只能被派驻到一个村，则在甲被派驻到A村的条件下，甲、乙被派驻到同一个村的概率为（　　）
A． B． C． D．
22．为讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程，增进学生对党史知识的了解，某学校开展党史知识竞赛活动，以班级为单位参加比赛．某班级在5道党史题中（有3道选择和2道填空题），不放回地依次随机抽取2道题作答，设事件A为“第一次抽到选择题”，事件B为“第二次抽到选择题”，则P（B|A）＝（　　）
A． B． C． D．
（多选）23．现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，则（　　）
A．第1次抽到舞蹈节目的概率为
B．第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率为
C．第2次抽到语言类节目的概率为
D．在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率为
24．2025年春晚，一场别开生面的机器人舞蹈表演震撼了观众．现在编排一个动作，机器人从原点O出发，每一次等可能地向左或向右或向上或向下移动一个单位，共移动3次．求该机器人在有且仅有一次经过（含到达）点M（﹣1，0）位置的条件下，水平方向移动2次的概率为 ．
25．已知生男孩和生女孩是等可能的，现随机选择一个有三个小孩的家庭，若该家庭有女孩，则三个小孩中恰好有一个女孩的概率为 　 ．
26．设甲盒有3个白球，2个红球，乙盒有4个白球，1个红球，现从甲盒任取2球放入乙盒，再从乙盒任取两球，求：
（I）从乙盒取出2个红球的概率；
（Ⅱ）已知从乙盒取出2个红球，求从甲盒取出两个红球的概率．
▉题型5 全概率公式
【知识点的认识】
全概率公式
一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P（Ai）＞0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B Ω，有
P（B）．
27．某社区开展防疫值班工作，甲乙丙三人轮流参与，规则如下：①第1天安排甲值班；②第2天从乙丙两人中随机选1人值班；③第n≥3天，从前一天未值班的2人中随机选1人值班，则第n天甲值班的概率为（　　）
A． B．
C． D．
28．某工厂为了了解车间的生产情况，从甲、乙、丙三个车间分别抽取了30，30，40个产品进行检验，其中一等品分别为5，6，8个．现随机选定一个车间，从该车间抽取一个产品，则该产品是一等品的概率为（　　）
A． B． C． D．
29．设有甲、乙两箱数量相同的产品，甲箱中产品的合格率为95%，乙箱中产品的合格率为85%．从两箱产品中任取一件，经检验不合格，放回原箱后在该箱中再随机取一件产品，则该件产品合格的概率为 　 ．
30．在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列．由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0．已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为和；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为和．假设发送信号0和1是等可能的，已知接收的信号为0，则发送的信号是1的概率为 　 ．
31．某班级数学课上教师随机的从学生甲、乙、丙、丁中选择一名学生回答问题，据了解，甲、乙、丙、丁答对该题的概率分别为0.8，0.6，0.4，0.2，则在此题答错的情况下，由乙回答此题的概率是（　　）
A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4
32．将若干红球与黄球放进一个不透明的袋子中，这些球的大小与重量完全相同．已知袋子中红球与黄球个数之比为6：4，其中的红球印有商标，的黄球印有商标．现从袋子中随机抽取一个小球，则小球印有商标的概率为 ．
33．现有来自两个班级的考生报名表，分装两袋，第一袋有5名男生和3名女生的报名表，第二袋有3名男生和3名女生的报名表．
（1）若从第一袋中取出3份报名表，求恰好有2份为男生的报名表的概率；
（2）若在第二袋中取两份报名表，求第一次取到女生报名表且第二次也取到女生报名表的概率；
（3）从两袋中随机选择一袋，然后从中随机抽取2份，求恰好抽到1份男生报名表1份女生报名表的概率．第4章第1节 条件概率与事件的独立性
题型1 相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式 题型2 相互独立事件的概率乘法公式
题型3 条件概率 题型4 求解条件概率
题型5 全概率公式
▉题型1 相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式
【知识点的认识】
1．相互独立事件：事件A（或B）是否发生，对事件B（或A）发生的概率没有影响，这样两个事件叫做相互独立事件．
2．相互独立事件同时发生的概率公式：
将事件A和事件B同时发生的事件即为A B，若两个相互独立事件A、B同时发生，则事件A B发生的概率为：
P（A B）＝P（A） P（B）
推广：一般地，如果事件A1，A2，…，An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率之积，即：
P（A1 A2…An）＝P（A1） P（A2）…P（An）
3．区分
互斥事件和相互独立事件是两个不同的概念：
（1）互斥事件：两个事件不可能同时发生；
（2）相互独立事件：一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响．
（多选）1．已知事件A，B满足P（A）＝0.5，P（B）＝0.2，则（　　）
A．若B A，则P（AB）＝0.5
B．若A与B互斥，则P（A+B）＝0.7
C．若P（AB）＝0.1，则A与B相互独立
D．若A与B相互独立，则
【答案】BC
【解答】解：已知事件A，B满足P（A）＝0.5，P（B）＝0.2，
对于A，由B A，得P（AB）＝P（B）＝0.2，A错误；
对于B，由A与B互斥，得P（A+B）＝0.5+0.2＝0.7，B正确；
对于C，由P（AB）＝0.1＝0.5×0.2，得P（AB）＝P（A）P（B），则A与B相互独立，C正确；
对于D，由A与B相互独立，得相互独立，则，D错误．
故选：BC．
2．一道考题有4个答案，要求学生将其中的一个正确答案选择出来．某考生知道正确答案的概率为，而乱猜正确的概率为．在乱猜时，4个答案都有机会被他选择，如果他答对了，则他确实知道正确答案的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：设事件A表示“考生答对”，事件B表示“考生知道正确答案”，
由全概率公式得P（A），P（AB），
所以P（B|A），
故选：B．
3．有四种礼盒，前三种里面分别仅装有中国结、记事本、笔袋，第四个礼盒里面三种礼品都有，现从中任选一个盒子，设事件A：所选盒中有中国结，事件B：所选盒中有记事本，事件C：所选盒中有笔袋，则（　　）
A．事件A与事件B互斥 B．P（AB）＝P（A）P（B）
C．事件A与事件B∪C互斥 D．P（B∩C）＝0.5
【答案】B
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，当取到第四个盒子时，事件A和事件B同时发生，事件A与事件B不互斥，A错误；
对于B，，则有P（A）P（B）＝P（AB），B正确；
对于C，当取到第四个盒子时，事件A与事件B∪C同时发生，事件A与事件B∪C不互斥，C错误；
对于D，B∩C表示选出的盒子既有笔记本，又有笔袋，故只能选第四个礼盒，故，故D错误．
故选：B．
4．某射击比赛中，甲、乙两名选手进行多轮射击对决．每轮射击中，甲命中目标的概率为，乙命中目标的概率为．若每轮射击中，命中目标的选手得1分，未命中目标的选手得0分，且各轮射击结果相互独立．则进行五轮射击后，甲的总得分不小于3的概率为 　　 ．
【答案】．
【解答】解：甲、乙两名选手进行多轮射击对决，每轮射击中，甲命中目标的概率为，乙命中目标的概率为，
每轮射击中，命中目标的选手得1分，未命中目标的选手得0分，且各轮射击结果相互独立，
则进行五轮射击后，甲的总得分不小于3的概率为：
P．
故答案为：．
5．如图，A，B是两个独立的开关，设它们闭合的概率分别为，，则该线路是通路的概率为 　　 ．
【答案】．
【解答】解：由题意，该线路是通路的概率为P＝1﹣（1） （1）．
故答案为：．
（多选）6．已知随机事件A，B，且P（A）＝0.4，P（B）＝0.3则下列说法正确的是（　　）
A．若P（AB）＝P（A）P（B），则事件A与事件B相互独立
B．若P（A）+P（B）＝1，则事件A与事件B互为对立事件
C．若事件B A，则P（AB）＝0.3
D．若事件A，B相互独立，则P（A∪B）＝0.7
【答案】AC
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，根据事件独立性的定义，若P（AB）＝P（A）P（B），则事件A与事件B相互独立，故A正确；
对于B，记事件A：投掷一个骰子，骰子的点数为奇数，
事件B：投掷一枚硬币，正面朝上，则，满足P（A）+P（B）＝1，
但A，B不是对立事件，故B错误；
对于C：B A，则 P（AB）＝P（B）＝0.3，故C正确．
对于D，若A，B独立，可得P（A∪B）＝P（A）+P（B）﹣P（AB）＝0.58，故D错误．
故选：AC．
7．（1）数据x1，x2， ，xn的平均数为，数据y1，y2， ，yn的平均数为，a，b为常数，如果满足y1＝ax1+b，y2＝ax2+b，…，yn＝axn+b，证明：．
（2）证明：如果两个事件A与B独立，那么事件A与也独立．
（3）设数据a1，a2，a3，…，an的均值为，方差为σ2，请利用已经学过的方差公式：来证明方差第二公式：．
【答案】（1）证明见解析；
（2）证明见解析；
（3）证明见解析．
【解答】证明：（1）由题意可知，，，
所以y1+y2+ +yn＝（ax1+b）+（ax2+b）+ +（axn+b）＝a（x1+x2+ +xn）+nb，
所以，即；
（2）因为，且（A∩B）与（A）互斥，
根据互斥事件的概率加法公式，可得，
因为两个事件A与B独立，所以P（A∩B）＝P（A）P（B），
所以，
所以事件A与也独立；
（3）依题意，，
所以．
8．某学校冰壶队举行冰壶投掷测试，规则为：
①每人至多投3次，先在点M处投第一次，冰壶进入营垒区得3分，未进营垒区不得分；
②自第二次投掷开始均在点A处投掷冰壶，冰壶进入营垒区得2分，未进营垒区不得分；
③测试者累计得分高于3分即通过测试，并立即终止投掷．
已知投掷一次冰壶，甲得3分和2分的概率分别为0.1和0.5．则甲通过测试的概率为（　　）
A．0.1 B．0.25 C．0.3 D．0.35
【答案】C
【解答】解：由题知甲得3分和2分的概率分别为0.1和0.5，
甲若通过测试，则有以下可能：
点M处进入营垒区，两次点A处投掷中，前一次进，投掷结束，
概率为：0.1×0.5＝0.05；
点M处进入营垒区，两次点A处投掷中，前一次不进，后一次进，
则概率为：0.1×0.5×0.5＝0.025；
点M处未进营垒区，两次点A处投掷中，进入两次，
则概率为：0.9×0.5×0.5＝0.225，
故甲通过测试的概率为：0.05+0.025+0.225＝0.3．
故选：C．
9．已知甲、乙、丙参加某项测试时，通过的概率分别为0.6，0.8，0.9，而且这3人之间的测试互不影响．
（Ⅰ）求甲、乙、丙都通过测试的概率；
（Ⅱ）求甲未通过且乙、丙通过测试的概率；
（Ⅲ）求甲、乙、丙至少有一人通过测试的概率．
【答案】（Ⅰ）0.432；（Ⅱ）0.288；（Ⅲ）0.992．
【解答】解：设事件A＝“甲通过测试”，事件B＝“乙通过测试”，事件C＝“丙通过测试”，
（Ⅰ）∵3人之间的测试互不影响，相互独立，
∴P（ABC）＝P（A） P（B） P（C）＝0.6×0.8×0.9＝0.432；
（Ⅱ）P（BC）＝P（） P（B） P（C）＝（1﹣0.6）×0.8×0.9＝0.288；
（Ⅲ）设事件D＝“甲、乙、丙至少有一人通过”，则“甲、乙、丙三人都没通过”，
P（D）＝1﹣P（）＝1﹣（0.4×0.2×0.1）＝0.992．
10．11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10：10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束．甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立．在某局双方10：10平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束．
（1）求P（X＝2）；
（2）求事件“X＝4且乙获胜”的概率．
【答案】（1）0.5；
（2）0.15．
【解答】解：（1）设双方10：10平后的第k个球甲获胜为事件Ak（k＝1，2，3，…），
则0.5×0.4+0.5×0.6＝0.5；
（2）设双方10：10平后的第k个球乙获胜为事件Bk（k＝1，2，3，…），
P（X＝4且乙获胜），
，
＝0.5×0.4×0.5×0.6+0.5×0.6×0.5×0.6＝0.15．
11．甲乙两支排球队进行比赛，先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束．除第五局甲队获胜的概率是，其余每局比赛甲队获胜的概率都是．设各局比赛结果相互独立．
（1）分别求甲队3：0，3：1，3：2胜利的概率；
（2）若比赛结果3：0或3：1，则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为3：2，则胜利方得2分，对方得1分，求乙队得3分的概率．
【答案】（1），，；
（2）．
【解答】解：（1）设“甲队以3：0，3：1，3：2胜利“分别为事件A，B，C，
则，
，
；
（2）乙队得3分包含乙队3：0和3：1获胜，
所以所求概率P．
12．如图是一块高尔顿板示意图：在一块木板上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，小球从上方的通道口落下后，将与层层小木块碰撞，最后掉入下方的某一个球槽内．若小球下落过程中向左、向右落下的机会均等，则小球最终落入②号球槽的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：由题意可知，从上至下共有6排钉板，
因此小球下落共有5次碰撞，且每次向左或向右落下的概率均为，且相互独立，
因为小球最终要落入②号球槽，
则下落过程中必须有4次向左，1次向右，
所以小球最终落入②号球槽的概率为．
故选：B．
▉题型2 相互独立事件的概率乘法公式
【知识点的认识】
﹣对于相互独立事件A和B，．
13．抛掷一枚骰子一次，观察向上一面的点数，将结果记作k（k∈{1，2，3，4，5，6}），若事件A＝{2，4，6}，事件B＝{4，5，6}，事件C满足P（ABC）＝P（A）P（B）P（C），则事件C前个数为（　　）
A．9 B．8 C．7 D．6
【答案】A
【解答】解：根据题意，得到，P（ABC）＝P（A）P（B）P（C），
则，
当ABC＝ ，C＝ ，等式成立，
当ABC＝{6}，，
则，
C中含6，从1，2，3，5的4个元素中选3个，共种，
当ABC＝{4}，，
则，
C中含4，从1，2，3，5的4个元素中选3个，共种，
所以事件C的个数为4+4+1＝9种．
故选：A．
14．小明和小王两名同学组成诗词挑战杯代表队参加市相关部门组建的猜诗词大会，每轮挑战由小明、小王各猜一句诗词，已知小明每轮猜对的概率为，小王每轮猜对的概率为．在每轮活动中，小明和小王猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响．
（1）求小明在两轮活动中恰好猜对1句诗词的概率；
（2）求诗词挑战杯代表队在两轮活动中猜对3句诗词的概率．
【答案】（1）；
（2）．
【解答】解：（1）设A1表示小明两轮猜对1句诗词的事件，
则
（2）设A1，A2分别表示小明两轮猜对1句、2句诗词的事件，
B1，B2分别表示小王两轮猜对1句、2句诗词的事件，
则，．
，，
设事件A＝“两轮活动中诗词挑战杯代表队猜对3句诗词”，
则A＝A1B2∪A2B1，且A1B2与A2B1互斥，A1与B2，A2与B1分别相互独立，
所以，
即诗词挑战杯代表队在两轮活动中猜对3句诗词的概率是．
15．围棋起源于中国，据先秦典籍世本记载：“尧造围棋，丹朱善之”，至今已有四千多年历史．围棋不仅能抒发意境、陶冶情操、修身养性、生慧增智，而且还与天象易理、兵法策略、治国安邦等相关联，蕴含着中华文化的丰富内涵．在某次国际围棋比赛最后，中国队有两名选手a，b，日本队有一名选手c，韩国队有一名选手d，规定a与c对阵，b与d对阵，两场比赛的胜者争夺冠军，根据以往战绩，四位选手之间相互获胜的概率如下：
a b c d
a获胜概率 / 0.5 0.6 0.8
b获胜概率 0.5 / 0.5 0.6
c获胜概率 0.4 0.5 / 0.4
d获胜概率 0.2 0.4 0.6 /
则最终中国队获得冠军的概率为（　　）
A．0.240 B．0.328 C．0.672 D．0.760
【答案】C
【解答】解：中国队获得冠军共分为三种情况：a与c对阵a赢，b与d对阵b赢，
a与b对阵无论谁赢中国队都是冠军，设这种情况为事件A1，
则根据独立事件的概率计算公式可得P（A1）＝0.6×0.6×1＝0.36；
a与c对阵a赢，b与d对阵d赢，a与d对阵a赢，设这种情况为事件A2，
则根据独立事件的概率计算公式可得P（A2）＝0.6×0.4×0.8＝0.192；
a与c对阵c赢，b与d对阵b赢，c与b对阵b赢，设这种情况为事件A3，
则根据独立事件的概率计算公式可得P（A3）＝0.4×0.6×0.5＝0.12，
设中国队获得冠军为事件A，则由互斥事件的概率计算公式可得：
P（A）＝P（A1∪A2∪A3）＝P（A1）+P（A2）+P（A3）＝0.36+0.192+0.12＝0.672．
故选：C．
16．假设P（A）＝0.3，P（B）＝0.2，且A与B相互独立，则P（A∪B）＝　0.44　 ．
【答案】0.44．
【解答】解：因为P（A）＝0.3，P（B）＝0.2，且A与B相互独立，
所以P（A∪B）＝P（A）+P（B）﹣P（AB）＝0.3+0.2﹣0.3×0.2＝0.44．
故答案为：0.44．
17．甲、乙、丙、丁四位同学参加校运会4×100米接力赛，教练组根据训练情况，安排了四人的交接棒组合．已知该组合三次交接棒失误的概率分别是，，，假设三次交接棒相互独立，则此次比赛中该组合交接棒没有失误的概率是 　　 ．
【答案】．
【解答】解：依题意，此次比赛中该组合交接棒没有失误的概率是：
．
故答案为：．
▉题型3 条件概率
【知识点的认识】
1、条件概率的定义：对于任何两个事件A和B，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做条件概率，用符号P（B|A）来表示．
（2）条件概率公式：称为事件A与B的交（或积）．
（3）条件概率的求法：
①利用条件概率公式，分别求出P（A）和P（AB），得P（B|A），其中P（A）＞0；
②借助古典概型概率公式，先求出事件A包含的基本事件数n（A），再在事件A发生的条件下求出事件B包含的基本事件数，即n（A∩B），得P（B|A）
（多选）18．现有一款闯关游戏，共有4关，规则如下：在第n关要抛掷骰子n次，每次观察向上面的点数并做记录，如果这n次抛掷所出现的点数之和大于2n+n，则算闯过第n关，n＝1，2，3，4．假定每次闯关互不影响，则（　　）
A．直接挑战第2关并过关的概率为
B．连续挑战前两关并过关的概率为
C．若直接挑战第3关，设A＝“三个点数之和等于15”，B＝“至少出现一个5点”，则P（A|B）
D．若直接挑战第4关，则过关的概率是
【答案】ACD
【解答】解：对于A，22+2＝6，所以两次点数之和应大于6，
即直接挑战第2关并过关的概率为P1，故A正确；
对于B，21+1＝3，所以挑战第1关通过的概率P2，
则连续挑战前两关并过关的概率为P＝P1P2，故B错误；
对于C，由题意可知，抛掷3次的基本事件有63＝216，
抛掷3次至少出现一个5点的事件共有63﹣53＝216﹣125＝91种，
故P（B），而事件A∩B包括：含5，5，5的1种，含4，5，6的有6种，共7种，
故P（A∩B），所以P（A|B），故C正确；
对于D，当n＝4时，2n+n＝24+4＝20，
而“4次点数之和大于20”包含以下35种情况：
含5，5，5，6的有4种，
含5，5，6，6的有6种，
含6，6，6，6的有1种，
含4，6，6，6的有4种，
含5，6，6，6的有4种，
含4，5，6，6的有12种，
含3，6，6，6的有4种，
所以P4，故D正确．
故选：ACD．
（多选）19．已知随机事件A，B的对立事件分别为，，若P（A）＞0，P（B）＞0，则（　　）
A．P（A|B）+P（|B）＝1
B．P（B|A）+P（|A）＝P（A）
C．若A，B独立，则P（A|B）＝P（A）
D．若A，B互斥，则P（A|B）＝P（B|A）
【答案】ACD
【解答】解：对于A，因为P（A|B）+P（|B）1，故A正确，
对于B，P（B|A）+P（|A）1，故B错误；
对于C，因为A，B独立，则P（AB）＝P（A）P（B），
则，故C正确；
对于D，因为A，B互斥，P（AB）＝0，所以，，
所以P（B|A）＝P（A|B）＝0，故D正确．
故选：ACD．
▉题型4 求解条件概率
【知识点的认识】
﹣条件概率：在事件B发生的条件下事件A发生的概率，记作P（A|B）．
﹣计算：其中P（B）＞0．
20．长时间玩手机可能影响视力，据调查，某校学生大约40%的学生近视，而该校大约有20%的学生每天玩手机超过1h，这些人的近视率约为50%．现从该校近视的学生中任意调查一名学生，则他每天玩手机超过1h的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：记“学生近视”为事件A，“学生每天玩手机超过1h”为事件B，
由题意可得：P（A）＝0.4，P（B）＝0.2，P（A|B）＝0.5，
∵P（A|B），∴P（AB）＝P（A|B）P（B）＝0.5×0.2＝0.1，
∴P（B|A）．
故选：A．
21．甲、乙、丙、丁四名农业专家被派驻到A，B，C三个村进行农业技术指导，若要求每个村至少派驻一名专家，且每名专家只能被派驻到一个村，则在甲被派驻到A村的条件下，甲、乙被派驻到同一个村的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：记事件E表示甲被派驻到A村，事件F表示甲，乙被派驻到同一个村，
则，由题意可知将甲，乙，丙，丁四人分为3组，
再将这3组分配给A，B，C三个村，则基本事件的总数为，
若事件E，F同时发生，则甲，乙均被派驻到A村，派驻方法有种，
所以，所以．
故选：A．
22．为讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程，增进学生对党史知识的了解，某学校开展党史知识竞赛活动，以班级为单位参加比赛．某班级在5道党史题中（有3道选择和2道填空题），不放回地依次随机抽取2道题作答，设事件A为“第一次抽到选择题”，事件B为“第二次抽到选择题”，则P（B|A）＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：由题意，，，
所以．
故选：D．
（多选）23．现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，则（　　）
A．第1次抽到舞蹈节目的概率为
B．第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率为
C．第2次抽到语言类节目的概率为
D．在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率为
【答案】ACD
【解答】解：根据题意，设第1次抽到舞蹈节目为事件A，第2次抽到舞蹈节目为事件B，第二次抽到语言类节目为事件C．
依次分析选项：
对于A，从6个节目中不放回地依次抽取2个，则，
第1次抽到舞蹈节目为事件A，则，
则，故A正确；
对于B，，则，故B错误；
对于C，，则，故C正确；
对于D，由条件概率公式，，故D正确．
故选：ACD．
24．2025年春晚，一场别开生面的机器人舞蹈表演震撼了观众．现在编排一个动作，机器人从原点O出发，每一次等可能地向左或向右或向上或向下移动一个单位，共移动3次．求该机器人在有且仅有一次经过（含到达）点M（﹣1，0）位置的条件下，水平方向移动2次的概率为 　　 ．
【答案】
【解答】解：设事件A＝“有且仅有一次经过M（﹣1，0）”，事件B＝“水平方向移动2次”，
按到M（﹣1，0）位置需要1步，3步分类讨论．记L＝向左，R＝向右，U＝向上，D＝向下，
①若1步到位为事件A1，
则满足要求的是LU（L或U或R），LL（L或U或D），LD（L或R或D），LR（U或D或R），
所以；
②若3步到位为事件A2，则满足要求的是ULD，DLU，RLL，UDL，DUL，
所以；所以，
满足AB的情况有：LU（L或R），LD（L或R），LL（U或D），LR（U或D），
所以，所以．
故答案为：．
25．已知生男孩和生女孩是等可能的，现随机选择一个有三个小孩的家庭，若该家庭有女孩，则三个小孩中恰好有一个女孩的概率为 　　 ．
【答案】．
【解答】解：根据题意，用X表示女孩，Y表示男孩，
则样本空间为：Ω＝{XXX，XXY，XYX，XYY，YXX，YXY，YYX，YYY}，
分别设“选择的家庭中有女孩”和“选择的家庭中有三个小孩子恰好有两个女孩”为事件A和事件B，
则A＝{XXX，XXY，XYX，XYY，YXX，YXY，YYX}，AB＝B＝{YXX，XYX，XXY}，
则n（AB）＝3，n（A）＝7，
故三个小孩中恰好有两个女孩的概率P（B|A）．
故答案为：．
26．设甲盒有3个白球，2个红球，乙盒有4个白球，1个红球，现从甲盒任取2球放入乙盒，再从乙盒任取两球，求：
（I）从乙盒取出2个红球的概率；
（Ⅱ）已知从乙盒取出2个红球，求从甲盒取出两个红球的概率．
【答案】（I）；
（II）．
【解答】解：设A1＝从甲盒取出2个红球，A2＝从甲盒取出2个白球，A3＝从甲盒取出1个白球1个红球；B＝从乙盒取出2个红球．
则A1，A2，A3两两互斥，且A1+A2+A3＝Ω，
（I）P（B）＝P（A1）P（B|A1）+P（A2）P（B|A2）+P（A3）P（B|A3）
．
（II）．
▉题型5 全概率公式
【知识点的认识】
全概率公式
一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P（Ai）＞0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B Ω，有
P（B）．
27．某社区开展防疫值班工作，甲乙丙三人轮流参与，规则如下：①第1天安排甲值班；②第2天从乙丙两人中随机选1人值班；③第n≥3天，从前一天未值班的2人中随机选1人值班，则第n天甲值班的概率为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解答】解：设事件An：甲第n天值班，n＝1，2，3， ，则，
设P（An）＝Pn，则，，
又∵，
∴是首项为，公比为的等比数列，
∴．
故选：C．
28．某工厂为了了解车间的生产情况，从甲、乙、丙三个车间分别抽取了30，30，40个产品进行检验，其中一等品分别为5，6，8个．现随机选定一个车间，从该车间抽取一个产品，则该产品是一等品的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：从甲、乙、丙三个车间分别抽取了30，30，40个产品进行检验，
其中一等品分别为5，6，8个，
现随机选定一个车间，从该车间抽取一个产品，
记“随机选定的车间为甲、乙、丙车间分别为事件Ai，i＝1，2，3”，
“该产品为一等品”为事件B，
依题意可知，
且；
∴该产品是一等品的概率为：
．
故选：B．
29．设有甲、乙两箱数量相同的产品，甲箱中产品的合格率为95%，乙箱中产品的合格率为85%．从两箱产品中任取一件，经检验不合格，放回原箱后在该箱中再随机取一件产品，则该件产品合格的概率为 　　 ．
【答案】．
【解答】解：设事件B1表示任选一件产品，来自于甲箱，
事件B2表示任选一件产品，来自于乙箱，
事件A从两箱产品中任取一件，恰好不合格，
则P（A）＝P（A|B1）P（B1）+P（A|B2）P（B2）
＝0.05×0.5+0.15×0.5＝0.1，
又，
，
经检验不合格，放回原箱后在该箱中再随机取一件产品，
则该件产品合格的概率为：
，
故答案为：．
30．在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列．由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0．已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为和；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为和．假设发送信号0和1是等可能的，已知接收的信号为0，则发送的信号是1的概率为 　　 ．
【答案】．
【解答】解：发送信号0时，接收为0和1的概率分别为和，
发送信号1时，接收为1和0的概率分别为和，
假设发送信号0和1是等可能的，
设A＝“发送的信号为0”，B＝“接收到的信号为0”，
则“发送的信号为1”，“接收到的信号为1”．
由题意得：
，P（B|A）＝0.9，，
，，
，
∴接收的信号为0，则发送的信号是1的概率为：
．
故答案为：．
31．某班级数学课上教师随机的从学生甲、乙、丙、丁中选择一名学生回答问题，据了解，甲、乙、丙、丁答对该题的概率分别为0.8，0.6，0.4，0.2，则在此题答错的情况下，由乙回答此题的概率是（　　）
A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4
【答案】B
【解答】解：甲、乙、丙、丁答对该题的概率分别为0.8，0.6，0.4，0.2，
则甲、乙、丙、丁答错该题的概率分别为0.2，0.4，0.6，0.8，
此题答错的概率为，
故在此题答错的情况下，由乙回答此题的概率是．
故选：B．
32．将若干红球与黄球放进一个不透明的袋子中，这些球的大小与重量完全相同．已知袋子中红球与黄球个数之比为6：4，其中的红球印有商标，的黄球印有商标．现从袋子中随机抽取一个小球，则小球印有商标的概率为 　　 ．
【答案】
【解答】解：设抽取一个小球为红球为事件A1，红球印有商标为事件B1，
抽取一个小球为黄球为事件A2，黄球印有商标为事件B2，
小球印有商标为事件A，则，，，，
则．
故答案为：．
33．现有来自两个班级的考生报名表，分装两袋，第一袋有5名男生和3名女生的报名表，第二袋有3名男生和3名女生的报名表．
（1）若从第一袋中取出3份报名表，求恰好有2份为男生的报名表的概率；
（2）若在第二袋中取两份报名表，求第一次取到女生报名表且第二次也取到女生报名表的概率；
（3）从两袋中随机选择一袋，然后从中随机抽取2份，求恰好抽到1份男生报名表1份女生报名表的概率．
【答案】（1）；
（2）．
（3）．
【解答】解：（1）∵第一袋有5名男生和3名女生的报名表，
∴恰好有2份为男生的报名表的概率为P；
（2）∵第二袋有3名男生和3名女生的报名表，从中取两份报名表，
∴第一次取到女生报名表且第二次也取到女生报名表的概率为：
P．
（3）设“抽到第一袋”为事件A1，设“抽到第二袋”为事件A2，
“恰好抽到1份男生报名表1份女生报名表”为事件B，
则P（A1）＝P（A2），
P（B|A1），P（B|A2），
由全概率公式得：
P（B）＝P（A1）1）+P（A2）P（B|A2）
．

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