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第4章第2节 随机变量
题型1 随机事件 题型2 离散型随机变量及其分布列
题型3 离散型随机变量的均值（数学期望） 题型4 离散型随机变量的方差与标准差
题型5 两点分布（0-1分布） 题型6 n重伯努利试验与二项分布
题型7 n次独立重复试验中恰好发生k次的概率 题型8 二项分布的均值（数学期望）与方差
题型9 超几何分布 题型10 正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义
▉题型1 随机事件
【知识点的认识】
1．定义：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件．（或“偶然性事件”）
2．特点：
（1）随机事件可以在相同的条件下重复进行；
（2）每个试验的可能结果不止一个，并且能事先预测试验的所有可能结果；
（3）进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现．
3．注意：
（1）随机事件发生与否，事先是不能确定的；
（2）必然事件发生的机会是1；不可能事件发生的机会是0；随机事件发生的机会在0﹣1之间，0和1可以取到．
（3）要判断一个事件是必然事件、随机事件、还是不可能事件，要从定义出发．
1．下面给出四个随机变量：
①一高速公路上某收费站在十分钟内经过的车辆数ξ；
②一个沿x轴进行随机运动的质点，它在x轴上的位置η；
③某派出所一天内接到的报警电话次数X；
④某同学上学路上离开家的距离Y．
其中是离散型随机变量的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解答】解：由离散型随机变量的定义得：
对于①，十分钟内经过的车辆数可以一一列举出来，故①是离散型随机变量；
对于②，沿x轴进行随机运动的质点，质点在直线上的位置不能一一列举出来，故②不是离散型随机变量；
对于③，一天内接到的报警电话次数可以一一列举出来，故③是离散型随机变量；
对于④，某同学上学路上离开家的距离可为某一区间内的任意值，不能一一列举出来，故④不是离散型随机 量．
综上，所以给定的随机变量是离散型随机变量的有①③．
故选：B．
2．下面是离散型随机变量的是（　　）
A．电灯泡的使用寿命X
B．小明射击1次，击中目标的环数X
C．测量一批电阻两端的电压，在10V～20V之间的电压值X
D．一个在y轴上随机运动的质点，它在y轴上的位置X
【答案】B
【解答】解：对于A，电灯泡的使用寿命是变量，但无法将其取值一一列举出来，故A不符题意；
对于B，小明射击1次，击中目标的环数X是变量，且其取值为0，1，2，…，10，故X为离散型随机变量，故B符合题意；
对于C，测量一批电阻两端的电压，在10～V～20～V之间的电压值X是变量，但无法一一列举出X的所有取值，
故X不是离散型随机变量，故C不符题意；
对于D，一个在y轴上随机运动的质点，它在y轴上的位置X是变量，但无法一一列举出其所有取值，
故X不是离散型随机变量，故D不符题意．
故选：B．
（多选）3．甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，共下三局．用ξ表示甲的得分，则{ξ＝3}表示的可能结果为（　　）
A．甲赢三局 B．甲赢一局输两局
C．甲、乙平局三次 D．甲赢一局
【答案】BC
【解答】解：甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，
所以{ξ＝3}有两种情况，即甲赢一局输两局或甲、乙平局三次．
故选：BC．
4．从标有1～10的10支竹签中任取2支，设所得2支竹签上的数字之和为X，那么随机变量X可能取得的值有 　17　 个（用数字作答）．
【答案】17
【解答】解：根据题意，从标有1～10的10支竹签中任取2支，
当取出的2支标有1和2时，X的值最小，此时X＝3，
当取出的2支标有9和10时，X的值最大，此时X＝19，
则X的最小值为3，最大值为19，且X∈N，故随机变量X可能取得的值有17个，
故答案为：17．
▉题型2 离散型随机变量及其分布列
【知识点的认识】
1、相关概念；
（1）随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量随机变量常用希腊字母ξ、η等表示．
（2）离散型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．若ξ是随机变量，η＝aξ+b，其中a、b是常数，则η也是随机变量．
（3）连续型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量
（4）离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系：离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出．
2、离散型随机变量
（1）随机变量：在随机试验中，试验可能出现的结果可以用一个变量X来表示，并且X是随着试验结果的不同而变化的，这样的变量X叫做一个随机变量．随机变量常用大写字母X，Y，…表示，也可以用希腊字母ξ，η，…表示．
（2）离散型随机变量：如果随机变量X的所有可能的取值都能一一列举出来，则称X为离散型随机变量．
3、离散型随机变量的分布列．
（1）定义：一般地，设离散型随机变量X的所有可能值为x1，x2，…，xn；X取每一个对应值的概率分别为p1，p2，…，pn，则得下表：
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
该表为随机变量X的概率分布，或称为离散型随机变量X的分布列．
（2）性质：①pi≥0，i＝1，2，3，…，n；②p1+p2+…+pn＝1．
5．设X是一个离散型随机变量，其分布列为如下，则q＝ 　　 ．
X 0 2 4
P q2
【答案】．
【解答】解：根据题意，由分布列的性质，可得，
解得或，
又由且0≤q2≤1，
解得，
故．
故答案为：．
6．已知随机变量X的分布列为，则P（2≤X≤3）的值为 　　 ．
【答案】．
【解答】解：由分布列的性质可知，，
解得，
所以．
故答案为：．
（多选）7．下列随机变量中属于离散型随机变量的是（　　）
A．高速公路上某收费站在半小时内经过的车辆数X
B．测量一个年级所有学生的体重，在60kg～70kg范围内的体重记为X
C．测量全校所有同学的身高，在170cm～175cm范围内的人数记为X
D．某电子元件的寿命X
【答案】AC
【解答】解：半小时内经过的车辆数可以一一列举出来，是离散型随机变量，选项A正确；
体重无法一一列举，选项B错误；
人数可以列举，选项C正确；
某电子元件的寿命可为任意值，不能一一列举出来，选项D错误．
故选：AC．
8．某电视台为迎接2025年新春佳节的到来，特举办一个有奖竞猜节目，问题有生活类、益智类两类．每位参赛者回答n（n≥3）次，每次回答一个问题，每位参赛者回答的第1个问题均从生活类题库中随机抽取，规定：对所有的问题若答对则下一题从益智类题库中随机抽取；若答错，则下一题从生活类题库中随机抽取．已知答对一个生活类题目得10元，答错得0元；答对一个益智类题目得20元，答错得0元．已知李明答对每个生活类题目的概率均为，答对每个益智类题目的概率均为，且每次回答正确与否相互独立．
（1）记李明前两题累计获奖为X元，求X的分布列及数学期望；
（2）记李明第i题回答正确的概率为Pi（i＝1，2， ，n）．证明：为等比数列，并求{Pi}的通项公式．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）由题可得随机变量X的可能取值为0，10，30，
因为李明答对每个生活类题目的概率均为，答对每个益智类题目的概率均为，
当X＝0时，两道生活类题目都答错，则；
当X＝10时，第1道生活类题目答对且第2道益智类题目答错或者第1道生活类题目答错，第2道生活类题目答对，
则；
当X＝30时，第1道生活类题目答对且第2道益智类题目答对，则，
所以随机变量X的分布列为：
X 0 10 30
P
所以．
（2）证明：若李明第i道题目回答错误，则第i+1道回答生活类题目，此时他回答正确的概率为，
若李明第i道题目回答正确，则第i+1道回答益智类题目，此时他回答正确的概率为，
所以，
则，
因为，所以数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，所以，
所以数列{Pi}的通项公式为：．
9．今年6月14日是端午节，吃粽子是我国端午节的传统习俗．现有一盘子，装有10个粽子，其中红豆粽2个，肉粽3个，蛋黄粽5个，假设这三种粽子除馅料外完全相同．从中任意选取3个．
（1）求选取的三个粽子中恰有1个肉粽的概率；
（2）设ξ表示取到的红豆粽个数，求ξ的分布列．并求“所选3个粽子中红豆粽不少于1个”的概率．
【答案】（1）；
（2）ξ的分布列为：
ξ 0 1 2
P
．
【解答】解：（1）有一盘子，装有10个粽子，其中红豆粽2个，肉粽3个，蛋黄粽5个，
假设这三种粽子除馅料外完全相同．从中任意选取3个．
基本事件总数n120，
选取的三个粽子中恰有1个肉粽包含的基本事件个数m63，
∴选取的三个粽子中恰有1个肉粽的概率P；
（2）设ξ表示取到的红豆粽个数，则ξ的可能取值为0，1，2，
P（ξ＝0），
P（ξ＝1），
P（ξ＝2），
∴ξ的分布列为：
ξ 0 1 2
P
“所选3个粽子中红豆粽不少于1个”的概率为：
P＝P（ξ＝1）+P（ξ＝2）．
10．若随机变量的分布列如表，则P（|X﹣2|＝1）的值为（　　）
X 1 2 3 4
P a
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：根据题意可得，
所以．
故选：A．
11．袋内有5个白球，6个红球，从中摸出两球，记X，则X的分布列为 X01P ．
【答案】
X 0 1
P
【解答】解：由题意可知，P（X＝0），P（X＝1）＝1，
所以X的分布列为：
X 0 1
P
故答案为：
X 0 1
P
12．某一射手射击所得的环数ξ的分布列如表：
ξ 4 5 6 7 8 9 10
P 0.02 0.04 0.06 0.09 0.28 0.29 0.22
记“函数f（x）＝x2﹣13x+1在区间[ξ，+∞）上单调递增”为事件A，则事件A的概率是 　0.88　 ．
【答案】0.88．
【解答】解：因为函数f（x）＝x2﹣13x+1开口向上，对称轴为x＝6.5，
所以P（A）＝P（ξ≥6.5）＝P（ξ＝7）+P（ξ＝8）+P（ξ＝9）+P（ξ＝10）＝0.88．
故答案为：0.88．
13．随机变量X的分布列如表：
X ﹣1 0 1
P a b c
其中a，b，c成等差数列，则P（|X|＝1）＝　　 ．
【答案】．
【解答】解：由题意可得：2b＝a+c，又a+b+c＝1，（0≤a，b，c＜1），
联立解得b，
∴P（|X|＝1）＝a+c＝1﹣b．
故答案为：．
（多选）14．有A，B两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束．A类问题中的每个问题回答正确得M（M＞0）分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得N（N＞0）分，否则得0分．已知小明能正确回答A类问题的概率为p（0＜p＜1），能正确回答B类问题的概率为q（0＜q＜1），且能正确回答问题的概率与回答次序无关．为使累计得分的期望最大，下列哪些条件下小明应选择先回答A类问题（　　）
A．M＞N且p＞q B．Mp（1﹣p）＞Nq（1﹣q）
C．M＝N且 D．
【答案】ACD
【解答】解：若先回答A类问题由题意可知：得分X的所有可能取值为0，M，M+N，
P（X＝0）＝1﹣p；P（X＝M）＝p（1﹣q）；P（X＝M+N）＝pq，
所以X的分布列为：
X 0 M M+N
P 1﹣p p（1﹣p） pq
故E（X）＝0×（1﹣p）+Mp（1﹣q）+（M+N）pq，
若小明先回答B类问题，记Y为小明的累计得分，
则Y的所有可能取值为0，N，M+N，
P（Y＝0）＝1﹣q；P（Y＝N）＝q（1﹣p）；P（Y＝M+N）＝pq，
所以Y的分布列为：
Y 0 N M+N
P 1﹣q q（1﹣p） pq
所以E（Y）＝0×（1﹣q）+Nq（1﹣p）+（M+N）pq，
若小明选择先回答A类问题，欲使E（X）＞E（Y），
解得Mp（1﹣q）＞Nq（1﹣p），即，故选项D正确，选项B错误；
当M＞N且p＞q，显然有成立，故选项A正确；
当M＝N且，有，即，故选项C正确．
故选：ACD．
15．从甲、乙、丙、丁4人中随机抽取3个人去做传球训练．训练规则是确定一人第一次将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，每次必须将球传出．
（1）记甲乙丙三人中被抽到的人数为随机变量X，求X的分布列；
（2）若刚好抽到甲乙丙三个人相互做传球训练，且第1次由甲将球传出，记n次传球后球在甲手中的概率为pn，n＝1，2，3，…
①直接写出p1，p2，p3的值；
②求pn+1与pn的关系式（n∈N*），并求pn（n∈N*）．
【答案】（1）
X 2 3
P
（2）①0，，；
②，n＝1，2，3；．
【解答】解：（1）X的可能取值为2和3，
则，
所以随机变量X的分布列为：
X 2 3
P
（2）①若刚好抽到甲乙丙三个人相互做传球训练，且第1次由甲将球传出，
n次传球后球在甲手中的概率为pn，n＝1，2，3，…，
则有p1＝0，，．
②记An表示事件“经过n次传球后，球在甲手中”，
，
所以
，
即，n＝1，2，3，
所以，且．
所以数列表示以为首项，为公比的等比数列，
所以所以，
即n次传球后球在甲手中的概率是．
16．若随机事件A在一次试验中发生的概率为p（0＜p＜1），用随机变量ξ表示A在一次试验发生的次数，则的最大值为（　　）
A．2 B．﹣1 C．0 D．1
【答案】C
【解答】解：随机变量ξ的所有可能取值为0，1，
并且有P（ξ＝1）＝p，P（ξ＝0）＝1﹣p，
从而 E（ξ）＝0×（1﹣p）+1×p＝p，
D（ξ）＝（0﹣p）2×（1﹣p）+（1﹣p）2×p＝p﹣p2，
4﹣（4p），
∵0＜p＜1，
∴4p4，
当4p，p时，取“＝”，
∴当p时，
取得最大值0．
故选：C．
▉题型3 离散型随机变量的均值（数学期望）
【知识点的认识】
1、离散型随机变量的期望
数学期望：一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布
则称Eξ＝x1p1+x2p2+…+xnpn+…为ξ的数学期望，简称期望．
数学期望的意义：数学期望离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．
平均数与均值：一般地，在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令p1＝p2＝…＝pn，则有p1＝p2＝…＝pn，Eξ＝（x1+x2+…+xn），所以ξ的数学期望又称为平均数、均值．
期望的一个性质：若η＝aξ+b，则E（aξ+b）＝aEξ+b．
17．为了响应国家“双减”政策，某高中将周六的作息时间由上课调整为自愿到校自主自习，经过一个学期的实施后，从参加周六到校自主自习和未参加周六到校自主自习的学生中各随机选取5人进行调查，得到如下样本数据：
成绩有进步 成绩没有进步 合计
参加周六到校自主自习 55 20 75
未参加周六到校自主自习 30 45 75
合计 85 65 150
（1）从调查的未参加周六到校自主自习的学生中，按成绩是否进步采用分层随机抽样的方法抽取10人．若从这10人中随机抽取2人，记X为成绩有进步的学生人数，求X的分布列及数学期望和方差．
（2）用样本估计总体，将频率视为概率，从这所高中未参加周六到校自主自习的学生中抽取2人，记Y为成绩有进步的学生人数，求Y的分布列及数学期望、方差．
【答案】（1）
X 0 1 2
P
，；
（2）
Y 0 1 2
P
，．
【解答】解：（1）按分层随机抽样，成绩有进步同学抽取4人，成绩没有进步同学抽取6人，
因此X可能取值为0，1，2，
，
，
，
X的分布列为：
X 0 1 2
P
因此X的期望为，
；
（2）由题意，
则，
，
，
Y的分布列为：
Y 0 1 2
P
，．
18．Poisson分布是统计学里常见的离散型概率分布，由法国数学家西莫恩 德尼 泊松首次提出，Poisson分布的概率分布列为P（X＝K）（k＝0，1，2，…），其中e为自然对数的底数，λ是Poisson分布的均值．当二项分布的n很大（n≥20）而p很小（p≤0.05）时，Poisson分布可作为二项分布的近似．假设每个大肠杆菌基因组含有10000个核苷酸对，采用0.05J/m2紫外线照射大肠杆菌时，每个核苷酸对产生嘧啶二体的概率均为0.0003，已知该菌株基因组有一个嘧啶二体就致死，则致死率是（　　）
A．1﹣3e﹣3 B．e﹣3 C．1﹣e﹣3 D．1﹣4e﹣3
【答案】C
【解答】解：由题意得n＝10000≥20，则p＝0.0003≤0.05，
此时Poisson分布满足二项分布的近似的条件，
∴λ＝10000×0.0003＝3，
∴不致死的概率为P（X＝0） e﹣3＝e﹣3，
∴致死的概率为1﹣P（X＝0）＝1﹣e﹣3．
故选：C．
19．一个盒子中装有4个白色乒乓球和5个橘黄色乒乓球．现从盒子中任取3个乒乓球，记取出的3个乒乓球中颜色为橘黄色的个数为X，则E（X）＝（　　）
A．1 B． C． D．2
【答案】B
【解答】解：方法一：一个盒子中装有4个白色乒乓球和5个橘黄色乒乓球，
从盒子中任取3个乒乓球，
记取出的3个乒乓球中颜色为橘黄色的个数为X，
由题意得X的可能取值为0，1，2，3，
，，，
，
故；
方法二：一个盒子中装有4个白色乒乓球和5个橘黄色乒乓球，
从盒子中任取3个乒乓球，
记取出的3个乒乓球中颜色为橘黄色的个数为X，
则X服从超几何分布，
由超几何分布的期望公式可得．
故选：B．
20．设X是一个离散型随机变量，其分布列如下，则q＝（　　）
x ﹣1 0 1
P 1﹣2q
A．或 B． C． D．
【答案】B
【解答】解：根据题意，由X分布列，则有，
解可得：q．
故选：B．
21．已知随机变量X的分布列：
X ﹣1 0 1
P
满足Y＝aX+3，E（Y），则a的值为（　　）
A．4 B．﹣4 C．2 D．﹣2
【答案】A
【解答】解：由题意可得：E（X）＝﹣1，
Y＝aX+3，E（Y），
可得，
解得a＝4．
故选：A．
22．甲乙两人分别从一个装有a张数字卡牌，b张字母卡牌（大小质地均相同）的袋子中摸n张牌（n≤a+b），甲选择从中依次有放回的摸出n张，记摸数字卡牌的数目为X；乙选择从中一次性摸出n张卡牌，记摸出卡牌中数字卡牌的数目为Y．下列选项中一定成立的是（　　）
A．P（X＝1）＝P（Y＝1） B．P（X＝n）＝P（Y＝n）
C．E（X）＝E（Y） D．D（X）＝D（Y）
【答案】C
【解答】解：对于甲，从中依次有放回的摸出n张，每次摸到数字卡牌的概率为，则，
对于乙，从中一次性摸出n张卡牌，不放回，所以Y服从超几何分布．
对于选项A，，，
取a＝2，b＝1，n＝2，
则，故A错误；
对于选项B，，，
取a＝2，b＝1，n＝2，
则，故B错误；
对于选项C，由二项分布的期望公式可得，
由超几何分布的期望公式可得，
所以E（X）＝E（D），故C正确；
对于选项D，取a＝2，b＝1，n＝2，
则，
，故D错误．
故选：C．
23．已知盒中有2个白球和2个黑球，一次性不放回地任取2个球，记X是摸到黑球的个数，则P（X≥1）＝ 　　 ，若变量Y＝2﹣X，则E（Y）＝ 　1　 ．
【答案】；1．
【解答】解：由题意可知，X的所有可能取值为0，1，2，
则P（X＝0），P（X＝1），P（X＝2），
所以P（X≥1）＝P（X＝1）+P（X＝2），
因为E（X）＝01，
所以E（Y）＝E（2﹣X）＝2﹣E（X）＝2﹣1＝1．
故答案为：；1．
24．研究表明，春季早晚温差大，由于个人体质不同，可能会导致感冒患病．某医学研究小组为了解30～40岁人群的体质健康是否与性别有关，在3月感冒易发季节对某社区中该年龄段的60位居民进行了检测，将检测结果制成如下2×2列联表：
性别 健康状况 合计
不感冒 感冒
男 12 18 30
女 6 24 30
合计 18 42 60
（1）在上述不感冒的人群中，按照性别采用分层抽样的方法抽取9人，再从这9人中随机选取4人访谈，记参与访谈的男性人数为X，求X的分布列和期望E（X）；
（2）依据小概率值α＝0.01的χ2独立性检验，能否据此推断30～40岁人群的体质健康与性别有关？若把表中所有数据扩大到原来的10倍，在相同的检验标准下，再用独立性检验判断体质健康与性别的关联性，结论还一样吗？请解释原因．
附录：，其中n＝a+b+c+d．
α 0.1 0.05 0.025 0.01 0.001
xα 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）样本中不感冒的男性与女性的比例为2：1，
所以抽取男性人，女性 人，
故随机变量X的所有取值为1，2，3，4，
则，，，
P（X＝4）＝1﹣P（X＝1）﹣P（X＝2）﹣P（X＝3）＝1，
所以X的分布列为：
X 1 2 3 4
P
所以；
（2）由题，零假设H0：30 40岁人群的体质健康与性别无关，
则6.635，假设H0成立，
所以依据小概率值α＝0.01的χ2独立性检验，不能据此推断30 40岁人群的体质健康与性别有关，
如果把所有数据都扩大10倍后，
则6.635，
所以依据小概率值α＝0.01的χ2独立性检验，能据此推断30 40岁人群的体质健康与性别有关，
与之前的结论不一样，原因是每个数据都扩大为原来的10倍，相当于样本量变大为原来的10倍，导致推断结论发生了变化．
25．某公司升级了智能客服系统，在测试时，当输入的问题表达清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为，当输入的问题表达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为．已知输入的问题表达不清晰的概率为．
（1）求智能客服的回答被采纳的概率；
（2）在某次测试中输入了3个问题，设X表示智能客服的回答被采纳的次数．求X的分布列、期望及方差．
【答案】（1）；
（2）分布列见解析，E（X），D（X）．
【解答】解：（1）根据题意，设A＝“输入的问题表达清晰”，事件B＝“智能客服的回答被采纳”，
则P（），则P（A）＝1，
P（B|A），P（B|），
故P（B）＝P（A）P（B|A）+P（）P（B|），
（2）根据题意，X可取的值为0、1、2、3，则X～B（3，），
则P（X＝0）（1）3，
P（X＝1）（1）2，
P（X＝2）（）2×（1），
P（X＝3）（）3，
故X的分布为：
X 0 1 2 3
P
则E（X）＝3，D（X）＝3．
26．DeepSeek，全称杭州深度求索人工智能基础按术研究有限公司，2024年末DeepSeek﹣R1一经发布，引发全球轰动，其科技水准直接对标美国的OpenAIGPT﹣4．为提升工作效率，M公司引入DeepSeek，并对员工进行了DeepSeek培训．公司规定：只有培训合格才能上岗，否则将补训．
（1）若员工甲、乙、丙培训合格的概率分别为，求甲、乙、丙三人中至少有一人不需要补训的概率；
（2）为了激发员工的培训积极性，提升员工使用DeepSeek的能力，M公司在培训过后举办了一次DeepSeek知识竞赛．已知参加这次知识竞赛员工的竞赛成绩Z近似服从正态分布N（90，9），若该集团共有2000名员工，试估计这些员工中成绩超过93分的人数；（结果精确到个位）
（3）参加了知识竞赛的员工还可继续参与第二轮答题赢重奖活动，活动规则如下：共有3道题，每答对1道题奖励现金800元．已知参与知识竞赛的员工甲答对每道题的概率均为，且每题答对与否都相互独立，记甲获得总奖金为X元，求X的分布列与数学期望E（X）．
参考数据：若Z～N（μ，δ2），则P（μ﹣σ≤Z≤μ+σ）≈0.6827，P（μ﹣2σ≤Z≤μ+2σ）≈0.9545，P（μ﹣3σ≤Z≤μ+3σ）≈0.9973．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）分别记甲、乙、丙培训合格为事件A，B，C，
则甲、乙、丙三人中至少有一人不需要补训的概率 ；
（2）由已知得μ≈90，σ≈3，
所以 ，
则2000×0.15865＝317.3≈317，
所以估计这些员工中成绩超过9（3分）的人数为317；
（3）X的所有可能取值为2400，1600，800，0，
，
，
，
，
所以X的分布列为：
x 0 800 1 600 2 400
P
．
27．甲、乙两人进行套圈比赛，要求他们站在定点A，B两点处进行套圈，已知甲在A，B两点的命中率均为，乙在A点的命中率为，在B点的命中率为1﹣2p，且他们每次套圈互不影响．
（1）若甲在A处套圈3次，求甲至多命中1次的概率；
（2）若甲和乙每人在A，B两点各套圈一次，且在A点命中计2分，在B点命中计3分，未命中则计0分，设甲的得分为X，乙的得分为Y，写出X和Y的分布列和期望；
（3）在（2）的条件下，若E（X）＞E（Y），求p的取值范围．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）用C事件表示“甲至多命中1次”，易知；
（2）由题意知，离散型随机变量X的所有可能取值为：0，2，3，5，离散型随机变量Y的所有可能取值为：0，2，3，5．
，，
，P（Y＝0）＝[1﹣（1﹣p）][1﹣（1﹣2p）]＝2p2，
P（Y＝2）＝（1﹣p）[1﹣（1﹣2p）]＝2p﹣2p2，P（Y＝3）＝[1﹣（1﹣p）]（1﹣2p）＝p﹣2p2，
P（Y＝5）＝（1﹣p）（1﹣2p）＝2p2﹣3p+1，
随机变量X的分布列为：
X 0 2 3 5
P
随机变量Y的分布列为：
Y 0 2 3 5
P 2p2 2p﹣2p2 p﹣2p2 2p2﹣3p+1
将表格数据代入期望公式可得：，
E（Y）＝0×2p2+2×（2p﹣2p2）+3×（p﹣2p2）+5×（2p2﹣3p+1）＝5﹣8p；
（3）因为E（X）＞E（Y），
所以，即，
所以p的取值范围是．
▉题型4 离散型随机变量的方差与标准差
【知识点的认识】
1、离散型随机变量的期望
数学期望：一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为
x1 x2 … xn …
P p1 p2 … pn …
则称Eξ＝x1p1+x2p2+…+xnpn+…为ξ的数学期望，简称期望．
数学期望的意义：数学期望离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．
平均数与均值：一般地，在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令p1＝p2＝…＝pn，则有p1＝p2＝…＝pn，Eξ＝（x1+x2+…+xn），所以ξ的数学期望又称为平均数、均值．
期望的一个性质：若η＝aξ+b，则E（aξ+b）＝aEξ+b．
2、离散型随机变量的方差；
方差：对于离散型随机变量ξ，如果它所有可能取的值是x1，x2，…，xn，…，且取这些值的概率分别是p1，p2，…，pn…，那么，
称为随机变量ξ的均方差，简称为方差，式中的Eξ是随机变量ξ的期望．
标准差：Dξ的算术平方根叫做随机变量ξ的标准差，记作．
方差的性质：．
方差的意义：
（1）随机变量 的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的；
（2）随机变量 的方差、标准差也是随机变量 的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度；
（3）标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛．
28．一批笔记本电脑共有10台，其中A品牌3台，B品牌7台．如果从中随机挑选2台，设这2台电脑中A品牌的台数为X，则D（X）＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：由题易知，随机变量X的所有可能取值有0，1，2，
，，．
随机变量X的分布列：
X 0 1 2
P
将表格数据代入期望和方差公式可得：，
．
故选：D．
29．已知随机变量X的分布列如下，则D（3X﹣1）的最大值为（　　）
X 1 2 3
P a b 2b﹣a
A． B．3 C．6 D．5
【答案】C
【解答】解：由分布列的性质可得，a+b+2b﹣a＝1，
即b，
因为E（X）＝1×a+2×b+3×（2b﹣a）＝﹣2a，
所以D（X）[2﹣（﹣2a）]2+（a）[3﹣（﹣2a）]2＝﹣4a2，
由可得，0≤a，
所以当a时，D（X）取得最大值，最大值为﹣4，
又因为D（3X﹣1）＝9D（X），
所以D（3X﹣1）的最大值为96．
故选：C．
（多选）30．下列说法中正确的是（　　）
A．若，，则
B．已知随机变量X满足D（X）＝4，D（aX+1）＝1，则
C．已知随机变量X，Y满足Y＝3X，E（2X﹣1）＝5，则E（Y）＝9
D．从1，2，3，4，5，6，7这7个数中任取3个不同的数，则这3个不同的数的中位数为4的概率为
【答案】ACD
【解答】解：对于选项A：因为，，
所以，故选项A正确；
对于选项B：因为D（aX+1）＝a2D（X）＝a2 4＝1，
所以，
解得，故选项B错误；
对于选项C：因为E（2X﹣1）＝2E（X）﹣1＝5，
所以E（X）＝3，
则E（Y）＝E（3X）＝3E（X）＝9，故选项C正确；
对于选项D：从7个数中任取3个数，
则基本事件总数为，
从这3个数的中位数是4的基本事件数为，
则这3个不同的数的中位数为4的概率为，故选项D正确．
故选：ACD．
（多选）31．若随机变量X服从两点分布，其中，E（X），D（X）分别为随机变量X的均值与方差，则下列结论正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【解答】解：∵随机变量X服从两点分布，其中，
∴P（X＝0）＝1﹣P（X＝1），故A正确，
E（X）＝0，故B正确，
E（2X）＝2E（X），故C错误，
D（X）＝p（1﹣p），故D正确．
故选：ABD．
32．一个袋中装有5个形状大小完全相同的小球，其中红球有2个，白球有3个，一次从中摸出2个球．
（1）求“红球甲”没有被摸出的概率；
（2）设X表示摸出的红球的个数，求X的分布列、均值和方差．
【答案】（1）；
（2）分布列见解析，，．
【解答】解：（1）记红球甲没有被摸出为事件A，则；
（2）依题意，X表示摸出的2个球中的红球的个数，则X的可能取值为0、1、2，
则，，，
则X的分布列为：
X 0 1 2
P
所以，
．
33．随着生活水平的提高，人们对零食的需求也在增加，特别是对于青少年消费者，零食已经成为他们日常消费的一部分，人们消费观念的转变促使零食集合店迅速扩张，截至2023年年底，中国零食集合店已突破2万家．某传媒公司为了了解青少年消费者对甲、乙两家零食集合店的满意程度，随机统计了10名青少年消费者对这两家零食集合店的打分，结果如表：
消费者编号 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10
甲 6 10 7 9 6 5 6 8 8 5
乙 5 9 5 4 5 7 10 9 8 8
（1）求这10名青少年消费者对甲、乙两家零食集合店打分的平均数及方差；
（2）该传媒公司计划从这10名青少年消费者中给甲或乙零食集合店打分不超过5分的消费者中随机选取2人，谈谈如何提高青少年消费者对零食集合店的满意度，求选取的2人中至少有1人给甲零食集合店打分不超过5分的概率．
【答案】（1）7；7；2.6；4；
（2）．
【解答】解：（1）易知，，
所以，
．
（2）这10名青少年消费者中给甲或乙零食集合店打分不超过（5分）的消费者的编号分别为01，03，04，05，06，10，共有6人，
从中随机选取2人，
所有可能的情况有（01，03），（01，04），（01，05），（01，06），（01，10），
（03，04），（03，05），（03，06），（03，10），（04，05），（04，06），
（04，10），（05，06），（05，10），（06，10）共15种，
设事件M为“选取的2人中至少有1人给甲零食集合店打分不超过5分”，
此时事件M包含的情况有（01，06），（01，10），（03，06），（03，10），（04，06），（04，10），（05，06），（05，10），（06，10）共9种．
则所求概率．
（多选）34．设离散型随机变量X的概率分布列如表，若E（X）＝1，Y＝2X+1，则下列各式正确的是（　　）
X ﹣1 0 6
P a b
A．P（X＝3） B．a＝b C．E（Y）＝3 D．D（Y）＝34
【答案】BCD
【解答】解：根据题意可得，解得a＝b，
所以D（X），
又因为Y＝2X+1，则E（Y）＝2E（X）+1＝3，
D（Y）＝4D（X）＝34，所以A选项错误，BCD选项正确．
故选：BCD．
35．某短视频软件经过几年的快速发展，深受人们的喜爱，该软件除了有娱乐属性外，也可通过平台推送广告．某公司为了宣传新产品，现有以下两种宣传方案：
方案一：投放该平台广告，据市场调研，其收益X分别为0元，20万元，40万元，且P（X＝20）＝0.3，期望E（X）＝30．
方案二：投放传统广告，据市场调研，其收益Y分别为10万元，20万元，30万元，其概率依次为0.3，0.4，0.3．
（1）请写出方案一的分布列，并求方差D（X）；
（2）请你根据所学的统计知识给出建议，该公司宣传应该投放哪种广告？并说明你的理由．
【答案】（1）分布列见解析，方差为180；
（2）答案见解析，理由见解析．
【解答】解：（1）设P（X＝0）＝a，P（X＝40）＝b，
依题意得a+b+0.3＝1①，又E（X）＝0×a+20×0.3+40b＝30②，
由①②解得：a＝0.1，b＝0.6，
∴X的分布列为：
X 0 20 40
P 0.1 0.3 0.6
则D（X）＝（0﹣30）2×0.1+（20﹣30）2×0.3+（40﹣30）2×0.6＝180．
（2）由题得Y的分布列为：
Y 10 20 30
P 0.3 0.4 0.3
则E（Y）＝10×0.3+20×0.4+30×0.3＝20，
D（Y）＝（10﹣20）2×0.3+（20﹣20）2×0.4+（30﹣20）2×0.3＝60，
由E（X）＞E（Y）可知采用平台广告投放期望收益较大，又D（X）＞D（Y），说明平台广告投放的风险较高，
综上所述，如果公司期望高收益，选择平台广告；如果公司期望收益稳定，选择传统广告．
▉题型5 两点分布（0-1分布）
【知识点的认识】
﹣0﹣1分布：也称为伯努利分布，只有两个可能取值（0或1），用于描述事件发生的概率．
36．已知随机变量X服从两点分布，E（X）＝0.6，则其成功概率为（　　）
A．0.3 B．0.4 C．0.5 D．0.6
【答案】D
【解答】解：∵随机变量X服从两点分布，设成功的概率为p，
∴E（X）＝0×（1﹣p）+1×p＝p＝0.6．
故选：D．
37．已知随机变量X服从两点分布，且P（X＝0）＝12a2﹣1，P（X＝1）＝3﹣7a，则实数a的值为 　　 ．
【答案】．
【解答】解：因为随机变量X服从两点分布，且P（X＝0）＝12a2﹣1，P（X＝1）＝3﹣7a，
所以12a2﹣1+3﹣7a＝1，
解得或，
若，则，符合题意，
若，则，不符合题意，
故．
故答案为：．
▉题型6 n重伯努利试验与二项分布
【知识点的认识】
1、二项分布：
一般地，在n次独立重复的试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则
P（X＝k）pk（1﹣p）n﹣k，k＝0，1，2，…n，此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B（n，p），并记
pk（1﹣p）n﹣k＝b（k，n，p）．
2、独立重复试验：
（1）独立重复试验的意义：做n次试验，如果它们是完全同样的一个试验的重复，且它们相互独立，那么这类试验叫做独立重复试验．
（2）一般地，在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每件试验中事件A发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P（X＝k）pk（1﹣p）n﹣k，k＝0，1，2，…n，此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B（n，p），并称p为成功概率．
（3）独立重复试验：若n次重复试验中，每次试验结果的概率都不依赖于其他各次试验的结果，则称这n次试验是独立的．
（4）独立重复试验概率公式的特点：Pn（k）pk（1﹣p）n﹣k，是n次独立重复试验中某 事件A恰好发生k次的概率．其中，n是重复试验的次数，p是一次试验中某事件A发生的概率，k是在n次独立重复试验中事件A恰好发生的次数，需要弄清公式中n，p，k的意义，才能正确运用公式．
38．经检测一批产品中每件产品的合格率为，现从这批产品中任取5件，设取得合格产品的件数为X，则以下选项正确的是（　　）
A．X的可能取值为1，2，3，4，5
B．
C．X＝3的概率最大
D．X服从超几何分布
【答案】C
【解答】解：由已知可得，X，X＝0，1，2，3，4，5，故A错误，D错误；
P（X＝k）（）k（）5﹣k，k＝0，1，2，3，4，5，
，
，
，
，
，
，
故B错误，C正确．
故选：C．
39．已知离散型随机变量X服从二项分布，则P（X＝2）＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：因为，
所以．
故选：A．
40．设随机变量，则P（X≥1）＝　　 ．
【答案】
【解答】解：∵随机变量服从，
∴．
故答案为：．
41．设随机变量X～B（3，p），若，则p＝　　 ，D（3X+1）＝　6　 ．
【答案】；6．
【解答】解：，则，
因为0＜p＜1，所以，
故，D（3X+1）＝32D（X）＝6．
故答案为：；6．
42．已知（p，n为常数），若Y～B（n，p），则（　　）
A．E（Y）＝3，D（Y）＝2 B．E（Y）＝4，D（Y）＝2
C．E（Y）＝2，D（Y）＝1 D．E（Y）＝3，D（Y）＝1
【答案】C
【解答】解：由已知可得，（x+p）n的第r项为，
令n﹣r＝1，得到，
令n﹣r＝2，得到Tn﹣1，
∵，
∴，解得n＝4，p，
故Y～B（4，），
故E（Y）＝np＝2，D（Y）＝np（1﹣p）＝1．
故选：C．
▉题型7 n次独立重复试验中恰好发生k次的概率
【知识点的认识】
一般地，在n次独立重复试验中，用ξ表示事件A发生的次数，如果事件发生的概率是P，则不发生的概率q＝1﹣p，N次独立重复试验中发生K次的概率是P（ξ＝K）（K＝1，2，3，…n）那么就说ξ服从二项分布．其中P称为成功概率．记作ξ～B（n，p），期望：Eξ＝np，方差：Dξ＝npq．
43．某人射击一发子弹，命中目标的概率为0.8，现在他射击19发子弹，则击中目标的子弹数最可能是　15或16　 ．
【答案】15或16．
【解答】解：设命中目标的子弹数为X，则，
所以，
设P（X＝k）最大，显然P（X＝0），P（X＝19）都不是最大的，即有1≤k≤18，
所以，
整理得，
解得15≤k≤16，
所以击中目标的子弹数最可能是15或16．
故答案为：15或16．
44．一个口袋内有n（n＞3）个大小相同的球，其中3个红球和（n﹣3）个白球，已知从口袋中随机取出1个球是红球的概率为p，6p∈N，若有放回地从口袋中连续4次取球（每次只取1个球），在4次取球中恰好2次取到红球的概率大于，则n＝　6　 ．
【答案】6．
【解答】解：∵4次取球中恰好2次取到红球的概率大于，
∴，∴p2（1﹣p）2，
∵p（1﹣p）＞0，∴p（1﹣p），∴，∴2＜6p＜4，
∵6p∈N，∴6p＝3，解得p，
∵从口袋中随机取出1个球是红球的概率为P，
∴，解得n＝6．
故答案为：6．
45．甲、乙两人组队参加答题竞赛，每轮比赛由甲、乙各答一道题，已知甲每轮答对的概率为，乙每轮答对的概率为．在每轮比赛中，甲和乙答对与否互不影响，各轮结果也互不影响．
求：（1）甲、乙在两轮比赛中分别答对1道题和2道题的概率；
（2）该队伍在两轮比赛中答对3道题的概率．
【答案】（1）甲在两轮比赛中答对1道题的概率为，甲在两轮比赛中答对2道题的概率为，
乙在两轮比赛中答对1道题的概率为，乙在两轮比赛中答对2道题的概率为，
（2）．
【解答】解：（1）根据题意，用A1、A2分别表示甲在两轮比赛中答对1道题和2道题，用B1、B2分别表示乙在两轮比赛中答对1道题和2道题，
则P（A1）＝C（1），P（A2）＝C（）2，
P（B1）＝C（1），P（B2）＝C（）2，
（2）根据题意，该队伍在两轮比赛中答对3道题，即“甲答对2道乙答对1道”或者“甲答对1道乙答对2道”，
则P（A2B1）＝P（A2）P（B1），
P（A1B2）＝P（A1）P（B2），
故该队伍在两轮比赛中答对3道题的概率P＝P（A2B1）+P（A1B2）．
▉题型8 二项分布的均值（数学期望）与方差
【知识点的认识】
二项分布：
一般地，在n次独立重复的试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则
P（X＝k）pk（1﹣p）n﹣k，k＝0，1，2，…n，此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B（n，p），并记
pk（1﹣p）n﹣k＝b（k，n，p）．
﹣均值（数学期望）：，其中n为试验次数，p为每次试验成功的概率．
﹣方差：．
46．已知随机变量，m＝E（X），则将m个人分到3个不同的地方，每个人必去一个地方，每个地方至少去1人的分配方案共有（　　）
A．150 B．200 C．260 D．300
【答案】A
【解答】解：由，得，即m＝5，
故分配方案共有种．
故选：A．
47．已知随机变量X服从二项分布，且X～B（20，0.5），则D（X）＝（　　）
A．5 B．10 C．20 D．40
【答案】A
【解答】解：因为X～B（20，0.5），
所以D（X）＝20×0.5×（1﹣0.5）＝5．
故选：A．
48．若且η＝2ξ+3，则Dη等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：若，
则D（ξ），
η＝2ξ+3，
故Dη＝4D（ξ）．
故选：A．
49．下列说法中正确的是　①②　 ．
①设随机变量X服从二项分布，则；
②小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A＝“4个人去的景点互不相同”，事件B＝“小赵独自去一个景点”，则；
③E（2X+3）＝2E（X）+3，D（2X+3）＝2D（X）+3．
【答案】①②．
【解答】解：①设随机变量X服从二项分布，则，故①正确；
②设事件A＝“4个人去的景点互不相同”，事件B＝“小赵独自去一个景点”，小赵独自去一个景点，
则有4个景点可选，其余3人只能在小赵剩下的3个景点中选择，可能性为3×3×3＝27种，所以小赵独自去一个景点的可能性为4×27＝108种，
因为4个人去的景点互不相同的可能性为4×3×2×1＝24种，所以，故②正确；
③E（2X+3）＝2E（X）+3，D（2X+3）＝22D（X）＝4D（X），故③错误．
故答案为：①②．
50．已知随机变量X1，X2分别服从二项分布，若n1＞n2，则下列结论正确的是（　　）
A．D（X1）＝D（X2） B．D（X1）＜D（X2）
C．D（X1）＞D（X2） D．E（X1）＜E（X2）
【答案】C
【解答】解：随机变量X1，X2分别服从二项分布，
则，，而n1＞n2，
因此D（X1）＞D（X2），AB错误，C正确；
又，D错误．
故选：C．
51．某公司采购了一批零件，为了检测这批零件是否合格，从中随机抽测了120个零件的长度（单位：分米），按数据分成[1.2，1.3]，（1.3，1.4]，（1.4，1.5]，（1.5，1.6]，（1.6，1.7]，（1.7，1.8]这6组，得到如下的频数分布表：
分组 [1.2，1.3] （1.3，1.4] （1.4，1.5] （1.5，1.6] （1.6，1.7] （1.7，1.8]
频数 5 15 40 40 15 5
以这120个零件的长度在各组的频率作为整批零件的长度在各组的概率．
（1）若从这批零件中随机抽取3个，记X为抽取的零件的长度在（1.4，1.6]中的个数，求X的分布列和数学期望；
（2）若变量S满足|P（μ﹣σ＜S≤μ+σ）﹣0.6827|≤0.05，且|P（μ﹣2σ＜S≤μ+2σ）﹣0.9545|≤0.05，则称变量S满足近似于正态分布N（μ，σ2）的概率分布，如果这批零件的长度Y（单位：分米）满足近似于正态分布N（1.5，0.01）的概率分布，则认为这批零件是合格的，将顺利被签收，否则，公司将拒绝签收，试问该批零件能否被签收？
【答案】（1）分布列见解析，E（X）＝2；
（2）能．
【解答】解：（1）从这批零件中随机选取1件，长度在（1.4，1.6]的概率’
随机变量X的可能取值为0，1，2，3，
则，，
，，
所以随机变量X的分布列为：
X 0 1 2 3
P
所以；
（2）由题意知μ＝1.5，σ＝0.1，
，
，
P（μ﹣2σ＜Y≤μ+2σ）＝P（1.3＜Y≤1.7）＝0.125+0.67+0.125＝0.92，
因为|0.67﹣0.6827|＝0.0127≤0.05，|0.92﹣0.9545|＝0.0345≤0.05，
所以这批零件的长度满足近似于正态分布N（1.5，0.01）的概率分布，
所以认为这批零件是合格的，将顺利被该公司签收．
▉题型9 超几何分布
【知识点的认识】
一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品．从N件产品中随机抽取n件（不放回），用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为
P（X＝K），k＝m，m+1，m+2，...，r．
其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n﹣N+M}，r＝min{n，M}．如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布．
52．有30件产品，其中有10件次品，从中不放回地抽取10件产品，最可能抽到的次品数是 　3　 ．
【答案】3．
【解答】解：由题意，有30件产品，其中有10件次品，从中不放回地抽取10件产品，
则抽出的次品数X服从超几何分布，
则抽到的次品数的数学期望，
由次品数的实际意义，最可能抽到的次品数是3．
故答案为：3．
▉题型10 正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义
【知识点的认识】
1．正态曲线及性质
（1）正态曲线的定义
函数φμ，σ（x），x∈（﹣∞，+∞），其中实数μ和σ（σ＞0）为参数，我们称φμ，σ（x）的图象（如图）为正态分布密度曲线，简称正态曲线．
（2）正态曲线的解析式
①指数的自变量是x定义域是R，即x∈（﹣∞，+∞）．
②解析式中含有两个常数：π和e，这是两个无理数．
③解析式中含有两个参数：μ和σ，其中μ可取任意实数，σ＞0这是正态分布的两个特征数．
④解析式前面有一个系数为，后面是一个以e为底数的指数函数的形式，幂指数为．
2．正态分布
（1）正态分布的定义及表示
如果对于任何实数a，b（a＜b），随机变量X满足P（a＜X≤b）φμ，σ（x）dx，则称X的分布为正态分布，记作N（μ，σ2）．
（2）正态总体在三个特殊区间内取值的概率值
①P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6826；
②P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）＝0.9544；
③P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）＝0.9974．
3．正态曲线的性质
正态曲线φμ，σ（x），x∈R有以下性质：
（1）曲线位于x轴上方，与x轴不相交；
（2）曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；
（3）曲线在x＝μ处达到峰值；
（4）曲线与x轴围成的图形的面积为1；
（5）当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿x轴平移；
（6）当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．
4．三个邻域
会用正态总体在三个特殊区间内取值的概率值结合正态曲线求随机变量的概率．落在三个邻域之外是小概率事件，这也是对产品进行质量检测的理论依据．
53．已知随机变量X服从正态分布N（3，σ2），且P（X＜4）＝0.84，则P（2＜X＜4）＝（　　）
A．0.16 B．0.32 C．0.68 D．0.84
【答案】C
【解答】解：∵随机变量X服从正态分布N（3，σ2），且P（X＜4）＝0.84，
∴P（3＜X＜4）＝0.84﹣P（X＜3）＝0.84﹣0.5＝0.34，
∴P（2＜X＜4）＝2P（3＜X＜4）＝2×0.34＝0.68．
故选：C．
54．据统计，某市高三男生的身高X（单位：cm）近似服从正态分布X～N（175，9），则在全市10000名高三男生中，身高不在（169，184）之间的人数大约是（　　）
参考数据：P（μ﹣σ≤X≤μ+σ）≈0.6827，P（μ﹣2σ≤X≤μ+2σ）≈0.9545，P（μ﹣3σ≤X≤μ+3σ）＝0.9973
A．216 B．221 C．237 D．241
【答案】D
【解答】解：因为身高X（单位：cm）近似服从正态分布X～N（175，9），
所以身高不在（169，184）的概率为P（X＜μ﹣2σ或，
所以身高不在（169，184）的人数大约是10000×0.0241＝241人．
故选：D．
55．已知随机变量X服从正态分布N（4，σ2），若P（X＜1+2a）＝P（X＞1﹣a），则a＝（　　）
A．﹣1 B．0 C．2 D．6
【答案】D
【解答】解：因为X～N（4，σ2），且P（X＜1+2a）＝P（X＞1﹣a），
所以1+2a+1﹣a＝2×4，
解得a＝6．
故选：D．
56．某新能源汽车公司生产的电池容量X～N（50，σ2）（单位：千瓦时），且P（47≤X≤53）＝0.8．若质检部门随机抽检4块电池，则恰好有2块电池的容量在53千瓦时以上的概率为（　　）
A．0.0081 B．0.0162 C．0.0486 D．0.0972
【答案】C
【解答】解：因为X～N（50，σ2），且P（47≤X≤53）＝0.8，
所以P（X＞53）0.1，
若质检部门随机抽检4块电池，其中容量在53千瓦时以上的电池块数为ξ，
则ξ～B（4，0.1），
所以P（ξ＝2）0.12×（1﹣0.1）2＝0.0486．
故选：C．
57．已知随机变量X～N（1，σ2），P（X≤a）+P（X≤b）＝1（a＞0，b＞0），则的最大值为（　　）
A．9 B． C． D．
【答案】D
【解答】解：因为P（X≤a）+P（X＞a）＝1，P（X≤a）+P（X≤b）＝1，
所以P（X＞a）＝P（X≤b），
由正态分布的对称性，可得a+b＝2，
因为，
所以，当且仅当，即时，等号成立，
即的最大值为．
故选：D．
58．某班有48名学生，一次考试的数学成绩X（单位：分）服从正态分布N（80，σ2），且成绩在[80，90]上的学生人数为16，则成绩在90分以上的学生人数为 　8　 ．
【答案】8．
【解答】解：由X（单位：分）服从正态分布N（80，σ2），知正态密度曲线的对称轴为X＝80，成绩在[80，90]上的学生人数为16，
由对称性知成绩在80分上的学生人数为24人，所以90分以上的学生人数为24﹣16＝8．
故答案为：8．
59．已知随机变量X服从正态分布N（4，σ2），且P（4＜X＜6）＝0.3，则P（X＞2）＝ 　0.8　 ．
【答案】0.8．
【解答】解：已知随机变量X服从正态分布N（4，σ2），则对称轴为μ＝4，
又P（4＜X＜6）＝0.3，
则P（2＜X＜4）＝P（4＜X＜6）＝0.3，
则P（X＞2）＝P（2＜X＜4）+P（X≥4）＝0.3+0.5＝0.8．
故答案为：0.8．
（多选）60．小明上学有时坐公交车，有时骑自行车．他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时30分钟，样本方差为36；骑自行车平均用时34分钟，样本方差为4．假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布，则（　　）
A．P（X≤30）＜P（Y≤34）
B．P（X≤36）＝P（Y≤36）
C．若某天只有34分钟可用，小明应选择骑自行车
D．若某天只有38分钟可用，小明应选择骑自行车
【答案】BD
【解答】解：由已知可得X～N（30，36），Y～N（34，4）．
对于选项A，∵，，
∴P（X≤30）＝P（Y≤34），故A选项错误；
对于选项B，∵P（X≤36）＝P（X≤30+6）＝P（X≤u1+σ1），
P（Y≤36）＝P（Y≤34+2）＝P（Y≤u2+σ2），
∴P（X≤36）＝P（Y≤36），故B选项正确；
对于选项C，∵，，
∴P（X≤34）＞P（Y≤34），∴只有34分钟可用，小明应选择坐公交，故C选项错误；
对于选项D，∵P（X≤38）＝P（X≤30+8）＜P（X≤u1+2σ1），
P（Y≤38）＝P（Y≤34+4）＝P（Y≤u2+2σ2），
∴P（X≤38）＜P（Y≤38），
∴只有38分钟可用，小明应选择骑自行车，故D选项正确．
故选：BD．第4章第2节 随机变量
题型1 随机事件 题型2 离散型随机变量及其分布列
题型3 离散型随机变量的均值（数学期望） 题型4 离散型随机变量的方差与标准差
题型5 两点分布（0-1分布） 题型6 n重伯努利试验与二项分布
题型7 n次独立重复试验中恰好发生k次的概率 题型8 二项分布的均值（数学期望）与方差
题型9 超几何分布 题型10 正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义
▉题型1 随机事件
【知识点的认识】
1．定义：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件．（或“偶然性事件”）
2．特点：
（1）随机事件可以在相同的条件下重复进行；
（2）每个试验的可能结果不止一个，并且能事先预测试验的所有可能结果；
（3）进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现．
3．注意：
（1）随机事件发生与否，事先是不能确定的；
（2）必然事件发生的机会是1；不可能事件发生的机会是0；随机事件发生的机会在0﹣1之间，0和1可以取到．
（3）要判断一个事件是必然事件、随机事件、还是不可能事件，要从定义出发．
1．下面给出四个随机变量：
①一高速公路上某收费站在十分钟内经过的车辆数ξ；
②一个沿x轴进行随机运动的质点，它在x轴上的位置η；
③某派出所一天内接到的报警电话次数X；
④某同学上学路上离开家的距离Y．
其中是离散型随机变量的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．下面是离散型随机变量的是（　　）
A．电灯泡的使用寿命X
B．小明射击1次，击中目标的环数X
C．测量一批电阻两端的电压，在10V～20V之间的电压值X
D．一个在y轴上随机运动的质点，它在y轴上的位置X
（多选）3．甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，共下三局．用ξ表示甲的得分，则{ξ＝3}表示的可能结果为（　　）
A．甲赢三局 B．甲赢一局输两局
C．甲、乙平局三次 D．甲赢一局
4．从标有1～10的10支竹签中任取2支，设所得2支竹签上的数字之和为X，那么随机变量X可能取得的值有 　 　 个（用数字作答）．
▉题型2 离散型随机变量及其分布列
【知识点的认识】
1、相关概念；
（1）随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量随机变量常用希腊字母ξ、η等表示．
（2）离散型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．若ξ是随机变量，η＝aξ+b，其中a、b是常数，则η也是随机变量．
（3）连续型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量
（4）离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系：离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出．
2、离散型随机变量
（1）随机变量：在随机试验中，试验可能出现的结果可以用一个变量X来表示，并且X是随着试验结果的不同而变化的，这样的变量X叫做一个随机变量．随机变量常用大写字母X，Y，…表示，也可以用希腊字母ξ，η，…表示．
（2）离散型随机变量：如果随机变量X的所有可能的取值都能一一列举出来，则称X为离散型随机变量．
3、离散型随机变量的分布列．
（1）定义：一般地，设离散型随机变量X的所有可能值为x1，x2，…，xn；X取每一个对应值的概率分别为p1，p2，…，pn，则得下表：
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
该表为随机变量X的概率分布，或称为离散型随机变量X的分布列．
（2）性质：①pi≥0，i＝1，2，3，…，n；②p1+p2+…+pn＝1．
5．设X是一个离散型随机变量，其分布列为如下，则q＝ 　　 　 ．
X 0 2 4
P q2
6．已知随机变量X的分布列为，则P（2≤X≤3）的值为 　　 ．
（多选）7．下列随机变量中属于离散型随机变量的是（　　）
A．高速公路上某收费站在半小时内经过的车辆数X
B．测量一个年级所有学生的体重，在60kg～70kg范围内的体重记为X
C．测量全校所有同学的身高，在170cm～175cm范围内的人数记为X
D．某电子元件的寿命X
8．某电视台为迎接2025年新春佳节的到来，特举办一个有奖竞猜节目，问题有生活类、益智类两类．每位参赛者回答n（n≥3）次，每次回答一个问题，每位参赛者回答的第1个问题均从生活类题库中随机抽取，规定：对所有的问题若答对则下一题从益智类题库中随机抽取；若答错，则下一题从生活类题库中随机抽取．已知答对一个生活类题目得10元，答错得0元；答对一个益智类题目得20元，答错得0元．已知李明答对每个生活类题目的概率均为，答对每个益智类题目的概率均为，且每次回答正确与否相互独立．
（1）记李明前两题累计获奖为X元，求X的分布列及数学期望；
（2）记李明第i题回答正确的概率为Pi（i＝1，2， ，n）．证明：为等比数列，并求{Pi}的通项公式．
9．今年6月14日是端午节，吃粽子是我国端午节的传统习俗．现有一盘子，装有10个粽子，其中红豆粽2个，肉粽3个，蛋黄粽5个，假设这三种粽子除馅料外完全相同．从中任意选取3个．
（1）求选取的三个粽子中恰有1个肉粽的概率；
（2）设ξ表示取到的红豆粽个数，求ξ的分布列．并求“所选3个粽子中红豆粽不少于1个”的概率．
10．若随机变量的分布列如表，则P（|X﹣2|＝1）的值为（　　）
X 1 2 3 4
P a
A． B． C． D．
11．袋内有5个白球，6个红球，从中摸出两球，记X，则X的分布列为 　 　 ．
12．某一射手射击所得的环数ξ的分布列如表：
ξ 4 5 6 7 8 9 10
P 0.02 0.04 0.06 0.09 0.28 0.29 0.22
记“函数f（x）＝x2﹣13x+1在区间[ξ，+∞）上单调递增”为事件A，则事件A的概率是 　 　　 ．
13．随机变量X的分布列如表：
X ﹣1 0 1
P a b c
其中a，b，c成等差数列，则P（|X|＝1）＝　 　．
（多选）14．有A，B两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束．A类问题中的每个问题回答正确得M（M＞0）分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得N（N＞0）分，否则得0分．已知小明能正确回答A类问题的概率为p（0＜p＜1），能正确回答B类问题的概率为q（0＜q＜1），且能正确回答问题的概率与回答次序无关．为使累计得分的期望最大，下列哪些条件下小明应选择先回答A类问题（　　）
A．M＞N且p＞q B．Mp（1﹣p）＞Nq（1﹣q）
C．M＝N且 D．
15．从甲、乙、丙、丁4人中随机抽取3个人去做传球训练．训练规则是确定一人第一次将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，每次必须将球传出．
（1）记甲乙丙三人中被抽到的人数为随机变量X，求X的分布列；
（2）若刚好抽到甲乙丙三个人相互做传球训练，且第1次由甲将球传出，记n次传球后球在甲手中的概率为pn，n＝1，2，3，…
①直接写出p1，p2，p3的值；
②求pn+1与pn的关系式（n∈N*），并求pn（n∈N*）．
16．若随机事件A在一次试验中发生的概率为p（0＜p＜1），用随机变量ξ表示A在一次试验发生的次数，则的最大值为（　　）
A．2 B．﹣1 C．0 D．1
▉题型3 离散型随机变量的均值（数学期望）
【知识点的认识】
1、离散型随机变量的期望
数学期望：一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布
则称Eξ＝x1p1+x2p2+…+xnpn+…为ξ的数学期望，简称期望．
数学期望的意义：数学期望离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．
平均数与均值：一般地，在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令p1＝p2＝…＝pn，则有p1＝p2＝…＝pn，Eξ＝（x1+x2+…+xn），所以ξ的数学期望又称为平均数、均值．
期望的一个性质：若η＝aξ+b，则E（aξ+b）＝aEξ+b．
17．为了响应国家“双减”政策，某高中将周六的作息时间由上课调整为自愿到校自主自习，经过一个学期的实施后，从参加周六到校自主自习和未参加周六到校自主自习的学生中各随机选取5人进行调查，得到如下样本数据：
成绩有进步 成绩没有进步 合计
参加周六到校自主自习 55 20 75
未参加周六到校自主自习 30 45 75
合计 85 65 150
（1）从调查的未参加周六到校自主自习的学生中，按成绩是否进步采用分层随机抽样的方法抽取10人．若从这10人中随机抽取2人，记X为成绩有进步的学生人数，求X的分布列及数学期望和方差．
（2）用样本估计总体，将频率视为概率，从这所高中未参加周六到校自主自习的学生中抽取2人，记Y为成绩有进步的学生人数，求Y的分布列及数学期望、方差．
18．Poisson分布是统计学里常见的离散型概率分布，由法国数学家西莫恩 德尼 泊松首次提出，Poisson分布的概率分布列为P（X＝K）（k＝0，1，2，…），其中e为自然对数的底数，λ是Poisson分布的均值．当二项分布的n很大（n≥20）而p很小（p≤0.05）时，Poisson分布可作为二项分布的近似．假设每个大肠杆菌基因组含有10000个核苷酸对，采用0.05J/m2紫外线照射大肠杆菌时，每个核苷酸对产生嘧啶二体的概率均为0.0003，已知该菌株基因组有一个嘧啶二体就致死，则致死率是（　　）
A．1﹣3e﹣3 B．e﹣3 C．1﹣e﹣3 D．1﹣4e﹣3
19．一个盒子中装有4个白色乒乓球和5个橘黄色乒乓球．现从盒子中任取3个乒乓球，记取出的3个乒乓球中颜色为橘黄色的个数为X，则E（X）＝（　　）
A．1 B． C． D．2
20．设X是一个离散型随机变量，其分布列如下，则q＝（　　）
x ﹣1 0 1
P 1﹣2q
A．或 B． C． D．
21．已知随机变量X的分布列：
X ﹣1 0 1
P
满足Y＝aX+3，E（Y），则a的值为（　　）
A．4 B．﹣4 C．2 D．﹣2
22．甲乙两人分别从一个装有a张数字卡牌，b张字母卡牌（大小质地均相同）的袋子中摸n张牌（n≤a+b），甲选择从中依次有放回的摸出n张，记摸数字卡牌的数目为X；乙选择从中一次性摸出n张卡牌，记摸出卡牌中数字卡牌的数目为Y．下列选项中一定成立的是（　　）
A．P（X＝1）＝P（Y＝1） B．P（X＝n）＝P（Y＝n）
C．E（X）＝E（Y） D．D（X）＝D（Y）
23．已知盒中有2个白球和2个黑球，一次性不放回地任取2个球，记X是摸到黑球的个数，则P（X≥1）＝ 　 　 ，若变量Y＝2﹣X，则E（Y）＝ 　 　 ．
24．研究表明，春季早晚温差大，由于个人体质不同，可能会导致感冒患病．某医学研究小组为了解30～40岁人群的体质健康是否与性别有关，在3月感冒易发季节对某社区中该年龄段的60位居民进行了检测，将检测结果制成如下2×2列联表：
性别 健康状况 合计
不感冒 感冒
男 12 18 30
女 6 24 30
合计 18 42 60
（1）在上述不感冒的人群中，按照性别采用分层抽样的方法抽取9人，再从这9人中随机选取4人访谈，记参与访谈的男性人数为X，求X的分布列和期望E（X）；
（2）依据小概率值α＝0.01的χ2独立性检验，能否据此推断30～40岁人群的体质健康与性别有关？若把表中所有数据扩大到原来的10倍，在相同的检验标准下，再用独立性检验判断体质健康与性别的关联性，结论还一样吗？请解释原因．
附录：，其中n＝a+b+c+d．
α 0.1 0.05 0.025 0.01 0.001
xα 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
25．某公司升级了智能客服系统，在测试时，当输入的问题表达清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为，当输入的问题表达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为．已知输入的问题表达不清晰的概率为．
（1）求智能客服的回答被采纳的概率；
（2）在某次测试中输入了3个问题，设X表示智能客服的回答被采纳的次数．求X的分布列、期望及方差．
26．DeepSeek，全称杭州深度求索人工智能基础按术研究有限公司，2024年末DeepSeek﹣R1一经发布，引发全球轰动，其科技水准直接对标美国的OpenAIGPT﹣4．为提升工作效率，M公司引入DeepSeek，并对员工进行了DeepSeek培训．公司规定：只有培训合格才能上岗，否则将补训．
（1）若员工甲、乙、丙培训合格的概率分别为，求甲、乙、丙三人中至少有一人不需要补训的概率；
（2）为了激发员工的培训积极性，提升员工使用DeepSeek的能力，M公司在培训过后举办了一次DeepSeek知识竞赛．已知参加这次知识竞赛员工的竞赛成绩Z近似服从正态分布N（90，9），若该集团共有2000名员工，试估计这些员工中成绩超过93分的人数；（结果精确到个位）
（3）参加了知识竞赛的员工还可继续参与第二轮答题赢重奖活动，活动规则如下：共有3道题，每答对1道题奖励现金800元．已知参与知识竞赛的员工甲答对每道题的概率均为，且每题答对与否都相互独立，记甲获得总奖金为X元，求X的分布列与数学期望E（X）．
参考数据：若Z～N（μ，δ2），则P（μ﹣σ≤Z≤μ+σ）≈0.6827，P（μ﹣2σ≤Z≤μ+2σ）≈0.9545，P（μ﹣3σ≤Z≤μ+3σ）≈0.9973．
27．甲、乙两人进行套圈比赛，要求他们站在定点A，B两点处进行套圈，已知甲在A，B两点的命中率均为，乙在A点的命中率为，在B点的命中率为1﹣2p，且他们每次套圈互不影响．
（1）若甲在A处套圈3次，求甲至多命中1次的概率；
（2）若甲和乙每人在A，B两点各套圈一次，且在A点命中计2分，在B点命中计3分，未命中则计0分，设甲的得分为X，乙的得分为Y，写出X和Y的分布列和期望；
（3）在（2）的条件下，若E（X）＞E（Y），求p的取值范围．
▉题型4 离散型随机变量的方差与标准差
【知识点的认识】
1、离散型随机变量的期望
数学期望：一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为
x1 x2 … xn …
P p1 p2 … pn …
则称Eξ＝x1p1+x2p2+…+xnpn+…为ξ的数学期望，简称期望．
数学期望的意义：数学期望离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．
平均数与均值：一般地，在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令p1＝p2＝…＝pn，则有p1＝p2＝…＝pn，Eξ＝（x1+x2+…+xn），所以ξ的数学期望又称为平均数、均值．
期望的一个性质：若η＝aξ+b，则E（aξ+b）＝aEξ+b．
2、离散型随机变量的方差；
方差：对于离散型随机变量ξ，如果它所有可能取的值是x1，x2，…，xn，…，且取这些值的概率分别是p1，p2，…，pn…，那么，
称为随机变量ξ的均方差，简称为方差，式中的Eξ是随机变量ξ的期望．
标准差：Dξ的算术平方根叫做随机变量ξ的标准差，记作．
方差的性质：．
方差的意义：
（1）随机变量 的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的；
（2）随机变量 的方差、标准差也是随机变量 的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度；
（3）标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛．
28．一批笔记本电脑共有10台，其中A品牌3台，B品牌7台．如果从中随机挑选2台，设这2台电脑中A品牌的台数为X，则D（X）＝（　　）
A． B． C． D．
29．已知随机变量X的分布列如下，则D（3X﹣1）的最大值为（　　）
X 1 2 3
P a b 2b﹣a
A． B．3 C．6 D．5
（多选）30．下列说法中正确的是（　　）
A．若，，则
B．已知随机变量X满足D（X）＝4，D（aX+1）＝1，则
C．已知随机变量X，Y满足Y＝3X，E（2X﹣1）＝5，则E（Y）＝9
D．从1，2，3，4，5，6，7这7个数中任取3个不同的数，则这3个不同的数的中位数为4的概率为
（多选）31．若随机变量X服从两点分布，其中，E（X），D（X）分别为随机变量X的均值与方差，则下列结论正确的是（　　）
A． B． C． D．
32．一个袋中装有5个形状大小完全相同的小球，其中红球有2个，白球有3个，一次从中摸出2个球．
（1）求“红球甲”没有被摸出的概率；
（2）设X表示摸出的红球的个数，求X的分布列、均值和方差．
33．随着生活水平的提高，人们对零食的需求也在增加，特别是对于青少年消费者，零食已经成为他们日常消费的一部分，人们消费观念的转变促使零食集合店迅速扩张，截至2023年年底，中国零食集合店已突破2万家．某传媒公司为了了解青少年消费者对甲、乙两家零食集合店的满意程度，随机统计了10名青少年消费者对这两家零食集合店的打分，结果如表：
消费者编号 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10
甲 6 10 7 9 6 5 6 8 8 5
乙 5 9 5 4 5 7 10 9 8 8
（1）求这10名青少年消费者对甲、乙两家零食集合店打分的平均数及方差；
（2）该传媒公司计划从这10名青少年消费者中给甲或乙零食集合店打分不超过5分的消费者中随机选取2人，谈谈如何提高青少年消费者对零食集合店的满意度，求选取的2人中至少有1人给甲零食集合店打分不超过5分的概率．
（多选）34．设离散型随机变量X的概率分布列如表，若E（X）＝1，Y＝2X+1，则下列各式正确的是（　　）
X ﹣1 0 6
P a b
A．P（X＝3） B．a＝b C．E（Y）＝3 D．D（Y）＝34
35．某短视频软件经过几年的快速发展，深受人们的喜爱，该软件除了有娱乐属性外，也可通过平台推送广告．某公司为了宣传新产品，现有以下两种宣传方案：
方案一：投放该平台广告，据市场调研，其收益X分别为0元，20万元，40万元，且P（X＝20）＝0.3，期望E（X）＝30．
方案二：投放传统广告，据市场调研，其收益Y分别为10万元，20万元，30万元，其概率依次为0.3，0.4，0.3．
（1）请写出方案一的分布列，并求方差D（X）；
（2）请你根据所学的统计知识给出建议，该公司宣传应该投放哪种广告？并说明你的理由．
▉题型5 两点分布（0-1分布）
【知识点的认识】
﹣0﹣1分布：也称为伯努利分布，只有两个可能取值（0或1），用于描述事件发生的概率．
36．已知随机变量X服从两点分布，E（X）＝0.6，则其成功概率为（　　）
A．0.3 B．0.4 C．0.5 D．0.6
37．已知随机变量X服从两点分布，且P（X＝0）＝12a2﹣1，P（X＝1）＝3﹣7a，则实数a的值为 　　 　．
▉题型6 n重伯努利试验与二项分布
【知识点的认识】
1、二项分布：
一般地，在n次独立重复的试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则
P（X＝k）pk（1﹣p）n﹣k，k＝0，1，2，…n，此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B（n，p），并记
pk（1﹣p）n﹣k＝b（k，n，p）．
2、独立重复试验：
（1）独立重复试验的意义：做n次试验，如果它们是完全同样的一个试验的重复，且它们相互独立，那么这类试验叫做独立重复试验．
（2）一般地，在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每件试验中事件A发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P（X＝k）pk（1﹣p）n﹣k，k＝0，1，2，…n，此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B（n，p），并称p为成功概率．
（3）独立重复试验：若n次重复试验中，每次试验结果的概率都不依赖于其他各次试验的结果，则称这n次试验是独立的．
（4）独立重复试验概率公式的特点：Pn（k）pk（1﹣p）n﹣k，是n次独立重复试验中某 事件A恰好发生k次的概率．其中，n是重复试验的次数，p是一次试验中某事件A发生的概率，k是在n次独立重复试验中事件A恰好发生的次数，需要弄清公式中n，p，k的意义，才能正确运用公式．
38．经检测一批产品中每件产品的合格率为，现从这批产品中任取5件，设取得合格产品的件数为X，则以下选项正确的是（　　）
A．X的可能取值为1，2，3，4，5
B．
C．X＝3的概率最大
D．X服从超几何分布
39．已知离散型随机变量X服从二项分布，则P（X＝2）＝（　　）
A． B． C． D．
40．设随机变量，则P（X≥1）＝　　 　 ．
41．设随机变量X～B（3，p），若，则p＝　 　 ，D（3X+1）＝　　 　　 ．
42．已知（p，n为常数），若Y～B（n，p），则（　　）
A．E（Y）＝3，D（Y）＝2 B．E（Y）＝4，D（Y）＝2
C．E（Y）＝2，D（Y）＝1 D．E（Y）＝3，D（Y）＝1
▉题型7 n次独立重复试验中恰好发生k次的概率
【知识点的认识】
一般地，在n次独立重复试验中，用ξ表示事件A发生的次数，如果事件发生的概率是P，则不发生的概率q＝1﹣p，N次独立重复试验中发生K次的概率是P（ξ＝K）（K＝1，2，3，…n）那么就说ξ服从二项分布．其中P称为成功概率．记作ξ～B（n，p），期望：Eξ＝np，方差：Dξ＝npq．
43．某人射击一发子弹，命中目标的概率为0.8，现在他射击19发子弹，则击中目标的子弹数最可能是　　 　 ．
44．一个口袋内有n（n＞3）个大小相同的球，其中3个红球和（n﹣3）个白球，已知从口袋中随机取出1个球是红球的概率为p，6p∈N，若有放回地从口袋中连续4次取球（每45．甲、乙两人组队参加答题竞赛，每轮比赛由甲、乙各答一道题，已知甲每轮答对的概率为，乙每轮答对的概率为．在每轮比赛中，甲和乙答对与否互不影响，各轮结果也互不影响．
求：（1）甲、乙在两轮比赛中分别答对1道题和2道题的概率；
（2）该队伍在两轮比赛中答对3道题的概率．
▉题型8 二项分布的均值（数学期望）与方差
【知识点的认识】
二项分布：
一般地，在n次独立重复的试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则
P（X＝k）pk（1﹣p）n﹣k，k＝0，1，2，…n，此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B（n，p），并记
pk（1﹣p）n﹣k＝b（k，n，p）．
﹣均值（数学期望）：，其中n为试验次数，p为每次试验成功的概率．
﹣方差：．
46．已知随机变量，m＝E（X），则将m个人分到3个不同的地方，每个人必去一个地方，每个地方至少去1人的分配方案共有（　　）
A．150 B．200 C．260 D．300
47．已知随机变量X服从二项分布，且X～B（20，0.5），则D（X）＝（　　）
A．5 B．10 C．20 D．40
48．若且η＝2ξ+3，则Dη等于（　　）
A． B． C． D．
49．下列说法中正确的是　　 　　 ．
①设随机变量X服从二项分布，则；
②小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A＝“4个人去的景点互不相同”，事件B＝“小赵独自去一个景点”，则；
③E（2X+3）＝2E（X）+3，D（2X+3）＝2D（X）+3．
50．已知随机变量X1，X2分别服从二项分布，若n1＞n2，则下列结论正确的是（　　）
A．D（X1）＝D（X2） B．D（X1）＜D（X2）
C．D（X1）＞D（X2） D．E（X1）＜E（X2）
51．某公司采购了一批零件，为了检测这批零件是否合格，从中随机抽测了120个零件的长度（单位：分米），按数据分成[1.2，1.3]，（1.3，1.4]，（1.4，1.5]，（1.5，1.6]，（1.6，1.7]，（1.7，1.8]这6组，得到如下的频数分布表：
分组 [1.2，1.3] （1.3，1.4] （1.4，1.5] （1.5，1.6] （1.6，1.7] （1.7，1.8]
频数 5 15 40 40 15 5
以这120个零件的长度在各组的频率作为整批零件的长度在各组的概率．
（1）若从这批零件中随机抽取3个，记X为抽取的零件的长度在（1.4，1.6]中的个数，求X的分布列和数学期望；
（2）若变量S满足|P（μ﹣σ＜S≤μ+σ）﹣0.6827|≤0.05，且|P（μ﹣2σ＜S≤μ+2σ）﹣0.9545|≤0.05，则称变量S满足近似于正态分布N（μ，σ2）的概率分布，如果这批零件的长度Y（单位：分米）满足近似于正态分布N（1.5，0.01）的概率分布，则认为这批零件是合格的，将顺利被签收，否则，公司将拒绝签收，试问该批零件能否被签收？
▉题型9 超几何分布
【知识点的认识】
一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品．从N件产品中随机抽取n件（不放回），用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为
P（X＝K），k＝m，m+1，m+2，...，r．
其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n﹣N+M}，r＝min{n，M}．如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布．
52．有30件产品，其中有10件次品，从中不放回地抽取10件产品，最可能抽到的次品数是 　　 　　 ．
▉题型10 正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义
【知识点的认识】
1．正态曲线及性质
（1）正态曲线的定义
函数φμ，σ（x），x∈（﹣∞，+∞），其中实数μ和σ（σ＞0）为参数，我们称φμ，σ（x）的图象（如图）为正态分布密度曲线，简称正态曲线．
（2）正态曲线的解析式
①指数的自变量是x定义域是R，即x∈（﹣∞，+∞）．
②解析式中含有两个常数：π和e，这是两个无理数．
③解析式中含有两个参数：μ和σ，其中μ可取任意实数，σ＞0这是正态分布的两个特征数．
④解析式前面有一个系数为，后面是一个以e为底数的指数函数的形式，幂指数为．
2．正态分布
（1）正态分布的定义及表示
如果对于任何实数a，b（a＜b），随机变量X满足P（a＜X≤b）φμ，σ（x）dx，则称X的分布为正态分布，记作N（μ，σ2）．
（2）正态总体在三个特殊区间内取值的概率值
①P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6826；
②P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）＝0.9544；
③P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）＝0.9974．
3．正态曲线的性质
正态曲线φμ，σ（x），x∈R有以下性质：
（1）曲线位于x轴上方，与x轴不相交；
（2）曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；
（3）曲线在x＝μ处达到峰值；
（4）曲线与x轴围成的图形的面积为1；
（5）当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿x轴平移；
（6）当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．
4．三个邻域
会用正态总体在三个特殊区间内取值的概率值结合正态曲线求随机变量的概率．落在三个邻域之外是小概率事件，这也是对产品进行质量检测的理论依据．
53．已知随机变量X服从正态分布N（3，σ2），且P（X＜4）＝0.84，则P（2＜X＜4）＝（　　）
A．0.16 B．0.32 C．0.68 D．0.84
54．据统计，某市高三男生的身高X（单位：cm）近似服从正态分布X～N（175，9），则在全市10000名高三男生中，身高不在（169，184）之间的人数大约是（　　）
参考数据：P（μ﹣σ≤X≤μ+σ）≈0.6827，P（μ﹣2σ≤X≤μ+2σ）≈0.9545，P（μ﹣3σ≤X≤μ+3σ）＝0.9973
A．216 B．221 C．237 D．241
55．已知随机变量X服从正态分布N（4，σ2），若P（X＜1+2a）＝P（X＞1﹣a），则a＝（　　）
A．﹣1 B．0 C．2 D．6
56．某新能源汽车公司生产的电池容量X～N（50，σ2）（单位：千瓦时），且P（47≤X≤53）＝0.8．若质检部门随机抽检4块电池，则恰好有2块电池的容量在53千瓦时以上的概率为（　　）
A．0.0081 B．0.0162 C．0.0486 D．0.0972
57．已知随机变量X～N（1，σ2），P（X≤a）+P（X≤b）＝1（a＞0，b＞0），则的最大值为（　　）
A．9 B． C． D．
58．某班有48名学生，一次考试的数学成绩X（单位：分）服从正态分布N（80，σ2），且成绩在[80，90]上的学生人数为16，则成绩在90分以上的学生人数为 　 　　 ．
59．已知随机变量X服从正态分布N（4，σ2），且P（4＜X＜6）＝0.3，则P（X＞2）＝ 　　 　 ．
（多选）60．小明上学有时坐公交车，有时骑自行车．他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时30分钟，样本方差为36；骑自行车平均用时34分钟，样本方差为4．假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布，则（　　）
A．P（X≤30）＜P（Y≤34）
B．P（X≤36）＝P（Y≤36）
C．若某天只有34分钟可用，小明应选择骑自行车
D．若某天只有38分钟可用，小明应选择骑自行车

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