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第1章第1节 导数概念及其意义
题型1 平均变化率 题型2 瞬时变化率
▉题型1 平均变化率
【知识点的认识】
平均变化率：
我们常说的变化的快慢一般指的是平均变化率，拿y＝f（x）来说，当自变量x由x1变化到x2时，其函数y＝f（x）的函数值由f（x1）变化到f（x2），它的平均变化率为．把（x2﹣x1）叫做自变量的改变量，记做△x；函数值的变化f（x2）﹣f（x1）叫做因变量的改变量，记做△y．函数的平均变化率可以表示为函数值的改变量与自变量的改变量之比，即．
【解题方法点拨】﹣计算：将区间端点a和b代入函数f，计算．
﹣解释：平均变化率描述了函数在区间上的平均斜率，反映函数值的总体变化趋势．
1．大面积绿化可以增加地表的绿植覆盖，可以调节小环境的气温，好的绿化有助于降低气温日较差（一天气温的最高值与最低值之差）．如图是甲、乙两地某一天的气温曲线图．假设除绿化外，其它可能影响甲、乙两地温度的因素均一致，则下列结论中错误的是（　　）
A．由该图推测，甲地的绿化好于乙地
B．当日6时到12时，甲地气温的平均变化率小于乙地气温的平均变化率
C．当日12时到18时，甲地气温的平均变化率小于乙地气温的平均变化率
D．当日必存在一个时刻，甲、乙两地气温的瞬时变化率相同
2．函数在区间[1，4]上的平均变化率为（　　）
A． B． C． D．3
3．函数f（x）＝x2+1，当自变量x由1增加到1+Δx时，函数的平均变化率为（　　）
A．2 B．Δx+（Δx）2 C．Δx+2 D．﹣Δx﹣2
4．函数f（x）＝2x+1在区间[1，5]上的平均变化率为（　　）
A． B． C．2 D．﹣2
5．下列四个函数中，在区间[0，1]上的平均变化率最大的为（　　）
A．y＝x B．y＝ex C．y＝sinx D．
6．吹气球时，气球的半径r（单位：dm）与体积V（单位：L）之间的函数关系是，估计时，气球的瞬时膨胀率为 　 ．
7．某雪堆在融化过程中，其体积T（单位：m3）与融化时间t（单位：h）近似满足函数关系：（H为常数），其图象如图所示．
（1）设H＝1，从t＝80到t＝90的雪堆体积的平均变化率的值为　　 ；
（2）记t＝80时雪堆融化的瞬时速度为v1，t＝90时雪堆融化的瞬时速度为v2，则的值为　　 ．
▉题型2 瞬时变化率
【知识点的认识】
1、平均变化率：
我们常说的变化的快慢一般指的是平均变化率，拿y＝f（x）来说，当自变量x由x1变化到x2时，其函数y＝f（x）的函数值由f（x1）变化到f（x2），它的平均变化率为．把（x2﹣x1）叫做自变量的改变量，记做△x；函数值的变化f（x2）﹣f（x1）叫做因变量的改变量，记做△y．函数的平均变化率可以表示为函数值的改变量与自变量的改变量之比，即．
2、瞬时变化率：
变化率的概念是变化快慢的特例，我们记△x＝x2﹣x1，△y＝f（x2）﹣f（x1），则函数的平均变化率为：．当△x趋于0时，平均变化率就趋于函数在x1点的瞬时变化率，瞬时变化率刻画的是函数在某一点的变化率．
【解题方法点拨】
函数f（x）在x＝x0处时的瞬时变化率是函数y＝f（x）在x＝x0处均变化率的极限：
8．用充气筒吹气球，气球会鼓起来，假设此时气球是一个标准的球体，且气球的体积V（r）随着气球半径r的增大而增大．当半径r＝1时，气球的体积相对于r的瞬时变化率为（　　）
A． B．2π C．4π D．8π
9．建设大型水库可实现水资源的合理分配和综合利用，提高水资源的社会经济效益．已知一段时间内，甲、乙两个水库的蓄水量W与时间t的关系如图所示．下列叙述中正确的是（　　）
A．在[0，t3]这段时间内，甲、乙两个水库蓄水量的平均变化率均大于0
B．在[t1，t2]这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率大于乙水库蓄水量的平均变化率
C．甲水库在t2时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在t2时刻蓄水量的瞬时变化率
D．乙水库在t1时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在t2时刻蓄水量的瞬时变化率
10．某物体沿直线运动，位移y（单位：m）与时间t（单位：s）的关系为y（t）＝1﹣t+t2，则该物体在t＝3s时的瞬时速度是（　　）
A．2m/s B．3m/s C．4m/s D．5m/s
11．据报道，从2024年7月16日起，“高原版”复兴号动车组将上线新成昆铁路和达成铁路，“高原版”复兴号动车组涂装用的是高耐性油漆，可适应高海拔低温环境．“高原版”复兴号动车组列车全长236.7米，由9辆编组构成，设有6个商务座、28个一等座、642个二等座，最高运行时速达160千米，全列定额载客676人．假设“高原版”复兴号动车开出站一段时间内，速度v（m/s）与行驶时间t（s）的关系为v＝1.4t+0.3t2，t∈[0，12]，则当t＝10s时，“高原版”复兴号动车的加速度为（　　）
A．4.4m/s2 B．7.4m/s2 C．17m/s2 D．20m/s2
12．已知某质点的位移y（单位：m）与时间x（单位：s）满足函数关系式y＝x4+3x2，则当x＝1时，该质点的瞬时速度为（　　）
A．10 B．9 C．8 D．7
13．据报道，从2024年7月16日起，“高原版”复兴号动车组将上线新成昆铁路和达成铁路，假设“高原版”复兴号动车开出站一段时间内，速度v（m/s）与行驶时间t（s）的关系为v＝1.4t+0.3t2，t∈[0，12]，则当t＝10s时，“高原版”复兴号动车的加速度为（　　）
A．4.4m/s2 B．7.4m/s2 C．17m/s2 D．20m/s2
14．一辆汽车在笔直的公路上行驶，位移关于时间的函数图象如图所示，给出下列四个结论：
①汽车在[0，t1]时间段内每一时刻的瞬时速度相同；
②汽车在[t1，t2]时间段内不断加速行驶；
③汽车在[t2，t3]时间段内不断减速行驶；
④汽车在t2时刻的瞬时速度小于t4时刻的瞬时速度．
其中正确结论的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
15．当某种针剂药注入人体后，血液中该药的浓度C与时间t的关系式近似满足，其中t≥0，则血液中该药的浓度，在t＝3时的瞬时变化率约是t＝4时的瞬时变化率的多少倍（e≈2.7）（　　）
A．﹣1.8 B．1.8 C．3.6 D．﹣3.6
16．质点M按规律做直线运动（位移单位：m，时间单位：s），则质点M在t＝9s时瞬时速度是其在t＝4s时的瞬时速度的（　　）
A．倍 B．倍 C．倍 D．倍
17．吹气球时，气球的半径r（单位：dm）与体积V（单位：L）之间的关系式为，则V＝2L时气球的瞬时膨胀率大约是V＝16L时气球的瞬时膨胀率的（　　）
A．2倍 B．4倍 C． D．
18．函数在区间[1，3]上的平均变化率等于x＝m时的瞬时变化率，则m＝（　　）
A． B．1 C．2 D．
19．已知函数f（x）满足f（1）＝﹣1，f′（1）＝2，则函数在x＝1处的瞬时变化率为（　　）
A． B． C． D．
20．一质点做直线运动，其运动的位移x（单位：m）与时间t（单位：s）的关系为，则t＝3s时的瞬时速度为（　　）
A．17m/s B．15m/s C．13m/s D．11m/s
21．已知火箭发射t秒后，其高度（单位：米）为，则火箭发射后第5秒时，火箭爬高的瞬时速度为（　　）
A． B．9m/s C． D．18m/s
（多选）22．在某次物理试验课堂上，某同学利用位移跟踪仪记录了一玩具车在静止状态下释放，其运动的位移方程满足S（t）＝3t2+2（1≤t≤6），则（　　）
A．该玩具车位移的最大值为110
B．该玩具车在[1，4]内的平均速度为12.5
C．该玩具车在t＝5时的瞬时速度为30
D．该玩具车的速度v和时间t的关系式是v（t）＝6t（1≤t≤6）
23．若物体的运动方程是s＝t3+t2﹣1，t＝3时物体的瞬时速度是 　　 ．
24．已知一个物体在运动过程中，其位移y（单位：m）与时间t（单位：s）之间的函数关系为y＝t2+1，则物体在0s到1s这段时间里的平均速度为 　　 m/s：物体在1s时的瞬时速度为 　　 m/s．
25．已知某容器的高度为20cm，现在向容器内注入液体，且容器内液体的高度h（单位：cm）与时间t（单位：s）的函数关系式为，当t＝t0时，液体上升高度的瞬时变化率为3cm/s，则当t＝t0+1时，液体上升高度的瞬时变化率为 　　 cm/s．
26．当室内的有毒细菌开始增加时，就要使用杀菌剂．刚开始使用的时候，细菌数量还会继续增加，随着时间的增加，它增加的幅度逐渐变小，到一定时间，细菌数量开始减少．已知使用杀菌剂th后的细菌数量为f（t）＝105+104t﹣103t2．
（1）求细菌数量在t＝5时的瞬时变化率；
（2）细菌数量在哪段时间增加，在哪段时间减少，说明理由．第1章第1节 导数概念及其意义
题型1 平均变化率 题型2 瞬时变化率
▉题型1 平均变化率
【知识点的认识】
平均变化率：
我们常说的变化的快慢一般指的是平均变化率，拿y＝f（x）来说，当自变量x由x1变化到x2时，其函数y＝f（x）的函数值由f（x1）变化到f（x2），它的平均变化率为．把（x2﹣x1）叫做自变量的改变量，记做△x；函数值的变化f（x2）﹣f（x1）叫做因变量的改变量，记做△y．函数的平均变化率可以表示为函数值的改变量与自变量的改变量之比，即．
【解题方法点拨】﹣计算：将区间端点a和b代入函数f，计算．
﹣解释：平均变化率描述了函数在区间上的平均斜率，反映函数值的总体变化趋势．
1．大面积绿化可以增加地表的绿植覆盖，可以调节小环境的气温，好的绿化有助于降低气温日较差（一天气温的最高值与最低值之差）．如图是甲、乙两地某一天的气温曲线图．假设除绿化外，其它可能影响甲、乙两地温度的因素均一致，则下列结论中错误的是（　　）
A．由该图推测，甲地的绿化好于乙地
B．当日6时到12时，甲地气温的平均变化率小于乙地气温的平均变化率
C．当日12时到18时，甲地气温的平均变化率小于乙地气温的平均变化率
D．当日必存在一个时刻，甲、乙两地气温的瞬时变化率相同
【答案】C
【解答】解：对于A：由图可知：甲地的气温日较差明显小于乙地的气温日较差，所以甲地的绿化好于乙地，故A正确；
对于B：由图可知，甲乙两地的平均变化率为正数，且乙地的变化趋势更大，所以甲地气温的平均变化率小于乙地气温的平均变化率，故B正确；
对于C：由图可知，甲乙两地的平均变化率为负值，且乙地的变化趋势更大，所以甲地气温的平均变化率大于乙地气温的平均变化率，故C错误；
对于D：由图可知，存在一个时刻，使得甲、乙两地气温的瞬时变化率相同，故D正确．
故选：C．
2．函数在区间[1，4]上的平均变化率为（　　）
A． B． C． D．3
【答案】A
【解答】解：设，
则函数在区间[1，4]上的平均变化率为．
故选：A．
3．函数f（x）＝x2+1，当自变量x由1增加到1+Δx时，函数的平均变化率为（　　）
A．2 B．Δx+（Δx）2 C．Δx+2 D．﹣Δx﹣2
【答案】C
【解答】解：f（x）＝x2+1，
则函数的平均变化率为：．
故选：C．
4．函数f（x）＝2x+1在区间[1，5]上的平均变化率为（　　）
A． B． C．2 D．﹣2
【答案】C
【解答】解：根据题意，函数f（x）＝2x+1，
则其在区间[0，5]上的平均变化率2．
故选：C．
5．下列四个函数中，在区间[0，1]上的平均变化率最大的为（　　）
A．y＝x B．y＝ex C．y＝sinx D．
【答案】B
【解答】解：A：y＝x在[0，1]上的平均变化率为1；
B：y＝ex在[0，1]上的平均变化率为e﹣1；
C：y＝sinx在[0，1]上的平均变化率为sin1；
D：y在[0，1]上的平均变化率为．
故选：B．
6．吹气球时，气球的半径r（单位：dm）与体积V（单位：L）之间的函数关系是，估计时，气球的瞬时膨胀率为 　　 ．
【答案】．
【解答】解：吹气球时，气球的半径r（单位：dm）与体积V（单位：L）之间的函数关系是，
由可得：，
当时，．
故答案为：．
7．某雪堆在融化过程中，其体积T（单位：m3）与融化时间t（单位：h）近似满足函数关系：（H为常数），其图象如图所示．
（1）设H＝1，从t＝80到t＝90的雪堆体积的平均变化率的值为　﹣0.7　 ；
（2）记t＝80时雪堆融化的瞬时速度为v1，t＝90时雪堆融化的瞬时速度为v2，则的值为　4　 ．
【答案】﹣0.7；4．
【解答】解：（1）当H＝1时，根据已知条件可得，
所以从t＝80到t＝90的雪堆体积的平均变化率的值为
；
（2）因为，所以，
所以，
，
所以．
故答案为：﹣0.7；4．
▉题型2 瞬时变化率
【知识点的认识】
1、平均变化率：
我们常说的变化的快慢一般指的是平均变化率，拿y＝f（x）来说，当自变量x由x1变化到x2时，其函数y＝f（x）的函数值由f（x1）变化到f（x2），它的平均变化率为．把（x2﹣x1）叫做自变量的改变量，记做△x；函数值的变化f（x2）﹣f（x1）叫做因变量的改变量，记做△y．函数的平均变化率可以表示为函数值的改变量与自变量的改变量之比，即．
2、瞬时变化率：
变化率的概念是变化快慢的特例，我们记△x＝x2﹣x1，△y＝f（x2）﹣f（x1），则函数的平均变化率为：．当△x趋于0时，平均变化率就趋于函数在x1点的瞬时变化率，瞬时变化率刻画的是函数在某一点的变化率．
【解题方法点拨】
函数f（x）在x＝x0处时的瞬时变化率是函数y＝f（x）在x＝x0处均变化率的极限：
8．用充气筒吹气球，气球会鼓起来，假设此时气球是一个标准的球体，且气球的体积V（r）随着气球半径r的增大而增大．当半径r＝1时，气球的体积相对于r的瞬时变化率为（　　）
A． B．2π C．4π D．8π
【答案】C
【解答】解：由球的体积公式可得，得V′＝4πr2，
所以r＝1时，体积关于半径的瞬时变化率为V′＝4π×12＝4π．
故选：C．
9．建设大型水库可实现水资源的合理分配和综合利用，提高水资源的社会经济效益．已知一段时间内，甲、乙两个水库的蓄水量W与时间t的关系如图所示．下列叙述中正确的是（　　）
A．在[0，t3]这段时间内，甲、乙两个水库蓄水量的平均变化率均大于0
B．在[t1，t2]这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率大于乙水库蓄水量的平均变化率
C．甲水库在t2时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在t2时刻蓄水量的瞬时变化率
D．乙水库在t1时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在t2时刻蓄水量的瞬时变化率
【答案】D
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，在[0，t3]这段时间内，甲水库的蓄水量减少，其平均变化率均小于0，A错误；
对于B，在[t1，t2]这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率小于0，乙水库蓄水量的平均变化率大于0，
则在[t1，t2]这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率小于乙水库蓄水量的平均变化率，B错误；
对于C，甲水库在t2时刻蓄水量的瞬时变化率小于0，而乙水库在t2时刻蓄水量的瞬时变化率大于0，
则甲水库在t2时刻蓄水量的瞬时变化率小于乙水库在t2时刻蓄水量的瞬时变化率，C错误；
对于D，乙水库在t1时刻切线的斜率大于乙水库在t2时刻切线的斜率，即乙水库在t1时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在t2时刻蓄水量的瞬时变化率，D正确．
故选：D．
10．某物体沿直线运动，位移y（单位：m）与时间t（单位：s）的关系为y（t）＝1﹣t+t2，则该物体在t＝3s时的瞬时速度是（　　）
A．2m/s B．3m/s C．4m/s D．5m/s
【答案】D
【解答】解：因为2t﹣1，
所以该物体在t＝3s时的瞬时速度是2×3﹣1＝5．
故选：D．
11．据报道，从2024年7月16日起，“高原版”复兴号动车组将上线新成昆铁路和达成铁路，“高原版”复兴号动车组涂装用的是高耐性油漆，可适应高海拔低温环境．“高原版”复兴号动车组列车全长236.7米，由9辆编组构成，设有6个商务座、28个一等座、642个二等座，最高运行时速达160千米，全列定额载客676人．假设“高原版”复兴号动车开出站一段时间内，速度v（m/s）与行驶时间t（s）的关系为v＝1.4t+0.3t2，t∈[0，12]，则当t＝10s时，“高原版”复兴号动车的加速度为（　　）
A．4.4m/s2 B．7.4m/s2 C．17m/s2 D．20m/s2
【答案】B
【解答】解：v′＝0.6t+1.4，
故当t＝10时，v′＝6+1.4＝7.4，
即t＝10s时，“高原版”复兴号动车的加速度为7.4m/s2．
故选：B．
12．已知某质点的位移y（单位：m）与时间x（单位：s）满足函数关系式y＝x4+3x2，则当x＝1时，该质点的瞬时速度为（　　）
A．10 B．9 C．8 D．7
【答案】A
【解答】解：函数关系式y＝x4+3x2，
则y′＝4x3+6x，则y′|x＝1＝4+6＝10．
故选：A．
13．据报道，从2024年7月16日起，“高原版”复兴号动车组将上线新成昆铁路和达成铁路，假设“高原版”复兴号动车开出站一段时间内，速度v（m/s）与行驶时间t（s）的关系为v＝1.4t+0.3t2，t∈[0，12]，则当t＝10s时，“高原版”复兴号动车的加速度为（　　）
A．4.4m/s2 B．7.4m/s2 C．17m/s2 D．20m/s2
【答案】B
【解答】解：速度v（m/s）与行驶时间t（s）的关系为v＝1.4t+0.3t2，
则“高原版”复兴号动车的加速度a＝v′＝1.4+0.6t，
将t＝10s代入上式，可得a＝1.4+0.6×10＝7.4（m/s2）．
故选：B．
14．一辆汽车在笔直的公路上行驶，位移关于时间的函数图象如图所示，给出下列四个结论：
①汽车在[0，t1]时间段内每一时刻的瞬时速度相同；
②汽车在[t1，t2]时间段内不断加速行驶；
③汽车在[t2，t3]时间段内不断减速行驶；
④汽车在t2时刻的瞬时速度小于t4时刻的瞬时速度．
其中正确结论的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解答】解：对于①，由图象可知，在[0，t1]时间段内，位移是一条斜率大于零的直线，
则汽车在该时间段内匀速行驶，汽车在[0，t1]时间段内每一时刻的瞬时速度相同，故①正确；
对于②，由图象可知，在[t1，t2]时间段内，位移是一条斜率越来越大的曲线，
则汽车在该时间段内不断加速行驶，故②正确；
对于③，由图象可知，在[t2，t3]时间段内，位移是一条斜率越来越小的曲线，
则汽车在该时间段内不断减速行驶，故③正确；
对于④，由图象可知，汽车在t2时刻的瞬时速度为0，在[t3，t4]时间段内，位移不变，
则汽车在该时间段内静止不动故t4时刻的瞬时速度为0，故④错误，
所以正确结论的个数有3个．
故选：C．
15．当某种针剂药注入人体后，血液中该药的浓度C与时间t的关系式近似满足，其中t≥0，则血液中该药的浓度，在t＝3时的瞬时变化率约是t＝4时的瞬时变化率的多少倍（e≈2.7）（　　）
A．﹣1.8 B．1.8 C．3.6 D．﹣3.6
【答案】B
【解答】解：根据题意可知，函数，求导得C′（t）＝（te﹣t）′＝t′e﹣t+t（e﹣t）′＝（1﹣t）e﹣t，
将t＝3代入得C′（3）＝（1﹣3）e﹣3＝﹣2e﹣3，将t＝4代入得C′（4）＝（1﹣4）e﹣4＝﹣3e﹣4，
则．
故选：B．
16．质点M按规律做直线运动（位移单位：m，时间单位：s），则质点M在t＝9s时瞬时速度是其在t＝4s时的瞬时速度的（　　）
A．倍 B．倍 C．倍 D．倍
【答案】A
【解答】解：因为l′（t），
则质点M在t＝9s时的瞬时速度为：m/s，
在t＝4s时的瞬时速度为：m/s，
故质点M在t＝9s时瞬时速度是其在t＝4s时的瞬时速度的：．
故选：A．
17．吹气球时，气球的半径r（单位：dm）与体积V（单位：L）之间的关系式为，则V＝2L时气球的瞬时膨胀率大约是V＝16L时气球的瞬时膨胀率的（　　）
A．2倍 B．4倍 C． D．
【答案】B
【解答】解：因为，所以，
则V＝2L时气球的瞬时膨胀率大约是V＝16L时气球的瞬时膨胀率的倍．
故选：B．
18．函数在区间[1，3]上的平均变化率等于x＝m时的瞬时变化率，则m＝（　　）
A． B．1 C．2 D．
【答案】C
【解答】解：函数在区间[1，3]上的平均变化率为，
在x＝m时的瞬时变化率为：（Δx+m）＝m，
所以m＝2．
故选：C．
19．已知函数f（x）满足f（1）＝﹣1，f′（1）＝2，则函数在x＝1处的瞬时变化率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：设g（x），
则g′（x），
所以函数在x＝1处的瞬时变化率为g′（1）．
故选：C．
20．一质点做直线运动，其运动的位移x（单位：m）与时间t（单位：s）的关系为，则t＝3s时的瞬时速度为（　　）
A．17m/s B．15m/s C．13m/s D．11m/s
【答案】D
【解答】解：运动的位移x（单位：m）与时间t（单位：s）的关系为，
则v＝x′＝t2+2，所以当t＝3时，v＝11（m/s）．
故选：D．
21．已知火箭发射t秒后，其高度（单位：米）为，则火箭发射后第5秒时，火箭爬高的瞬时速度为（　　）
A． B．9m/s C． D．18m/s
【答案】B
【解答】解：知火箭发射t秒后，其高度（单位：米）为，
则h'（t），
故h'（5）＝9m/s．
故选：B．
（多选）22．在某次物理试验课堂上，某同学利用位移跟踪仪记录了一玩具车在静止状态下释放，其运动的位移方程满足S（t）＝3t2+2（1≤t≤6），则（　　）
A．该玩具车位移的最大值为110
B．该玩具车在[1，4]内的平均速度为12.5
C．该玩具车在t＝5时的瞬时速度为30
D．该玩具车的速度v和时间t的关系式是v（t）＝6t（1≤t≤6）
【答案】ACD
【解答】解：运动的位移方程满足S（t）＝3t2+2（1≤t≤6），
则S′（t）＝6t（1≤t≤6），
对于A，由二次函数性质可知当t＝6时，位移取得最大值，其最大值为S（6）＝110，即A正确；
对于B，该玩具车在[1，4]内的平均速度为，
因此该玩具车在[1，4]内的平均速度为15，可得B错误；
对于C，当t＝5时的瞬时速度为S′（5）＝30，即C正确；
对于D，该玩具车的速度v和时间t的关系式是v（t）＝6t（1≤t≤6），所以D正确．
故选：ACD．
23．若物体的运动方程是s＝t3+t2﹣1，t＝3时物体的瞬时速度是 　33　 ．
【答案】33．
【解答】解：因为s＝t3+t2﹣1，
所以s′＝3t2+2t，
故t＝3时物体的瞬时速度为33．
故答案为：33．
24．已知一个物体在运动过程中，其位移y（单位：m）与时间t（单位：s）之间的函数关系为y＝t2+1，则物体在0s到1s这段时间里的平均速度为 　1　 m/s：物体在1s时的瞬时速度为 　2　 m/s．
【答案】1；2．
【解答】解：因为位移y＝t2+1，当t＝0时，；当t＝1时，．
则位移的变化量Δy＝y1﹣y0＝2﹣1＝1m，时间的变化量Δt＝1﹣0＝1s．
所以平均速度．
瞬时速度是位移函数对时间的导数，先对位移函数y＝t2+1求导，可得y′＝（t2+1）′＝2t．
那么物体在1s时的瞬时速度，就是t＝1时导函数的值，即y′|t＝1＝2×1＝2m/s．
故答案为：1；2．
25．已知某容器的高度为20cm，现在向容器内注入液体，且容器内液体的高度h（单位：cm）与时间t（单位：s）的函数关系式为，当t＝t0时，液体上升高度的瞬时变化率为3cm/s，则当t＝t0+1时，液体上升高度的瞬时变化率为 　8　 cm/s．
【答案】8．
【解答】解：因为容器内液体的高度h（单位：cm）与时间t（单位：s）的函数关系式为，当t＝t0时，液体上升高度的瞬时变化率为3cm/s，
易知h′＝t2+2t，依题意可得，
所以t0＝1或t0＝﹣3（舍），
因此t＝t0+1＝2时，液体上升高度的瞬时变化率为22+2×2＝8．
故答案为：8．
26．当室内的有毒细菌开始增加时，就要使用杀菌剂．刚开始使用的时候，细菌数量还会继续增加，随着时间的增加，它增加的幅度逐渐变小，到一定时间，细菌数量开始减少．已知使用杀菌剂th后的细菌数量为f（t）＝105+104t﹣103t2．
（1）求细菌数量在t＝5时的瞬时变化率；
（2）细菌数量在哪段时间增加，在哪段时间减少，说明理由．
【答案】（1）0；
（2）细菌数量在[0，5]上递增，在上递减．
【解答】解：（1）依题意，f（t）＝105+104t﹣103t2，
所以f'（t）＝﹣2000t+10000，则f'（5）＝﹣2000×5+10000＝0，
所以细菌数量在t＝5时的瞬时变化率为0．
（2）由f（t）＝105+104t﹣103t2＝0解得，负根舍去．
由（1）得f'（t）＝﹣2000t+10000，
所以f（t）在区间[0，5]上f'（t）≥0，f（t）递增；在区间上f'（t）≤0，f（t）递减．
所以细菌数量在[0，5]上递增，在上递减

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