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第1章第2节 导数的运算
题型1 基本初等函数的导数 题型2 导数的乘法与除法法则
题型3 简单复合函数的导数
▉题型1 基本初等函数的导数
【知识点的认识】
1、基本函数的导函数
①C′＝0（C为常数）
②（xn）′＝nxn﹣1 （n∈R）
③（sinx）′＝cosx
④（cosx）′＝﹣sinx
⑤（ex）′＝ex
⑥（ax）′＝（ax）*lna（a＞0且a≠1）⑦[logax）]′*（logae）（a＞0且a≠1）⑧[lnx]′．
2、和差积商的导数
①[f（x）+g（x）]′＝f′（x）+g′（x）
②[f（x）﹣g（x）]′＝f′（x）﹣g′（x）
③[f（x）g（x）]′＝f′（x）g（x）+f（x）g′（x）
④[]′．
3、复合函数的导数
设 y＝u（t），t＝v（x），则 y′（x）＝u′（t）v′（x）＝u′[v（x）]v′（x）
【解题方法点拨】
1．由常数函数、幂函数及正、余弦函数经加、减、乘运算得到的简单的函数均可利用求导法则与导数公式求导，而不需要回到导数的定义去求此类简单函数的导数．
2．对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则．求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用．在实施化简时，首先要注意化简的等价性，避免不必要的运算失误．
1．下列求导运算正确的是（　　）
A． B．（x3）′＝x3lnx
C．（ex）′＝xex﹣1 D．（cosx）′＝﹣sinx
【答案】D
【解答】解：对于选项A：，故选项A错误；
对于选项B：（x3）′＝3x2，故选项B错误；
对于选项C：（ex）′＝ex，故选项C错误；
对于选项D：（cosx）′＝﹣sinx，故选项D正确．
故选：D．
2．下列式子错误的是（　　）
A．（cosx）′＝﹣sinx B．（2lnx）′
C． D．（e2x）′＝e2x
【答案】D
【解答】解：（cosx）′＝﹣sinx，A对；
（2lnx）′＝2（lnx）′，B对；
（）′＝（x﹣1）′＝﹣x﹣2，C对；
（e2x）′＝2e2x，D错．
故选：D．
3．函数y＝x2cos（2x）的导数为（　　）
A．y'＝2xcos（2x）﹣x2sin（2x）
B．y'＝2xcos（2x）﹣2x2sin（2x）
C．y'＝x2cos（2x）﹣2xsin（2x）
D．y'＝2xcos（2x）+2x2sin（2x）
【答案】B
【解答】解：y′＝2x cos（2x）﹣x2sin（2x） （2x）′
＝2x cos（2x）﹣2x2sin（2x）．
故选：B．
4．已知函数f（x）＝sinπx，则f（1）+f'（1）＝（　　）
A．﹣π B．0 C．π D．1
【答案】A
【解答】解：∵f（x）＝sinπx，
∴f′（x）＝πcosπx，
∴f（1）+f′（1）＝sinπ+πcosπ＝﹣π．
故选：A．
5．函数在点x＝1处的导数值是（　　）
A．1 B．﹣1 C． D．
【答案】B
【解答】解：由得，
所以f′（1）＝﹣1，
故选：B．
6．已知函数f（x）的导函数为f′（x），且，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：根据题意，因为，所以，
令，则，
变形可得．
故选：C．
7．已知函数f（x）＝e﹣2x+3，则f′（2）＝（　　）
A．2e B．e C． D．
【答案】D
【解答】解：因为函数f（x）＝e﹣2x+3，
所以f′（x）＝﹣2e﹣2x+3，
所以．
故选：D．
8．已知函数f（x）＝exln（x+1），则f′（0）＝（　　）
A．0 B．1 C．2 D．e
【答案】B
【解答】解：，则f′（0）＝e0ln1+e0＝0+1＝1．
故选：B．
9．下面导数运算错误的是（　　）
A． B．
C．（x2+ln2）'＝2x D．（2x）'＝x2x﹣1
【答案】D
【解答】解：（sin）′＝0，A正确；
（）′，B正确；
（x2+ln2）'＝2x，C正确；
（2x）′＝2xln2，D错误．
故选：D．
▉题型2 导数的乘法与除法法则
【知识点的认识】
1、基本函数的导函数
①C′＝0（C为常数）
②（xn）′＝nxn﹣1 （n∈R）
③（sinx）′＝cosx
④（cosx）′＝﹣sinx
⑤（ex）′＝ex
⑥（ax）′＝（ax）*lna（a＞0且a≠1）
⑦[logax）]′*（logae）（a＞0且a≠1）
⑧[lnx]′．
2、和差积商的导数
①[f（x）+g（x）]′＝f′（x）+g′（x）
②[f（x）﹣g（x）]′＝f′（x）﹣g′（x）
③[f（x）g（x）]′＝f′（x）g（x）+f（x）g′（x）
④[]′．
3、复合函数的导数
设 y＝u（t），t＝v（x），则 y′（x）＝u′（t）v′（x）＝u′[v（x）]v′（x）
【解题方法点拨】
1．由常数函数、幂函数及正、余弦函数经加、减、乘运算得到的简单的函数均可利用求导法则与导数公式求导，而不需要回到导数的定义去求此类简单函数的导数．
2．对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则．求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用．在实施化简时，首先要注意化简的等价性，避免不必要的运算失误．
10．函数y＝exsinx的导数等于（　　）
A．excosx B．exsinx
C．﹣excosx D．ex（sinx+cosx）
【答案】D
【解答】解：∵y＝exsinx，
∴y′＝（ex）′sinx+（ex） （sinx）′
＝exsinx+excosx
＝ex（sinx+cosx）．
故选：D．
11．已知函数f（x）＝（x﹣a）（x﹣2022）（x﹣2021）（x﹣2020），且f′（2022）＝﹣4，则实数a＝（　　）
A．2024 B．2023 C．﹣2023 D．﹣2024
【答案】A
【解答】解：令g（x）＝（x﹣a）（x﹣2021）（x﹣2020），所以f（x）＝g（x）（x﹣2022），
所以f′（x）＝g′（x）（x﹣2022）+g（x），
所以f′（2022）＝g′（2022）（2022﹣2022）+g（2022）＝（2022﹣a）×1×2＝﹣4，
解得a＝2024．
故选：A．
12．已知f（x）＝xlnx，若f′（x）为f（x）的导函数，若f′（x0）＝2，则x0等于（　　）
A．e2 B．e C． D．ln2
【答案】B
【解答】解：因为f（x）＝xlnx，所以f′（x）＝x′lnx+x（lnx）′＝lnx+1，
所以f′（x0）＝lnx0+1＝2，
解得x0＝e．
故选：B．
13．设f（x）、g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x＜0时，f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＞0，且g（﹣3）＝0，则不等式f（x）g（x）＜0的解集是（　　）
A．（﹣3，0）∪（3，+∞） B．（﹣3，0）∪（0，3）
C．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞） D．（﹣∞，﹣3）∪（0，3）
【答案】D
【解答】解：设F（x）＝f （x）g（x），当x＜0时，
∵F′（x）＝f′（x）g（x）+f （x）g′（x）＞0．
∴F（x）在当x＜0时为增函数．
∵F（﹣x）＝f （﹣x）g （﹣x）＝﹣f （x） g （x）＝﹣F（x）．
故F（x）为（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数．
∴F（x）在（0，+∞）上亦为增函数．
已知g（﹣3）＝0，必有F（﹣3）＝F（3）＝0．
构造如图的F（x）的图象，可知
F（x）＜0的解集为x∈（﹣∞，﹣3）∪（0，3）．
故选：D．
（多选）14．下列命题正确的有（　　）
A．已知函数f（x）在R上可导，若f′（1）＝2，则
B．已知函数f（x）＝ln（2x+1），若f′（x0）＝1，则
C．
D．设函数f（x）的导函数为f′（x），且f（x）＝x2+3xf′（2）+lnx，则
【答案】ABD
【解答】解：对于选项A，，故A正确；
对于选项B，因为，
令，
解得，故B正确；
对于选项C，因为，故C错误；
对于选项D，因为，
令x＝2得，，
解得，故D正确．
故选：ABD．
（多选）15．下列命题正确的有（　　）
A．
B．已知函数f（x）在R上可导，若f′（1）＝2，则
C．已知函数f（x）＝ln（2x+1），若f′（x0）＝1，则
D．[（x2+2）sinx]'＝2xsinx+（x2+2）cosx
【答案】CD
【解答】解：对于A，（ln7）′＝0，故A错误；
对于B，则2f'（1）＝4，故B错误；
对于C，由于，，解得，故C正确；
对于D，[（x2+2）sinx]′＝（x2+2）′sinx+（x2+2）（sinx）′＝2xsinx+（x2+2）cosx，故D正确．
故选：CD．
16．已知函数f（x）在x＝x0处可导，若，则f′（x0）＝ 　4　 ．
【答案】4．
【解答】解：，
∴f′（x0）＝4．
故答案为：4．
17．已知函数f（x）＝x（19+lnx），若f′（x0）＝21，则x0＝ e ．
【答案】e．
【解答】解：因为函数f（x）＝x（19+lnx），
所以f′（x）＝19+lnx+x 20+lnx，
若f′（x0）＝21，则20+lnx0＝21，
解得x0＝e．
故答案为：e．
▉题型3 简单复合函数的导数
【知识点的认识】
1、基本函数的导函数
①C′＝0（C为常数）
②（xn）′＝nxn﹣1 （n∈R）
③（sinx）′＝cosx
④（cosx）′＝﹣sinx
⑤（ex）′＝ex
⑥（ax）′＝（ax）*lna（a＞0且a≠1）⑦[logax）]′*（logae）（a＞0且a≠1）⑧[lnx]′．
2、和差积商的导数
①[f（x）+g（x）]′＝f′（x）+g′（x）
②[f（x）﹣g（x）]′＝f′（x）﹣g′（x）
③[f（x）g（x）]′＝f′（x）g（x）+f（x）g′（x）
④[]′．
3、复合函数的导数
设 y＝u（t），t＝v（x），则 y′（x）＝u′（t）v′（x）＝u′[v（x）]v′（x）
【解题方法点拨】
1．由常数函数、幂函数及正、余弦函数经加、减、乘运算得到的简单的函数均可利用求导法则与导数公式求导，而不需要回到导数的定义去求此类简单函数的导数．
2．对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则．求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用．在实施化简时，首先要注意化简的等价性，避免不必要的运算失误．
18．已知f′（x）是函数f（x）的导函数，且，则f′（1）＝（　　）
A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2
【答案】A
【解答】解：，
∴f′（1）＝2f′（1）﹣1，解得f′（1）＝1．
故选：A．
19．下列求导正确的（　　）
A．
B．
C．
D．（xsinx）′＝sinx+xcosx
【答案】D
【解答】解：对于A，，故A错误；
对于B，，故B错误；
对于C，，故C错误；
对于D，（xsinx）′＝sinx+xcosx，故D正确．
故选：D．
20．已知函数f（x）＝ln（2x）﹣f′（1）x，则f′（1）＝（　　）
A．1 B．﹣1 C． D．2
【答案】C
【解答】解：由题意得：，
则f′（1）＝1﹣f′（1），故．
故选：C．
21．已知函数f（x）的导函数为f′（x），且，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：因为，
所以，
令可得，
所以cos．
故选：D．
22．已知函数f（x）的导函数为f'（x），且满足，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：由已知，所以，
所以．
故选：A．
23．下列求导运算结果正确的是（　　）
A． B．（xax）′＝ax（x+1）
C．（sinπ）′＝cosπ D．
【答案】D
【解答】解：对于A，，选项A错误；
对于B，（xax）′＝ax+xaxlna＝ax（1+xlna），选项B错误；
对于C，因为sinπ是常数，所以（sinπ）′＝0，选项C错误；
对于D，，选项D正确．
故选：D．
24．下列导数运算错误的是（　　）
A． B．（cosx）′＝﹣sinx
C．（xex）′＝（x+1）ex D．（x﹣2）′＝﹣2x﹣1
【答案】D
【解答】解：对于A选项：，正确；
对于B选项：（cosx）′＝﹣sinx，正确；
对于C选项：（xex）′＝ex+xex＝（x+1）ex，正确；
对于D选项：（x﹣2）′＝﹣2x﹣2﹣1＝﹣2x﹣3，故不正确．
故选：D．
25．已知f′（x）是函数f（x）的导函数，且对任意实数x都有f′（x）﹣f（x）＝ex（2x﹣1），f（0）＝﹣2，则不等式f（x）＜10ex的解集为（　　）
A．（﹣4，3） B．（﹣3，4） C．（﹣3，2） D．（﹣2，3）
【答案】B
【解答】解：因为f′（x）﹣f（x）＝ex（2x﹣1），
所以，即，
设，
即f（x）＝（x2﹣x+c）ex，又f（0）＝c＝﹣2，故f（x）＝（x2﹣x﹣2）ex，
f（x）＜10ex可化为x2﹣x﹣2＜10，
所以﹣3＜x＜4，
所以不等式f（x）＜10ex的解集为（﹣3，4）．
故选：B．
26．已知函数f（x）及其导函数f′（x）的定义域为R，若f′（2）＝8，函数f（2x+1）和f′（x+2）均为偶函数，则的值为（　　）
A．8 B．1 C．0 D．﹣8
【答案】C
【解答】解：f（2x+1）为偶函数，则f（2x+1）＝f（﹣2x+1），左右两边同时求导得，
2f′（2x+1）＝﹣2f′（﹣2x+1），将2x+1看作整体得f′（x）＝﹣f′（2﹣x）①，
将y＝f′（x+2）图象向右平移2个单位得到y＝f′（x），
因为y＝f′（x+2）为偶函数，则y＝f′（x）图象关于x＝2对称，即f′（x）＝f′（4﹣x）②，
①②两式联立得﹣f′（2﹣x）＝f′（4﹣x），即﹣f′（x）＝f′（x+2），
用x+2代替x得﹣f′（x+2）＝f′（x+4），故f′（x）＝f′（x+4），
即y＝f′（x）的周期为4，
因f′（2）＝8，则①式中令x＝1有f′（1）＝0，令x＝0有f′（0）＝﹣f′（2）＝﹣8，
②式中令x＝4有f′（4）＝f′（0）＝﹣8，令x＝3有f′（3）＝f′（1）＝0，
则．
故选：C．第1章第2节 导数的运算
题型1 基本初等函数的导数 题型2 导数的乘法与除法法则
题型3 简单复合函数的导数
▉题型1 基本初等函数的导数
【知识点的认识】
1、基本函数的导函数
①C′＝0（C为常数）
②（xn）′＝nxn﹣1 （n∈R）
③（sinx）′＝cosx
④（cosx）′＝﹣sinx
⑤（ex）′＝ex
⑥（ax）′＝（ax）*lna（a＞0且a≠1）⑦[logax）]′*（logae）（a＞0且a≠1）⑧[lnx]′．
2、和差积商的导数
①[f（x）+g（x）]′＝f′（x）+g′（x）
②[f（x）﹣g（x）]′＝f′（x）﹣g′（x）
③[f（x）g（x）]′＝f′（x）g（x）+f（x）g′（x）
④[]′．
3、复合函数的导数
设 y＝u（t），t＝v（x），则 y′（x）＝u′（t）v′（x）＝u′[v（x）]v′（x）
【解题方法点拨】
1．由常数函数、幂函数及正、余弦函数经加、减、乘运算得到的简单的函数均可利用求导法则与导数公式求导，而不需要回到导数的定义去求此类简单函数的导数．
2．对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则．求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用．在实施化简时，首先要注意化简的等价性，避免不必要的运算失误．
1．下列求导运算正确的是（　　）
A． B．（x3）′＝x3lnx
C．（ex）′＝xex﹣1 D．（cosx）′＝﹣sinx
2．下列式子错误的是（　　）
A．（cosx）′＝﹣sinx B．（2lnx）′
C． D．（e2x）′＝e2x
3．函数y＝x2cos（2x）的导数为（　　）
A．y'＝2xcos（2x）﹣x2sin（2x）
B．y'＝2xcos（2x）﹣2x2sin（2x）
C．y'＝x2cos（2x）﹣2xsin（2x）
D．y'＝2xcos（2x）+2x2sin（2x）
4．已知函数f（x）＝sinπx，则f（1）+f'（1）＝（　　）
A．﹣π B．0 C．π D．1
5．函数在点x＝1处的导数值是（　　）
A．1 B．﹣1 C． D．
6．已知函数f（x）的导函数为f′（x），且，则（　　）
A． B． C． D．
7．已知函数f（x）＝e﹣2x+3，则f′（2）＝（　　）
A．2e B．e C． D．
8．已知函数f（x）＝exln（x+1），则f′（0）＝（　　）
A．0 B．1 C．2 D．e
9．下面导数运算错误的是（　　）
A． B．
C．（x2+ln2）'＝2x D．（2x）'＝x2x﹣1
▉题型2 导数的乘法与除法法则
【知识点的认识】
1、基本函数的导函数
①C′＝0（C为常数）
②（xn）′＝nxn﹣1 （n∈R）
③（sinx）′＝cosx
④（cosx）′＝﹣sinx
⑤（ex）′＝ex
⑥（ax）′＝（ax）*lna（a＞0且a≠1）
⑦[logax）]′*（logae）（a＞0且a≠1）
⑧[lnx]′．
2、和差积商的导数
①[f（x）+g（x）]′＝f′（x）+g′（x）
②[f（x）﹣g（x）]′＝f′（x）﹣g′（x）
③[f（x）g（x）]′＝f′（x）g（x）+f（x）g′（x）
④[]′．
3、复合函数的导数
设 y＝u（t），t＝v（x），则 y′（x）＝u′（t）v′（x）＝u′[v（x）]v′（x）
【解题方法点拨】
1．由常数函数、幂函数及正、余弦函数经加、减、乘运算得到的简单的函数均可利用求导法则与导数公式求导，而不需要回到导数的定义去求此类简单函数的导数．
2．对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则．求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用．在实施化简时，首先要注意化简的等价性，避免不必要的运算失误．
10．函数y＝exsinx的导数等于（　　）
A．excosx B．exsinx
C．﹣excosx D．ex（sinx+cosx）
11．已知函数f（x）＝（x﹣a）（x﹣2022）（x﹣2021）（x﹣2020），且f′（2022）＝﹣4，则实数a＝（　　）
A．2024 B．2023 C．﹣2023 D．﹣2024
12．已知f（x）＝xlnx，若f′（x）为f（x）的导函数，若f′（x0）＝2，则x0等于（　　）
A．e2 B．e C． D．ln2
13．设f（x）、g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x＜0时，f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＞0，且g（﹣3）＝0，则不等式f（x）g（x）＜0的解集是（　　）
A．（﹣3，0）∪（3，+∞） B．（﹣3，0）∪（0，3）
C．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞） D．（﹣∞，﹣3）∪（0，3）
（多选）14．下列命题正确的有（　　）
A．已知函数f（x）在R上可导，若f′（1）＝2，则
B．已知函数f（x）＝ln（2x+1），若f′（x0）＝1，则
C．
D．设函数f（x）的导函数为f′（x），且f（x）＝x2+3xf′（2）+lnx，则
（多选）15．下列命题正确的有（　　）
A．
B．已知函数f（x）在R上可导，若f′（1）＝2，则
C．已知函数f（x）＝ln（2x+1），若f′（x0）＝1，则
D．[（x2+2）sinx]'＝2xsinx+（x2+2）cosx
16．已知函数f（x）在x＝x0处可导，若，则f′（x0）＝ 　4　 ．
17．已知函数f（x）＝x（19+lnx），若f′（x0）＝21，则x0＝ e ．
▉题型3 简单复合函数的导数
【知识点的认识】
1、基本函数的导函数
①C′＝0（C为常数）
②（xn）′＝nxn﹣1 （n∈R）
③（sinx）′＝cosx
④（cosx）′＝﹣sinx
⑤（ex）′＝ex
⑥（ax）′＝（ax）*lna（a＞0且a≠1）⑦[logax）]′*（logae）（a＞0且a≠1）⑧[lnx]′．
2、和差积商的导数
①[f（x）+g（x）]′＝f′（x）+g′（x）
②[f（x）﹣g（x）]′＝f′（x）﹣g′（x）
③[f（x）g（x）]′＝f′（x）g（x）+f（x）g′（x）
④[]′．
3、复合函数的导数
设 y＝u（t），t＝v（x），则 y′（x）＝u′（t）v′（x）＝u′[v（x）]v′（x）
【解题方法点拨】
1．由常数函数、幂函数及正、余弦函数经加、减、乘运算得到的简单的函数均可利用求导法则与导数公式求导，而不需要回到导数的定义去求此类简单函数的导数．
2．对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则．求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用．在实施化简时，首先要注意化简的等价性，避免不必要的运算失误．
18．已知f′（x）是函数f（x）的导函数，且，则f′（1）＝（　　）
A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2
19．下列求导正确的（　　）
A．
B．
C．
D．（xsinx）′＝sinx+xcosx
20．已知函数f（x）＝ln（2x）﹣f′（1）x，则f′（1）＝（　　）
A．1 B．﹣1 C． D．2
21．已知函数f（x）的导函数为f′（x），且，则（　　）
A． B． C． D．
22．已知函数f（x）的导函数为f'（x），且满足，则的值为（　　）
A． B． C． D．
23．下列求导运算结果正确的是（　　）
A． B．（xax）′＝ax（x+1）
C．（sinπ）′＝cosπ D．
24．下列导数运算错误的是（　　）
A． B．（cosx）′＝﹣sinx
C．（xex）′＝（x+1）ex D．（x﹣2）′＝﹣2x﹣1
25．已知f′（x）是函数f（x）的导函数，且对任意实数x都有f′（x）﹣f（x）＝ex（2x﹣1），f（0）＝﹣2，则不等式f（x）＜10ex的解集为（　　）
A．（﹣4，3） B．（﹣3，4） C．（﹣3，2） D．（﹣2，3）
26．已知函数f（x）及其导函数f′（x）的定义域为R，若f′（2）＝8，函数f（2x+1）和f′（x+2）均为偶函数，则的值为（　　）
A．8 B．1 C．0 D．﹣8

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