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第1章第3节 导数在研究函数中的应用
题型1 利用导数研究函数的单调性 题型2 利用导数求解函数的单调性和单调区间
题型3 由函数的单调性求解函数或参数（导数法） 题型4 利用导数研究函数的极值
题型5 函数在某点取得极值的条件 题型6 利用导数求解函数的极值
题型7 由函数的极值求解函数或参数 题型8 利用导数研究函数的最值
题型9 利用导数求解函数的最值 题型10 由函数的最值求解函数或参数（导数法）
▉题型1 利用导数研究函数的单调性
【知识点的认识】
1、导数和函数的单调性的关系：
（1）若f′（x）＞0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）＞0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；
（2）若f′（x）＜0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）＜0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间．
2、利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：
（1）确定f（x）的定义域；
（2）计算导数f′（x）；
（3）求出f′（x）＝0的根；
（4）用f′（x）＝0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）＞0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）＜0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间．
【解题方法点拨】
若在某区间上有有限个点使f′（x）＝0，在其余的点恒有f′（x）＞0，则f（x）仍为增函数（减函数的情形完全类似）．即在区间内f′（x）＞0是f（x）在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件．
1．已知函数y＝f（x）的导函数图象如图所示，则下列说法中错误的是（　　）
A．f（x）在区间（1，4）上单调递增
B．x＝7是y＝f（x）的极大值点
C．当4＜x＜7时，f（x）＞0
D．f（x）在区间（7，+∞）上单调递减
【答案】C
【解答】解：由导函数的图象可知：导函数在（1，4），导函数的符号为正，函数是增函数，A正确；
x＜7，f′（x）＞0，函数是增函数，x＞7，f′（x）＜0，函数是减函数，所以x＝7是y＝f（x）的极大值点，B正确；
f（x）在区间（7，+∞）上单调递减函数，D正确；
当4＜x＜7时，函数是增函数，可能f（x）＜0，所以C不正确；
故选：C．
2．已知函数．
（1）若f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为y＝x+b，求实数a，b的值；
（2）讨论f（x）的单调区间．
【答案】（1），b＝﹣4；
（2）当时，当时，f（x）单调递减；时，f（x）单调递增；
当时，f（x）单调在（0，+∞）递增；
当时，当，（2，+∞）时，f（x）单调递增；当时，f（x）单调递减；
当a≥1时，当x∈（0，2）时，f（x）单调递减；当x∈（2，+∞）时，f（x）单调递增．
【解答】解：（1）由题意函数，
可得，a＞0，x＞0，
因为f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为y＝x+b，
所以f′（1）＝1，即，
解得，所以，
所以y+3＝x﹣1 y＝x﹣4 b＝﹣4；
（2）由题意函数，
求导可得，
因为ax2＞0，
令f′（x）＝0可得x1＝2或，
1′，当时，可得当x∈（2，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，当x∈（0，2）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
2′，当0＜x2＜2时，即时，即由不等式可解得时，
可得当时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当，（2，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；
3′，当时，f′（x）≥0恒成立，f（x）单调在（0，+∞）单调递增；
4′，当时，当时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
综上，
当时，当时，f（x）单调递减；时，f（x）单调递增；
当时，f（x）单调在（0，+∞）递增；
当时，当，（2，+∞）时，f（x）单调递增；当时，f（x）单调递减；
当a≥1时，当x∈（0，2）时，f（x）单调递减；当x∈（2，+∞）时，f（x）单调递增．
▉题型2 利用导数求解函数的单调性和单调区间
【知识点的认识】
1、导数和函数的单调性的关系：
（1）若f′（x）＞0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）＞0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；
（2）若f′（x）＜0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）＜0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间．
2、利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：
（1）确定f（x）的定义域；
（2）计算导数f′（x）；
（3）求出f′（x）＝0的根；
（4）用f′（x）＝0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）＞0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）＜0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间．
【解题方法点拨】
若在某区间上有有限个点使f′（x）＝0，在其余的点恒有f′（x）＞0，则f（x）仍为增函数（减函数的情形完全类似）．即在区间内f′（x）＞0是f（x）在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件．
3．我们比较熟悉的网络新词，有“yyds”、“内卷”、“躺平”等，定义方程f（x）＝f′（x）的实数根x叫做函数f（x）的“躺平点”．若函数g（x）＝ex+x+2，h（x）＝lnx，φ（x）＝2025x2+2025的“躺平点”分别为a，b，c，则a，b，c的大小关系为（　　）
A．a＜c＜b B．c＜a＜b C．a＜b＜c D．c＜b＜a
【答案】A
【解答】解：因为g（x）＝ex+x+2，
所以g′（x）＝ex+1，令g（x）＝g′（x），可得ex+x+2＝ex+1，解得x＝﹣1，所以a＝﹣1，
又h（x）＝lnx，所以，令，
设，则，
所以m（x）在（0，+∞）单调递增，又，
所以存在b∈（1，e），使得m（b）＝0，即；
又φ（x）＝2025x2+2025，所以φ′（x）＝4050x，
令φ（x）＝φ′（x），可得2025x2+2025＝4050x，解得x＝1，所以c＝1，
综上可得b＞c＞a．
故选：A．
4．函数f（x）＝lnx﹣mx+1，若存在x∈（0，+∞），使f（x）≥0有解，则m的取值范围为（　　）
A．（﹣∞，1] B．（﹣∞，2] C．[1，+∞） D．[2，+∞）
【答案】A
【解答】解：若存在x∈（0，+∞），使得f（x）≥0有解，
因为函数f（x）＝lnx﹣mx+1，
所以lnx﹣mx+1≥0，
即．
设，（x＞0），
则．
令g′（x）＝0，解得x＝1，
当x∈（0，1）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增；
当x∈（1，+∞）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，
所以g（x）max＝g（1）＝1．
故m的取值范围为（﹣∞，1]．
故选：A．
5．已知x∈R，若ex﹣ax2﹣x﹣1≥0恒成立，求实数a的取值范围为　（﹣∞，0]　 ．
【答案】（﹣∞，0]．
【解答】解：令f（x）＝ex﹣ax2﹣x﹣1，求导得f′（x）＝ex﹣2ax﹣1，
令g（x）＝ex﹣2ax﹣1，求导得g′（x）＝ex﹣2a．
当a≤0时，g′（x）＝ex﹣2a＞0，此时g（x）在R上单调递增，由于g（0）＝0，
因此当x＜0时，f′（x）＜0；当x＞0时，f′（x）＞0，因此f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，
因此f（x）min＝f（0）＝0，因此原不等式恒成立，因此a≤0符合题意；
a＞0时，原不等式矛盾，理由如下：时，ex＜1，而ax2+x+1＞1，或，
综上所述，实数a的取值范围为（﹣∞，0]．
故答案为：（﹣∞，0]．
6．已知函数f（x）＝exsinx，g（x）＝excosx．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）求函数的值域；
（3）证明：当a＞1时，不等式e（a+1）x≥f（x）﹣g（x）+2ex在x∈[0，+∞）上恒成立．
【答案】（1）单调递增区间为；单调递减区间为；
（2）[﹣1，1]；
（3）证明：欲证e（a+1）x≥f（x）﹣g（x）+2ex在a＞1时恒成立，
即eax≥sinx﹣cosx+2，等价于ax≥ln（sinx﹣cosx+2），
即当a＞1时，ax﹣ln（sinx﹣cosx+2）≥0对任意的x≥0恒成立，
设F（x）＝ax﹣ln（sinx﹣cosx+2），则，
由（2）知，
所以当a＞1时，F′（x）＞0恒成立，F（x）在[0，+∞）是增函数，又F（0）＝0．
所以F（x）≥F（0）＝0，即ax≥ln（sinx﹣cosx+2），即eax≥sinx﹣cosx+2，
所以a＞1时不等式e（a+1）x≥f（x）﹣g（x）+2ex对任意的x≥0恒成立．
【解答】解：（1）由于f（x）＝exsinx，
所以，
当，即时，f′（x）＞0；
当，即时，f′（x）＜0．
所以f（x）的单调递增区间为；
单调递减区间为；
（2）由f（x）＝exsinx，g（x）＝excosx．
，
设，得sinx+cosx＝hsinx﹣hcosx+2h，
整理得（1﹣h）sinx+（1+h）cosx＝2h，①
当h＝1时，存在cosx＝1成立．
当h≠1时，①式可得，，
因为，
所以，两边平方得2h2≤2，解得h∈[﹣1，1]，
又h≠1，此时h∈[﹣1，1），
综上得的值域为[﹣1，1]．
（3）证明：欲证e（a+1）x≥f（x）﹣g（x）+2ex在a＞1时恒成立，
即eax≥sinx﹣cosx+2，等价于ax≥ln（sinx﹣cosx+2），
即当a＞1时，ax﹣ln（sinx﹣cosx+2）≥0对任意的x≥0恒成立，
设F（x）＝ax﹣ln（sinx﹣cosx+2），则，
由（2）知，
所以当a＞1时，F′（x）＞0恒成立，F（x）在[0，+∞）是增函数，又F（0）＝0．
所以F（x）≥F（0）＝0，即ax≥ln（sinx﹣cosx+2），即eax≥sinx﹣cosx+2，
所以a＞1时不等式e（a+1）x≥f（x）﹣g（x）+2ex对任意的x≥0恒成立．
7．已知函数f（x）＝2x3﹣ax2+b．若函数f（x）在x＝1处取得极小值﹣4．
（1）求实数a，b的值；
（2）求f（x）的单调区间和极大值．
【答案】（1）a＝3，b＝﹣3；
（2）f（x）的单调递增区间为（﹣∞，0]，[1，+∞），单调递减区间为（0，1）；极大值为﹣3．
【解答】解：（1）由题意得定义域为R，且f′（x）＝6x2﹣2ax，
因为函数f（x）在x＝1处取得极小值﹣4，
所以，解得，
所以f′（x）＝6x2﹣6x＝6x（x﹣1），
当x＜0或x＞1时，f′（x）＞0，当0＜x＜1时，f′（x）＜0，
所以f（x）在（﹣∞，0），（1，+∞）上递增，在（0，1）上递减，
所以当x＝1时，f（x）取到极小值，符合题意，
所以a＝3，b＝﹣3即为所求；
（2）由（1）知，f（x）的定义域为R，f′（x）＝6x2﹣6x＝6x（x﹣1），
令f′（x）＝0，则x＝0或x＝1，
所以f′（x）＞0 x＜0 或x＞1，所以f（x）在（﹣∞，0]，[1，+∞）上单调递增；
f′（x）＜0 0＜x＜1，f（x）在（0，1）单调递减，
所以f（x）的单调递增区间为（﹣∞，0]，[1，+∞），单调递减区间为（0，1）；
当x＝0时，函数f（x）取到极大值﹣3．
▉题型3 由函数的单调性求解函数或参数（导数法）
【知识点的认识】
1、导数和函数的单调性的关系：
（1）若f′（x）＞0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）＞0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；
（2）若f′（x）＜0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）＜0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间．
2、利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：
（1）确定f（x）的定义域；
（2）计算导数f′（x）；
（3）求出f′（x）＝0的根；
（4）用f′（x）＝0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）＞0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）＜0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间．
【解题方法点拨】
若在某区间上有有限个点使f′（x）＝0，在其余的点恒有f′（x）＞0，则f（x）仍为增函数（减函数的情形完全类似）．即在区间内f′（x）＞0是f（x）在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件．
8．若函数f（x）＝x2+alnx﹣x+1（a∈R）在上单调递增，则a的取值范围是（　　）
A．[0，+∞） B．（0，+∞） C． D．
【答案】A
【解答】解：因为函数f（x）＝x2+alnx﹣x+1在上单调递增，
所以0在上恒成立，
所以a≥﹣2x2+x在上恒成立，
根据二次函数的性质可知，当x时，﹣2x2+x≤0，
故a≥0．
故选：A．
9．若函数在上存在单调递减区间，则实数a的取值范围为（　　）
A．[﹣1，+∞） B．（﹣1，+∞） C．[0，+∞） D．（0，+∞）
【答案】B
【解答】解：函数在上存在单调递减区间，
依题意，在区间上能成立，
即在区间上能成立，
设，则，故只需求f（t）＝t2﹣2t在上的最小值，
而f（t）＝t2﹣2t＝（t﹣1）2﹣1在时，取得最小值﹣1，故得a＞﹣1．
故选：B．
10．已知函数f（x）＝lnx﹣ax在区间[1，3]上单调递减，则实数a的取值范围为（　　）
A．a≥1 B．a＞1 C． D．
【答案】A
【解答】解：因为f（x）＝lnx﹣ax，所以，
因为f（x）在区间[1，3]上单调递减，
所以f′（x）≤0，即，则在[1，3]上恒成立，
因为在[1，3]上单调递减，所以ymax＝1，故a≥1．
故选：A．
11．若函数f（x）＝ex（x2+a）在[﹣2，2]上单调递减，则实数a的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，0] B．（﹣∞，﹣8） C．（﹣∞，﹣8] D．[0，+∞）
【答案】C
【解答】解：f（x）＝ex（x2+a），
f′（x）＝ex（x2+a）+ex 2x＝ex（x2+2x+a），
因为函数f（x）＝ex（x2+a）在[﹣2，2]上单调递减，
所以ex（x2+2x+a）≤0在[﹣2，2]上恒成立，
所以x2+2x+a≤0在[﹣2，2]上恒成立，
所以a≤﹣x2﹣2x在[﹣2，2]上恒成立，
令g（x）＝﹣x2﹣2x，x∈[﹣2，2]，
所以x＝2时，g（x）min＝﹣22﹣2×2＝﹣8，
所以a≤﹣8，
所以a的取值范围为（﹣∞，﹣8]，
故选：C．
12．若函数在[2，+∞）上单调递增，则a的最大值为（　　）
A．4 B．8 C．12 D．16
【答案】D
【解答】解：依题意，0在[2，+∞）上恒成立，
即a≤2x3在[2，+∞）上恒成立，
又y＝2x3在[2，+∞）上单调递增，
所以y＝2x3在[2，+∞）上的最小值为16，
所以a≤16，故a的最大值为16．
故选：D．
▉题型4 利用导数研究函数的极值
【知识点的认识】
1、极值的定义：
（1）极大值：一般地，设函数f（x）在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＜f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极大值，记作y极大值＝f（x0），x0是极大值点；
（2）极小值：一般地，设函数f（x）在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＞f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极小值，记作y极小值＝f（x0），x0是极小值点．
2、极值的性质：
（1）极值是一个局部概念，由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小；
（2）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个；
（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值；
（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点．
3、判别f（x0）是极大、极小值的方法：
若x0满足f′（x0）＝0，且在x0的两侧f（x）的导数异号，则x0是f（x）的极值点，f（x0）是极值，并且如果f′（x）在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f（x）的极大值点，f（x0）是极大值；如果f′（x）在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值．
4、求函数f（x）的极值的步骤：
（1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）；
（2）求方程f′（x）＝0的根；
（3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值．
【解题方法点拨】
在理解极值概念时要注意以下几点：
（1）按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．
（2）极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小．
（3）若f（x）在（a，b）内有极值，那么f（x）在（a，b）内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．
（4）若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，
（5）可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点．
13．已知函数f（x）＝x3﹣2ax2+a2x+1在x＝1处有极小值，则a的值为（　　）
A．1 B．3 C．1或3 D．﹣1或3
【答案】A
【解答】解：∵f（x）＝x3﹣2ax2+a2x+1在x＝1处有极小值，f'（x）＝3x2﹣4ax+a2，
∴f'（1）＝3﹣4a+a2＝0，解得a＝1 或a＝3，
当a＝1时，f'（x）＝3x2﹣4x+1＝（3x﹣1）（x﹣1）＜0 ，
f（x）在、（1，+∞）上单调递增，在上单调递减，
f（x）在 x＝1 处取得极小值，符合题 意；
当a＝3时，f'（x）＝3x2﹣12x+9＝3（x﹣1）（x﹣3）＜0 1＜x＜3，
f（x）在（﹣∞，1）、（3，+∞）上单调递减，在（1，3）上单调递增，
f（x）在 x＝1 处取得极大值，不符合题意．
故选：A．
（多选）14．已知函数，则下列结论正确的是（　　）
A．f（x）为偶函数
B．x＝0为f（x）的导函数f′（x）的极大值点
C．x＝0是函数f（x）的极值点
D．函数f（x）的零点个数为1
【答案】BD
【解答】解：由函数f（x）的定义域为关于原点对称，
且f（﹣x）＝e﹣xcos（﹣x）﹣（﹣x）＝e﹣xcosx+x≠f（x），
所以函数f（x）不是偶函数，故A错误；
由f′（x）＝excosx﹣exsinx﹣1，
令g（x）＝f′（x）＝excosx﹣exsinx﹣1，
则g′（x）＝excosx﹣exsinx﹣exsinx﹣excosx＝﹣2exsinx，
令g′（x）＝0 ﹣2exsinx＝0 x＝kπ，k∈Z，
因为，所以x＝0，
当时，g′（x）＞0，所以g（x）在上单调递增，
当时，g′（x）＜0，所以g（x）在上单调递减，
所以x＝0为g（x）的极大值点，
即x＝0为f（x）的导函数f′（x）的极大值点，故B正确；
由B选项可知当时，
g（x）≤g（0）＝e0cos0﹣e0sin0﹣1＝0，
即当时，f′（x）≤0，
所以函数f（x）在上单调递减，
所以x＝0不是函数f（x）的极值点，故C错误；
由函数f（x）在上单调递减，
且，
，
所以函数f（x）在上只有1个零点，故D正确．
故选：BD
▉题型5 函数在某点取得极值的条件
【知识点的认识】
极值的判断首先要求：1、该处函数值有意义，2、该处函数连续．求极值的时候F'（X）＝0是首先考虑的，但是对于F'（X）无意义的点也要讨论，只要该点有函数值且函数连续、两边导函数值异号，就可以确定该点是极值点．具备了这些条件，我们进一步判定极大值和极小值：当这个点左边的导函数大于0时，即左边单调递增，右边的导函数小于0时，即右边单调递减，此时这个点就是极大值，你可以把他理解成波峰的那个点；那么波谷的那个点就是极小值，情况相反．
【解题方法点拨】
这也是导数里面很重要的一个点，可以单独出题，也可以作为大题的一个小问，还可以隐含在条件中作为隐含信息，大家务必理解，并灵活运用．
15．已知f（x）是R上的可导函数，则“f（x）在x＝x0处取得极值”是“f′（x0）＝0”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
【答案】A
【解答】解：因为f（x）在R上可导，所以若f（x）在x＝x0处取得极值，则必有f′（x0）＝0，充分性成立；
若f′（x0）＝0，f（x）在x＝x0处不一定取得极值，例如f（x）＝x3，f'（x）＝3x2，满足f'（0）＝0，但x＝0不是f（x）的极值点，所以必要性不成立；
故“f（x）在x＝x0处取得极值”是“f′（x0）＝0”的充分不必要条件．
故选：A．
16．如图是y＝f（x）的导函数f′（x）的图象，对于下列四个判断，其中正确的判断是（　　）
A．当x＝3时，f（x）取得极小值
B．f（x）在[﹣2，1]上是增函数
C．当x＝1时，f（x）取得极大值
D．f（x）在[﹣1，2]上是增函数，在[2，4]上是减函数
【答案】D
【解答】解：如图是y＝f（x）的导函数f′（x）的图象，
对于A，f′（3）≠0，不满足取极值的必要条件，故A错误；
对于B，当﹣2＜x＜﹣1时，f′（x）＜0，这表明f（x）在（﹣2，﹣1）上单调递增，故B错误；
对于C，f′（1）≠0，不满足取极值的必要条件，故C错误；
对于D，当﹣1＜x＜2时，f′（x）＞0，当2＜x＜4时，f′（x）＜0，
所以f（x）在[﹣1，2]上是增函数，在[2，4]上是减函数，故D正确．
故选：D．
（多选）17．设函数y＝f（x）在R上可导，其导函数为y＝f′（x），且函数g（x）＝（x﹣2）f′（x）的图象如图所示，则下列结论正确的有（　　）
A．y＝f（x）仅有两个极值点
B．y＝f（x）有两个极大值点
C．x＝1是函数y＝f（x）的极大值点
D．x＝2是函数y＝f（x）的极大值点
【答案】BC
【解答】解：由g（x）＝（x﹣2）f′（x）的图象得：
当x＜1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
当1＜x＜2时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
当2＜x＜4时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
当x＞4时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
所以f（x）在x＝1，x＝4处取得极大值，在x＝2处取得极小值，故A错误；B正确；C正确；D错误．
故选：BC．
▉题型6 利用导数求解函数的极值
【知识点的认识】
1、判别f（x0）是极大、极小值的方法：
若x0满足f′（x0）＝0，且在x0的两侧f（x）的导数异号，则x0是f（x）的极值点，f（x0）是极值，并且如果f′（x）在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f（x）的极大值点，f（x0）是极大值；如果f′（x）在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值．
2、求函数f（x）的极值的步骤：
（1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）；
（2）求方程f′（x）＝0的根；
（3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值．
【解题方法点拨】
﹣求导：计算函数的导数f'（x）．
﹣零点分析：求解f'（x）＝0以找到可能的极值点．
﹣极值判断：通过二阶导数或导数符号变化判断极值类型．
18．函数f（x）＝2x﹣tanx﹣π在区间的极大值、极小值分别为（　　）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【解答】解：由题意，得，
当时，2cos2x﹣1＜0，f′（x）＜0；
当时，2cos2x﹣1＞0，f′（x）＞0．
所以f（x）在上单调递减，在（，）上单调递增，在上单调递减．
当时，f（x）取得极小值，为；
当时，f（x）取得极大值，为．
故选：D．
19．已知在区间内存在2个极值点，则实数a的取值范围为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解答】解：因为f′（x）＝aex﹣x，可知f′（x）在内有2个变号零点，
由f′（x）＝0可得，可知：y＝a与在内有2个交点，
又因为，
当x∈（，1）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增；
当x∈（1，2）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，
则，
且，，
结合图象可得，所以实数a的取值范围为．
故选：B．
（多选）20．已知函数f（x）＝|2lnx﹣1|，若f（a）＝f（b），a＜b，则下列说法中正确的是（　　）
A．函数的极小值点为
B．ab＝1
C．ea+b的最小值为2e
D．若方程f（x）＝kx有三个不等根，则k范围是
【答案】AC
【解答】解：，
对于A，当时，f（x）＝2lnx﹣1在上单调递增；
当时，f（x）＝﹣2lnx+1在上单调递减，
所以是函数f（x）的极小值点，故A正确；
对于B，由f（a）＝f（b）且a＜b，又f（x）在上单调递减，在上单调递增；
所以，且﹣2lna+1＝2lnb﹣1，∴lna+lnb＝1，即ln（ab）＝1，得ab＝e，故B错误；
对于C，由B的解析，且ab＝e，
所以，当且仅当ea＝b，即a＝1，b＝e时取等号，
所以ea+b的最小值为2e，故C正确；
对于D，方程f（x）＝kx有三个不等根，即y＝f（x）与y＝kx有3个不同的交点，如图，
当时，f（x）＝2lnx﹣1，则，
设y＝kx与y＝f（x）的切点为（x0，2lnx0﹣1），则切线的斜率，
解得，所以，
要使得y＝f（x）与y＝kx有3个不同的交点，则，即k的取值范围为，故D错误．
故选：AC．
（多选）21．如图是y＝f（x）的导数y＝f′（x）的图象，则下面判断错误的是（　　）
A．在（﹣3，1）内f（x）是增函数
B．在（3，4）内f（x）是减函数
C．在x＝1时f（x）取得极大值
D．当x＝4时f（x）取得极小值
【答案】AC
【解答】解：由y＝f′（x）的图象，可知时，f′（x）＜0，时，f′（x）＞0，
因此f（x）在上单调递减，在上单调递增，故A错误；
由y＝f′（x）的图象，可知x∈（3，4）时，f′（x）＜0，因此f（x）在（3，4）上单调递减，故B正确；
由y＝f′（x）的图象，可知时，f′（x）＞0，
因此f（x）在上单调递增，因为x＝1左右两边的单调性相同，因此f（x）取不到极大值，故C错误；
由y＝f′（x）的图象，可知x∈（2，4）时，f′（x）＜0，x∈（4，5）时，f′（x）＞0，
因此f（x）在（2，4）上单调递减，在（4，5）上单调递增，
因此在x＝4时f（x）取得极小值，故D正确．
故选：AC．
22．已知函数f（x）＝ax3+2bx+6在x＝﹣1处取得极大值10．
（1）求a，b的值；
（2）求f（x）在[﹣2，2]上的最值．
【答案】（1）a＝2，b＝﹣3；
（2）最大值为10，最小值为2．
【解答】解：（1）由题意，f′（x）＝3ax2+2b，
因为函数f（x）在x＝﹣1处取得极大值10，
所以f（﹣1）＝﹣a﹣2b+6＝10且f′（﹣1）＝3a+2b＝0，解得a＝2，b＝﹣3，
则f′（x）＝6x2﹣6＝6（x+1）（x﹣1），
令f′（x）＝0，则x＝±1，
当x＜﹣1或x＞1时，f′（x）＞0，当﹣1＜x＜1时，f′（x）＜0，
故f（x）在（﹣∞，﹣1），（1，+∞）上单调递增，在（﹣1，1）上单调递减，
故f（x）在x＝﹣1处取到极大值，故a＝2，b＝﹣3满足题意，
（2）由（1）知：f（x）在（﹣2，﹣1）和（1，2）单调递增，在（﹣1，1）单调递减，
且f（x）极大值＝f（﹣1）＝10，f（x）极小值＝f（1）＝2，f（﹣2）＝﹣16+12+6＝2，f（2）＝16﹣12+6＝10，
故最大值为10，最小值为2，
▉题型7 由函数的极值求解函数或参数
【知识点的认识】
1、极值的性质：
（1）极值是一个局部概念，由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小；
（2）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个；
（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值；
（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点．
2、判别f（x0）是极大、极小值的方法：
若x0满足f′（x0）＝0，且在x0的两侧f（x）的导数异号，则x0是f（x）的极值点，f（x0）是极值，并且如果f′（x）在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f（x）的极大值点，f（x0）是极大值；如果f′（x）在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值．
【解题方法点拨】
﹣极值分析：利用极值点和极值性质求解函数参数．
﹣参数求解：结合极值点的坐标，利用极值条件求解函数的参数．
﹣应用：将极值与实际问题结合，解决涉及函数参数的复杂问题．
23．设函数f（x）在R上可导，其导函数为f′（x），且函数f（x）在x＝﹣2处取得极小值，则函数y＝xf′（x）的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解答】解：由函数f（x）在x＝﹣2处取得极小值，则函数f（x）在x＝﹣2的左侧单调递减，f′（x）＜0；在右侧单调递增，f′（x）＞0，且f′（﹣2）＝0，
则函数y＝xf′（x）的图象可能是C．
故选：C．
24．若函数f（x）＝xex﹣（m﹣1）e2x存在唯一极值点，则实数m的取值范围是（　　）
A． B． C．m＜1 D．m≤1
【答案】D
【解答】解：函数f（x）＝xex﹣（m﹣1）e2x，x∈R，
那么导函数f′（x）＝（x+1）ex﹣2（m﹣1）e2x＝[x+1﹣2（m﹣1）ex]ex，
如果f（x）＝xex﹣（m﹣1）e2x存在唯一极值点，
那么方程f′（x）＝0在x∈R上有唯一的根，
因此根据f′（x）＝0，可得x+1﹣2（m﹣1）ex＝0，那么有唯一的根，
y＝2m﹣2与的图象有一个交点（非切点），
又因为导函数，
所以当x∈（0，+∞）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，
当x∈（﹣∞，0）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，
所以函数g（x）的极大值为g（0）＝1，
且当x＜﹣1时，g（x）＜0，当x＞﹣1时，g（x）＞0，
则函数g（x）的图象如下图所示：
所以当2m﹣2≤0时，
即当m≤1时，直线y＝2m﹣2与函数的图象有一个交点（非切点），
因此，实数m的取值范围是（﹣∞，1]．
故选：D．
25．若函数f（x）＝x3+ax2+x无极值，则a的取值范围是（　　）
A． B． C．（﹣3，3） D．[﹣3，3]
【答案】B
【解答】解：因为函数f（x）＝x3+ax2+x无极值，
所以f′（x）＝3x2+2ax+1≥0恒成立，
所以Δ＝4a2﹣12≤0，解得．
故选：B．
26．已知f（x）＝x2（x﹣k）的一个极值点为2，则实数k＝（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解答】解：导函数f′（x）＝3x2﹣2kx，令导函数f′（x）＝0，得或x＝0，
又因为函数f（x）的一个极值点为2，那么，所以k＝3，
当x＞2时，f′（x）＞0；当x＜2时，f（′x）＜0，为极小值，满足题意．
故选：B．
27．已知函数f（x）＝x3+ax2+bx﹣a2在x＝1处取得极值﹣8，则a＝（　　）
A．﹣3 B．2 C．﹣2 D．﹣3或2
【答案】B
【解答】解：由f（x）＝x3+ax2+bx﹣a2得f′（x）＝3x2+2ax+b，所以f′（1）＝3+2a+b＝0，
又f（1）＝1+a+b﹣a2＝﹣8，解得a＝﹣3或2；
当a＝﹣3时，b＝3，此时f′（x）＝3x2﹣6x+3＝3（x﹣1）2≥0，
此时x＝1不是函数的极值点，不合题意，故a＝2．
故选：B．
▉题型8 利用导数研究函数的最值
【知识点的认识】
1、函数的最大值和最小值
观察图中一个定义在闭区间[a，b]上的函数f（x）的图象．图中f（x1）与f（x3）是极小值，f（x2）是极大值．函数f（x）在[a，b]上的最大值是f（b），最小值是f（x1）．
一般地，在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值．
说明：（1）在开区间（a，b）内连续的函数f（x）不一定有最大值与最小值．如函数f（x）在（0，+∞）内连续，但没有最大值与最小值；
（2）函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．
（3）函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，是f（x）在闭区间[a，b]上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．
（4）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个
2、用导数求函数的最值步骤：
由上面函数f（x）的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．
设函数f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，则求f（x）在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：
（1）求f（x）在（a，b）内的极值；
（2）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较得出函数f（x）在[a，b]上的最值．
【解题方法点拨】
在理解极值概念时要注意以下几点：
（1）按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．
（2）极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小．
（3）若f（x）在（a，b）内有极值，那么f（x）在（a，b）内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．
（4）若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，
（5）可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点．
（多选）28．已知函数，其中x∈R，则（　　）
A．不等式f（x）≥﹣e2对 x∈R恒成立
B．若直线y＝k与函数f（x）的图像有且只有两个不同的公共点，则k的取值范围是（﹣e2，0]
C．方程f（f（x））＝0恰有4个实根
D．若关于x的不等式f（x）＜ax恰有1个负整数解，则a的取值范围为
【答案】ACD
【解答】解：对于A，由题可得：，
当x＜﹣2或x＞1时，f′（x）＜0，当﹣2＜x＜1时，f′（x）＞0，
所以函数f（x）的单调减区间为（﹣∞，﹣2），（1，∞），函数f（x）的单调减区间为（﹣2，1），
所以f（x）在x＝﹣2处取得极小值，f（﹣2）＝﹣e2，在x＝1处取得极大值，，而x＞1，f（x）＞0恒成立，
故f（x）的最小值是﹣e2，即不等式f（x）≥﹣e2对 x∈R恒成立，所以A选项正确；
对于B选项，方程f（x）＝k有且只有两个不同实数根，即直线y＝k与函数f（x）的图像有且只有两个不同的公共点，
根据A选项分析，函数f（x）与直线y＝k图像如下：
由于f（﹣2）＝﹣e2，，
由图可得，当﹣e2＜k≤0或时，直线y＝k与函数f（x）的图像有且只有两个不同的公共点，故B不正确；
对于C，由f（x）＝0，解得，
令和，由于，
由图像知，和分别有两个解，
综上，方程f（f（x））＝0恰有4个实根，故C正确；
对于D，直线y＝ax过原点，且f（﹣1）＝﹣e，f（﹣2）＝﹣e2，
即，，易判断k1＜k2，
若关于x的不等式f（x）＜ax恰有1个负整数解，即函数f（x）在y＝ax的图像下方对应的x值恰有1个负整数，
由于可得k1≤a＜k2，即，故D正确．
故选：ACD．
29．已知函数f（x）＝x（alnx﹣x﹣1），其中a∈R．
（1）当a＝1时，求证：f（x）在（0，+∞）上单调递减；
（2）若f（x）+x＝0有两个不相等的实数根x1，x2．
（ⅰ）求实数a的取值范围；
（ⅱ）求证：x1 x2＞e2．
【答案】（1）证明过程见解答；
（2）（i）（e，+∞），（ii）证明过程见解答．
【解答】解：（1）证明：当a＝1时，f（x）＝x（lnx﹣x﹣1），∴f′（x）＝lnx﹣2x，
令φ（x）＝f′（x）＝lnx﹣2x，则，
令φ′（x）＞0，得，φ′（x）＜0，得，
∴函数φ（x）在上单调递增，在上单调递减，
∴，即f′（x）＜0，
∴函数f（x）在（0，+∞）上单调递减．
（2）（i）f（x）+x＝0有两个不相等的实数根x1，x2，即方程alnx﹣x＝0有两个不相等的实数根x1，x2，
令g（x）＝alnx﹣x，x＞0，
∴，当a≤0时，g′（x）＜0，即函数g（x）在（0，+∞）上单调递减，函数g（x）至多一个零点，不合题意；
当a＞0时，x∈（0，a），g′（x）＞0，x∈（a，+∞），g′（x）＜0，
∴函数g（x）在（0，a）上单调递增，在（a，+∞）上单调递减，
∴g（x）≤g（a）＝alna﹣a，函数g（x）有两个零点，则alna﹣a＞0，解得a＞e，
又g（1）＝﹣1＜0，g（e）＝a﹣e＞0，不妨设x1＜x2，∴1＜x1＜e＜x2，
∴实数a的取值范围为（e，+∞）．
（ii）证明：要证，即证lnx1+lnx2＞2，
又alnx1＝x1，alnx2＝x2，1＜x1＜e＜x2，即证x1+x2＞2a，
将alnx1＝x1，alnx2＝x2两式相减可得，x2﹣x1＝a（lnx2﹣lnx1），
只需证，
即证，令，即证；
设函数，t＞1，则，
∴函数h（t）在（1，+∞）上单调递增，则h（t）＞h（1）＝0，即，
∴原不等式得证．
▉题型9 利用导数求解函数的最值
【知识点的认识】
1、函数的最大值和最小值
观察图中一个定义在闭区间[a，b]上的函数f（x）的图象．图中f（x1）与f（x3）是极小值，f（x2）是极大值．函数f（x）在[a，b]上的最大值是f（b），最小值是f（x1）．
一般地，在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值．
说明：（1）在开区间（a，b）内连续的函数f（x）不一定有最大值与最小值．如函数f（x）在（0，+∞）内连续，但没有最大值与最小值；
（2）函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．
（3）函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，是f（x）在闭区间[a，b]上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．
（4）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个
2、用导数求函数的最值步骤：
由上面函数f（x）的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．
设函数f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，则求f（x）在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：
（1）求f（x）在（a，b）内的极值；
（2）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较得出函数f（x）在[a，b]上的最值．
【解题方法点拨】
﹣求导：计算函数的导数f'（x）．
﹣极值点：求解f'（x）＝0以找到极值点．
﹣边界条件：结合函数的定义域边界点计算函数值，比较得到最值．
30．已知函数f（x）＝xeax+a（1﹣e）x﹣（e﹣1）lnx﹣1恰有2个零点，则实数a的取值范围为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解答】解：令f（x）＝0，得xeax+a（1﹣e）x﹣（e﹣1）lnx﹣1＝0，即eax+lnx+（1﹣e）（lnx+ax）﹣1＝0，
令ax+lnx＝t，则et+（1﹣e）t﹣1＝0，
令h（x）＝ex+（1﹣e）x﹣1，则h′（x）＝ex+1﹣e．
令h′（x）＞0，可得x＞ln（e﹣1），令h′（x）＜0，可得x＜ln（e﹣1），
∴h（x）在（﹣∞，ln（e﹣1））上单调递减，在（ln（e﹣1），+∞）上单调递增，
又0＜ln（e﹣1）＜1，h（0）＝h（1）＝0，则h（x）＝0有且只有两个根，分别为0，1．
当a≥0时，函数f（x）恰有2个零点等价于y＝ax+lnx的图象与直线y＝0和y＝1共有2个交点．
令p（x）＝lnx+ax，则，则p（x）在区间（0，+∞）上单调递增，
又x→0，p（x）→﹣∞，x→+∞，p（x）→+∞，即p（x）∈R，则y＝ax+lnx的图象与直线y＝0和y＝1各有1个交点，符合题意．
当a＜0时，函数f（x）恰有2个零点，等价于函数y＝lnx的图象与直线y＝﹣ax，y＝1﹣ax的图象共有2个交点，
如图1，当y＝﹣ax与y＝lnx相切，设对应切点为（x3，y3），∵，
则相应切线方程为，则，解得；
如图2，当y＝1﹣ax与y＝lnx相切，设对应切点为（x4，y4），
则相应切线方程为lnx4﹣1＝1﹣ax，则，解得a，
则．
综上，．
故选：D．
31．已知函数f（x）＝xex﹣ax﹣bex+ab（a＞0），若f（x）≥0，则最大值为（　　）
A．e﹣2 B．e﹣1 C．e D．e2
【答案】A
【解答】解：因为f（x）＝xex﹣ax﹣bex+ab＝ex（x﹣b）﹣a（x﹣b）＝（x﹣b）（ex﹣a），
所以f（x）＝0 x＝b或x＝lna．
①当b＞lna：根据f（x）≥0，解得x≤lna或x≥b，f（x）≥0不恒成立；
②当b＜lna：根据f（x）≥0，解得x≤b或x≥lna，f（x）≥0不恒成立．
所以b＝lna即eb＝a，f（x）≥0恒成立．
所以．
令g（b），g′（b），g′（b）＝0即为b＝2．
所以当b∈（﹣∞，2），g′（b）＞0，g（b）单调递增；当b∈（2，+∞）时，g′（b）＜0，g（b）递减．
所以g（b）max＝g（2）e﹣2．
所以（）max＝g（b）max＝e﹣2．
故选：A．
32．函数f（x）＝x+cosx在区间上的最大值为（　　）
A．π B． C． D．π﹣1
【答案】D
【解答】解：由题意，f′（x）＝1﹣sinx≥0，
所以f（x）在上单调递增，
所以f（x）max＝f（π）＝π﹣1．
故选：D．
33．把一个球形的原材料切割成体积为2的正四棱锥，则球形原材料的半径至少为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：易知当体积为2的正四棱锥的所有顶点均在球体的表面时，球形原材料的半径R最小．
设正四棱锥P﹣ABCD的底面边长为a，球心为O，底面中心为O′，高为O′P＝h，如下图所示：
易知底面ABCD的外接圆的半径为，
由球的性质可知OA2＝O′A2+O′O2，即，
整理得，
又正四棱锥的体积为2，所以，所以a2h＝6，所以．
设，则，
由f′（h）＝0得，，当时，f′（h）＜0，f（h）单调递减；
当时，f′（h）＞0，f（h）单调递增，
所以．
故选：B．
34．如图所示，函数y＝f（x）及其导函数y＝f′（x）的图象有且仅有一个公共点A（1，1），则下列说法正确的是（　　）
A．函数y＝f（x） ex的最大值为
B．函数y＝f（x） ex的最小值为
C．函数的最大值为
D．函数的最小值为
【答案】C
【解答】解：如图，如果C2是函数f（x）的图象，则因曲线C2有升有降，故导函数f′（x）的图象C1上点的纵坐标应是正负相间，显然不符合，
曲线C1为函数f（x）的图象，C2为函数f′（x）的图象．
由图可得，当x＜1时，f′（x）＞f（x）＞0，当x＞1时，0＜f′（x）＜f（x），且f（1）＝f′（1）＝1．
对于AB，由y＝f（x） ex，求导得y′＝[f′（x）+f（x）]ex，无法判断f′（x）+f（x）的正负情况，故AB错误；
对于CD，由求导得，
因为函数y＝f（x）及其导函数y＝f′（x）的图象有且仅有一个公共点A（1，1），即f′（1）﹣f（1）＝0，
由上分析，当x＜1时y′＞0，当x＞1时，y′＜0，
即函数在（﹣∞，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，
故当x＝1时，函数取得极大值，也是最大值，即C正确，D错误．
故选：C．
▉题型10 由函数的最值求解函数或参数（导数法）
【知识点的认识】
1、函数的最大值和最小值
观察图中一个定义在闭区间[a，b]上的函数f（x）的图象．图中f（x1）与f（x3）是极小值，f（x2）是极大值．函数f（x）在[a，b]上的最大值是f（b），最小值是f（x1）．
一般地，在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值．
说明：（1）在开区间（a，b）内连续的函数f（x）不一定有最大值与最小值．如函数f（x）在（0，+∞）内连续，但没有最大值与最小值；
（2）函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．
（3）函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，是f（x）在闭区间[a，b]上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．
（4）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个
2、用导数求函数的最值步骤：
由上面函数f（x）的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．
设函数f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，则求f（x）在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：
（1）求f（x）在（a，b）内的极值；
（2）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较得出函数f（x）在[a，b]上的最值．
【解题方法点拨】
﹣最值分析：利用最值点的坐标和最值性质求解函数参数．
﹣参数求解：结合最值点和最值条件，利用最值信息求解函数的参数．
﹣应用：将最值与实际问题结合，解决涉及函数参数的复杂问题．
35．若函数在（a﹣4，a+1）上有最大值，则实数a的取值范围为（　　）
A．（﹣3，2] B．（﹣3，2） C．（﹣3，0） D．（﹣3，0]
【答案】D
【解答】解：f′（x）＝x2+2x＝x（x+2），
当x＞﹣2或x＜0时，f′（x）＞0，函数单调递增，当﹣2＜x＜0时，f′（x）＜0，函数单调递减，
因为f（x）在（a﹣4，a+1）上有最大值，
所以﹣2∈（a﹣4，a+1），
因为f（1）＝f（﹣2）且x＞1时，函数单调递增，
当x＞1时即a﹣4＜﹣2＜a+1≤1，
解得﹣3＜a≤0．
故选：D．
36．若函数在区间（2m﹣2，3+m）上存在最值，则m的取值范围是（　　）
A．m＜﹣1 B．m＞2 C．﹣1＜m＜2 D．m＜﹣1或m＞2
【答案】C
【解答】解：由题意可得，f'（x）＝（x﹣2）ex+x﹣2＝（x﹣2）（ex+1），
则当x＞2时，f'（x）＞0，当x＜2时，f'（x）＜0，
即f（x）在（﹣∞，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增，
即f（x）在x＝2处取得最值，则有 2m﹣2＜2＜3+m，解得﹣1＜m＜2．
故选：C．
37．若函数f（x）＝kx﹣ex在（1，+∞）上不存在最值，则实数k的取值范围为　（﹣∞，e]　 ．
【答案】（﹣∞，e]．
【解答】解：由题可得f′（x）＝k﹣ex，
当k＞0时，令f′（x）＝k﹣ex＝0，可得x＝lnk，
令f′（x）＞0，则x＜lnk，令f′（x）＜0，则x＞lnk，
所以函数f（x）在（﹣∞，lnk）上单调递增，在（lnk，+∞）上单调递减，
若函数f（x）＝kx﹣ex在（1，+∞）上不存在最值，则lnk≤1，即0＜k≤e；
当k≤0时，f′（x）＝k﹣ex＜0，函数f（x）在（1，+∞）上单调递减，不存在最值；
综上所述，实数k的取值范围为（﹣∞，e]．
故答案为：（﹣∞，e]．
38．已知函数f（x）＝﹣4alnx+x2﹣1．
（1）当a＝1时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）若f（x）的最小值为﹣1，求a的值．
【答案】（1）2x+y﹣2＝0；
（2）．
【解答】解：（1）当a＝1时，f（x）＝﹣4lnx+x2﹣1，则f（1）＝0，
由，得f′（1）＝﹣2，
所以所求的切线方程为y＝﹣2x+2，即2x+y﹣2＝0．
（2）由题意得f（x）的定义域为（0，+∞），
由f（x）＝﹣4alnx+x2﹣1，得，
当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上单调递增，没有最小值；
当a＞0时，令f′（x）＜0，得，令f′（x）＞0，得，
则f（x）在上单调递减，在上单调递增，
所以，
得2a（1﹣ln2a）＝0，得．第1章第3节 导数在研究函数中的应用
题型1 利用导数研究函数的单调性 题型2 利用导数求解函数的单调性和单调区间
题型3 由函数的单调性求解函数或参数（导数法） 题型4 利用导数研究函数的极值
题型5 函数在某点取得极值的条件 题型6 利用导数求解函数的极值
题型7 由函数的极值求解函数或参数 题型8 利用导数研究函数的最值
题型9 利用导数求解函数的最值 题型10 由函数的最值求解函数或参数（导数法）
▉题型1 利用导数研究函数的单调性
【知识点的认识】
1、导数和函数的单调性的关系：
（1）若f′（x）＞0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）＞0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；
（2）若f′（x）＜0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）＜0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间．
2、利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：
（1）确定f（x）的定义域；
（2）计算导数f′（x）；
（3）求出f′（x）＝0的根；
（4）用f′（x）＝0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）＞0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）＜0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间．
【解题方法点拨】
若在某区间上有有限个点使f′（x）＝0，在其余的点恒有f′（x）＞0，则f（x）仍为增函数（减函数的情形完全类似）．即在区间内f′（x）＞0是f（x）在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件．
1．已知函数y＝f（x）的导函数图象如图所示，则下列说法中错误的是（　　）
A．f（x）在区间（1，4）上单调递增
B．x＝7是y＝f（x）的极大值点
C．当4＜x＜7时，f（x）＞0
D．f（x）在区间（7，+∞）上单调递减
2．已知函数．
（1）若f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为y＝x+b，求实数a，b的值；
（2）讨论f（x）的单调区间．
▉题型2 利用导数求解函数的单调性和单调区间
【知识点的认识】
1、导数和函数的单调性的关系：
（1）若f′（x）＞0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）＞0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；
（2）若f′（x）＜0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）＜0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间．
2、利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：
（1）确定f（x）的定义域；
（2）计算导数f′（x）；
（3）求出f′（x）＝0的根；
（4）用f′（x）＝0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）＞0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）＜0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间．
【解题方法点拨】
若在某区间上有有限个点使f′（x）＝0，在其余的点恒有f′（x）＞0，则f（x）仍为增函数（减函数的情形完全类似）．即在区间内f′（x）＞0是f（x）在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件．
3．我们比较熟悉的网络新词，有“yyds”、“内卷”、“躺平”等，定义方程f（x）＝f′（x）的实数根x叫做函数f（x）的“躺平点”．若函数g（x）＝ex+x+2，h（x）＝lnx，φ（x）＝2025x2+2025的“躺平点”分别为a，b，c，则a，b，c的大小关系为（　　）
A．a＜c＜b B．c＜a＜b C．a＜b＜c D．c＜b＜a
4．函数f（x）＝lnx﹣mx+1，若存在x∈（0，+∞），使f（x）≥0有解，则m的取值范围为（　　）
A．（﹣∞，1] B．（﹣∞，2] C．[1，+∞） D．[2，+∞）
5．已知x∈R，若ex﹣ax2﹣x﹣1≥0恒成立，求实数a的取值范围为　 ．
6．已知函数f（x）＝exsinx，g（x）＝excosx．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）求函数的值域；
（3）证明：当a＞1时，不等式e（a+1）x≥f（x）﹣g（x）+2ex在x∈[0，+∞）上恒成立．
7．已知函数f（x）＝2x3﹣ax2+b．若函数f（x）在x＝1处取得极小值﹣4．
（1）求实数a，b的值；
（2）求f（x）的单调区间和极大值．
▉题型3 由函数的单调性求解函数或参数（导数法）
【知识点的认识】
1、导数和函数的单调性的关系：
（1）若f′（x）＞0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）＞0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；
（2）若f′（x）＜0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）＜0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间．
2、利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：
（1）确定f（x）的定义域；
（2）计算导数f′（x）；
（3）求出f′（x）＝0的根；
（4）用f′（x）＝0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）＞0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）＜0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间．
【解题方法点拨】
若在某区间上有有限个点使f′（x）＝0，在其余的点恒有f′（x）＞0，则f（x）仍为增函数（减函数的情形完全类似）．即在区间内f′（x）＞0是f（x）在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件．
8．若函数f（x）＝x2+alnx﹣x+1（a∈R）在上单调递增，则a的取值范围是（　　）
A．[0，+∞） B．（0，+∞） C． D．
9．若函数在上存在单调递减区间，则实数a的取值范围为（　　）
A．[﹣1，+∞） B．（﹣1，+∞） C．[0，+∞） D．（0，+∞）
10．已知函数f（x）＝lnx﹣ax在区间[1，3]上单调递减，则实数a的取值范围为（　　）
A．a≥1 B．a＞1 C． D．
11．若函数f（x）＝ex（x2+a）在[﹣2，2]上单调递减，则实数a的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，0] B．（﹣∞，﹣8） C．（﹣∞，﹣8] D．[0，+∞）
12．若函数在[2，+∞）上单调递增，则a的最大值为（　　）
A．4 B．8 C．12 D．16
▉题型4 利用导数研究函数的极值
【知识点的认识】
1、极值的定义：
（1）极大值：一般地，设函数f（x）在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＜f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极大值，记作y极大值＝f（x0），x0是极大值点；
（2）极小值：一般地，设函数f（x）在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＞f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极小值，记作y极小值＝f（x0），x0是极小值点．
2、极值的性质：
（1）极值是一个局部概念，由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小；
（2）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个；
（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值；
（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点．
3、判别f（x0）是极大、极小值的方法：
若x0满足f′（x0）＝0，且在x0的两侧f（x）的导数异号，则x0是f（x）的极值点，f（x0）是极值，并且如果f′（x）在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f（x）的极大值点，f（x0）是极大值；如果f′（x）在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值．
4、求函数f（x）的极值的步骤：
（1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）；
（2）求方程f′（x）＝0的根；
（3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值．
【解题方法点拨】
在理解极值概念时要注意以下几点：
（1）按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．
（2）极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小．
（3）若f（x）在（a，b）内有极值，那么f（x）在（a，b）内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．
（4）若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，
（5）可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点．
13．已知函数f（x）＝x3﹣2ax2+a2x+1在x＝1处有极小值，则a的值为（　　）
A．1 B．3 C．1或3 D．﹣1或3
（多选）14．已知函数，则下列结论正确的是（　　）
A．f（x）为偶函数
B．x＝0为f（x）的导函数f′（x）的极大值点
C．x＝0是函数f（x）的极值点
D．函数f（x）的零点个数为1
▉题型5 函数在某点取得极值的条件
【知识点的认识】
极值的判断首先要求：1、该处函数值有意义，2、该处函数连续．求极值的时候F'（X）＝0是首先考虑的，但是对于F'（X）无意义的点也要讨论，只要该点有函数值且函数连续、两边导函数值异号，就可以确定该点是极值点．具备了这些条件，我们进一步判定极大值和极小值：当这个点左边的导函数大于0时，即左边单调递增，右边的导函数小于0时，即右边单调递减，此时这个点就是极大值，你可以把他理解成波峰的那个点；那么波谷的那个点就是极小值，情况相反．
【解题方法点拨】
这也是导数里面很重要的一个点，可以单独出题，也可以作为大题的一个小问，还可以隐含在条件中作为隐含信息，大家务必理解，并灵活运用．
15．已知f（x）是R上的可导函数，则“f（x）在x＝x0处取得极值”是“f′（x0）＝0”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
16．如图是y＝f（x）的导函数f′（x）的图象，对于下列四个判断，其中正确的判断是（　　）
A．当x＝3时，f（x）取得极小值
B．f（x）在[﹣2，1]上是增函数
C．当x＝1时，f（x）取得极大值
D．f（x）在[﹣1，2]上是增函数，在[2，4]上是减函数
（多选）17．设函数y＝f（x）在R上可导，其导函数为y＝f′（x），且函数g（x）＝（x﹣2）f′（x）的图象如图所示，则下列结论正确的有（　　）
A．y＝f（x）仅有两个极值点
B．y＝f（x）有两个极大值点
C．x＝1是函数y＝f（x）的极大值点
D．x＝2是函数y＝f（x）的极大值点
▉题型6 利用导数求解函数的极值
【知识点的认识】
1、判别f（x0）是极大、极小值的方法：
若x0满足f′（x0）＝0，且在x0的两侧f（x）的导数异号，则x0是f（x）的极值点，f（x0）是极值，并且如果f′（x）在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f（x）的极大值点，f（x0）是极大值；如果f′（x）在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值．
2、求函数f（x）的极值的步骤：
（1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）；
（2）求方程f′（x）＝0的根；
（3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值．
【解题方法点拨】
﹣求导：计算函数的导数f'（x）．
﹣零点分析：求解f'（x）＝0以找到可能的极值点．
﹣极值判断：通过二阶导数或导数符号变化判断极值类型．
18．函数f（x）＝2x﹣tanx﹣π在区间的极大值、极小值分别为（　　）
A．， B．，
C．， D．，
19．已知在区间内存在2个极值点，则实数a的取值范围为（　　）
A． B．
C． D．
（多选）20．已知函数f（x）＝|2lnx﹣1|，若f（a）＝f（b），a＜b，则下列说法中正确的是（　　）
A．函数的极小值点为
B．ab＝1
C．ea+b的最小值为2e
D．若方程f（x）＝kx有三个不等根，则k范围是
（多选）21．如图是y＝f（x）的导数y＝f′（x）的图象，则下面判断错误的是（　　）
A．在（﹣3，1）内f（x）是增函数
B．在（3，4）内f（x）是减函数
C．在x＝1时f（x）取得极大值
D．当x＝4时f（x）取得极小值
22．已知函数f（x）＝ax3+2bx+6在x＝﹣1处取得极大值10．
（1）求a，b的值；
（2）求f（x）在[﹣2，2]上的最值．
▉题型7 由函数的极值求解函数或参数
【知识点的认识】
1、极值的性质：
（1）极值是一个局部概念，由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小；
（2）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个；
（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值；
（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点．
2、判别f（x0）是极大、极小值的方法：
若x0满足f′（x0）＝0，且在x0的两侧f（x）的导数异号，则x0是f（x）的极值点，f（x0）是极值，并且如果f′（x）在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f（x）的极大值点，f（x0）是极大值；如果f′（x）在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值．
【解题方法点拨】
﹣极值分析：利用极值点和极值性质求解函数参数．
﹣参数求解：结合极值点的坐标，利用极值条件求解函数的参数．
﹣应用：将极值与实际问题结合，解决涉及函数参数的复杂问题．
23．设函数f（x）在R上可导，其导函数为f′（x），且函数f（x）在x＝﹣2处取得极小值，则函数y＝xf′（x）的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
24．若函数f（x）＝xex﹣（m﹣1）e2x存在唯一极值点，则实数m的取值范围是（　　）
A． B． C．m＜1 D．m≤1
25．若函数f（x）＝x3+ax2+x无极值，则a的取值范围是（　　）
A． B． C．（﹣3，3） D．[﹣3，3]
26．已知f（x）＝x2（x﹣k）的一个极值点为2，则实数k＝（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
27．已知函数f（x）＝x3+ax2+bx﹣a2在x＝1处取得极值﹣8，则a＝（　　）
A．﹣3 B．2 C．﹣2 D．﹣3或2
▉题型8 利用导数研究函数的最值
【知识点的认识】
1、函数的最大值和最小值
观察图中一个定义在闭区间[a，b]上的函数f（x）的图象．图中f（x1）与f（x3）是极小值，f（x2）是极大值．函数f（x）在[a，b]上的最大值是f（b），最小值是f（x1）．
一般地，在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值．
说明：（1）在开区间（a，b）内连续的函数f（x）不一定有最大值与最小值．如函数f（x）在（0，+∞）内连续，但没有最大值与最小值；
（2）函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．
（3）函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，是f（x）在闭区间[a，b]上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．
（4）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个
2、用导数求函数的最值步骤：
由上面函数f（x）的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．
设函数f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，则求f（x）在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：
（1）求f（x）在（a，b）内的极值；
（2）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较得出函数f（x）在[a，b]上的最值．
【解题方法点拨】
在理解极值概念时要注意以下几点：
（1）按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．
（2）极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小．
（3）若f（x）在（a，b）内有极值，那么f（x）在（a，b）内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．
（4）若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，
（5）可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点．
（多选）28．已知函数，其中x∈R，则（　　）
A．不等式f（x）≥﹣e2对 x∈R恒成立
B．若直线y＝k与函数f（x）的图像有且只有两个不同的公共点，则k的取值范围是（﹣e2，0]
C．方程f（f（x））＝0恰有4个实根
D．若关于x的不等式f（x）＜ax恰有1个负整数解，则a的取值范围为
29．已知函数f（x）＝x（alnx﹣x﹣1），其中a∈R．
（1）当a＝1时，求证：f（x）在（0，+∞）上单调递减；
（2）若f（x）+x＝0有两个不相等的实数根x1，x2．
（ⅰ）求实数a的取值范围；
（ⅱ）求证：x1 x2＞e2．
▉题型9 利用导数求解函数的最值
【知识点的认识】
1、函数的最大值和最小值
观察图中一个定义在闭区间[a，b]上的函数f（x）的图象．图中f（x1）与f（x3）是极小值，f（x2）是极大值．函数f（x）在[a，b]上的最大值是f（b），最小值是f（x1）．
一般地，在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值．
说明：（1）在开区间（a，b）内连续的函数f（x）不一定有最大值与最小值．如函数f（x）在（0，+∞）内连续，但没有最大值与最小值；
（2）函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．
（3）函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，是f（x）在闭区间[a，b]上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．
（4）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个
2、用导数求函数的最值步骤：
由上面函数f（x）的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．
设函数f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，则求f（x）在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：
（1）求f（x）在（a，b）内的极值；
（2）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较得出函数f（x）在[a，b]上的最值．
【解题方法点拨】
﹣求导：计算函数的导数f'（x）．
﹣极值点：求解f'（x）＝0以找到极值点．
﹣边界条件：结合函数的定义域边界点计算函数值，比较得到最值．
30．已知函数f（x）＝xeax+a（1﹣e）x﹣（e﹣1）lnx﹣1恰有2个零点，则实数a的取值范围为（　　）
A． B．
C． D．
31．已知函数f（x）＝xex﹣ax﹣bex+ab（a＞0），若f（x）≥0，则最大值为（　　）
A．e﹣2 B．e﹣1 C．e D．e2
32．函数f（x）＝x+cosx在区间上的最大值为（　　）
A．π B． C． D．π﹣1
33．把一个球形的原材料切割成体积为2的正四棱锥，则球形原材料的半径至少为（　　）
A． B． C． D．
34．如图所示，函数y＝f（x）及其导函数y＝f′（x）的图象有且仅有一个公共点A（1，1），则下列说法正确的是（　　）
A．函数y＝f（x） ex的最大值为
B．函数y＝f（x） ex的最小值为
C．函数的最大值为
D．函数的最小值为
▉题型10 由函数的最值求解函数或参数（导数法）
【知识点的认识】
1、函数的最大值和最小值
观察图中一个定义在闭区间[a，b]上的函数f（x）的图象．图中f（x1）与f（x3）是极小值，f（x2）是极大值．函数f（x）在[a，b]上的最大值是f（b），最小值是f（x1）．
一般地，在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值．
说明：（1）在开区间（a，b）内连续的函数f（x）不一定有最大值与最小值．如函数f（x）在（0，+∞）内连续，但没有最大值与最小值；
（2）函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．
（3）函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，是f（x）在闭区间[a，b]上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．
（4）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个
2、用导数求函数的最值步骤：
由上面函数f（x）的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．
设函数f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，则求f（x）在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：
（1）求f（x）在（a，b）内的极值；
（2）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较得出函数f（x）在[a，b]上的最值．
【解题方法点拨】
﹣最值分析：利用最值点的坐标和最值性质求解函数参数．
﹣参数求解：结合最值点和最值条件，利用最值信息求解函数的参数．
﹣应用：将最值与实际问题结合，解决涉及函数参数的复杂问题．
35．若函数在（a﹣4，a+1）上有最大值，则实数a的取值范围为（　　）
A．（﹣3，2] B．（﹣3，2） C．（﹣3，0） D．（﹣3，0]
36．若函数在区间（2m﹣2，3+m）上存在最值，则m的取值范围是（　　）
A．m＜﹣1 B．m＞2 C．﹣1＜m＜2 D．m＜﹣1或m＞2
37．若函数f（x）＝kx﹣ex在（1，+∞）上不存在最值，则实数k的取值范围为　　 ．
38．已知函数f（x）＝﹣4alnx+x2﹣1．
（1）当a＝1时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）若f（x）的最小值为﹣1，求a的值．

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