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第2章第1节 空间直角坐标系
题型1 空间直角坐标系 题型2 空间中的点的坐标
题型3 空间两点间的距离公式 题型4 空间中两点中点坐标及点关于点对称点坐标
题型5 关于空间直角坐标系原点坐标轴坐标平面对称点的坐标
▉题型1 空间直角坐标系
【知识点的认识】
1、右手直角坐标系
①右手直角坐标系的建立规则：x轴、y轴、z轴互相垂直，分别指向右手的拇指、食指、中指；
②已知点的坐标P（x，y，z），
作点的方法与步骤（路径法）：
沿x轴正方向（x＞0时）或负方向（x＜0时）移动|x|个单位，再沿y轴正方向（y＞0时）或负方向（y＜0时）移动|y|个单位，最后沿z轴正方向（z＞0时）或负方向（z＜0时）移动|z|个单位，即可作出点
③已知点的位置求坐标的方法：
过P作三个平面分别与x轴、y轴、z轴垂直于A，B，C，点A，B，C在x轴、y轴、z轴的坐标分别是a，b，c，则（a，b，c）就是点P的坐标．
2、在x、y、z轴上的点分别可以表示为（a，0，0），（0，b，0），（0，0，c），
在坐标平面xOy，xOz，yOz内的点分别可以表示为（a，b，0），（a，0，c），（0，b，c）．
1．若△ABC在空间直角坐标系中的位置及坐标如图所示，则BC边上的中线的长是（　　）
A． B．2 C． D．3
▉题型2 空间中的点的坐标
【知识点的认识】
1、在x、y、z轴上的点分别可以表示为（a，0，0），（0，b，0），（0，0，c），
在坐标平面xOy，xOz，yOz内的点分别可以表示为（a，b，0），（a，0，c），（0，b，c）．
2、点P（a，b，c）关于x轴的对称点的坐标为（a，﹣b，﹣c，）
点P（a，b，c）关于y轴的对称点的坐标为（﹣a，b，﹣c，）；
点P（a，b，c）关于z轴的对称点的坐标为（﹣a，﹣b，c，）；
点P（a，b，c）关于坐标平面xOy的对称点为（a，b，﹣c，）；
点P（a，b，c）关于坐标平面xOz的对称点为（a，﹣b，c，）；
点P（a，b，c）关于坐标平面yOz的对称点为（﹣a，b，c，）；
点P（a，b，c）关于原点的对称点（﹣a，﹣b，﹣c，）．
3、已知空间两点P1（x1，y1，z1），P2（x2，y2，z2）则线段P1P2的中点坐标为（）
2．在空闻直角坐标系Oxyz中，点关于x轴的对称点为（　　）
A． B．
C． D．
3．在空间直角坐标系中，已知点A（1，3，﹣4）关于原点中心对称的点为B，而点B关于x轴对称的点为C，则（　　）
A．（﹣2，0，0） B．（﹣2，3，0） C．（﹣2，0，﹣4） D．（1，0，﹣4）
4．在空间直角坐标系Oxyz中，点M（1，2，3）关于x轴对称的点N的坐标是（　　）
A．N（﹣1，2，3） B．N（1，﹣2，3）
C．N（1，2，﹣3） D．N（1，﹣2，﹣3）
5．已知点A（1，2，3）关于Oxy平面的对称点为B，而点B关于x轴的对称点为C，则（　　）
A． B． C． D．8
6．在空间直角坐标系Oxyz中，与点（﹣1，2，1）关于平面xOz对称的点为（　　）
A．（﹣1，﹣2，1） B．（﹣1，2，1）
C．（﹣1，﹣2，﹣1） D．（1，﹣2，﹣1）
7．已知空间三点O（0，0，0），A（1，﹣1，0），B（0，﹣1，1），在直线OA上有一点H满足BH⊥OA，则点H的坐标为 　　 ．
▉题型3 空间两点间的距离公式
【知识点的认识】
空间两点间的距离公式：
已知空间两点P（x1，y1，z1），Q（x2，y2，z2），
则两点的距离为，
特殊地，点A（x，y，z）到原点O的距离为．
8．已知点B（﹣2，1，1）关于z轴的对称点为A，则等于（　　）
A． B． C．2 D．2
9．已知点A（1，0，2），B（﹣1，1，2），C（1，1，﹣2），则三角形ABC的面积是（　　）
A． B．2 C． D．1
10．已知点A（1，0，2），B（﹣1，1，2），C（1，1，﹣2），则点A到直线BC的距离是（　　）
A． B． C． D．5
11．将边长为2的正方形ABCD沿对角线AC折叠使得△ACD垂直于底面ABC，则异面直线AD与BC的距离为 　 ．
12．在空间直角坐标系中，点A（1，2，0），B（0，1，0），P（2，2，2），则P到直线AB的距离为 　　 ．
13．已知空间三点A（0，2，3），B（﹣2，1，m），C（1，﹣1，5），且△ABC的面积为，则m＝ 　　 ．
14．在空间直角坐标系中，点P坐标可记为（x，y，z）：定义柱面坐标系，在柱面坐标系中，点P坐标可记为（r，θ，z）．如图所示，空间直角坐标（x，y，z）与柱面坐标（r，θ，z）之间的变换公式为：x＝rcosθ，y＝rsinθ，z＝z．则在柱面坐标系中，点与点B（2，θ，﹣1）两点距离的最小值为 　　 ．
15．已知点A（3，1，3），B（1，5，0），则线段AB的长度为 　 ．
▉题型4 空间中两点中点坐标及点关于点对称点坐标
【知识点的认识】
﹣两点中点坐标：给定空间中两点A（x1，y1，z1）和B（x2，y2，z2），它们的中点M坐标为：
﹣点关于点对称点坐标：点P（x1，y1，z1）关于点O（x0，y0，z0）对称的点P'坐标为：
P'＝（2x0﹣x1，2y0﹣y1，2z0﹣z1）
【解题方法点拨】
﹣计算中点：代入两点坐标，应用中点坐标公式．
﹣计算对称点：代入点和对称中心坐标，应用对称点公式．
（多选）16．关于空间直角坐标系O﹣xyz中的一点P（1，2，3），下列说法正确的是（　　）
A．OP的中点坐标为
B．点P关于x轴对称的点的坐标为（﹣1，2，3）
C．点P关于原点对称的点的坐标为（﹣1，﹣2，﹣3）
D．点P关于xOy面对称的点的坐标为（1，2，﹣3）
17．在如图所示的长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，|DA|＝8，|DC|＝6，|DD1|＝3，则D1B1的中点M的坐标为　　 ，|DM|＝　　 ．
▉题型5 关于空间直角坐标系原点坐标轴坐标平面对称点的坐标
【知识点的认识】
﹣关于原点对称：点P（x，y，z）关于原点对称的点为P'（﹣x，﹣y，﹣z）．
﹣关于坐标轴对称：点P（x，y，z）关于x轴对称的点为P（x，﹣y，﹣z），关于y轴对称的点为P（﹣x，y，﹣z），关于z轴对称的点为P（﹣x，﹣y，z）．
﹣关于坐标平面对称：关于x﹣O﹣y平面对称的点为P（x，y，﹣z），关于x﹣O﹣z平面对称的点为P（x，﹣y，z），关于y﹣O﹣z平面对称的点为P（﹣x，y，z）．
【解题方法点拨】
﹣坐标变换：代入坐标值，应用对称变换规则计算对称点坐标．
18．在空间直角坐标系O﹣xyz中，点P（﹣1，2，3）关于坐标平面Oyz对称的点的坐标为（　　）
A．（1，﹣2，3） B．（1，2，3）
C．（﹣1，﹣2，3） D．（﹣1，﹣2，﹣3）
19．在空间直角坐标系中，点A（9，8，5）关于xOz平面对称的点的坐标为（　　）
A．（9，8，﹣5） B．（9，﹣8，5） C．（﹣9，8，5） D．（﹣9，8，﹣5）
（多选）20．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝5，AD＝4，AA1＝3，以直线DA，DC，DD1分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则（　　）
A．点B1的坐标为（4，5，3）
B．点C1关于点B对称的点为（5，8，﹣3）
C．点A关于直线BD1对称的点为（0，5，3）
D．点C关于平面ABB1A1对称的点为（8，5，0）
21．在空间直角坐标系Oxyz中，若点M（a2﹣4a，b+3，2c+1）关于y轴的对称点M'的坐标为（4，﹣2，15），则a+b+c的值为　　 ．第2章第1节 空间直角坐标系
题型1 空间直角坐标系 题型2 空间中的点的坐标
题型3 空间两点间的距离公式 题型4 空间中两点中点坐标及点关于点对称点坐标
题型5 关于空间直角坐标系原点坐标轴坐标平面对称点的坐标
▉题型1 空间直角坐标系
【知识点的认识】
1、右手直角坐标系
①右手直角坐标系的建立规则：x轴、y轴、z轴互相垂直，分别指向右手的拇指、食指、中指；
②已知点的坐标P（x，y，z），
作点的方法与步骤（路径法）：
沿x轴正方向（x＞0时）或负方向（x＜0时）移动|x|个单位，再沿y轴正方向（y＞0时）或负方向（y＜0时）移动|y|个单位，最后沿z轴正方向（z＞0时）或负方向（z＜0时）移动|z|个单位，即可作出点
③已知点的位置求坐标的方法：
过P作三个平面分别与x轴、y轴、z轴垂直于A，B，C，点A，B，C在x轴、y轴、z轴的坐标分别是a，b，c，则（a，b，c）就是点P的坐标．
2、在x、y、z轴上的点分别可以表示为（a，0，0），（0，b，0），（0，0，c），
在坐标平面xOy，xOz，yOz内的点分别可以表示为（a，b，0），（a，0，c），（0，b，c）．
1．若△ABC在空间直角坐标系中的位置及坐标如图所示，则BC边上的中线的长是（　　）
A． B．2 C． D．3
【答案】C
【解答】解：如图所示．设D点为边BC的中点，连接AD．
∵A（0，0，1），B（2，0，0），C（0，2，0），
∴D（1，1，0）．
∴|AD|．
故选：C．
▉题型2 空间中的点的坐标
【知识点的认识】
1、在x、y、z轴上的点分别可以表示为（a，0，0），（0，b，0），（0，0，c），
在坐标平面xOy，xOz，yOz内的点分别可以表示为（a，b，0），（a，0，c），（0，b，c）．
2、点P（a，b，c）关于x轴的对称点的坐标为（a，﹣b，﹣c，）
点P（a，b，c）关于y轴的对称点的坐标为（﹣a，b，﹣c，）；
点P（a，b，c）关于z轴的对称点的坐标为（﹣a，﹣b，c，）；
点P（a，b，c）关于坐标平面xOy的对称点为（a，b，﹣c，）；
点P（a，b，c）关于坐标平面xOz的对称点为（a，﹣b，c，）；
点P（a，b，c）关于坐标平面yOz的对称点为（﹣a，b，c，）；
点P（a，b，c）关于原点的对称点（﹣a，﹣b，﹣c，）．
3、已知空间两点P1（x1，y1，z1），P2（x2，y2，z2）则线段P1P2的中点坐标为（）
2．在空闻直角坐标系Oxyz中，点关于x轴的对称点为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解答】解：在空闻直角坐标系Oxyz中，点，
故点关于x轴的对称点为．
故选：D．
3．在空间直角坐标系中，已知点A（1，3，﹣4）关于原点中心对称的点为B，而点B关于x轴对称的点为C，则（　　）
A．（﹣2，0，0） B．（﹣2，3，0） C．（﹣2，0，﹣4） D．（1，0，﹣4）
【答案】A
【解答】解：点A（1，3，﹣4）关于原点中心对称的点为B（﹣1，﹣3，4），
则点B关于x轴对称的点为C（﹣1，3，﹣4），（﹣2，0，0）．
故选：A．
4．在空间直角坐标系Oxyz中，点M（1，2，3）关于x轴对称的点N的坐标是（　　）
A．N（﹣1，2，3） B．N（1，﹣2，3）
C．N（1，2，﹣3） D．N（1，﹣2，﹣3）
【答案】D
【解答】解：∵点M（1，2，3），
一个点关于x轴对称的点的坐标是只有横标不变，纵标和竖标改变，
∴点M（1，2，3）关于x轴对称的点的坐标为（1，﹣2，﹣3）
故选：D．
5．已知点A（1，2，3）关于Oxy平面的对称点为B，而点B关于x轴的对称点为C，则（　　）
A． B． C． D．8
【答案】B
【解答】解：点A（1，2，3）关于Oxy平面的对称点为B，
而B关于x轴的对称点为C，
∴B（1，2，﹣3），C（1，﹣2，3），
∴（0，﹣4，6），
则||2．
故选：B．
6．在空间直角坐标系Oxyz中，与点（﹣1，2，1）关于平面xOz对称的点为（　　）
A．（﹣1，﹣2，1） B．（﹣1，2，1）
C．（﹣1，﹣2，﹣1） D．（1，﹣2，﹣1）
【答案】A
【解答】解：在空间直角坐标系Oxyz中，
与点（﹣1，2，1）关于平面xOz对称的点为（﹣1，﹣2，1）．
故选：A．
7．已知空间三点O（0，0，0），A（1，﹣1，0），B（0，﹣1，1），在直线OA上有一点H满足BH⊥OA，则点H的坐标为 　　 ．
【答案】．
【解答】解：设H（x，y，z），
则，
因为O，A，H共线，故存在实数λ使得，即（x，y，z）＝λ（1，﹣1，0）
所以，解得，
所以点H的坐标为．
故答案为：．
▉题型3 空间两点间的距离公式
【知识点的认识】
空间两点间的距离公式：
已知空间两点P（x1，y1，z1），Q（x2，y2，z2），
则两点的距离为，
特殊地，点A（x，y，z）到原点O的距离为．
8．已知点B（﹣2，1，1）关于z轴的对称点为A，则等于（　　）
A． B． C．2 D．2
【答案】C
【解答】解：点B（﹣2，1，1）关于z轴的对称点为A（2，﹣1，1），
∴由空间中两点间距离公式得：
．
故选：C．
9．已知点A（1，0，2），B（﹣1，1，2），C（1，1，﹣2），则三角形ABC的面积是（　　）
A． B．2 C． D．1
【答案】A
【解答】解：由A（1，0，2），B（﹣1，1，2），C（1，1，﹣2），
则，，
则，
且点A到直线BC的距离为，
所以三角形ABC的面积是．
故选：A．
10．已知点A（1，0，2），B（﹣1，1，2），C（1，1，﹣2），则点A到直线BC的距离是（　　）
A． B． C． D．5
【答案】B
【解答】解：因为A（1，0，2），B（﹣1，1，2），C（1，1，﹣2），
所以（﹣2，1，0），（2，0，﹣4），
所以4+1+0＝5，，
所以点A到直线BC的距离是d．
故选：B．
11．将边长为2的正方形ABCD沿对角线AC折叠使得△ACD垂直于底面ABC，则异面直线AD与BC的距离为 　　 ．
【答案】．
【解答】解：取AC的中点O，连结OB，OD，OD⊥AC，OB⊥AC
由条件可知，平面ACD⊥平面ABC，且平面ACD∩平面ABC＝AC，OD 平面ACD，
所以OD⊥平面ABC，
如图，以点O为原点，为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，
，，，，
，，，
设与垂直的向量为，则
，令x＝1，则y＝1，z＝﹣1，所以，
则异面直线AD与BC的距离为．
故答案为：．
12．在空间直角坐标系中，点A（1，2，0），B（0，1，0），P（2，2，2），则P到直线AB的距离为 　　 ．
【答案】
【解答】解：∵点A（1，2，0），B（0，1，0），P（2，2，2），
∴依题意得（﹣1，﹣1，0），（1，0，2），
∴点P到直线AB的距离d．
故答案为：．
13．已知空间三点A（0，2，3），B（﹣2，1，m），C（1，﹣1，5），且△ABC的面积为，则m＝ 　6或　 ．
【答案】6或
【解答】解：因为A（0，2，3），B（﹣2，1，m），C（1，﹣1，5），
所以（﹣2，﹣1，m﹣3），（1，﹣3，2），
所以||，
||，
设与的夹角为θ，则，
则
所以△ABC的面积为，
即5m2﹣32m+12＝0，解得m＝6或m．
故答案为：6或．
14．在空间直角坐标系中，点P坐标可记为（x，y，z）：定义柱面坐标系，在柱面坐标系中，点P坐标可记为（r，θ，z）．如图所示，空间直角坐标（x，y，z）与柱面坐标（r，θ，z）之间的变换公式为：x＝rcosθ，y＝rsinθ，z＝z．则在柱面坐标系中，点与点B（2，θ，﹣1）两点距离的最小值为 　　 ．
【答案】．
【解答】解：在柱面坐标系中，点与点B（2，θ，﹣1），
则在空间直角坐标系中，A（0，1，2），B（2cosθ，2sinθ，﹣1），
则|AB|，
∴当sinθ＝1，即θ时，点A与点B两点距离的最小值为．
故答案为：．
15．已知点A（3，1，3），B（1，5，0），则线段AB的长度为 　　 ．
【答案】．
【解答】解：由已知得：．
所以线段AB的长度为．
故答案为：．
▉题型4 空间中两点中点坐标及点关于点对称点坐标
【知识点的认识】
﹣两点中点坐标：给定空间中两点A（x1，y1，z1）和B（x2，y2，z2），它们的中点M坐标为：
﹣点关于点对称点坐标：点P（x1，y1，z1）关于点O（x0，y0，z0）对称的点P'坐标为：
P'＝（2x0﹣x1，2y0﹣y1，2z0﹣z1）
【解题方法点拨】
﹣计算中点：代入两点坐标，应用中点坐标公式．
﹣计算对称点：代入点和对称中心坐标，应用对称点公式．
（多选）16．关于空间直角坐标系O﹣xyz中的一点P（1，2，3），下列说法正确的是（　　）
A．OP的中点坐标为
B．点P关于x轴对称的点的坐标为（﹣1，2，3）
C．点P关于原点对称的点的坐标为（﹣1，﹣2，﹣3）
D．点P关于xOy面对称的点的坐标为（1，2，﹣3）
【答案】ACD
【解答】解：因为O（0，0，0），P（1，2，3），
利用中点公式可得OP的中点坐标为正确；
点P关于x轴对称的点的坐标为（1，﹣2，﹣3），B错误；
点P关于原点对称的点的坐标为（﹣1，﹣2，﹣3），C正确；
点P关于xOy面对称的点的坐标为（1，2，﹣3），D正确；
故选：ACD．
17．在如图所示的长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，|DA|＝8，|DC|＝6，|DD1|＝3，则D1B1的中点M的坐标为　（4，3，3）　 ，|DM|＝　　 ．
【答案】（4，3，3）；
【解答】解：如图示：
，
连接BD、AC交于N，作NQ∥CD，NP∥AD，
∵|DA|＝8，|DC|＝6，|，
∴|PN|＝|DQ|＝4，|NQ|＝|DP|＝3，
而|DD1|＝3，则M（4，3，3），
连接DM，在RT△DMD′中，
D′M5，DD′＝3，
∴DM；
故答案为：（4，3，3），．
▉题型5 关于空间直角坐标系原点坐标轴坐标平面对称点的坐标
【知识点的认识】
﹣关于原点对称：点P（x，y，z）关于原点对称的点为P'（﹣x，﹣y，﹣z）．
﹣关于坐标轴对称：点P（x，y，z）关于x轴对称的点为P（x，﹣y，﹣z），关于y轴对称的点为P（﹣x，y，﹣z），关于z轴对称的点为P（﹣x，﹣y，z）．
﹣关于坐标平面对称：关于x﹣O﹣y平面对称的点为P（x，y，﹣z），关于x﹣O﹣z平面对称的点为P（x，﹣y，z），关于y﹣O﹣z平面对称的点为P（﹣x，y，z）．
【解题方法点拨】
﹣坐标变换：代入坐标值，应用对称变换规则计算对称点坐标．
18．在空间直角坐标系O﹣xyz中，点P（﹣1，2，3）关于坐标平面Oyz对称的点的坐标为（　　）
A．（1，﹣2，3） B．（1，2，3）
C．（﹣1，﹣2，3） D．（﹣1，﹣2，﹣3）
【答案】B
【解答】解：由题意，点P（﹣1，2，3）关于坐标平面Oyz对称的点的坐标为（1，2，3）．
故选：B．
19．在空间直角坐标系中，点A（9，8，5）关于xOz平面对称的点的坐标为（　　）
A．（9，8，﹣5） B．（9，﹣8，5） C．（﹣9，8，5） D．（﹣9，8，﹣5）
【答案】B
【解答】解：点A（9，8，5）关于xOz平面对称的点的坐标为（9，﹣8，5）．
故选：B．
（多选）20．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝5，AD＝4，AA1＝3，以直线DA，DC，DD1分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则（　　）
A．点B1的坐标为（4，5，3）
B．点C1关于点B对称的点为（5，8，﹣3）
C．点A关于直线BD1对称的点为（0，5，3）
D．点C关于平面ABB1A1对称的点为（8，5，0）
【答案】ACD
【解答】解：由图形及其已知可得：点B1的坐标为（4，5，3），故A正确；
点C1（0，5，3）关于点B对称的点为（8，5，﹣3），故B错误；
长方体中，AD1＝BC15＝AB，
∴四边形ABC1D1为正方形，AC1与BD1垂直且平分，
即点A关于直线BD1对称的点为C1（0，5，3），故C正确；
点C（0，5，0）关于平面ABB1A1对称的点为（8，5，0）．故D正确，
因此ACD正确．
故选：ACD．
21．在空间直角坐标系Oxyz中，若点M（a2﹣4a，b+3，2c+1）关于y轴的对称点M'的坐标为（4，﹣2，15），则a+b+c的值为　﹣11　 ．
【答案】﹣11．
【解答】解：∵点M（a2﹣4a，b+3，2c+1）关于y轴的对称点M'的坐标为（4，﹣2，15），
∴，解得，
∴a+b+c＝﹣11．
故答案为：﹣11．

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