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第2章第2节 空间向量及其运算
题型1 空间向量的加减运算 题型2 空间向量的数乘及线性运算
题型3 空间向量的数量积运算 题型4 空间向量的夹角与距离求解公式
题型5 空间向量的投影向量与投影
▉题型1 空间向量的加减运算
【知识点的认识】
1．空间向量：在空间内，我们把具有大小和方向的量叫做向量，用有向线段表示．
2．向量的模：向量的大小叫向量的长度或模．记为||，||
特别地：
①规定长度为0的向量为零向量，记作；
②模为1的向量叫做单位向量；
3．相等的向量：两个模相等且方向相同的向量称为相等的向量．
4．负向量：两个模相等且方向相反的向量是互为负向量．如的相反向量记为．
5．平行的向量：两个方向相同或相反的向量称为平行的向量．
6．注意：
①零向量的方向是任意的，规定与任何向量平行；
②单位向量不一定相等，但单位向量的模一定相等且为1；
③方向相同且模相等的向量称为相等向量，因此，在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量；
④空间任意两个向量都可以通过平移成为共面向量；
⑤一般来说，向量不能比较大小．
1．加减法的定义：
空间任意两个向量都是共面的，它们的加、减法运算类似于平面向量的加减法．
空间向量和平面向量一样满足三角形法则和平行四边形法则．
2．加法运算律：
空间向量的加法满足交换律及结合律．
（1）交换律：
（2）结合律：．
3．推广：
（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量：
（求空间若干向量之和时，可通过平移将它们转化为首尾相接的向量）
（2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为：零向量
．
【解题方法点拨】
﹣逐分量运算：按照向量的分量进行加减运算．
1．空间四边形ABCD中，M、G分别是BC、CD的中点，则等于（　　）
A． B．3 C．3 D．2
2．在棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，（　　）
A． B． C． D．
3．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，下列各式运算结果为向量的是（　　）
①（）；
②（）；
③（）；
④（）．
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
▉题型2 空间向量的数乘及线性运算
【知识点的认识】
1．空间向量的数乘运算
实数λ与空间向量的乘积仍是一个向量，称为向量的数乘运算．
①当λ＞0时，与的方向相同；
②当λ＜0时，与的方向相反；
③当λ＝0时，．
④|λ|＝|λ| ||
的长度是的长度的|λ|倍．
2．运算律
空间向量的数乘满足分配律及结合律．
（1）分配律：①
②（λ+μ）
（2）结合律：
注意：实数和空间向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，如等无法计算．
【解题方法点拨】
﹣标量运算：进行数乘运算时，将标量与向量分量相乘．
﹣线性组合：应用线性组合公式，计算向量的线性组合结果．
4．如图，在三棱锥O﹣ABC中，，，，点M在OA上，且，N为BC中点，则（　　）
A． B．
C． D．
5．在三棱锥O﹣ABC中，G是△ABC的重心，，若，则（x，y，z）＝（　　）
A． B．
C． D．
6．已知空间四边形OABC中，，，，点M在BC上，且MB＝2MC，N为OA中点，则等于（　　）
A． B．
C． D．
7．在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，E为PD中点，若，，，则（　　）
A． B．
C． D．
8．如图，在四面体A﹣BCD中，点E，F分别是AB，CD的中点，点G是线段EF上靠近点E的一个三等分点，令，，，则（　　）
A． B．
C． D．
9．空间四边形OABC中，，，，点M在线段AC上，且AM＝2MC，点N是OB的中点，则（　　）
A． B．
C． D．
10．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AC与BD的交点为O．设，，，则下列向量中与相等的向量是（　　）
A． B． C． D．
11．如图，在三棱锥O﹣ABC中，设，，，若，，则（　　）
A． B．
C． D．
12．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M为A1C1的中点，若，，，则可表示为（　　）
A． B．
C． D．
▉题型3 空间向量的数量积运算
【知识点的认识】
1．空间向量的夹角
已知两个非零向量、，在空间中任取一点O，作，，则∠AOB叫做向量与的夹角，记作，．
2．空间向量的数量积
（1）定义：已知两个非零向量、，则||||cos，叫做向量与的数量积，记作 ，即 ||||cos，
（2）几何意义：与的数量积等于的长度||与在的方向上的投影||cosθ的乘积，或的长度||与在的方向上的投影||cosθ的乘积．
3．空间向量的数量积运算律
空间向量的数量积满足交换律和分配律．
（1）交换律：λ（） （）
（2）分配律：．
4．数量积的理解
（1）书写向量的数量积时，只能用符号，而不能用符号，也不能用
（2）两向量的数量积，其结果是个实数，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦值的乘积，其符号由夹角的余弦值决定．
（3）当时，由0不能推出一定是零向量，这是因为任一个与垂直的非零向量，都有
【解题方法点拨】
利用数量积求直线夹角或余弦值的方法：
利用数量积求两点间的距离：
利用向量的数量积求两点间的距离，可以转化为求向量的模的问题，其基本思路是先选择以两点为端点的向量，将此向量表示为几个已知向量的和的形式，求出这几个已知向量的两两之间的夹角以及它们的模，利用公式||求解即可．特别注意准确求解已知两向量之间的夹角大小．
利用数量积证明垂直关系：
（1）向量垂直只对非零向量有意义，在证明或判断时，须指明，；
（2）证明两直线的垂直可以转化为证明这两直线的方向向量垂直，将两个方向向量表示为几个已知向量，，的线性形式，然后利用数量积说明两直线的方向向量垂直，进而转化为直线垂直．
13．已知正四面体PABC的棱长为3，动点M满足，则的最小值为（　　）
A． B． C．2 D．3
14．棱长为2的正四面体ABCD中，点E是AD的中点，则（　　）
A．1 B．﹣1 C． D．
15．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC1与B1C相交于点O，∠BAC＝90°，∠A1AB＝∠A1AC＝60°，A1A＝2，AB＝AC＝1，则线段AO的长度为（　　）
A． B． C． D．
16．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD＝AA1＝3，AB＝4，E，F，G分别是棱C1D1，BC，CC1的中点，M是平面ABCD内一动点，若直线D1M与平面EFG平行，则的最小值为（　　）
A． B．9 C． D．
17．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长均为2，∠A1AB＝∠A1AC＝60°，BA⊥CA，M是B1C1的中点，则（　　）
A． B．2 C． D．2
（多选）18．关于空间向量，以下说法正确的是（　　）
A．若空间向量，，则在上的投影向量为
B．若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面
C．若空间向量，满足，则与夹角为锐角
D．若直线l的方向向量为，平面α的一个法向量为，则l⊥α
▉题型4 空间向量的夹角与距离求解公式
【知识点的认识】
1．空间向量的夹角公式
设空间向量（a1，a2，a3），（b1，b2，b3），
cos
注意：
（1）当cos1时，与同向；
（2）当cos1时，与反向；
（3）当cos0时，⊥．
2．空间两点的距离公式
设A（x1，y1，z1），B（x2，y2，z2），则
dA，B＝||．
【解题思路点拨】
1．求空间两条直线的夹角
建系→写出向量坐标→利用公式求夹角
2．求空间两点的距离
建系→写出点的坐标→利用公式求距离．
19．已知空间向量，则向量与的夹角为（　　）
A． B． C． D．
20．正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，MN是异面直线AC与C1D的公垂线段，点M在AC上且N在C1D上，则MN的长为（　　）
A． B． C． D．
21．已知直线l1的方向向量与直线l2的方向向量，则直线l1与l2所成角的余弦值为（　　）
A． B． C． D．
22．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是60°，M为A1C1与B1D1的交点．若．
（1）用表示；
（2）求对角线AC1的长；
（3）求．
▉题型5 空间向量的投影向量与投影
【知识点的认识】
﹣投影向量：向量在上的投影是．
﹣投影长度：投影的长度为．
【解题方法点拨】
﹣计算投影：使用点积和向量模计算投影向量及其长度．
23．已知向量（0，0，1），（1，﹣1，1），向量在向量上的投影向量为（　　）
A．（0，0，2） B．（0，0，1） C．（0，0，﹣1） D．（0，0，﹣2）
24．已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（　　）
A． B．
C． D．
25．已知点A（2，2，3），B（1，0，1），向量，则向量在向量上的投影向量为（　　）
A． B．（﹣4，﹣8，﹣8）
C． D．（4，8，8）
26．在四棱锥P﹣ABCD中，，，，则此四棱锥的高为（　　）
A． B． C． D．
27．已知空间向量，，且与夹角的余弦值为，则在上的投影向量为（　　）
A． B． C． D．第2章第2节 空间向量及其运算
题型1 空间向量的加减运算 题型2 空间向量的数乘及线性运算
题型3 空间向量的数量积运算 题型4 空间向量的夹角与距离求解公式
题型5 空间向量的投影向量与投影
▉题型1 空间向量的加减运算
【知识点的认识】
1．空间向量：在空间内，我们把具有大小和方向的量叫做向量，用有向线段表示．
2．向量的模：向量的大小叫向量的长度或模．记为||，||
特别地：
①规定长度为0的向量为零向量，记作；
②模为1的向量叫做单位向量；
3．相等的向量：两个模相等且方向相同的向量称为相等的向量．
4．负向量：两个模相等且方向相反的向量是互为负向量．如的相反向量记为．
5．平行的向量：两个方向相同或相反的向量称为平行的向量．
6．注意：
①零向量的方向是任意的，规定与任何向量平行；
②单位向量不一定相等，但单位向量的模一定相等且为1；
③方向相同且模相等的向量称为相等向量，因此，在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量；
④空间任意两个向量都可以通过平移成为共面向量；
⑤一般来说，向量不能比较大小．
1．加减法的定义：
空间任意两个向量都是共面的，它们的加、减法运算类似于平面向量的加减法．
空间向量和平面向量一样满足三角形法则和平行四边形法则．
2．加法运算律：
空间向量的加法满足交换律及结合律．
（1）交换律：
（2）结合律：．
3．推广：
（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量：
（求空间若干向量之和时，可通过平移将它们转化为首尾相接的向量）
（2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为：零向量
．
【解题方法点拨】
﹣逐分量运算：按照向量的分量进行加减运算．
1．空间四边形ABCD中，M、G分别是BC、CD的中点，则等于（　　）
A． B．3 C．3 D．2
【答案】B
【解答】解：如图，
（）
（﹣2）
＝3，
故选：B．
2．在棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：．
故选：B．
3．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，下列各式运算结果为向量的是（　　）
①（）；
②（）；
③（）；
④（）．
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
【答案】A
【解答】解：如图：
①（）；
②（）；
③（）；
④（）．
故选：A．
▉题型2 空间向量的数乘及线性运算
【知识点的认识】
1．空间向量的数乘运算
实数λ与空间向量的乘积仍是一个向量，称为向量的数乘运算．
①当λ＞0时，与的方向相同；
②当λ＜0时，与的方向相反；
③当λ＝0时，．
④|λ|＝|λ| ||
的长度是的长度的|λ|倍．
2．运算律
空间向量的数乘满足分配律及结合律．
（1）分配律：①
②（λ+μ）
（2）结合律：
注意：实数和空间向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，如等无法计算．
【解题方法点拨】
﹣标量运算：进行数乘运算时，将标量与向量分量相乘．
﹣线性组合：应用线性组合公式，计算向量的线性组合结果．
4．如图，在三棱锥O﹣ABC中，，，，点M在OA上，且，N为BC中点，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解答】解：由题意，．
故选：A．
5．在三棱锥O﹣ABC中，G是△ABC的重心，，若，则（x，y，z）＝（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解答】解：取线段BC的中点E，，
则，
，
所以x＝y＝z．
故选：A．
6．已知空间四边形OABC中，，，，点M在BC上，且MB＝2MC，N为OA中点，则等于（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解答】解：，，，点M在BC上，且MB＝2MC，N为OA中点，
则．
故选：D．
7．在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，E为PD中点，若，，，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解答】解：由于四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，E为PD中点，若，，，
所以．
故选：C．
8．如图，在四面体A﹣BCD中，点E，F分别是AB，CD的中点，点G是线段EF上靠近点E的一个三等分点，令，，，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解答】解：连接EC，ED，如图所示，
（）（）（）．
故选：A．
9．空间四边形OABC中，，，，点M在线段AC上，且AM＝2MC，点N是OB的中点，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解答】解：空间四边形OABC中，，，，
点M在线段AC上，且AM＝2MC，点N是OB的中点，
则，
所以．
故选：C．
10．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AC与BD的交点为O．设，，，则下列向量中与相等的向量是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：如图所示：设，，，则．
故选：C．
11．如图，在三棱锥O﹣ABC中，设，，，若，，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解答】解：．
故选：A．
12．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M为A1C1的中点，若，，，则可表示为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解答】解：．
故选：D．
▉题型3 空间向量的数量积运算
【知识点的认识】
1．空间向量的夹角
已知两个非零向量、，在空间中任取一点O，作，，则∠AOB叫做向量与的夹角，记作，．
2．空间向量的数量积
（1）定义：已知两个非零向量、，则||||cos，叫做向量与的数量积，记作 ，即 ||||cos，
（2）几何意义：与的数量积等于的长度||与在的方向上的投影||cosθ的乘积，或的长度||与在的方向上的投影||cosθ的乘积．
3．空间向量的数量积运算律
空间向量的数量积满足交换律和分配律．
（1）交换律：λ（） （）
（2）分配律：．
4．数量积的理解
（1）书写向量的数量积时，只能用符号，而不能用符号，也不能用
（2）两向量的数量积，其结果是个实数，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦值的乘积，其符号由夹角的余弦值决定．
（3）当时，由0不能推出一定是零向量，这是因为任一个与垂直的非零向量，都有
【解题方法点拨】
利用数量积求直线夹角或余弦值的方法：
利用数量积求两点间的距离：
利用向量的数量积求两点间的距离，可以转化为求向量的模的问题，其基本思路是先选择以两点为端点的向量，将此向量表示为几个已知向量的和的形式，求出这几个已知向量的两两之间的夹角以及它们的模，利用公式||求解即可．特别注意准确求解已知两向量之间的夹角大小．
利用数量积证明垂直关系：
（1）向量垂直只对非零向量有意义，在证明或判断时，须指明，；
（2）证明两直线的垂直可以转化为证明这两直线的方向向量垂直，将两个方向向量表示为几个已知向量，，的线性形式，然后利用数量积说明两直线的方向向量垂直，进而转化为直线垂直．
13．已知正四面体PABC的棱长为3，动点M满足，则的最小值为（　　）
A． B． C．2 D．3
【答案】B
【解答】解：因为yzyzy（）+z（）yz，
所以yz，
即，
因为，不共线，所以，，共面，所以点M在平面ABC内，
所以当PM⊥平面ABC时，最小，
如图，取BC的中点D，连接AD，
则点M在AD上，且，
所以，
即的最小值为．
故选：B．
14．棱长为2的正四面体ABCD中，点E是AD的中点，则（　　）
A．1 B．﹣1 C． D．
【答案】A
【解答】解：，所以2×1×cos120°＝1．
故选：A．
15．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC1与B1C相交于点O，∠BAC＝90°，∠A1AB＝∠A1AC＝60°，A1A＝2，AB＝AC＝1，则线段AO的长度为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC1与B1C相交于点O，∠BAC＝90°，∠A1AB＝∠A1AC＝60°，A1A＝2，AB＝AC＝1，
所以：，
，
所以．
故选：C．
16．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD＝AA1＝3，AB＝4，E，F，G分别是棱C1D1，BC，CC1的中点，M是平面ABCD内一动点，若直线D1M与平面EFG平行，则的最小值为（　　）
A． B．9 C． D．
【答案】C
【解答】解：如图，以A为原点，分别以、、方向为x、y、z轴建立空间直角坐标系，
则E（2，3，3），，，D1（0，3，3），B1（4，0，3），
设M（x，y，0），
，，，
设平面EFG的法向量，
则，令b＝1，
解得：，b＝1，c＝﹣1，即．
由于直线D1M与平面EFG平行，
则，得：，即，．
，，
，
可知：由于x∈（0，4），当x＝2时，取得最小值，最小值为．
故选：C．
17．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长均为2，∠A1AB＝∠A1AC＝60°，BA⊥CA，M是B1C1的中点，则（　　）
A． B．2 C． D．2
【答案】C
【解答】解：三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长均为2，∠A1AB＝∠A1AC＝60°，BA⊥CA，M是B1C1的中点，
故，
所以，
故：
．
故选：C．
（多选）18．关于空间向量，以下说法正确的是（　　）
A．若空间向量，，则在上的投影向量为
B．若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面
C．若空间向量，满足，则与夹角为锐角
D．若直线l的方向向量为，平面α的一个法向量为，则l⊥α
【答案】ABD
【解答】解：A：在上的投影向量为，对；
B：在中，故P，A，B，C四点共面，对；
C：当，同向共线时也成立，但与夹角不为锐角，错；
D：由，即∥，故l⊥α，对．
故选：ABD．
▉题型4 空间向量的夹角与距离求解公式
【知识点的认识】
1．空间向量的夹角公式
设空间向量（a1，a2，a3），（b1，b2，b3），
cos
注意：
（1）当cos1时，与同向；
（2）当cos1时，与反向；
（3）当cos0时，⊥．
2．空间两点的距离公式
设A（x1，y1，z1），B（x2，y2，z2），则
dA，B＝||．
【解题思路点拨】
1．求空间两条直线的夹角
建系→写出向量坐标→利用公式求夹角
2．求空间两点的距离
建系→写出点的坐标→利用公式求距离．
19．已知空间向量，则向量与的夹角为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：因为，
且，所以．
故选：D．
20．正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，MN是异面直线AC与C1D的公垂线段，点M在AC上且N在C1D上，则MN的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：根据题意可知，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，
以A为原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
则A（0，0，0），C（1，1，0），D（0，1，0），C1（1，1，1），
因为点M在AC上，点N在C1D上，所以设M（m，m，0），N（n，1，n），
因为MN是异面直线AC与C1D的公垂线段，
所以，即，解得，
所以，
所以异面直线AC与C1D间的距离为．
故选：C．
21．已知直线l1的方向向量与直线l2的方向向量，则直线l1与l2所成角的余弦值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：∵，，
∴，
又∵两条直线所成的角的取值范围为，
∴直线l1与l2所成角的余弦值为．
故选：C．
22．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是60°，M为A1C1与B1D1的交点．若．
（1）用表示；
（2）求对角线AC1的长；
（3）求．
【答案】（1）；
（2）；
（3）．
【解答】解：（1）如图，连接A1B，AC，
因为，
在△A1AB中，根据向量减法法则可得，
因为底面ABCD是平行四边形，
所以，
因为AC∥A1C1且|AC|＝|A1C1|，
所以，
又因为M为线段A1C1的中点，
所以，
在△A1MB中，；
（2）因为顶点A为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是60°，
所以，
同理可得，
由（1）可知，
所以在平行四边形A1ACC1中，，
，
所以，故对角线AC1的长为；
（3）因为，
可得 12，||＝||＝1，
||，
所以cos，．
▉题型5 空间向量的投影向量与投影
【知识点的认识】
﹣投影向量：向量在上的投影是．
﹣投影长度：投影的长度为．
【解题方法点拨】
﹣计算投影：使用点积和向量模计算投影向量及其长度．
23．已知向量（0，0，1），（1，﹣1，1），向量在向量上的投影向量为（　　）
A．（0，0，2） B．（0，0，1） C．（0，0，﹣1） D．（0，0，﹣2）
【答案】A
【解答】解：∵（0，0，1），（1，﹣1，1），
∴，，
∴向量在向量上的投影向量为．
故选：A．
24．已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解答】解：已知向量，，则向量在向量上的投影向量为．
故选：C．
25．已知点A（2，2，3），B（1，0，1），向量，则向量在向量上的投影向量为（　　）
A． B．（﹣4，﹣8，﹣8）
C． D．（4，8，8）
【答案】C
【解答】解：因为点A（2，2，3），B（1，0，1），
所以，，
因为，
所以，
则向量在向量上的投影向量为．
故选：C．
26．在四棱锥P﹣ABCD中，，，，则此四棱锥的高为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：设平面ABCD的法向量为，
则，
所以，
令x＝2，可得y＝﹣3，z＝﹣1，
所以为平面ABCD的一个法向量，
又，
所以向量在法向量上的投影向量的大小为：，
所以四棱锥P﹣ABCD的高为．
故选：D．
27．已知空间向量，，且与夹角的余弦值为，则在上的投影向量为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：在上的投影向量为．
故选：D．

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