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第2章第3节 空间向量基本定理及坐标表示
题型1 空间向量的共线与共面 题型2 空间向量基本定理及空间向量的基底
题型3 空间向量基底表示空间向量 题型4 空间向量线性运算的坐标表示
题型5 空间向量数量积的坐标表示
▉题型1 空间向量的共线与共面
【知识点的认识】
1．定义
（1）共线向量
与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，记作．与任意向量是共线向量．
（2）共面向量
平行于同一平面的向量叫做共面向量．
2．定理
（1）共线向量定理
对于空间任意两个向量、（），的充要条件是存在实数λ，使得．
（2）共面向量定理
如果两个向量、不共线，则向量与向量、共面的充要条件是存在唯一的有序实数对（x，y），使得．
【解题方法点拨】
空间向量共线问题：
（1）判定向量共线就是充分利用已知条件找到实数λ，使成立，或充分利用空间向量的运算法则，结合具体图形，通过化简、计算得出，从而．
（2）表示与所在的直线平行或重合两种情况．
空间向量共面问题：
（1）利用向量法证明点共面、线共面问题，关键是熟练地进行向量表示，恰当应用向量共面的充要条件，解题过程中注意直线与向量的相互转化．
（2）空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对（x，y），使．满足这个关系式的点P都在平面MAB内，反之，平面MAB内的任一点P都满足这个关系式．这个充要条件常用以证明四点共面．
证明三个向量共面的常用方法：
（1）设法证明其中一个向量可表示成另两个向量的线性组合；
（2）寻找平面α，证明这些向量与平面α平行．
1．已知，，，如、、三个向量不能构成空间直角坐标系上的一组基底，则实数λ为（　　）
A．0 B．9 C．5 D．3
2．已知，，且，则x的值为（　　）
A．6 B．﹣6 C． D．
3．O为空间任意一点，若，若A，B，C，P四点共面，则t＝（　　）
A．1 B． C． D．
4．已知空间向量，，，若，，共面，则m的值为（　　）
A．1 B．﹣1 C．﹣2 D．2
5．已知向量，且，则m+n＝　　 ．
▉题型2 空间向量基本定理及空间向量的基底
【知识点的认识】
空间向量基本定理
如果三个向量，，不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使xyz．
任意不共面的三个向量都可作为空间的一个基底，，，都叫做基向量．
【解题方法点拨】
基底的判断
判断三个向量能否作为基底，关键是判断它们是否共面，若从正面判断难以入手，可以用反证法结合共面向量定理或者利用常见的几何图形帮助进行判断．假设不能作为一个基底，看是否存在一对实数λ、μ使得，若存在，则假设成立；若不存在，则假设不成立．
6．若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（　　）
A． B．
C． D．
7．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点M为棱AB的中点，点N为上底面A1B1C1的中心，用空间的一组基表示，则（　　）
A． B．
C． D．
（多选）8．下面四个结论正确的是（　　）
A．若三个非零空间向量满足，则有
B．若空间四个点P，A，B，C，，则A，B，C三点共线
C．已知是空间的一组基底，若，则也是空间的一组基底
D．已知向量，，若，则为钝角
（多选）9．以下四个命题中正确的是（　　）
A．若非零空间向量满足，则有∥
B．若是空间的一个基底，则都不是零向量
C．纵坐标为0的空间向量都共面
D．已知是空间的一个基底，则也是空间的一个基底
10．已知是空间的一组基底，其中，，．若A，B，C，D四点共面，则λ＝ 　　 ．
▉题型3 空间向量基底表示空间向量
【知识点的认识】
1．空间向量基本定理
如果三个向量，，不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使xyz．
任意不共面的三个向量都可作为空间的一个基底，，，都叫做基向量．
2．单位正交基底
如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长都为1，则这个基底叫做单位正交基底，常用{，，}表示．
【解题方法点拨】
基底的判断
判断三个向量能否作为基底，关键是判断它们是否共面，若从正面判断难以入手，可以用反证法结合共面向量定理或者利用常见的几何图形帮助进行判断．假设不能作为一个基底，看是否存在一对实数λ、μ使得，若存在，则假设成立；若不存在，则假设不成立．
11．已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，AD＝AA1＝1，向量，且x+2y+z＝2，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
12．对于空间中任意一点O和不共线的三点A，B，C，能得到点P在平面ABC内的是（　　）
A． B．
C． D．
13．若{，，}构成空间的一个基底，则下列向量可作为基底的是（　　）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
14．已知四棱锥P﹣ABCD的底面是平行四边形，E为棱PC上的点，且CE＝2EP，用表示向量为（　　）
A． B．
C． D．
15．在四面体O﹣ABC中，，D为BC的三等分点（靠近B点），E为AD的中点，则（　　）
A． B．
C． D．
16．如图在四面体ABCD中，E、G分别是CD、BE的中点，若记，，，则（　　）
A． B．
C． D．
17．在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是棱C1D1，BB1的中点，记，，，则等于 　　 （用，，表示）．
▉题型4 空间向量线性运算的坐标表示
【知识点的认识】
1．空间向量的坐标运算规律：
设空间向量，，则
（1）
（2）
（3）
2．空间向量的坐标表示：
设空间两点A（x1，y1，z1），B（x2，y2，z2），则
（x2，y2，z2）﹣（x1，y1，z1）＝（x2﹣x1，y2﹣y1，z2﹣z1）
【解题方法点拨】
空间向量的坐标运算：
空间向量的坐标运算和平面向量的坐标运算类似，两个向量的加、减、数乘运算就是向量的横坐标、纵坐标、竖坐标分别进行加、减、数乘运算；
18．已知点B（2，﹣3，1），向量，则点A坐标是（　　）
A．（1，2，3） B．（﹣1，2，3） C．（﹣5，8，1） D．（5，﹣8，﹣1）
19．已知（1，﹣2，1），（﹣1，2，﹣1），则等于（　　）
A．（2，﹣4，2） B．（﹣2，4，﹣2） C．（﹣2，0，﹣2） D．（2，1，﹣3）
20．已知点A（3，8，﹣5），B（﹣2，6，8），则向量的坐标为（　　）
A．（﹣5，﹣2，13） B．（﹣5，2，13）
C．（﹣5，﹣2，﹣13） D．（5，﹣2，13）
21．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为CC1中点，，使得，则λ＝（　　）
A． B． C．1 D．
22．已知向量，，且与互相垂直，则k＝（　　）
A． B． C． D．
（多选）23．已知，则下列结论正确的是（　　）
A． B．
C． D．
▉题型5 空间向量数量积的坐标表示
【知识点的认识】
空间向量的坐标运算规律：
．
【解题方法点拨】
空间两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积之和．
24．若向量（2，2，3），（﹣1，2，1），（0，1，1），则 （）＝（　　）
A．5 B．8 C．10 D．12
25．已知向量，且，那么2x+y＝（　　）
A．﹣10 B．﹣2 C．2 D．10
26．若，，则（　　）
A．﹣2 B．4 C．﹣21 D．26
（多选）27．已知空间中三个向量，，，则下列说法正确的是（　　）
A．
B．
C．在上的投影向量为
D．
28．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，CB⊥AB，AB＝BC＝a，PA＝b，则．
29．设x，y∈R，，，，且，，则||＝ 　　 ．
30．已知空间三点A（0，2，3），B（1，4，6），C（1，5，5）．
（1）若向量与互相垂直，求实数k的值；
（2）求以AB，AC为邻边的平行四边形的面积．第2章第3节 空间向量基本定理及坐标表示
题型1 空间向量的共线与共面 题型2 空间向量基本定理及空间向量的基底
题型3 空间向量基底表示空间向量 题型4 空间向量线性运算的坐标表示
题型5 空间向量数量积的坐标表示
▉题型1 空间向量的共线与共面
【知识点的认识】
1．定义
（1）共线向量
与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，记作．与任意向量是共线向量．
（2）共面向量
平行于同一平面的向量叫做共面向量．
2．定理
（1）共线向量定理
对于空间任意两个向量、（），的充要条件是存在实数λ，使得．
（2）共面向量定理
如果两个向量、不共线，则向量与向量、共面的充要条件是存在唯一的有序实数对（x，y），使得．
【解题方法点拨】
空间向量共线问题：
（1）判定向量共线就是充分利用已知条件找到实数λ，使成立，或充分利用空间向量的运算法则，结合具体图形，通过化简、计算得出，从而．
（2）表示与所在的直线平行或重合两种情况．
空间向量共面问题：
（1）利用向量法证明点共面、线共面问题，关键是熟练地进行向量表示，恰当应用向量共面的充要条件，解题过程中注意直线与向量的相互转化．
（2）空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对（x，y），使．满足这个关系式的点P都在平面MAB内，反之，平面MAB内的任一点P都满足这个关系式．这个充要条件常用以证明四点共面．
证明三个向量共面的常用方法：
（1）设法证明其中一个向量可表示成另两个向量的线性组合；
（2）寻找平面α，证明这些向量与平面α平行．
1．已知，，，如、、三个向量不能构成空间直角坐标系上的一组基底，则实数λ为（　　）
A．0 B．9 C．5 D．3
【答案】A
【解答】解：已知，，，由于、、三个向量共面，则存在实数m、n，使得，
即（4，5，λ）＝m（2，﹣1，2）+n（﹣1，4，﹣3），所以，解得．
故选：A．
2．已知，，且，则x的值为（　　）
A．6 B．﹣6 C． D．
【答案】A
【解答】解：因为，所以，（x≠0），
解得x＝6．
故选：A．
3．O为空间任意一点，若，若A，B，C，P四点共面，则t＝（　　）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【解答】解：若A，B，C，P四点共面，则存在有序实数对（x，y），使，
所以，整理得：，
又由题知，由空间向量的基本定理知：
，解得，所以．
故选：C．
4．已知空间向量，，，若，，共面，则m的值为（　　）
A．1 B．﹣1 C．﹣2 D．2
【答案】D
【解答】解：空间向量，，，若，，共面，
则，整理得：（1，1，1）＝λ（0，m，2）+μ（1，0，0），解得μ＝1，，m＝2．
故选：D．
5．已知向量，且，则m+n＝　﹣21　 ．
【答案】﹣21
【解答】解：向量，且，
则，解得m＝﹣7，n＝﹣14，
故m+n＝﹣21．
故答案为：﹣21．
▉题型2 空间向量基本定理及空间向量的基底
【知识点的认识】
空间向量基本定理
如果三个向量，，不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使xyz．
任意不共面的三个向量都可作为空间的一个基底，，，都叫做基向量．
【解题方法点拨】
基底的判断
判断三个向量能否作为基底，关键是判断它们是否共面，若从正面判断难以入手，可以用反证法结合共面向量定理或者利用常见的几何图形帮助进行判断．假设不能作为一个基底，看是否存在一对实数λ、μ使得，若存在，则假设成立；若不存在，则假设不成立．
6．若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解答】解：对于A，，
所以三个向量共面，故A错误；
对于B，，
所以三个向量共面，故B错误；
对于C，显然，，三个向量不共面，故C正确；
对于D，，
所以，，三个向量共面，故D错误．
故选：C．
7．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点M为棱AB的中点，点N为上底面A1B1C1的中心，用空间的一组基表示，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解答】解：已知在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点M为棱AB的中点，点N为上底面A1B1C1的中心，
取下底面ABC的中心Q，连接NQ，CM，则，
∴．
故选：B．
（多选）8．下面四个结论正确的是（　　）
A．若三个非零空间向量满足，则有
B．若空间四个点P，A，B，C，，则A，B，C三点共线
C．已知是空间的一组基底，若，则也是空间的一组基底
D．已知向量，，若，则为钝角
【答案】BC
【解答】解：对于A中，若非零空间向量满足，不一定满足，所以A不正确；
对于C中，由是空间的一组基底，且，
令，可得，此时方程组无解，所以不共面，
所以可以作为一个空间基底，所以C正确；
对于B中，因为，则，即，
又因为与有公共点，所以A，B，C三点共线，所以B正确；
对于D中，若为钝角，则，且与不共线，
由，解得，当时与平行时，由，解得x＝﹣3，
当与不共线得x≠﹣3，所以当且x≠﹣3时，为钝角，所以D错误．
故选：BC．
（多选）9．以下四个命题中正确的是（　　）
A．若非零空间向量满足，则有∥
B．若是空间的一个基底，则都不是零向量
C．纵坐标为0的空间向量都共面
D．已知是空间的一个基底，则也是空间的一个基底
【答案】BCD
【解答】解：非零空间向量满足，
则以正方体三条相邻的棱为例，易知不成立，错；
根据基底的性质，都是非零向量，对；
纵坐标都为0的向量都与平面xOz平行或在其内，即它们都共面，对；
若共面，则存在实数λ，μ使得，
所以也共面，与题设矛盾，
故也是空间的一个基底，对．
故选：BCD．
10．已知是空间的一组基底，其中，，．若A，B，C，D四点共面，则λ＝ 　　 ．
【答案】
【解答】解：已知是空间的一组基底，其中，，．
由A，B，C，D四点共面，得，
而向量，，，
则，又不共面，
因此，解得，
所以．
故答案为：．
▉题型3 空间向量基底表示空间向量
【知识点的认识】
1．空间向量基本定理
如果三个向量，，不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使xyz．
任意不共面的三个向量都可作为空间的一个基底，，，都叫做基向量．
2．单位正交基底
如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长都为1，则这个基底叫做单位正交基底，常用{，，}表示．
【解题方法点拨】
基底的判断
判断三个向量能否作为基底，关键是判断它们是否共面，若从正面判断难以入手，可以用反证法结合共面向量定理或者利用常见的几何图形帮助进行判断．假设不能作为一个基底，看是否存在一对实数λ、μ使得，若存在，则假设成立；若不存在，则假设不成立．
11．已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，AD＝AA1＝1，向量，且x+2y+z＝2，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：以A为坐标原点，AB所在的直线为x轴，AD所在的直线为y轴，AA1所在的直线为z轴，
建立空间直角坐标系，AB＝2，AD＝AA1＝1，
则x（0，0，1）+y（2，0，0）+z（0，1，0），
因为x+2y+z＝2，所以，
令AA'＝2AA1，AD'＝2AD，
则，
所以M、A′、B、D'四点共面，
则的最小值即为点A到平面A'BD'的距离，设为h，
由VA﹣A'BD'＝VA'﹣ABD'得：，
解得，所以的最小值为．
故选：B．
12．对于空间中任意一点O和不共线的三点A，B，C，能得到点P在平面ABC内的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解答】解：A.，所以，3+1﹣1≠1，所以点P不在平面ABC内，A错误；
B.，所以，﹣1﹣1≠1，所以点P不在平面ABC内，B错误；
C.，所以，2+4﹣5＝1，所以点P在平面ABC内，C正确；
D.，所以，，所以点P不在平面ABC内，D错误．
故选：C．
13．若{，，}构成空间的一个基底，则下列向量可作为基底的是（　　）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】D
【解答】解：根据题意可知，{，，}构成空间的一个基底，
∵，∴，，共面，
∵，∴，，共面，
∵，∴，，共面，
∵不存在x，y，使得，∴，，不共面，∴可以作为基底．
故选：D．
14．已知四棱锥P﹣ABCD的底面是平行四边形，E为棱PC上的点，且CE＝2EP，用表示向量为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解答】解：由题意可知，，
所以．
故选：A．
15．在四面体O﹣ABC中，，D为BC的三等分点（靠近B点），E为AD的中点，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解答】解：根据题意作出图形，
由E为AD中点，得（）（）
结合，可得（）．
故选：C．
16．如图在四面体ABCD中，E、G分别是CD、BE的中点，若记，，，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解答】解：连接AE，如下图所示：
因为E为CD的中点，
由和向量的平行四边形法则可得：（），
因为G为BE的中点，
因为．
故选：D．
17．在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是棱C1D1，BB1的中点，记，，，则等于 　　 （用，，表示）．
【答案】．
【解答】解：根据向量的线性运算，
，，
所以．
故答案为：．
▉题型4 空间向量线性运算的坐标表示
【知识点的认识】
1．空间向量的坐标运算规律：
设空间向量，，则
（1）
（2）
（3）
2．空间向量的坐标表示：
设空间两点A（x1，y1，z1），B（x2，y2，z2），则
（x2，y2，z2）﹣（x1，y1，z1）＝（x2﹣x1，y2﹣y1，z2﹣z1）
【解题方法点拨】
空间向量的坐标运算：
空间向量的坐标运算和平面向量的坐标运算类似，两个向量的加、减、数乘运算就是向量的横坐标、纵坐标、竖坐标分别进行加、减、数乘运算；
18．已知点B（2，﹣3，1），向量，则点A坐标是（　　）
A．（1，2，3） B．（﹣1，2，3） C．（﹣5，8，1） D．（5，﹣8，﹣1）
【答案】D
【解答】解：点B（2，﹣3，1），向量，
又，（2，﹣3，1），
所以（5，﹣8，﹣1），
则点A坐标是（5，﹣8，﹣1）．
故选：D．
19．已知（1，﹣2，1），（﹣1，2，﹣1），则等于（　　）
A．（2，﹣4，2） B．（﹣2，4，﹣2） C．（﹣2，0，﹣2） D．（2，1，﹣3）
【答案】B
【解答】解：∵（1，﹣2，1），（﹣1，2，﹣1），
∴（﹣1﹣1，2﹣（﹣2），﹣1﹣1）＝（﹣2，4，﹣2）．
故选：B．
20．已知点A（3，8，﹣5），B（﹣2，6，8），则向量的坐标为（　　）
A．（﹣5，﹣2，13） B．（﹣5，2，13）
C．（﹣5，﹣2，﹣13） D．（5，﹣2，13）
【答案】A
【解答】解：A（3，8，﹣5），B（﹣2，6，8），所以．
故选：A．
21．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为CC1中点，，使得，则λ＝（　　）
A． B． C．1 D．
【答案】C
【解答】解：如图建系，
设棱长为6，则A（6，0，0），E（0，6，3），M（2，6，0），A1（6，0，6），N（6，6，6﹣6λ），，
∴，解得λ＝1．
故选：C．
22．已知向量，，且与互相垂直，则k＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：；
∵与垂直；
∴；
解得k．
故选：D．
（多选）23．已知，则下列结论正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【解答】解：由题意，（10，﹣5，﹣2），（﹣2，1，﹣6）， 24+6﹣8＝22，||6．
故选：ACD．
▉题型5 空间向量数量积的坐标表示
【知识点的认识】
空间向量的坐标运算规律：
．
【解题方法点拨】
空间两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积之和．
24．若向量（2，2，3），（﹣1，2，1），（0，1，1），则 （）＝（　　）
A．5 B．8 C．10 D．12
【答案】C
【解答】解：∵（﹣1，2，1），（0，1，1），
∴（﹣1，3，2），
则 （）＝﹣2+6+6＝10，
故选：C．
25．已知向量，且，那么2x+y＝（　　）
A．﹣10 B．﹣2 C．2 D．10
【答案】A
【解答】解：由题意可得，，即x＝﹣4，y＝﹣2，
那么2x+y＝﹣8﹣2＝﹣10．
故选：A．
26．若，，则（　　）
A．﹣2 B．4 C．﹣21 D．26
【答案】A
【解答】解：由已知条件得，则，
所以．
故选：A．
（多选）27．已知空间中三个向量，，，则下列说法正确的是（　　）
A．
B．
C．在上的投影向量为
D．
【答案】ACD
【解答】解：，
则，故A正确；
向量，，
则，
，
则，故B错误；
，，
故在上的投影向量为，故C正确；
，，
故，故D正确．
故选：ACD．
28．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，CB⊥AB，AB＝BC＝a，PA＝b，则a2 ．
【答案】a2
【解答】解：因为PA⊥平面ABC，AB 面ABC，
所以PA⊥AB，所以，
又CB⊥AB，所以，
所以．
故答案为：a2．
29．设x，y∈R，，，，且，，则||＝ 　3　 ．
【答案】3．
【解答】解：，，且，
则，解得x＝2，则，
，，
则，解得y＝﹣2，z＝1，
故，
所以，
故．
故答案为：3．
30．已知空间三点A（0，2，3），B（1，4，6），C（1，5，5）．
（1）若向量与互相垂直，求实数k的值；
（2）求以AB，AC为邻边的平行四边形的面积．
【答案】（1）．
（2）．
【解答】解：（1）因为A（0，2，3），B（1，4，6），C（1，5，5），
所以，，
所以，
∵向量（）⊥，∴，
解得．
（2）∵，，
∴由数量积公式得出向量夹角余弦值，即，
则，
以AB，AC为邻边构成平行四边形面积S＝2S△ABC，而，
∴以AB，AC为邻边的平行四边形的面积S．

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