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第2章第4节 空间向量在立体几何中的应用
题型1 异面直线及其所成的角 题型2 空间直线的方向向量、空间直线的向量参数方程
题型3 平面的法向量 题型4 空间向量法求解直线与平面所成的角
题型5 空间向量法求解二面角及两平面的夹角 题型6 空间中点到直线的距离及两平行直线间的距离
题型7 空间中点到平面的距离 题型8 空间向量语言表述线面的垂直、平行关系
题型9 空间向量语言表述面面的垂直、平行关系
▉题型1 异面直线及其所成的角
【知识点的认识】
1、异面直线所成的角：
直线a，b是异面直线，经过空间任意一点O，作直线a′，b′，并使a′∥a，b′∥b．我们把直线a′和b′所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角．异面直线所成的角的范围：θ∈（0，]．当θ＝90°时，称两条异面直线互相垂直．
2、求异面直线所成的角的方法：
求异面直线的夹角关键在于平移直线，常用相似比，中位线，梯形两底，平行平面等手段来转移直线．
3、求异面直线所成的角的方法常用到的知识：
1．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PA＝BC，E为CD的中点，F为PC的中点，则异面直线BF与PE所成角的余弦值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PA＝BC，E为CD的中点，F为PC的中点，
以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图，
设PA＝BC＝2，则B（2，0，0），C（2，2，0），P（0，0，2），F（1，1，1），E（1，2，0），
（﹣1，1，1），（1，2，﹣2），
则异面直线BF与PE所成角的余弦值为：
|cos|．
故选：C．
2．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为B1D1的中点，则直线PB与AD1所成的角为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：根据题意，如图，
设底面正方形ABCD的中心为Q，连接D1Q，
由正方体的结构特征可知，D1Q∥PB，则∠AD1Q为直线PB与AD1所成的角，
又由AC⊥平面BB1D1D，D1Q 平面BB1D1D，则有D1Q⊥AQ，
在Rt△AQD1 中，AD1＝2AQ，则∠AD1Q，即直线PB与AD1所成的角为，
故选：D．
3．在中国古代数学著作《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体的上、下底面平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分）．现有一个如图所示的曲池，它的高为2，AA1，BB1，CC1，DD1均与曲池的底面垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为1和2，对应的圆心角为90°，则图中异面直线AB1与CD1所成角的余弦值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：
设上底面圆心为O1，下底面圆心为O，连接OO1，OC，OB，
以O为原点，分别以OC，OB，OO1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
则C（1，0，0），A（0，2，0），B1（0，1，2），D1（2，0，2），
则，
，
又异面直线所成角的范围为，
故异面直线AB1与CD1所成角的余弦值为．
故选：A．
4．在四面体ABCD中，AB⊥BC，BC⊥CD，AB＝BC＝CD＝1，AD，点E为线段AB上动点（包含端点），设直线DE与BC所成角为θ，则cosθ的取值范围为（　　）
A．[0，] B．[0，] C．[，] D．[，]
【答案】D
【解答】解：设t（0≤t≤1），
则t，
由∠ABC＝90°，∠DBC＝45°，BD，
t 011，
又AD2＝AB2+BD2，则∠ABD＝90°，
||，
cosθ＝||，
由0≤t≤1，可得cosθ∈[，]，
故选：D．
▉题型2 空间直线的方向向量、空间直线的向量参数方程
【知识点的认识】
1、直线的方向向量：
空间中任意一条直线l的位置可以由l上一个定点A以及一个定方向确定．直线l上的向量以及与共线的向量叫做直线l的方向向量．注意：
①一条直线l有无穷多个方向向量，这些方向向量之间互相平行．
②直线l的方向向量也是所有与l平行的直线的方向向量．
2、方向向量的求法：可根据直线l上的任意两点的坐标写出直线l的一个方向向量．
3、平面的法向量：
由于垂直于同一平面的直线是互相平行的，所以，可以用垂直于平面的直线的方向向量来刻画平面的“方向”．如果表示向量的有向线段所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面，记作⊥α，如果⊥α，那么向量叫做平面α的法向量．注意：
①法向量一定是非零向量；
②一个平面α有无穷多个法向量，这些法向量之间互相平行；
③向量是平面的法向量，向量是与平面平行或在平面内，则有 0．
④一个平面α的法向量也是所有与平面α平行的平面的法向量．
4、法向量的求法：
（1）设：设出平面法向量的坐标为（u，v，w）；
（2）列：根据0，0，列出方程组；
（3）解：把u（或v或w）看作常数，用u（或v或w）表示另外两个量
（4）取：取u为任意一个数（当然取得越特殊越好），则得到平面法向量的坐标．
1、空间直线的点向式方程或标准方程：
设直线L过点M0（x0，y0，z0），（m，n，p）是直线L的方向向量．设M（x，y，z）是直线L上任意一点，则（x﹣x0，y﹣y0，z﹣z0），且∥．由两向量平行的充要条件可知
改方程组称为直线的点向式方程或标准方程（当m、n、p中有一个或两个为零时，就理解为相应的分子为零）．
若直线L的方程为，平面π的方程为Ax+By+Cz+D＝0，则直线L与平面π平行的充要条件是mA+nB+pC＝0；直线L与平面π垂直得充要条件是
2、空间直线的参数方程：
在直线方程中，记其比值为t，则有
（※）
这样，空间直线上动点M的坐标x、y、z就都表达为变量t的函数．当t取遍所有实数值时，由所确定的点M（x，y，z）就描出来直线．形如（※）的方程称为直线的参数方程，t为参数．
5．已知直线l1的方向向量为（1，0，m），直线l2的方向向量为（0，1，m），若l1与l2的夹角为60°，则m等于（　　）
A．1 B．﹣1 C．±1 D．0
【答案】C
【解答】解：直线l1的方向向量为（1，0，m），直线l2的方向向量为（0，1，m），l1与l2的夹角为60°，
则，解得m＝±1．
故选：C．
6．已知点M（1，﹣2，0），N（2，2，1）在直线l上，写出直线l的一个方向向量　（1，4，1）　 ．
【答案】（1，4，1）．
【解答】解：∵点M（1，﹣2，0），N（2，2，1）在直线l上，
∴直线l的一个方向向量，
故答案为：（1，4，1）．
7．写出直线2x+2y+1＝0的一个方向向量　（1，﹣1）（答案不唯一）　 ．
【答案】（1，﹣1）（答案不唯一）．
【解答】解：因为直线2x+2y+1＝0的斜率为﹣1，则直线2x+2y+1＝0的一个方向向量（1，﹣1）．
故答案为：（1，﹣1）（答案不唯一）．
▉题型3 平面的法向量
【知识点的认识】
1、直线的方向向量：
空间中任意一条直线l的位置可以由l上一个定点A以及一个定方向确定．直线l上的向量以及与共线的向量叫做直线l的方向向量．注意：
①一条直线l有无穷多个方向向量，这些方向向量之间互相平行．
②直线l的方向向量也是所有与l平行的直线的方向向量．
2、方向向量的求法：可根据直线l上的任意两点的坐标写出直线l的一个方向向量．
3、平面的法向量：
由于垂直于同一平面的直线是互相平行的，所以，可以用垂直于平面的直线的方向向量来刻画平面的“方向”．如果表示向量的有向线段所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面，记作⊥α，如果⊥α，那么向量叫做平面α的法向量．注意：
①法向量一定是非零向量；
②一个平面α有无穷多个法向量，这些法向量之间互相平行；
③向量是平面的法向量，向量是与平面平行或在平面内，则有 0．
④一个平面α的法向量也是所有与平面α平行的平面的法向量．
4、法向量的求法：
（1）设：设出平面法向量的坐标为（u，v，w）；
（2）列：根据0，0，列出方程组；
（3）解：把u（或v或w）看作常数，用u（或v或w）表示另外两个量
（4）取：取u为任意一个数（当然取得越特殊越好），则得到平面法向量的坐标．
8．若平面α，β的法向量分别为（2，﹣1，0），，则α与β的位置关系是（　　）
A．平行 B．垂直
C．相交但不垂直 D．无法确定
【答案】B
【解答】解：已知平面α的法向量为 ＝ （2，﹣1，0），平面β的法向量（1，2，1）．根据向量数量积的坐标运算公式，
，所以，故面α，β所成的二面角平面角为，
则平面α与β垂直．
故选：B．
9．已知点Pn（1，2，3）是法向量为的平面ABC内的一点，则下列各点中，不在平面ABC内的是（　　）
A．（3，2，1） B．（﹣2，5，4） C．（﹣3，4，5） D．（2，﹣4，8）
【答案】B
【解答】解：假设选项中的点为点M，
对于A：，此时，点（3，2，1）在平面ABC内；
对于B：，此时，点（﹣2，5，4）不在平面ABC内；
对于C：，此时，点（﹣3，4，5）在平面ABC内；
对于D：，此时，点（2，﹣4，8）在平面ABC内．
故选：B．
10．若直线l的一个方向向量为（1，﹣2，﹣1），平面α的一个法向量为（﹣2，4，2），则（　　）
A．l α B．l∥α C．l⊥α D．l∥α或l α
【答案】C
【解答】解：根据题意，直线l的一个方向向量为（1，﹣2，﹣1），平面α的一个法向量为（﹣2，4，2），
则有2，故l⊥α，
故选：C．
11．已知直线l的一个方向向量为（﹣1，2，1），平面α的一个法向量为（x，1，），若l∥α，则x＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：直线l的一个方向向量为（﹣1，2，1），
平面α的一个法向量为（x，1，），
∵l∥α，∴x+20，解得x．
故选：A．
12．平面α内三点坐标分别为A（1，0，﹣1），B（﹣1，1，﹣1），C（﹣1，0，0），则平面α的一个法向量为 　（1，2，2）　 ．
【答案】（1，2，2）（答案不唯一）．
【解答】解：由A（1，0，﹣1），B（﹣1，1，﹣1），C（﹣1，0，0）
则
因为向量是平面α的一个法向量，
所以，令x＝1，则．
故答案为：（1，2，2）．
▉题型4 空间向量法求解直线与平面所成的角
【知识点的认识】
直线与平面所成角的求法：
向量求法：设直线l的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为θ，与的夹角为φ，则有sinθ＝|cos φ|．
【解题方法点拨】
﹣点积和模：计算向量的数量积和模，求得角度的余弦值，然后使用反余弦函数计算角度．
13．古代城池中的“瓮城”，又叫“曲池”，是加装在城门前面或里面的又一层门，若敌人攻入瓮城中，可形成“瓮中捉鳖”之势．如图的“曲池”是上、下底面均为半圆形的柱体．若AA1⊥面ABCD，AA1＝3，AB＝4，CD＝2，E为弧A1B1的中点，则直线CE与平面DEB1所成角的正弦值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：因为AA1⊥平面ABCD，AB 平面ABCD，则AA1⊥AB，
由题意可以点A为原点，AB所在直线为y轴，AA1所在直线为z轴，平面ABCD内垂直于AB的直线为x轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则A（0，0，0），B（0，4，0），C（0，3，0），D（0，1，0），A1（0，0，3），
B1（0，4，3），C1（0，3，3），D1（0，1，3），
又因为E为的中点，则E（2，2，3），
则，（0，﹣3，﹣3），，
设平面DEB1的法向量（x，y，z），则，
令x＝1，则y＝1，z＝﹣1，则，
设直线CE与平面DEB1所成角为θ，
则．
故选：D．
14．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1＝BC＝4，AC＝3，AB＝5，E是CC1的中点，则直线AB与平面A1BE所成角的正弦值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：由题意知CA，CB，CC1两两垂直，
以，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A（3，0，0），B（0，4，0），A1（3，0，4），E（0，0，2），
设平面A1BE的法向量为，
因为，，
则，所以，
令y＝3，得，
因为，
所以，
故直线AB与平面A1BE所成角的正弦值为．
故选：D．
15．若直线l的方向向量为，向量是平面α的一个法向量，则直线l与平面α所成角的大小为 　　 ．
【答案】．
【解答】解：设直线l与平面α所成角为θ，
因为直线l的方向向量为，向量是平面α的一个法向量，
所以，
所以．
故答案为：．
16．如图①所示，四边形ABCQ是直角梯形，AQ∥BC，AQ⊥AB，且AQ＝2BC＝2AB＝4，D为线段AQ的中点．现沿着CD将△QCD折起，使Q点到达P点，如图②所示；连接PA、PB，其中M为线段PA的中点．
（1）求证：DM⊥PB；
（2）若二面角A﹣CD﹣P的大小为60°，则在线段PC上是否存在一点N，使得直线PB与平面BDN所成角的正弦值为？若存在，求三棱锥P﹣BDN的体积；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明：在图①中，由题知四边形ABCD为正方形，且CD＝DQ＝AD＝2，
则在②中，CD⊥PD，CD⊥AD，且PD∩AD＝D，
又PD，AD 平面PAD，则CD⊥平面PAD；
又AB∥CD，所以AB⊥平面PAD，
又DM 平面PAD，所以AB⊥DM；
又PD＝AD，且M为PA的中点，则DM⊥PA；
又AB∩PA＝A，AB，PA 平面PAB，
则DM⊥平面PAB，又PB 平面PAB，
所以DM⊥PB；
（2）存在，．
【解答】解：（1）证明：在图①中，由题知四边形ABCD为正方形，且CD＝DQ＝AD＝2，
则在②中，CD⊥PD，CD⊥AD，且PD∩AD＝D，
又PD，AD 平面PAD，则CD⊥平面PAD；
又AB∥CD，所以AB⊥平面PAD，
又DM 平面PAD，所以AB⊥DM；
又PD＝AD，且M为PA的中点，则DM⊥PA；
又AB∩PA＝A，AB，PA 平面PAB，
则DM⊥平面PAB，又PB 平面PAB，
所以DM⊥PB．
（2）由（1）知CD⊥平面PAD，CD 平面ABCD，则平面ABCD⊥平面PAD，
由题知二面角A﹣CD﹣P的平面角为∠ADP，则∠ADP＝60°，
则△PAD是等边三角形，则PA＝AD＝PD＝2，
取AD的中点为O，连接PO，则PO⊥AD，
又平面ABCD∩平面PAD＝AD，PO 平面PAD，
所以PO⊥平面ABCD，且，
则可以建立如图所示的空间直角坐标系；
则O（0，0，0）、、D（﹣1，0，0）、B（1，2，0）、C（﹣1，2，0），
则、、、，
设，（0≤λ≤1），
则，
设平面BDN的一个法向量为，
则，
令，则，
记直线PB与平面BDN所成角为θ，
则，
即，
解得，
因此，
则．
17．如图，四棱锥E﹣ABCD的底面ABCD是边长为4的正方形，EF∥AB，△BCE是正三角形，BF＝5，三棱锥F﹣BCE的体积是四棱锥E﹣ABCD体积的．
（1）求证：平面ABE⊥平面BCE；
（2）求直线CF与平面ADE所成角的正弦值．
【答案】（1）取BC的中点，连接EO，
因为△BCE是边长为4的正三角形，
所以EO⊥BC，且，
因为EF∥AB，AB⊥BC，所以EF⊥BC，
又EF∩EO＝E，EF，EO 平面EOF，
所以BC⊥平面EOF，
而BC 平面ABCD，BC 平面BCE，
所以平面ABCD⊥平面EOF，平面BCE⊥平面EOF，
设∠FEO＝α，则F到平面BCE的距离为EFsinα，E到平面ABCD的距离为OEsinα，
所以，
，
因为三棱锥F﹣BCE的体积是四棱锥E﹣ABCD体积的，
所以，解得EF＝3，
所以EF2+BE2＝BF2，即EF⊥BE，
因为BC⊥平面EOF，EF 平面EOF，所以BC⊥EF，
而BE∩BC＝B，BE，BC 平面BCE，
所以EF⊥平面BCE，
而EF∥AB，所以AB⊥平面BCE，
又AB 平面ABE，
所以平面ABE⊥平面BCE．
（2）．
【解答】（1）证明：取BC的中点，连接EO，
因为△BCE是边长为4的正三角形，
所以EO⊥BC，且，
因为EF∥AB，AB⊥BC，所以EF⊥BC，
又EF∩EO＝E，EF，EO 平面EOF，
所以BC⊥平面EOF，
而BC 平面ABCD，BC 平面BCE，
所以平面ABCD⊥平面EOF，平面BCE⊥平面EOF，
设∠FEO＝α，则F到平面BCE的距离为EFsinα，E到平面ABCD的距离为OEsinα，
所以，
，
因为三棱锥F﹣BCE的体积是四棱锥E﹣ABCD体积的，
所以，解得EF＝3，
所以EF2+BE2＝BF2，即EF⊥BE，
因为BC⊥平面EOF，EF 平面EOF，所以BC⊥EF，
而BE∩BC＝B，BE，BC 平面BCE，
所以EF⊥平面BCE，
而EF∥AB，所以AB⊥平面BCE，
又AB 平面ABE，
所以平面ABE⊥平面BCE．
（2）解：以O为坐标原点，OB，OE所在直线分别为x，z轴，作Oy∥AB，建立如图所示的空间直角坐标系，
则C（﹣2，0，0），，A（2，4，0），D（﹣2，4，0），，
所以，，，
设平面ADE的法向量为，则，
令，则x＝0，z＝2，所以，
设直线CF与平面ADE所成角为α，
则，
故直线CF与平面ADE所成角的正弦值为．
▉题型5 空间向量法求解二面角及两平面的夹角
【知识点的认识】
1、二面角的定义：
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．棱为AB、面分别为α、β的二面角记作二面角α﹣AB﹣β．有时为了方便，也可在α、β内（棱以外的半平面部分）分别取点P、Q，将这个二面角记作P﹣AB﹣Q．如果棱记作l，那么这个二面角记作二面角α﹣l﹣β或P﹣l﹣Q．
2、二面角的平面角﹣﹣
在二面角α﹣l﹣β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角．二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫做直二面角．二面角的平面角∠AOB的大小与点O的位置无关，也就是说，我们可以根据需要来选择棱l上的点O．
3、二面角的平面角求法：
向量法：用空间向量求平面间夹角的方法：
设平面α和β的法向量分别为和，若两个平面的夹角为θ，则
（1）当0，，θ，，
此时cosθ＝cos，．
（2）当，π时，θ＝π，，
cosθ＝﹣cos，．
【解题方法点拨】
﹣数量积和模：使用向量数量积和模计算夹角，应用反余弦函数得到结果．
18．在空间直角坐标系中，已知平面α，β的一个法向量分别为（0，﹣1，﹣1），（﹣2，1，2），则α与β的夹角的余弦值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：因为平面α，β的一个法向量分别为（0，﹣1，﹣1），（﹣2，1，2），
设，，
则，
所以平面α与β的夹角的余弦值为．
故选：D．
19．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M是AB的中点，N是B1C1的中点，P是BC1的中点，AB＝AC＝2，，AA1＝3．
（1）求证：AB⊥A1C；
（2）点Q在线段A1N上，且PQ∥平面A1CM，求平面C1MQ与平面A1CM夹角的余弦值．
【答案】（1）证明：因为M是AB的中点，AC＝AB＝2，所以AM＝1，
又，所以AC2+AM2＝CM2，所以AC⊥AM，
在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1A⊥AM，A1A∩AC＝A，A1A，AC 平面ACC1A1，
所以AM⊥平面ACC1A1，
即AB⊥平面ACC1A1，
又A1C 平面ACC1A1，
所以AB⊥A1C；
（2）．
【解答】（1）证明：因为M是AB的中点，AC＝AB＝2，所以AM＝1，
又，所以AC2+AM2＝CM2，所以AC⊥AM，
在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1A⊥AM，A1A∩AC＝A，A1A，AC 平面ACC1A1，
所以AM⊥平面ACC1A1，
即AB⊥平面ACC1A1，
又A1C 平面ACC1A1，
所以AB⊥A1C；
（2）解：分别以AC，AB，AA1所在直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
A1（0，0，3），C（2，0，0），M（0，1，0），，C1（2，0，3），
由题意设Q（a，a，3）（0≤a≤1），
则，，，
设平面A1CM的一个法向量为，
则，即，取z＝2，
得，
因为PQ∥平面A1CM，所以，
即，即3（a﹣1）+6（a﹣1）+3＝0，得，
所以，，，
设平面C1MQ的一个法向量为，
则，即，取x1＝1，
得，
可得3×1+6×2+2×0＝15，||7，||，
因为cos，．
所以平面C1MQ与平面A1CM夹角的余弦值为|cos，|．
20．等边三角形SAB绕边AB上的高SO旋转一周形成一个圆锥SO，如图，已知C，D均为弧AB的三等分点（点C靠近点A），E为母线SA的中点，．
（1）已知M为△SAB内一点，且DM∥平面ACE，作出点M的轨迹并证明；
（2）求平面ACE和平面SBD所成二面角的正弦值；
（3）设P为圆锥底面圆周上一点，求三棱锥S﹣CEP体积的最大值．
【答案】（1）设SB中点为F，则点M的轨迹为线段OF（不包括端点），
证明：∵E，F分别为SA，SB的中点，∴EF∥AB，且，
又C，D为弧AB的三等分点，∴CD∥AB，且，
∴CD∥EF且CD＝EF，
∴四边形ECDF是平行四边形，∴EC∥FD，
∵C，D为弧AB的三等分点，
∴AC＝OD，AO＝CD，
∴四边形ACDO是平行四边形，
∴AC∥OD，
由AC∩CE＝C，OD∩FD＝D，AC 平面ACE，CE 平面ACE，
OD 平面ODF，FD 平面ODF，
∴平面ACE∥平面ODF，
∵M为△SAB内一点，且DM∥平面ACE，
∴当点M在线段OF上时，DM 平面ODF，满足DM∥平面ACE，
∴点M的轨迹为线段OF（不包括端点）；
（2）；
（3）．
【解答】解：（1）设SB中点为F，连接EF，FO，FD，OD，则点M的轨迹为线段OF．
证明：∵E，F分别为SA，SB的中点，∴EF∥AB，且，
又C，D为弧AB的三等分点，∴CD∥AB，且，
∴CD∥EF且CD＝EF，
∴四边形ECDF是平行四边形，∴EC∥FD，
∵C，D为弧AB的三等分点，
∴AC＝OD，AO＝CD，
∴四边形ACDO是平行四边形，
∴AC∥OD，
由AC∩CE＝C，OD∩FD＝D，AC 平面ACE，CE 平面ACE，
OD 平面ODF，FD 平面ODF，
∴平面ACE∥平面ODF，
∵M为△SAB内一点，且DM∥平面ACE，
∴当点M在线段OF上时，DM 平面ODF，满足DM∥平面ACE，
∴点M的轨迹为线段OF（不包括端点）．
（2）设点G为弧CD中点，以直线OG为x轴，直线OB为y轴，直线OS为z轴建立如图所示空间直角坐标系，
O（0，0，0），S（0，0，6），，，，，，
，，，，
设是平面ACE的法向量，
则，则，
令x1＝1，可得，z1＝1，所以，
设是平面SBD的法向量，
则，则，
令，可得z2＝1，x2＝1，所以，
设平面ACE和平面SBD所成二面角为θ，
则，
，
∴平面ACE和平面SBD所成二面角的正弦值为．
（3），，，
则，
∴，
设，，
则点P到平面SCE的距离，
当时，，
∴三棱锥S﹣CEP体积的最大值为．
21．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AD＝AA1＝2，∠DAB＝∠DA1A＝60°，A1B．
（1）证明：AD⊥A1B；
（2）求二面角D﹣A1B﹣C1的正弦值．
【答案】（1）证明：因为AB＝AD＝AA1，∠DAB＝∠DA1A＝60°，
所以△DAB，△DAA1均为等边三角形，
记AD中点为O，连接OA1，OB，
则AD⊥OA1，AD⊥OB，
又OA1，OB 平面A1OB，OA1∩OB＝O，
所以AD⊥平面A1OB，因为A1B 平面A1OB，
所以AD⊥A1B；
（2）．
【解答】解：（1）证明：因为AB＝AD＝AA1，∠DAB＝∠DA1A＝60°，
所以△DAB，△DAA1均为等边三角形，
记AD中点为O，连接OA1，OB，
则AD⊥OA1，AD⊥OB，
又OA1，OB 平面A1OB，OA1∩OB＝O，
所以AD⊥平面A1OB，因为A1B 平面A1OB，
所以AD⊥A1B；
（2）因为△DAB，△DAA1均为等边三角形，AB＝AD＝AA1＝2，
所以，
因为，所以，即OA1⊥OB且A1O⊥AD，
OB∩AD＝O，OB，AD 平面ABCD，
所以A1O⊥平面ABCD，
以直线OA，OB，OA1分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
．
设平面DA1B的法向量为，
则，则，
取，则y＝﹣1，z＝﹣1，所以，
设平面A1BC1的法向量为，
则，则，
取a＝1，则，所以，
设二面角D﹣A1B﹣C1的平面角为，
所以，
即二面角D﹣A1B﹣C1的正弦值为．
22．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，∠BAD＝90°，BC∥AD，PA＝AB＝BCAD＝1，M是PD上的点，且AM⊥PD．
（1）证明：平面ABM⊥平面PCD；
（2）求平面ABM与平面ACM夹角的余弦值；
（3）在线段PB上是否存在点Q，使得点Q到平面ACM的距离是？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明见解答；
（2）；
（3）存在，．
【解答】（1）证明：因为PA⊥平面ABCD，AB 平面ABCD，
所以AB⊥PA，又AB⊥AD，AB∩AD＝A，
所以AB⊥平面PAD，所以AB⊥PD，
又因为AM⊥PD，AB∩AM＝A，
所以PD⊥平面ABM，又PD 平面PCD，
所以平面ABM⊥平面PCD；
（2）解：因为PA⊥平面ABCD，∠BAD＝90°，
所以AB，AD，AP两两垂直，如图，以A为坐标原点，
AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则P（0，0，1），A（0，0，0），B（1，0，0），D（0，2，0），C（1，1，0），
因为M是PD上一点，所以设，
得M（0，2λ，1﹣λ），即，
又因为AM⊥PD，
所以，
解得，所以，
则，，
设平面ABM的一个法向量为，
则由，可得，
令z＝1，则y＝﹣2，x＝0，
则平面ABM的一个法向量为，
设平面ACM的一个法向量为，
则由，可得，
令c＝1，则b＝﹣2，a＝2，
则平面ACM的一个法向量为，
设平面ABM与平面ACM夹角的为θ，
则，
所以平面ABM与平面ACM夹角的余弦值为；
（3）解：假设在线段PB上存在点Q，使得点Q到平面ACM的距离是，
设，则，
由（2）知平面ACM的一个法向量为，
则2（λ﹣1）+2+1﹣λ＝λ+1，
所以点Q到平面ACM的距离是，
解得，所以，
所以存在点Q满足题意，此时．
▉题型6 空间中点到直线的距离及两平行直线间的距离
【知识点的认识】﹣点到直线的距离：点P到直线l的距离为：
其中是点P到直线上的点A的向量，是直线的方向向量．
﹣两平行直线间的距离：两平行直线的距离是它们之间任意一点到另一条直线的距离．
【解题方法点拨】
﹣计算距离：应用点到直线的距离公式和两平行直线的距离计算公式．
23．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC是等边三角形，，AB＝2，则点C到直线AB1的距离为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：取AC的中点O，
则，
以OB，OC所在直线分别为x轴，y轴，O与A1C1中点连线所在直线为z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz，
则，
所以，
所以在上的投影的长度为，
故点C到直线AB1的距离为．
故选：C．
24．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝1，AA1＝2，AD＝4，点E在棱BC上，且BC＝4BE，点G为△AB1C的重心，则点G到直线AE的距离为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，建立如图所示的空间直角坐标系，
由AB＝1，AA1＝2，AD＝4，得A（0，0，0），C（1，4，0），B1（1，0，2），
由点E在棱BC上，且BC＝4BE，得E（1，1，0），△AB1C的重，
则，，，，，
所以点G到直线AE的距离．
故选：A．
25．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝4，M为底面ABCD的中心，则点C到直线A1M的距离为　　 ．
【答案】．
【解答】解：以点A为坐标原点，AB、AD、AA1所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则A1（0，0，4），C（2，2，0），M（1，1，0），，，
所以点C到直线A1M的距离为．
故答案为：．
▉题型7 空间中点到平面的距离
【知识点的认识】
﹣点到平面的距离：点P（x1，y1，z1）到平面Ax+By+Cz+D＝0（平面的法向量为（A，B，C））的距离为：
【解题方法点拨】
﹣计算距离：代入点和平面的系数，使用公式计算距离．
26．在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，BB1的中点，G为棱A1B1上的一点，且A1G＝λ（0＜λ＜2），则点G到平面D1EF的距离为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：由题意可得：A1B1∥平面D1EF，
则点G到平面D1EF的距离与点A1到平面D1EF的距离相等，
过A1作A1H⊥D1E交D1E于点H，
则A1H⊥平面D1EF，
又A1E＝1，A1D1＝2，
则，
即，
则点G到平面D1EF的距离为，
故选：D．
27．在正四棱锥P﹣ABCD中，AB＝2，PA与平面 ABCD所成角为，则点D到平面PBC的距离为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：设底面正方形ABCD的中心为O，则PO⊥底面ABCD，
∴PA与平面 ABCD所成角为∠PAO，又易知AO，
∴PO，∴侧棱PA＝2，∴PB＝PC＝PA＝2，又BC＝2，
∴等腰三角形PBC底边BC上的高为，
∴等腰三角形PBC的面积为，
设点D到平面PBC的距离为d，
则根据等体积法可得：VP﹣BCD＝VD﹣PBC，
∴，
解得d．
故选：B．
28．在棱长为4的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，G分别是棱BC，BB1，DD1的中点，过FG作平面α，使得A1E∥α，则点A到平面α的距离是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则E（2，4，0），G（0，0，2），F（4，4，2），A1（4，0，4），A（4，0，0），
∴，，
设平面α的一个法向量为，
∵A1E∥α，GF α，∴，，
由，令x＝2，得，
∴点A到平面α的距离．
故选：D．
29．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为线段DD1的中点，F为线段BB1的中点．直线FC1到平面AB1E的距离为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：∵AE∥FC1，FC1 平面AB1E，AE 平面AB1E，∴FC1∥平面AB1E，
∴直线FC1到平面AB1E的距离等于点C1到平面AB1E的距离，
如图，以D点为坐标原点，DA所在的直线为x轴，DC所在的直线为y轴，DD1所在的直线为z轴，建立直角坐标系，
则，
，
设平面AB1E的法向量为，
则，令z＝2，则，
设点C1到平面AB1E的距离为d，
则，
故直线FC1到平面AB1E的距离为．
故选：D．
▉题型8 空间向量语言表述线面的垂直、平行关系
【知识点的认识】
1．直线与平面平行
（1）已知两个非零向量和与α共面，直线l的一个方向向量为，则由共面向量定理可以得：
l∥α或l在α内 存在两个有序实数（x，y）使
（2）由共面向量定理还可以得，如果A，B，C三点不共线，则点M在平面ABC内的充要条件是，存在一对有序实数（x，y）使向量表达式成立．
2．线面垂直：
（1）设直线l的方向向量为，平面α的法向量为，则l⊥α ∥ k；
（2）由线面垂直的判定定理，只要证明已知直线的方向向量与平面内两个不共线向量垂直．
30．已知（﹣2，0，k）是直线l的方向向量，（1，0，2）是平面α的法向量，若l⊥α，则实数k＝（　　）
A．﹣4 B．﹣1 C．1 D．4
【答案】A
【解答】解：∵（﹣2，0，k）是直线l的方向向量，（1，0，2）是平面α的法向量，又l⊥α，
∴，∴k＝﹣4．
故选：A．
31．已知直线l的方向向量为，平面α的一个法向量为，若l⊥α，则λ的值（　　）
A．﹣2 B． C．1 D．4
【答案】B
【解答】解：由题意，直线l⊥平面α，
所以，解得．
故选：B．
32．若平面α外的直线l的方向向量为（1，0，﹣2），平面α的法向量为（8，﹣1，4），则（　　）
A．l⊥α B．1∥α C．∥ D．l与α斜交
【答案】B
【解答】解：根据题意，直线l的方向向量为（1，0，﹣2），平面α的法向量为（8，﹣1，4），
易得 1×8﹣2×4＝0，
又由直线l在平面α外，则有l∥α．
故选：B．
（多选）33．下列给出的命题正确的是（　　）
A．若为空间的一组基底，则也是空间的一组基底
B．点P为平面ABC上的一点，且，则
C．若直线l的方向向量为，平面α的法向量，则l∥α
D．两个不重合的平面α，β的法向量分别是，则α⊥β
【答案】BD
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，若为空间的一组基底，则向量、、不共线，
而（）﹣（），则、、共面，不能作为空间向量的基底，A错误；
对于B，点P为平面ABC上的一点，且，由空间向量基本定理的推论，则有x+y＝1，变形可得x+y，B正确；
对于C，由于 1+1+0＝0，则⊥，则有l∥α或l α，C错误；
对于D，由于 1+1+0＝0，则⊥，必有α⊥β，D正确．
故选：BD．
（多选）34．在空间直角坐标系中，有以下两条公认事实：
（1）过点P0（x0，y0，z0），且以为方向向量的空间直线l的方程为；
（2）过点P（x0，y0，z0），且为法向量的平面α的方程为m（x﹣x0）+n（y﹣y0）+t（z﹣z0）＝0．
现已知平面α：x+2y+3z＝6，，l2：x﹣3＝y＝1﹣z，，则（　　）
A．l1⊥α B．l2∥α C．l3∥α D．l1∥α
【答案】AC
【解答】解：根据题意，平面α的方程为：x+2y+3z＝6，则其法向量为，
对于，则6x﹣2＝3y＝2z+1，即，
故l1经过点，方向向量为，则，故l1⊥α，即A正确，D错误；
对于l2：x﹣3＝y＝1﹣z，即，故l2经过点（3，0，1），方向向量为，
因点（3，0，1）满足平面α：x+2y+3z＝6，即l2与α有公共点，故B错误；
对于，可知l3经过点（1，3，4），方向向量为，
因，可得，即l3 α或l3∥α，
但不满足x+2y+3z＝6，即点（1，3，4）不在平面α内，则l3 α，故l3∥α，故C正确．
故选：AC．
（多选）35．关于空间向量，以下说法正确的是（　　）
A．两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线
B．已知向量，若，则为钝角
C．若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于130°，则直线l与平面α所成的角为40°
D．若直线的方向向量为，平面α的法向量为，则直线l∥α
【答案】AC
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，若这两个向量不共线，在空间中必定存在非零向量，与这两个向量能构成空间的一个基底，故A正确；
对于B，当x＝﹣3时，（1，1，﹣3），（﹣3，﹣3，9），两个向量反向，夹角不是钝角，B错误；
对于C，若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于130°，则直线l与平面α所成的角为130°﹣90°＝40°，C正确；
对于D，若直线的方向向量为，平面α的法向量为，由于 0，则l∥α或l α，D错误．
故选：AC．
36．已知平面α的一个法向量为，点A（1，﹣2，3），B（t，1，﹣2）均在平面α内，则t＝　14　 ．
【答案】14．
【解答】解：根据题意，平面α内有两点A（1，﹣2，3），B（t，1，﹣2），则，
平面α的一个法向量为，则有，
所以 （t﹣1）﹣3﹣10＝0，解得t＝14．
故答案为：14．
▉题型9 空间向量语言表述面面的垂直、平行关系
【知识点的认识】
1、平面与平面平行
设平面α、β的法向量分别为、，则：α∥β或α与β重合 ∥ 存在实数t，使t．
2、面面垂直：
（1）证明两个平面的法向量垂直，即两个平面的法向量⊥ 0；
（2）由面面垂直的判定定理可知：只要证明一个平面内的一条直线的方向向量和一个平面内的两条相交直线的方向向量垂直．
37．已知平面α的法向量为，平面β的法向量为，若α∥β，则xy＝（　　）
A．﹣1 B．1 C． D．
【答案】A
【解答】解：根据题意，平面α的法向量为，平面β的法向量为，
若α∥β，则有，即，解可得x＝4，，
故xy＝﹣1．
故选：A．
38．已知分别是平面α，β的法向量，且α∥β，则mn＝　﹣3　 ．
【答案】﹣3
【解答】解：根据题意，若α∥β，则有∥，
设t，即（0，1，m）＝k（0，n，﹣3），则有，
变形可得：mn＝﹣3．
故答案为：﹣3．
39．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，AB＝AC＝AA1，D为BC的中点．
（1）证明：A1B∥平面ADC1；
（2）证明：平面ADC1⊥平面BB1C1C．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，
∴以A1为原点，A1C1为x轴，A1B1为y轴，A1A为z轴，
建立空间直角坐标系，设AB＝AC＝AA1＝2，
A1（0，0，0），B（0，2，2），A（0，0，2），
C（2，0，2），D（1，1，2），C1（2，0，0），
（0，2，2），（1，1，0），（2，0，﹣2），
设平面ADC1的法向量（x，y，z），
则，取x＝1，得（1，﹣1，1），
∵0﹣2+2＝0，且A1B 平面ADC1，
∴A1B∥平面ADC1．
（2）证明：∵（1，﹣1，0），（1，﹣1，﹣2），
设平面BB1C1C的法向量（a，b，c），
则，取a＝1，得（1，1，0），
又平面ADC1的法向量（1，﹣1，1），
1﹣1+0＝0，
∴平面ADC1⊥平面BB1C1C．第2章第4节 空间向量在立体几何中的应用
题型1 异面直线及其所成的角 题型2 空间直线的方向向量、空间直线的向量参数方程
题型3 平面的法向量 题型4 空间向量法求解直线与平面所成的角
题型5 空间向量法求解二面角及两平面的夹角 题型6 空间中点到直线的距离及两平行直线间的距离
题型7 空间中点到平面的距离 题型8 空间向量语言表述线面的垂直、平行关系
题型9 空间向量语言表述面面的垂直、平行关系
▉题型1 异面直线及其所成的角
【知识点的认识】
1、异面直线所成的角：
直线a，b是异面直线，经过空间任意一点O，作直线a′，b′，并使a′∥a，b′∥b．我们把直线a′和b′所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角．异面直线所成的角的范围：θ∈（0，]．当θ＝90°时，称两条异面直线互相垂直．
2、求异面直线所成的角的方法：
求异面直线的夹角关键在于平移直线，常用相似比，中位线，梯形两底，平行平面等手段来转移直线．
3、求异面直线所成的角的方法常用到的知识：
1．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PA＝BC，E为CD的中点，F为PC的中点，则异面直线BF与PE所成角的余弦值为（　　）
A． B． C． D．
2．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为B1D1的中点，则直线PB与AD1所成的角为（　　）
A． B． C． D．
3．在中国古代数学著作《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体的上、下底面平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分）．现有一个如图所示的曲池，它的高为2，AA1，BB1，CC1，DD1均与曲池的底面垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为1和2，对应的圆心角为90°，则图中异面直线AB1与CD1所成角的余弦值为（　　）
A． B． C． D．
4．在四面体ABCD中，AB⊥BC，BC⊥CD，AB＝BC＝CD＝1，AD，点E为线段AB上动点（包含端点），设直线DE与BC所成角为θ，则cosθ的取值范围为（　　）
A．[0，] B．[0，] C．[，] D．[，]
▉题型2 空间直线的方向向量、空间直线的向量参数方程
【知识点的认识】
1、直线的方向向量：
空间中任意一条直线l的位置可以由l上一个定点A以及一个定方向确定．直线l上的向量以及与共线的向量叫做直线l的方向向量．注意：
①一条直线l有无穷多个方向向量，这些方向向量之间互相平行．
②直线l的方向向量也是所有与l平行的直线的方向向量．
2、方向向量的求法：可根据直线l上的任意两点的坐标写出直线l的一个方向向量．
3、平面的法向量：
由于垂直于同一平面的直线是互相平行的，所以，可以用垂直于平面的直线的方向向量来刻画平面的“方向”．如果表示向量的有向线段所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面，记作⊥α，如果⊥α，那么向量叫做平面α的法向量．注意：
①法向量一定是非零向量；
②一个平面α有无穷多个法向量，这些法向量之间互相平行；
③向量是平面的法向量，向量是与平面平行或在平面内，则有 0．
④一个平面α的法向量也是所有与平面α平行的平面的法向量．
4、法向量的求法：
（1）设：设出平面法向量的坐标为（u，v，w）；
（2）列：根据0，0，列出方程组；
（3）解：把u（或v或w）看作常数，用u（或v或w）表示另外两个量
（4）取：取u为任意一个数（当然取得越特殊越好），则得到平面法向量的坐标．
1、空间直线的点向式方程或标准方程：
设直线L过点M0（x0，y0，z0），（m，n，p）是直线L的方向向量．设M（x，y，z）是直线L上任意一点，则（x﹣x0，y﹣y0，z﹣z0），且∥．由两向量平行的充要条件可知
改方程组称为直线的点向式方程或标准方程（当m、n、p中有一个或两个为零时，就理解为相应的分子为零）．
若直线L的方程为，平面π的方程为Ax+By+Cz+D＝0，则直线L与平面π平行的充要条件是mA+nB+pC＝0；直线L与平面π垂直得充要条件是
2、空间直线的参数方程：
在直线方程中，记其比值为t，则有
（※）
这样，空间直线上动点M的坐标x、y、z就都表达为变量t的函数．当t取遍所有实数值时，由所确定的点M（x，y，z）就描出来直线．形如（※）的方程称为直线的参数方程，t为参数．
5．已知直线l1的方向向量为（1，0，m），直线l2的方向向量为（0，1，m），若l1与l2的夹角为60°，则m等于（　　）
A．1 B．﹣1 C．±1 D．0
6．已知点M（1，﹣2，0），N（2，2，1）在直线l上，写出直线l的一个方向向量　　 ．
7．写出直线2x+2y+1＝0的一个方向向量　　 ．
▉题型3 平面的法向量
【知识点的认识】
1、直线的方向向量：
空间中任意一条直线l的位置可以由l上一个定点A以及一个定方向确定．直线l上的向量以及与共线的向量叫做直线l的方向向量．注意：
①一条直线l有无穷多个方向向量，这些方向向量之间互相平行．
②直线l的方向向量也是所有与l平行的直线的方向向量．
2、方向向量的求法：可根据直线l上的任意两点的坐标写出直线l的一个方向向量．
3、平面的法向量：
由于垂直于同一平面的直线是互相平行的，所以，可以用垂直于平面的直线的方向向量来刻画平面的“方向”．如果表示向量的有向线段所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面，记作⊥α，如果⊥α，那么向量叫做平面α的法向量．注意：
①法向量一定是非零向量；
②一个平面α有无穷多个法向量，这些法向量之间互相平行；
③向量是平面的法向量，向量是与平面平行或在平面内，则有 0．
④一个平面α的法向量也是所有与平面α平行的平面的法向量．
4、法向量的求法：
（1）设：设出平面法向量的坐标为（u，v，w）；
（2）列：根据0，0，列出方程组；
（3）解：把u（或v或w）看作常数，用u（或v或w）表示另外两个量
（4）取：取u为任意一个数（当然取得越特殊越好），则得到平面法向量的坐标．
8．若平面α，β的法向量分别为（2，﹣1，0），，则α与β的位置关系是（　　）
A．平行 B．垂直
C．相交但不垂直 D．无法确定
9．已知点Pn（1，2，3）是法向量为的平面ABC内的一点，则下列各点中，不在平面ABC内的是（　　）
A．（3，2，1） B．（﹣2，5，4） C．（﹣3，4，5） D．（2，﹣4，8）
10．若直线l的一个方向向量为（1，﹣2，﹣1），平面α的一个法向量为（﹣2，4，2），则（　　）
A．l α B．l∥α C．l⊥α D．l∥α或l α
11．已知直线l的一个方向向量为（﹣1，2，1），平面α的一个法向量为（x，1，），若l∥α，则x＝（　　）
A． B． C． D．
12．平面α内三点坐标分别为A（1，0，﹣1），B（﹣1，1，﹣1），C（﹣1，0，0），则平面α的一个法向量为 　　 ．
▉题型4 空间向量法求解直线与平面所成的角
【知识点的认识】
直线与平面所成角的求法：
向量求法：设直线l的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为θ，与的夹角为φ，则有sinθ＝|cos φ|．
【解题方法点拨】
﹣点积和模：计算向量的数量积和模，求得角度的余弦值，然后使用反余弦函数计算角度．
13．古代城池中的“瓮城”，又叫“曲池”，是加装在城门前面或里面的又一层门，若敌人攻入瓮城中，可形成“瓮中捉鳖”之势．如图的“曲池”是上、下底面均为半圆形的柱体．若AA1⊥面ABCD，AA1＝3，AB＝4，CD＝2，E为弧A1B1的中点，则直线CE与平面DEB1所成角的正弦值为（　　）
A． B． C． D．
14．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1＝BC＝4，AC＝3，AB＝5，E是CC1的中点，则直线AB与平面A1BE所成角的正弦值为（　　）
A． B． C． D．
15．若直线l的方向向量为，向量是平面α的一个法向量，则直线l与平面α所成角的大小为 　 ．
16．如图①所示，四边形ABCQ是直角梯形，AQ∥BC，AQ⊥AB，且AQ＝2BC＝2AB＝4，D为线段AQ的中点．现沿着CD将△QCD折起，使Q点到达P点，如图②所示；连接PA、PB，其中M为线段PA的中点．
（1）求证：DM⊥PB；
（2）若二面角A﹣CD﹣P的大小为60°，则在线段PC上是否存在一点N，使得直线PB与平面BDN所成角的正弦值为？若存在，求三棱锥P﹣BDN的体积；若不存在，请说明理由．
17．如图，四棱锥E﹣ABCD的底面ABCD是边长为4的正方形，EF∥AB，△BCE是正三角形，BF＝5，三棱锥F﹣BCE的体积是四棱锥E﹣ABCD体积的．
（1）求证：平面ABE⊥平面BCE；
（2）求直线CF与平面ADE所成角的正弦值．
▉题型5 空间向量法求解二面角及两平面的夹角
【知识点的认识】
1、二面角的定义：
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．棱为AB、面分别为α、β的二面角记作二面角α﹣AB﹣β．有时为了方便，也可在α、β内（棱以外的半平面部分）分别取点P、Q，将这个二面角记作P﹣AB﹣Q．如果棱记作l，那么这个二面角记作二面角α﹣l﹣β或P﹣l﹣Q．
2、二面角的平面角﹣﹣
在二面角α﹣l﹣β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角．二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫做直二面角．二面角的平面角∠AOB的大小与点O的位置无关，也就是说，我们可以根据需要来选择棱l上的点O．
3、二面角的平面角求法：
向量法：用空间向量求平面间夹角的方法：
设平面α和β的法向量分别为和，若两个平面的夹角为θ，则
（1）当0，，θ，，
此时cosθ＝cos，．
（2）当，π时，θ＝π，，
cosθ＝﹣cos，．
【解题方法点拨】
﹣数量积和模：使用向量数量积和模计算夹角，应用反余弦函数得到结果．
18．在空间直角坐标系中，已知平面α，β的一个法向量分别为（0，﹣1，﹣1），（﹣2，1，2），则α与β的夹角的余弦值为（　　）
A． B． C． D．
19．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M是AB的中点，N是B1C1的中点，P是BC1的中点，AB＝AC＝2，，AA1＝3．
（1）求证：AB⊥A1C；
（2）点Q在线段A1N上，且PQ∥平面A1CM，求平面C1MQ与平面A1CM夹角的余弦值．
20．等边三角形SAB绕边AB上的高SO旋转一周形成一个圆锥SO，如图，已知C，D均为弧AB的三等分点（点C靠近点A），E为母线SA的中点，．
（1）已知M为△SAB内一点，且DM∥平面ACE，作出点M的轨迹并证明；
（2）求平面ACE和平面SBD所成二面角的正弦值；
（3）设P为圆锥底面圆周上一点，求三棱锥S﹣CEP体积的最大值．
21．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AD＝AA1＝2，∠DAB＝∠DA1A＝60°，A1B．
（1）证明：AD⊥A1B；
（2）求二面角D﹣A1B﹣C1的正弦值．
22．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，∠BAD＝90°，BC∥AD，PA＝AB＝BCAD＝1，M是PD上的点，且AM⊥PD．
（1）证明：平面ABM⊥平面PCD；
（2）求平面ABM与平面ACM夹角的余弦值；
（3）在线段PB上是否存在点Q，使得点Q到平面ACM的距离是？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
▉题型6 空间中点到直线的距离及两平行直线间的距离
【知识点的认识】﹣点到直线的距离：点P到直线l的距离为：
其中是点P到直线上的点A的向量，是直线的方向向量．
﹣两平行直线间的距离：两平行直线的距离是它们之间任意一点到另一条直线的距离．
【解题方法点拨】
﹣计算距离：应用点到直线的距离公式和两平行直线的距离计算公式．
23．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC是等边三角形，，AB＝2，则点C到直线AB1的距离为（　　）
A． B． C． D．
24．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝1，AA1＝2，AD＝4，点E在棱BC上，且BC＝4BE，点G为△AB1C的重心，则点G到直线AE的距离为（　　）
A． B． C． D．
25．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝4，M为底面ABCD的中心，则点C到直线A1M的距离为　 ．
▉题型7 空间中点到平面的距离
【知识点的认识】
﹣点到平面的距离：点P（x1，y1，z1）到平面Ax+By+Cz+D＝0（平面的法向量为（A，B，C））的距离为：
【解题方法点拨】
﹣计算距离：代入点和平面的系数，使用公式计算距离．
26．在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，BB1的中点，G为棱A1B1上的一点，且A1G＝λ（0＜λ＜2），则点G到平面D1EF的距离为（　　）
A． B． C． D．
27．在正四棱锥P﹣ABCD中，AB＝2，PA与平面 ABCD所成角为，则点D到平面PBC的距离为（　　）
A． B． C． D．
28．在棱长为4的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，G分别是棱BC，BB1，DD1的中点，过FG作平面α，使得A1E∥α，则点A到平面α的距离是（　　）
A． B． C． D．
29．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为线段DD1的中点，F为线段BB1的中点．直线FC1到平面AB1E的距离为（　　）
A． B． C． D．
▉题型8 空间向量语言表述线面的垂直、平行关系
【知识点的认识】
1．直线与平面平行
（1）已知两个非零向量和与α共面，直线l的一个方向向量为，则由共面向量定理可以得：
l∥α或l在α内 存在两个有序实数（x，y）使
（2）由共面向量定理还可以得，如果A，B，C三点不共线，则点M在平面ABC内的充要条件是，存在一对有序实数（x，y）使向量表达式成立．
2．线面垂直：
（1）设直线l的方向向量为，平面α的法向量为，则l⊥α ∥ k；
（2）由线面垂直的判定定理，只要证明已知直线的方向向量与平面内两个不共线向量垂直．
30．已知（﹣2，0，k）是直线l的方向向量，（1，0，2）是平面α的法向量，若l⊥α，则实数k＝（　　）
A．﹣4 B．﹣1 C．1 D．4
31．已知直线l的方向向量为，平面α的一个法向量为，若l⊥α，则λ的值（　　）
A．﹣2 B． C．1 D．4
32．若平面α外的直线l的方向向量为（1，0，﹣2），平面α的法向量为（8，﹣1，4），则（　　）
A．l⊥α B．1∥α C．∥ D．l与α斜交
（多选）33．下列给出的命题正确的是（　　）
A．若为空间的一组基底，则也是空间的一组基底
B．点P为平面ABC上的一点，且，则
C．若直线l的方向向量为，平面α的法向量，则l∥α
D．两个不重合的平面α，β的法向量分别是，则α⊥β
（多选）34．在空间直角坐标系中，有以下两条公认事实：
（1）过点P0（x0，y0，z0），且以为方向向量的空间直线l的方程为；
（2）过点P（x0，y0，z0），且为法向量的平面α的方程为m（x﹣x0）+n（y﹣y0）+t（z﹣z0）＝0．
现已知平面α：x+2y+3z＝6，，l2：x﹣3＝y＝1﹣z，，则（　　）
A．l1⊥α B．l2∥α C．l3∥α D．l1∥α
（多选）35．关于空间向量，以下说法正确的是（　　）
A．两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线
B．已知向量，若，则为钝角
C．若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于130°，则直线l与平面α所成的角为40°
D．若直线的方向向量为，平面α的法向量为，则直线l∥α
36．已知平面α的一个法向量为，点A（1，﹣2，3），B（t，1，﹣2）均在平面α内，则t＝　　 ．
▉题型9 空间向量语言表述面面的垂直、平行关系
【知识点的认识】
1、平面与平面平行
设平面α、β的法向量分别为、，则：α∥β或α与β重合 ∥ 存在实数t，使t．
2、面面垂直：
（1）证明两个平面的法向量垂直，即两个平面的法向量⊥ 0；
（2）由面面垂直的判定定理可知：只要证明一个平面内的一条直线的方向向量和一个平面内的两条相交直线的方向向量垂直．
37．已知平面α的法向量为，平面β的法向量为，若α∥β，则xy＝（　　）
A．﹣1 B．1 C． D．
38．已知分别是平面α，β的法向量，且α∥β，则mn＝　　 ．
39．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，AB＝AC＝AA1，D为BC的中点．
（1）证明：A1B∥平面ADC1；
（2）证明：平面ADC1⊥平面BB1C1C．

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