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第3章第1节 条件概率与事件的独立性
题型1 由两事件交事件的概率判断两事件的相互独立 题型2 相互独立事件的概率乘法公式
题型3 求解条件概率 题型4 条件概率乘法公式及应用
题型5 全概率公式 题型6 贝叶斯公式
▉题型1 由两事件交事件的概率判断两事件的相互独立
【知识点的认识】
﹣对任意两个事件A与B，如果P（AB）＝P（A）P（B）成立，则称事件A与事件B相互独立．
【解题方法点拨】
﹣判断事件是否独立，通过计算交事件的概率并与乘积概率进行比较．
1．根据《国家学生体质健康标准》，高三男生和女生立定跳远单项等级如下（单位：cm）：
立定跳远单项等级 高三男生 高三女生
优秀 260及以上 194及以上
良好 245～259 180～193
及格 205～244 150～179
不及格 204及以下 149及以下
从某校高三男生和女生中各随机抽取12名同学，将其立定跳远测试成绩整理如下（精确到1cm）：
男生： 180 205 213 220 235 245 250 258 261 270 275 280
女生： 148 160 162 169 172 184 195 196 196 197 208 220
假设用频率估计概率，且每个同学的测试成绩相互独立．
（Ⅰ）分别估计该校高三男生和女生立定跳远单项的优秀率；
（Ⅱ）从该校全体高三男生中随机抽取2人，全体高三女生中随机抽取1人，设X为这3人中立定跳远单项等级为优秀的人数，估计X的数学期望EX；
（Ⅲ）从该校全体高三女生中随机抽取3人，设“这3人的立定跳远单项既有优秀，又有其它等级”为事件A，“这3人的立定跳远单项至多有1个是优秀”为事件B．判断A与B是否相互独立．（结论不要求证明）
【答案】（Ⅰ）；
（Ⅱ）；
（Ⅲ）A与B相互独立．
【解答】解：（Ⅰ）样本中立定跳远单项等级获得优秀的男生人数为4，获得优秀的女生人数为6，
所以估计该校高三男生立定跳远单项的优秀率为；
估计高三女生立定跳远单项的优秀率为．
（Ⅱ）由题设，X的所有可能取值为0，1，2，3，
P（X＝0），
P（X＝1），
P（X＝2）（）2，
P（X＝3），
E（X）＝0123．
（Ⅲ）P（A），
P（B），
P（AB），
P（AB）＝P（A）P（B），所以A与B相互独立．
▉题型2 相互独立事件的概率乘法公式
【知识点的认识】
﹣对于相互独立事件A和B，．
【解题方法点拨】
﹣应用乘法公式计算独立事件的联合概率，确保事件的独立性．
2．已知随机事件A、B，表示事件B的对立事件，P（A）＝0.4，P（B）＝0.6，则下面结论正确的是（　　）
A．事件A与B一定是对立事件
B．P（A∪B）＝1
C．P（AB）＝0.24
D．若事件A、B相互独立，则
【答案】D
【解答】解：根据题意，假设有5个小球，分别标有1、2、3、4、5个数字，
设A＝“取出标有数字1、2的小球”，B＝“取出标有数字1、2、3的小球”，
易得P（A）＝0.4，P（B）＝0.6，
依次分析选项：
对于A，A B，事件A、B可以同时发生，即事件A与B不是对立事件，A错误；
对于B，P（A∪B）＝P（B）＝0.6，B错误；
对于C，P（AB）＝P（A）＝0.4，C错误；
对于D，P（B）＝0.6，则P（）＝0.4，
若事件A、B相互独立，则A与也相互独立，则有P（A）＝P（A）P（）＝0.16，D正确．
故选：D．
3．中国古建筑闻名于世，源远流长．如图（1），某公园的六角亭是中国常见的一种供休闲的古建筑，六角亭屋顶的结构示意图可近似地看作如图（2）所示的六棱锥P﹣ABCDEF．该公园管理处准备用风铃装饰六角亭屋顶P﹣ABCDEF的六个顶点A，B，C，D，E，F，现有四种不同形状的风铃可供选用，则在相邻的两个顶点挂不同形状的风铃的条件下，顶点A与C处挂同一种形状的风铃的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：记事件M：相邻的两个顶点挂不同形状的风铃，事件N：A与C处挂同一种形状的风铃．
当顶点A与C挂同一种形状的风铃，且相邻两顶点挂不同形状的风铃时，分以下两类：
（1）A，C，E挂同一种形状的风铃，由前面解析可知，此时不同的挂法有108种；
（2）当A，C挂同一种形状的风铃，E挂其他形状的风铃时，有种挂法，
此时B，D，F有3×2×2种挂法，故不同的挂法共有种．
综上，总计有108+144＝252种挂法，即n（MN）＝252，
对于事件M，包含的情况可分以下三类：
（1）当A，C，E挂同一种形状的风铃时，有4种挂法，
此时B，D，F各有3种挂法，故不同的挂法共有4×3×3×3＝108种；
（2）当A，C，E挂两种不同形状的风铃时，有种挂法，
此时B，D，F有3×2×2种挂法，故不同的挂法共有种；
（3）当A，C，E挂三种不同形状的风铃时，有种挂法，
此时B，D，F各有2种挂法，故不同的挂法共有种．
综上，总计有108+432+192＝732种挂法，即n（M）＝732．
故．
故选：C．
4．某项羽毛球单打比赛规则是3局2胜制，运动员甲和乙进入了男子羽毛球单打决赛，假设甲每局获胜的概率为，则由此估计甲获得冠军的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：甲获得冠军分以下二类：
第一类：甲2：1获胜的概率为：；
第二类：甲2：0获胜的概率为：；
所以甲获胜的概率为．
故选：D．
5．已知事件A与B独立，且，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：事件A与B独立，且，
∴，
∴，
事件A与B独立，∴事件与B独立，
∴．
故选：C．
6．已知事件A，B相互独立，，，则P（AB）＝（　　）
A． B． C． D．1
【答案】A
【解答】解：因为事件A，B相互独立，
所以P（AB）＝P（A）P（B）．
故选：A．
▉题型3 求解条件概率
【知识点的认识】
﹣条件概率：在事件B发生的条件下事件A发生的概率，记作P（A|B）．
﹣计算：其中P（B）＞0．
【解题方法点拨】
﹣计算条件概率时，确定事件B的发生对事件A的影响，通过交事件的概率和条件事件的概率进行计算．
7．假定生男孩和生女孩是等可能的，现随机选择一个有三个孩子的家庭，若已知该家庭三个孩子中有男孩，则三个小孩中有女孩的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：根据题意，用b表示男孩，g表示女孩，该家庭有三个孩子，
则Ω＝{ggg，ggb，gbg，bgg，bbg，bgb，gbb，bbb}．
设该家庭三个孩子中有男孩为事件A，该家庭三个小孩中有女孩为事件B，
则，，
所以．
故选：D．
8．甲、乙、丙、丁、戊5人排成一排，在甲和乙相邻的条件下，丙和丁也相邻的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：甲和乙相邻，丙和丁也相邻的情况有：，
甲、乙、丙、丁、戊5人排成一排，甲和乙相邻的情况有：所有排列为：，
所以在甲和乙相邻的条件下，丙和丁也相邻的概率为．
故选：C．
9．某中学体育运动会上，甲、乙两人进行乒乓球项目决赛，采取“三局两胜制”，即先胜两局者获得冠军．已知甲每局获胜的概率为，且比赛没有平局．记事件A表示“甲获得冠军”，事件B表示“比赛进行了三局”，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：由题意可知，事件表示“比赛进行两局，且甲获得冠军”，即前两局都是甲获胜，
所以，
又因为，
所以．
故选：C．
10．甲箱中有2个红球和2个黑球，乙箱中有1个红球和3个黑球．先从甲箱中等可能地取出2个球放入乙箱，再从乙箱中等可能地取出1个球，记事件“从甲箱中取出的球恰有i个红球”为Ai（i＝0，1，2），“从乙箱中取出的球是黑球”为B，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解答】解：甲箱中有2个红球和2个黑球，则P（A0），P（A1），P（A2），故A错误；
乙箱中有1个红球和3个黑球，则P（B|A0），P（B|A1），P（B|A2），故B错误；
则P（B）＝P（A0）P（B|A0）+P（A1）P（B|A1）+P（A2）P（B|A2），故C错误；
则P（A2|B），故D正确．
故选：D．
11．小明和小强两人计划假期到南京游玩，他们分别从“夫子庙”“钟山风景区”“玄武湖”三个景区中随机选择一个游玩．记事件A＝“两人中至少有一人选择夫子庙”，事件B＝“两人选择的景区不同”，则P（B|A）＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：根据题意，两人从三个景区中随机选择一个游玩．有3×3＝9种选法，
事件A＝“两人中至少有一人选择夫子庙”，则n（A）＝9﹣2×2＝5，
事件AB，即两人中至少有一人选择夫子庙且选择的景区不同，则n（AB）＝2×2＝4，
故P（B|A）．
故选：A．
▉题型4 条件概率乘法公式及应用
【知识点的认识】
﹣条件概率乘法公式：．
【解题方法点拨】
﹣使用条件概率乘法公式计算交事件的概率，适用于涉及条件概率的复合事件问题．
12．已知，，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：，，，
∴P（A）＝1﹣P（）＝1，P（|）＝1，
则P（A）P（|A）+P（）P（|）
．
故选：C．
（多选）13．有3台车床加工同一型号的零件，第1台车床加工的次品率为5%，第2，3台车床加工的次品率均为6%，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的30%，30%，40%，则（　　）
A．任取一个零件，该零件是第1台车床加工的次品的概率为0.015
B．任取一个零件，该零件是次品的概率为0.058
C．如果取到的零件是次品，且是第2台车床加工的概率为
D．如果取到的零件是次品，且是第3台车床加工的概率为
【答案】AC
【解答】解：记Ai为事件“零件为第i（i＝1，2，3）台车床加工”，记B为事件“任取一个零件为次品”，
则P（A1）＝0.3，P（A2）＝0.3，P（A3）＝0.4，
P（B|A1）＝0.05，P（B|A2）＝0.06，P（B|A3）＝0.06，
对于A，即P（A1B）＝P（A1）P（B|A1）＝0.3×0.05＝0.015，故A正确；
对于B，P（B）＝P（A1）P（B|A1）+P（A2）P（B|A2）+P（A3）P（B|A3）
＝0.3×0.05+0.3×0.06+0.4×0.06＝0.057，故B错误；
对于C，，故C正确；
对于D，，故D错误．
故选：AC．
14．已知A，B是一个随机试验中的两个事件，且，则P（B|A）＝　　 ．
【答案】．
【解答】解：根据题意可知，，
而，所以．
故答案为：．
15．质监部门对某种建筑构件的抗压能力进行检测，对此建筑构件实施两次打击，若没有受损，则认为该构件通过质检．若第一次打击后该构件没有受损的概率为0.85，当第一次没有受损时第二次实施打击也没有受损的概率为0.80，则该构件通过质检的概率为 　0.68　 ．
【答案】0.68．
【解答】解：根据题意，设Ai表示第i次打击后该构件没有受损，i＝1，2，
则由已知可得P（A1）＝0.85，P（A2|A1）＝0.8，
所以P（A1A2）＝P（A1）P（A2|A1）＝0.85×0.8＝0.68．
故答案为：0.68．
▉题型5 全概率公式
【知识点的认识】
全概率公式
一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P（Ai）＞0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B Ω，有
P（B）．
16．某工厂为了了解车间的生产情况，从甲、乙、丙三个车间分别抽取了30，30，40个产品进行检验，其中一等品分别为5，6，8个．现随机选定一个车间，从该车间抽取一个产品，则该产品是一等品的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：从甲、乙、丙三个车间分别抽取了30，30，40个产品进行检验，
其中一等品分别为5，6，8个，
现随机选定一个车间，从该车间抽取一个产品，
记“随机选定的车间为甲、乙、丙车间分别为事件Ai，i＝1，2，3”，
“该产品为一等品”为事件B，
依题意可知，
且；
∴该产品是一等品的概率为：
．
故选：B．
17．有3台车床加工同一型号的零件，第1、2、3台加工的次品率分别为3%、5%、9%，加工出来的零件混放在一起．已知第1、2、3台车床加工的零件数占比为2：2：1，若从中任取一个零件，则这个零件是次品的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：依题意，设事件Ai为“零件为第i台车床加工”（1，2，3），事件B为“零件为次品”．
由全概率公式：P（B）＝P（A1）P（B|A1）+P（A2）P（B|A2）+P（A3）P（B|A3）
．
故选：A．
18．已知编号为1，2，3的三个口袋中有除颜色外完全相同的小球，其中1号口袋中有两个1号球，一个2号球和一个3号球；2号口袋中有两个1号球，一个3号球；3号口袋内有三个1号球，两个2号球．第一次先从1号口袋中取出1个球，将取出的球放入与球同编号的口袋中，第二次从该口袋中任取一个球，下列说法不正确的是（　　）
A．第二次取到3号球的概率为
B．如果第二次取到1号球，则它来自1号口袋的概率最大
C．在第一次取到2号球的条件下，第二次取到1号球的概率是
D．如果将6个不同小球放入这3个口袋内，每个口袋至少放1个，则不同的分配方法有540种
【答案】C
【解答】解：对于A，设Ai为“第1次在1号口袋中取i号球”，B为“第二次取3号球”，
则P（B）＝P（B|A1）P（A1）+P（B|A2）P（A2）+P（B|A3）P（A3），
故A正确；
对于B，设C为“第二次取1号球”，
则P（C）＝P（C|A1）P（A1）+P（C|A2）P（A2）+P（C|A3）P（A3），
故，，
，
所以则它来自1号口袋的概率最大，故B正确；
对于C，，故C错误；
对于D，将6个不同小球放入这3个口袋内，每个口袋至少放1个，
先将6个球分成3组，有（1，1，4），（1，2，3），（2，2，2）三种分法，
对于（1，1，4），有种方法，
对于（1，2，3），有种方法，
对于（2，2，2），有种方法，
所以不同的分配方法共有90+360+90＝540种，故D正确．
故选：C．
19．某城市交通部门对市民上班的出行方式进行了一项调查，调查结果显示，有60%的市民乘坐公共交通工具（如公交、地铁），有30%的市民开私家车，有10%的市民选择骑行（如自行车、电动车）或步行．进一步的数据显示，在乘坐公共交通工具出行的市民中，有20%的人迟到，在开私家车出行的市民中，有30%的人迟到，在骑行或步行出行的市民中，有10%的人迟到．以频率估计概率，从该市随机选择一名市民，若他迟到了，则这名市民是乘坐公共交通工具出行的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：市民开私家车出行迟到的概率为，
市民骑行或步行出行迟到的概率为，
市民乘坐公共交通工具出行迟到的概率为，
则这名市民迟到的概率为，
故所求的概率为．
故选：C．
20．某学校有A、B两家餐厅，王同学第一天去A、B两个餐厅的概率分别是和，如果第一天去A餐厅，那么第二天去A餐厅的概率为；如果第一天去B餐厅，那么第二天去A餐厅的概率为，则王同学第二天去A餐厅的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：设王同学第一天去B餐厅为事件B1，第二天去B餐厅为事件B2，
王同学第一天去A餐厅为事件A1，第二天去A餐厅为事件A2，
由已知可得，，
则根据全概率公式，．
故选：C．
21．有两台车床加工同一型号零件，第1台加工的次品率为4%，第2台加工的次品率为5%，将两台车床加工出来的零件混放在一起，已知第1台，第2台车床加工的零件占比分别为40%，60%，现任取一件零件，则它是次品的概率为（　　）
A．0.044 B．0.046 C．0.050 D．0.090
【答案】B
【解答】解：由题意可知，任取一件零件，则它是次品的概率为：4%×40%+5%×60%＝0.046．
故选：B．
▉题型6 贝叶斯公式
【知识点的认识】
贝叶斯公式：若事件A1，A2，…，构成一个完备事件组，且都具有正概率，则对任何一个不为零的时间B，都有：
．
【解题方法点拨】
贝叶斯公式和全概率公式的联系：
（1）各原因下条件概率已知，用全概率公式求事件发生概率；
（2）事件已发生，求是某种原因造成的概率，用贝叶斯公式．
22．人工智能领域让贝叶斯公式：站在了世界中心位置，AI换脸是一项深度伪造技术，某视频网站利用该技术掺入了一些“AI”视频，“AI”视频占有率为0.001．某团队决定用AI对抗“AI”，研究了深度鉴伪技术来甄别视频的真假．该鉴伪技术的准确率是0.96，即在该视频是伪造的情况下，它有96%的可能鉴定为“AI”；该鉴伪技术的误报率是0.02，即在该视频是真实的情况下，它有2%的可能鉴定为“AI”．已知某个视频被鉴定为“AI”，则该视频是“AI”合成的可能性约为（　　）
A．6% B．4.6% C．2.4% D．0.1%
【答案】B
【解答】解：设A＝“视频是“AI”合成”，设B＝“鉴定结果为“AI””，
则，
由贝叶斯公式得某个视频被鉴定为“AI”，则该视频是“AI”合成的可能性约为：
．
故选：B．
23．已知在所有男子中有5%患有色盲症，在所有女子中有0.3%患有色盲症，随机抽一人发现患色盲症，其为男子的概率为（设男子和女子的人数相等）（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：根据题意，设A＝“随机抽一人是男生”，B＝“随机抽一人患有色盲症”，
则P（AB）＝ P（A）P（B|A），
P（B）＝P（AB）+P（B），
故P（A|B）．
故选：C．
24．人工智能领域让贝叶斯公式：站在了世界中心位置，AI换脸是一项深度伪造技术，某视频网站利用该技术掺入了一些“AI”视频，“AI”视频占有率为0.001．某团队决定用AI对抗AI，研究了深度鉴伪技术来甄别视频的真假．该鉴伪技术的准确率是0.98，即在该视频是伪造的情况下，它有98%的可能鉴定为“AI”；它的误报率是0.04，即在该视频是真实的情况下，它有4%的可能鉴定为“AI”．已知某个视频被鉴定为“AI”，则该视频是“AI”合成的可能性为（　　）
A．0.1% B．0.4% C．2.4% D．4%
【答案】C
【解答】解：根据题意，记事件A＝视频是“AI”合成，事件B＝视频被鉴定为“AI”，
则P（A）＝0.001，P（）＝1﹣P（A）＝0.999，
P（B|A）＝0.98，P（|A）＝0.02，
P（B|）＝0.04，P（|）＝0.96，
则P（B）＝P（A）P（B|A）+P（）P（B|）＝0.001×0.98+0.999×0.04＝0.04094，
故P（A|B）2.4%．
故选：C．第3章第1节 条件概率与事件的独立性
题型1 由两事件交事件的概率判断两事件的相互独立 题型2 相互独立事件的概率乘法公式
题型3 求解条件概率 题型4 条件概率乘法公式及应用
题型5 全概率公式 题型6 贝叶斯公式
▉题型1 由两事件交事件的概率判断两事件的相互独立
【知识点的认识】
﹣对任意两个事件A与B，如果P（AB）＝P（A）P（B）成立，则称事件A与事件B相互独立．
【解题方法点拨】
﹣判断事件是否独立，通过计算交事件的概率并与乘积概率进行比较．
1．根据《国家学生体质健康标准》，高三男生和女生立定跳远单项等级如下（单位：cm）：
立定跳远单项等级 高三男生 高三女生
优秀 260及以上 194及以上
良好 245～259 180～193
及格 205～244 150～179
不及格 204及以下 149及以下
从某校高三男生和女生中各随机抽取12名同学，将其立定跳远测试成绩整理如下（精确到1cm）：
男生： 180 205 213 220 235 245 250 258 261 270 275 280
女生： 148 160 162 169 172 184 195 196 196 197 208 220
假设用频率估计概率，且每个同学的测试成绩相互独立．
（Ⅰ）分别估计该校高三男生和女生立定跳远单项的优秀率；
（Ⅱ）从该校全体高三男生中随机抽取2人，全体高三女生中随机抽取1人，设X为这3人中立定跳远单项等级为优秀的人数，估计X的数学期望EX；
（Ⅲ）从该校全体高三女生中随机抽取3人，设“这3人的立定跳远单项既有优秀，又有其它等级”为事件A，“这3人的立定跳远单项至多有1个是优秀”为事件B．判断A与B是否相互独立．（结论不要求证明）
▉题型2 相互独立事件的概率乘法公式
【知识点的认识】
﹣对于相互独立事件A和B，．
【解题方法点拨】
﹣应用乘法公式计算独立事件的联合概率，确保事件的独立性．
2．已知随机事件A、B，表示事件B的对立事件，P（A）＝0.4，P（B）＝0.6，则下面结论正确的是（　　）
A．事件A与B一定是对立事件
B．P（A∪B）＝1
C．P（AB）＝0.24
D．若事件A、B相互独立，则
3．中国古建筑闻名于世，源远流长．如图（1），某公园的六角亭是中国常见的一种供休闲的古建筑，六角亭屋顶的结构示意图可近似地看作如图（2）所示的六棱锥P﹣ABCDEF．该公园管理处准备用风铃装饰六角亭屋顶P﹣ABCDEF的六个顶点A，B，C，D，E，F，现有四种不同形状的风铃可供选用，则在相邻的两个顶点挂不同形状的风铃的条件下，顶点A与C处挂同一种形状的风铃的概率为（　　）
A． B． C． D．
4．某项羽毛球单打比赛规则是3局2胜制，运动员甲和乙进入了男子羽毛球单打决赛，假设甲每局获胜的概率为，则由此估计甲获得冠军的概率为（　　）
A． B． C． D．
5．已知事件A与B独立，且，则（　　）
A． B． C． D．
6．已知事件A，B相互独立，，，则P（AB）＝（　　）
A． B． C． D．1
▉题型3 求解条件概率
【知识点的认识】
﹣条件概率：在事件B发生的条件下事件A发生的概率，记作P（A|B）．
﹣计算：其中P（B）＞0．
【解题方法点拨】
﹣计算条件概率时，确定事件B的发生对事件A的影响，通过交事件的概率和条件事件的概率进行计算．
7．假定生男孩和生女孩是等可能的，现随机选择一个有三个孩子的家庭，若已知该家庭三个孩子中有男孩，则三个小孩中有女孩的概率为（　　）
A． B． C． D．
8．甲、乙、丙、丁、戊5人排成一排，在甲和乙相邻的条件下，丙和丁也相邻的概率为（　　）
A． B． C． D．
9．某中学体育运动会上，甲、乙两人进行乒乓球项目决赛，采取“三局两胜制”，即先胜两局者获得冠军．已知甲每局获胜的概率为，且比赛没有平局．记事件A表示“甲获得冠军”，事件B表示“比赛进行了三局”，则（　　）
A． B． C． D．
10．甲箱中有2个红球和2个黑球，乙箱中有1个红球和3个黑球．先从甲箱中等可能地取出2个球放入乙箱，再从乙箱中等可能地取出1个球，记事件“从甲箱中取出的球恰有i个红球”为Ai（i＝0，1，2），“从乙箱中取出的球是黑球”为B，则（　　）
A． B．
C． D．
11．小明和小强两人计划假期到南京游玩，他们分别从“夫子庙”“钟山风景区”“玄武湖”三个景区中随机选择一个游玩．记事件A＝“两人中至少有一人选择夫子庙”，事件B＝“两人选择的景区不同”，则P（B|A）＝（　　）
A． B． C． D．
▉题型4 条件概率乘法公式及应用
【知识点的认识】
﹣条件概率乘法公式：．
【解题方法点拨】
﹣使用条件概率乘法公式计算交事件的概率，适用于涉及条件概率的复合事件问题．
12．已知，，，则（　　）
A． B． C． D．
（多选）13．有3台车床加工同一型号的零件，第1台车床加工的次品率为5%，第2，3台车床加工的次品率均为6%，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的30%，30%，40%，则（　　）
A．任取一个零件，该零件是第1台车床加工的次品的概率为0.015
B．任取一个零件，该零件是次品的概率为0.058
C．如果取到的零件是次品，且是第2台车床加工的概率为
D．如果取到的零件是次品，且是第3台车床加工的概率为
14．已知A，B是一个随机试验中的两个事件，且，则P（B|A）＝　　 ．
15．质监部门对某种建筑构件的抗压能力进行检测，对此建筑构件实施两次打击，若没有受损，则认为该构件通过质检．若第一次打击后该构件没有受损的概率为0.85，当第一次没有受损时第二次实施打击也没有受损的概率为0.80，则该构件通过质检的概率为 　　 ．
▉题型5 全概率公式
【知识点的认识】
全概率公式
一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P（Ai）＞0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B Ω，有
P（B）．
16．某工厂为了了解车间的生产情况，从甲、乙、丙三个车间分别抽取了30，30，40个产品进行检验，其中一等品分别为5，6，8个．现随机选定一个车间，从该车间抽取一个产品，则该产品是一等品的概率为（　　）
A． B． C． D．
17．有3台车床加工同一型号的零件，第1、2、3台加工的次品率分别为3%、5%、9%，加工出来的零件混放在一起．已知第1、2、3台车床加工的零件数占比为2：2：1，若从中任取一个零件，则这个零件是次品的概率为（　　）
A． B． C． D．
18．已知编号为1，2，3的三个口袋中有除颜色外完全相同的小球，其中1号口袋中有两个1号球，一个2号球和一个3号球；2号口袋中有两个1号球，一个3号球；3号口袋内有三个1号球，两个2号球．第一次先从1号口袋中取出1个球，将取出的球放入与球同编号的口袋中，第二次从该口袋中任取一个球，下列说法不正确的是（　　）
A．第二次取到3号球的概率为
B．如果第二次取到1号球，则它来自1号口袋的概率最大
C．在第一次取到2号球的条件下，第二次取到1号球的概率是
D．如果将6个不同小球放入这3个口袋内，每个口袋至少放1个，则不同的分配方法有540种
19．某城市交通部门对市民上班的出行方式进行了一项调查，调查结果显示，有60%的市民乘坐公共交通工具（如公交、地铁），有30%的市民开私家车，有10%的市民选择骑行（如自行车、电动车）或步行．进一步的数据显示，在乘坐公共交通工具出行的市民中，有20%的人迟到，在开私家车出行的市民中，有30%的人迟到，在骑行或步行出行的市民中，有10%的人迟到．以频率估计概率，从该市随机选择一名市民，若他迟到了，则这名市民是乘坐公共交通工具出行的概率为（　　）
A． B． C． D．
20．某学校有A、B两家餐厅，王同学第一天去A、B两个餐厅的概率分别是和，如果第一天去A餐厅，那么第二天去A餐厅的概率为；如果第一天去B餐厅，那么第二天去A餐厅的概率为，则王同学第二天去A餐厅的概率为（　　）
A． B． C． D．
21．有两台车床加工同一型号零件，第1台加工的次品率为4%，第2台加工的次品率为5%，将两台车床加工出来的零件混放在一起，已知第1台，第2台车床加工的零件占比分别为40%，60%，现任取一件零件，则它是次品的概率为（　　）
A．0.044 B．0.046 C．0.050 D．0.090
▉题型6 贝叶斯公式
【知识点的认识】
贝叶斯公式：若事件A1，A2，…，构成一个完备事件组，且都具有正概率，则对任何一个不为零的时间B，都有：
．
【解题方法点拨】
贝叶斯公式和全概率公式的联系：
（1）各原因下条件概率已知，用全概率公式求事件发生概率；
（2）事件已发生，求是某种原因造成的概率，用贝叶斯公式．
22．人工智能领域让贝叶斯公式：站在了世界中心位置，AI换脸是一项深度伪造技术，某视频网站利用该技术掺入了一些“AI”视频，“AI”视频占有率为0.001．某团队决定用AI对抗“AI”，研究了深度鉴伪技术来甄别视频的真假．该鉴伪技术的准确率是0.96，即在该视频是伪造的情况下，它有96%的可能鉴定为“AI”；该鉴伪技术的误报率是0.02，即在该视频是真实的情况下，它有2%的可能鉴定为“AI”．已知某个视频被鉴定为“AI”，则该视频是“AI”合成的可能性约为（　　）
A．6% B．4.6% C．2.4% D．0.1%
23．已知在所有男子中有5%患有色盲症，在所有女子中有0.3%患有色盲症，随机抽一人发现患色盲症，其为男子的概率为（设男子和女子的人数相等）（　　）
A． B． C． D．
24．人工智能领域让贝叶斯公式：站在了世界中心位置，AI换脸是一项深度伪造技术，某视频网站利用该技术掺入了一些“AI”视频，“AI”视频占有率为0.001．某团队决定用AI对抗AI，研究了深度鉴伪技术来甄别视频的真假．该鉴伪技术的准确率是0.98，即在该视频是伪造的情况下，它有98%的可能鉴定为“AI”；它的误报率是0.04，即在该视频是真实的情况下，它有4%的可能鉴定为“AI”．已知某个视频被鉴定为“AI”，则该视频是“AI”合成的可能性为（　　）
A．0.1% B．0.4% C．2.4% D．4%

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