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第3章第2节 离散型随机变量及其分布列
题型1 离散型随机变量及其分布列 题型2 离散型随机变量的均值（数学期望）
题型3 离散型随机变量的方差与标准差 题型4 两点分布（0-1分布）
题型5 n重伯努利试验与二项分布 题型6 n次独立重复试验中恰好发生k次的概率
题型7 二项分布的均值（数学期望）与方差 题型8 超几何分布
▉题型1 离散型随机变量及其分布列
【知识点的认识】
1、相关概念；
（1）随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量随机变量常用希腊字母ξ、η等表示．
（2）离散型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．若ξ是随机变量，η＝aξ+b，其中a、b是常数，则η也是随机变量．
（3）连续型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量
（4）离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系：离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出．
2、离散型随机变量
（1）随机变量：在随机试验中，试验可能出现的结果可以用一个变量X来表示，并且X是随着试验结果的不同而变化的，这样的变量X叫做一个随机变量．随机变量常用大写字母X，Y，…表示，也可以用希腊字母ξ，η，…表示．
（2）离散型随机变量：如果随机变量X的所有可能的取值都能一一列举出来，则称X为离散型随机变量．
3、离散型随机变量的分布列．
（1）定义：一般地，设离散型随机变量X的所有可能值为x1，x2，…，xn；X取每一个对应值的概率分别为p1，p2，…，pn，则得下表：
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
该表为随机变量X的概率分布，或称为离散型随机变量X的分布列．
（2）性质：①pi≥0，i＝1，2，3，…，n；②p1+p2+…+pn＝1．
1．甲、乙两人玩一种扑克游戏，每局开始前每人手中各有6张扑克牌，点数分别为1～6，两人各随机出牌1张，当两张牌的点数之差为偶数时，视为平局，当两张牌的点数之差为奇数时，谁的牌点数大谁胜，重复上面的步骤，游戏进行到一方比对方多胜2次或平局4次时停止，记游戏停止时甲、乙各出牌X次，则P（X＝4）＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：甲乙每次出牌1张，若两人出牌的点数都是偶数或都是奇数，则平局，
所以平局的概率，
若甲胜，则结果有（2，1）、（3，2）、（4，1）、（4，3）、（5，2）、（5，4）、（6，1）、（6，3）、（6，5），共9种，
所以甲胜的概率为，同理乙胜的概率也为，
各出牌4次后停止游戏，若4次全平局，概率为，
若平局2次，则最后1次不能是平局，
另外2次甲全胜或乙全胜，概率为，
若平局0次，则一方3胜1负，且负的1次只能在前2次中，概率为，
所以．
故选：D．
2．下表是离散型随机变量ξ的概率分布，则P（ξ≥2）＝（　　）
ξ 1 2 3 4
P
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：由离散型随机变量ξ的概率分布得：
，且，0，
解得a＝2，
∴．
故选：B．
3．已知离散型随机变量X的分布列为，则P（X≥2）＝（　　）
A． B． C． D．1
【答案】C
【解答】解：根据题意，离散型随机变量X的分布列为，
则P（X≥2）＝P（X＝2）+P（X＝3）．
故选：C．
4．若离散型随机变量X的分布列如表，则常数c的值为（　　）
X 0 1
P 9c2﹣c 3﹣8c
A．或 B． C． D．1
【答案】C
【解答】解：由随机变量的分布列知，
9c2﹣c≥0，3﹣8c≥0，
9c2﹣c+3﹣8c＝1，
∴c．
故选：C．
5．下列是离散型随机变量的是（　　）
A．种子含水量的测量误差X1
B．某品牌电视机的使用寿命X2
C．某网页在24小时内被浏览的次数X3
D．测量某一零件的长度产生的测量误差X4
【答案】C
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，种子含水量的测量误差X1不能一一列举，故不是离散型随机变量；
对于B，某品牌电视机的使用寿命X2不能一一列举，故不是离散型随机变量；
对于C，某网页在24小时内被浏览的次数X3能一一列举，是离散型随机变量；
对于D，测量某一零件的长度产生的测量误差X4不能一一列举，故不是离散型随机变量．
故选：C．
6．已知随机变量X的分布列为，则P（3≤X＜6）＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：随机变量X的分布列为，
根据分布列概率之和为1，
得，解得m＝20，
则．
故选：B．
7．一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒子中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，其分布列为P（X），则P（X＝4）的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：∵从盒子中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X＝4，
即旧球的个数增加了一个，
∴取出的3个球中必有一个新球，
即取出的3个球必为2个旧球1个新球，
∴P（X＝4）．
故选：C．
（多选）8．已知随机变量X的概率分布如表（其中a为常数）：
X 0 1 2 3 4
P 0.1 0.2 0.4 0.2 a
则下列计算结果正确的是（　　）
A．a＝0.1 B．P（X≤2）＝0.7
C．P（X≥3）＝0.4 D．P（X≤1）＝0.3
【答案】ABD
【解答】解：因为0.1+0.2+0.4+0.2+a＝1，解得a＝0.1，故A正确；
由分布列知P（X≤2）＝0.4+0.2+0.1＝0.7，故B正确；
P（X≥3）＝0.2+0.1＝0.3，故C错误；
P（X≤1）＝0.1+0.2＝0.3，故D正确．
故选：ABD．
▉题型2 离散型随机变量的均值（数学期望）
【知识点的认识】
1、离散型随机变量的期望
数学期望：一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布
则称Eξ＝x1p1+x2p2+…+xnpn+…为ξ的数学期望，简称期望．
数学期望的意义：数学期望离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．
平均数与均值：一般地，在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令p1＝p2＝…＝pn，则有p1＝p2＝…＝pn，Eξ＝（x1+x2+…+xn），所以ξ的数学期望又称为平均数、均值．
期望的一个性质：若η＝aξ+b，则E（aξ+b）＝aEξ+b．
9．抛掷一枚质地均匀的硬币，一直到出现正面向上时或抛满100次时结束，设抛掷的次数为X，则随机变量X的数学期望E（X）（　　）
A．大于2 B．小于2
C．等于2 D．与2的大小无法确定
【答案】B
【解答】解：当第一次就出现正面向上时，X＝1，
此时；
当第一次为反面，第二次为正面时，X＝2，
此时；
当第一次、第二次为反面，第三次为正面时，X＝3，
此时；
..．
当抛满100次时，无论第100次是正面还是反面，X＝100，
此时，
则，
设S＝13...+99，①
可得，②
①﹣②得S，
即，
解得，
所以.．
故选：B．
10．离散型随机变量X的分布列如下：
X 1 2 3 4
P m 0.3 n 0.2
若E（X）＝2.7，则下列结论错误的是（　　）
A．m+n＝0.5 B．E（3X﹣1）＝7.1
C．D（X）＝0.81 D．P（X＞2）＝0.5
【答案】D
【解答】解：由分布列的性质可得m+n+0.3+0.2＝1，则m+n＝0.5，故A正确；
E（X）＝2.7，则E（3X﹣1）＝3E（X）﹣1＝8.1﹣1＝7.1，故B正确；
D（X）＝（1﹣2.7）2×0.1+（2﹣2.7）2×0.3+（3﹣2.7）2×0.4+（4﹣2.7）2×0.2＝0.81，C正确；
由E（X）＝m+0.6+3n+0.8＝2.7，则m+3n＝1.3，联立m+n＝0.5，
所以m＝0.1，n＝0.4，则P（X＞2）＝P（X＝3）+P（X＝4）＝0.4+0.2＝0.6，故D错误．
故选：D．
（多选）11．在如图所示的电路中，L1和L2是两个灯泡，每个开关闭合的概率均为且相互独立，则下列说法正确的是（　　）
A．闭合的开关个数的数学期望为
B．L1被点亮的概率为
C．恰有一个灯泡被点亮的概率为
D．若已知至少有一个灯泡被点亮，则L2被点亮的概率为
【答案】AC
【解答】解：对于选项A，由题意知，闭合的开关个数服从二项分布，
所以数学期望为，故A正确；
对于选项B，L1被点亮的概率为，故B错误；
对于选项C，L2被点亮的概率为，
则恰有一个灯泡被点亮的概率为，故C正确；
对于选项D，设至少有一个灯泡被点亮为事件M，L2被点亮为事件N，
则，，
所以，故D错误．
故选：AC．
12．某种资格证考试，每位考生一年内最多有3次考试机会．一旦某次考试通过，便可领取资格证书，不再参加以后的考试，否则就继续参加考试，直到用完3次机会．李明决定参加考试，如果他每次参加考试通过的概率依次为0.6，0.7，0.8，且每次考试是否通过相互独立，则李明在一年内参加考试次数X的期望 　1.52　 ．
【答案】1.52．
【解答】解：每位考生一年内最多有3次考试机会，
李明决定参加考试，如果他每次参加考试通过的概率依次为0.6，0.7，0.8，
X的取值分别为1，2，3．
P（X＝1）＝0.6，P（X＝2）＝（1﹣0.6）×0.7＝0.28，P（X＝3）＝（1﹣0.6）×（1﹣0.7）＝0.12．
∴李明参加考试次数X的分布列为：
X 1 2 3
P 0.6 0.28 0.12
∴E（X）＝1×0.6+2×0.28+3×0.12＝1.52．
故答案为：1.52．
13．会员足够多的某知名咖啡店，男会员占60%，女会员占40%．现对会员进行服务质量满意度调查．根据调查结果得知，男会员对服务质量满意的概率为，女会员对服务质量满意的概率为．
（1）随机选取一名会员，求其对服务质量满意的概率；
（2）从会员中随机抽取3人，记抽取的3人中，对服务质量满意的人数为X，求X的分布列和数学期望．
【答案】（1）；
（2）X的分布列为：
X 0 1 2 3
P
E（X）．
【解答】解：（1）记事件A1：会员为男会员，A2：会员为女会员，事件B：对服务质量满意，
则由题可知，，，，，
所以；
（2）X可能的取值为0，1，2，3，
则，P（X＝1），P（X＝2），P（X＝3），
所以X的分布列为：
X 0 1 2 3
P
所以E（X）＝0．
▉题型3 离散型随机变量的方差与标准差
【知识点的认识】
1、离散型随机变量的期望
数学期望：一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为
x1 x2 … xn …
P p1 p2 … pn …
则称Eξ＝x1p1+x2p2+…+xnpn+…为ξ的数学期望，简称期望．
数学期望的意义：数学期望离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．
平均数与均值：一般地，在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令p1＝p2＝…＝pn，则有p1＝p2＝…＝pn，Eξ＝（x1+x2+…+xn），所以ξ的数学期望又称为平均数、均值．
期望的一个性质：若η＝aξ+b，则E（aξ+b）＝aEξ+b．
2、离散型随机变量的方差；
方差：对于离散型随机变量ξ，如果它所有可能取的值是x1，x2，…，xn，…，且取这些值的概率分别是p1，p2，…，pn…，那么，
称为随机变量ξ的均方差，简称为方差，式中的Eξ是随机变量ξ的期望．
标准差：Dξ的算术平方根叫做随机变量ξ的标准差，记作．
方差的性质：．
方差的意义：
（1）随机变量 的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的；
（2）随机变量 的方差、标准差也是随机变量 的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度；
（3）标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛．
14．已知随机变量X的分布列为
X 0 2 4
P m
则D（X）＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：根据题意，由随机变量X的分布列，有，
解得，则，
则X的分布列为：
X 0 2 4
P
则．
．
故选：B．
15．设随机变量ξ服从B（6，p），当方差Dξ最大时，P（ξ＝3）的值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：由题意，
所以时，Dξ最大，此时．
故选：D．
16．若随机事件A在1次试验中发生的概率为p（0＜p＜1），用随机变量X表示A在1次试验中发生的次数，则方差D（X）的最大值为 　　 ；的最大值为 　　 ．
【答案】；．
【解答】解：由题意可得随机变量X的所有可能取值为0，1，
并且P（X＝1）＝p，P（X＝0）＝1﹣p，
所以E（X）＝p，，
所以当时D（X）取得最大值；
，
当且仅当即时等号成立，
所以的最大值为，
故答案为：；．
17．已知随机变量Y＝3X+2，且D（Y）＝18，则D（X）＝ 　2　 ．
【答案】2．
【解答】解：因为随机变量Y＝3X+2，
所以D（Y）＝9D（X）＝18，
所以D（X）＝2．
故答案为：2．
18．一批笔记本电脑共有10台，其中A品牌3台，B品牌7台，如果从中随机挑选2台，设挑选的2台电脑中A品牌的台数为X．
（Ⅰ）求X的分布列；
（Ⅱ）求X的均值和方差．
【答案】（Ⅰ）的分布列为：
X 0 1 2
P
（Ⅱ）E（X），D（X）．
【解答】解：（Ⅰ）设挑选的2台电脑中，A品牌的台数为X，
则X的可能取值为0，1，2，
P（X＝0），P（X＝1），P（X＝2），
故X的分布列为：
X 0 1 2
P
（Ⅱ）E（X）＝0，
所以D（X）．
▉题型4 两点分布（0-1分布）
【知识点的认识】
﹣0﹣1分布：也称为伯努利分布，只有两个可能取值（0或1），用于描述事件发生的概率．
【解题方法点拨】
﹣计算0﹣1分布的期望和方差时，使用伯努利分布的性质和公式．
19．已知随机变量X服从两点分布，E（X）＝0.6，则其成功概率为（　　）
A．0.3 B．0.4 C．0.5 D．0.6
【答案】D
【解答】解：∵随机变量X服从两点分布，设成功的概率为p，
∴E（X）＝0×（1﹣p）+1×p＝p＝0.6．
故选：D．
20．若随机变量X服从两点分布，P（X＝1）﹣P（X＝0）＝0.4，则P（X＝0）为（　　）
A．0.3 B．0.35 C．0.6 D．0.65
【答案】A
【解答】解：由分布列的性质可知：P（X＝1）+P（X＝0）＝1，
又因为P（X＝1）﹣P（X＝0）＝0.4，
两式相减得：2P（X＝0）＝0.6，
所以P（X＝0）＝0.3．
故选：A．
21．若随机变量X服从两点分布，且，则下列结论错误的是（　　）
A．P（X＝1）＝E（X） B．
C． D．
【答案】C
【解答】解：随机变量X服从两点分布，且P（X＝0），
则P（X＝1），
所以E（X）＝0×P（X＝0）+1×P（X＝1）＝P（X＝1），故A正确；
D（X），故B正确；
E（4X+1）＝4E（X）+1，故C错误；
D（4X+1）＝16D（X），故D正确．
故选：C．
22．已知随机变量X服从两点分布，且P（X＝1）＝0.6．设Y＝3X﹣2，那么P（Y＝﹣2）等于（　　）
A．0.6 B．0.3 C．0.2 D．0.4
【答案】D
【解答】解：随机变量X服从两点分布，
当Y＝﹣2时，由3X﹣2＝﹣2解得X＝0，
所以P（Y＝﹣2）＝P（X＝0）＝1﹣P（X＝1）＝1﹣0.6＝0.4．
故选：D．
（多选）23．已知随机变量X服从两点分布，且P（X＝1）＝p，则下列说法正确的是（　　）
A．E（X）＝p B．D（X）＝2p（1﹣p）
C．E（2X+1）＝2p+1 D．D（2X+1）＝4p（1﹣p）
【答案】ACD
【解答】解：已知随机变量X服从两点分布，且P（X＝1）＝p，
因为P（X＝1）+P（X＝0）＝1，
所以P（X＝0）＝1﹣P（X＝1）＝1﹣p，
对于A，由两点分布的期望公式得E（X）＝p×1+（1﹣p）×0＝p，故A正确；
对于B，由两点分布的方差公式得D（X）＝p（1﹣p），故B错误；
对于C，由两点分布的性质得E（2X+1）＝2E（X）+1＝2p+1，故C正确；
对于D，由两点分布的性质得D（2X+1）＝4D（X）＝4p（1﹣p），故D正确．
故选：ACD．
▉题型5 n重伯努利试验与二项分布
【知识点的认识】
1、二项分布：
一般地，在n次独立重复的试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则
P（X＝k）pk（1﹣p）n﹣k，k＝0，1，2，…n，此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B（n，p），并记
pk（1﹣p）n﹣k＝b（k，n，p）．
2、独立重复试验：
（1）独立重复试验的意义：做n次试验，如果它们是完全同样的一个试验的重复，且它们相互独立，那么这类试验叫做独立重复试验．
（2）一般地，在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每件试验中事件A发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P（X＝k）pk（1﹣p）n﹣k，k＝0，1，2，…n，此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B（n，p），并称p为成功概率．
（3）独立重复试验：若n次重复试验中，每次试验结果的概率都不依赖于其他各次试验的结果，则称这n次试验是独立的．
（4）独立重复试验概率公式的特点：Pn（k）pk（1﹣p）n﹣k，是n次独立重复试验中某 事件A恰好发生k次的概率．其中，n是重复试验的次数，p是一次试验中某事件A发生的概率，k是在n次独立重复试验中事件A恰好发生的次数，需要弄清公式中n，p，k的意义，才能正确运用公式．
【解题方法点拨】
独立重复试验是相互独立事件的特例（概率公式也是如此），就像对立事件是互斥事件的特例一样，只要有“恰好”字样的用独立重复试验的概率公式计算更简单，就像有“至少”或“至多”字样的题用对立事件的概率公式计算更简单一样．
24．若随机变量X～B（10，0.6），则D（2X﹣1）＝（　　）
A．4.8 B．2.4 C．9.6 D．8.6
【答案】C
【解答】解：∵随机变量X～B（10，0.6），
∴D（X）＝10×0.6×（1﹣0.6）＝2.4，
∴D（2X﹣1）＝22D（X）＝4×2.4＝9.6．
故选：C．
25．抛掷一枚质地均匀的硬币8次，若正面朝上k次的概率最大，则k＝（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】A
【解答】解：抛掷一枚质地均匀的硬币8次，
设面朝上X次，则X～B（8，），
则由二项分布的性质得正面朝上k次的概率为：
P（X＝k），
∴若正面朝上k次的概率最大，则k＝4．
故选：A．
26．设随机变量X服从二项分布，则D（X）＝（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解答】解：∵随机变量X服从二项分布，
∴D（X）＝92．
故选：B．
27．5个零件中有3个次品，从中每次抽检1个，检验后放回，连续抽检3次，则抽检的3个零件中恰有2个是次品的概率为 　　 ．
【答案】．
【解答】解：用X表示3次抽检中抽到次品的次数，则X是一个随机变量，
每次抽检抽到次品的概率为，由题意知，故连续抽检3次，
记抽到次品的概率为p，抽到正品的概率为q，则，，
抽检的3个零件中恰有2个是次品的概率为．
故答案为：．
▉题型6 n次独立重复试验中恰好发生k次的概率
【知识点的认识】
一般地，在n次独立重复试验中，用ξ表示事件A发生的次数，如果事件发生的概率是P，则不发生的概率q＝1﹣p，N次独立重复试验中发生K次的概率是P（ξ＝K）（K＝1，2，3，…n）那么就说ξ服从二项分布．其中P称为成功概率．记作ξ～B（n，p），期望：Eξ＝np，方差：Dξ＝npq．
【解题方法点拨】
例：在3次独立重复试验中，随机事件恰好发生1次的概率不大于其恰好发生两次的概率，则随机事件A在一次试验中发生的概率的范围是 　　 ．
解：由题设知p（1﹣p）2p2（1﹣p），
解p≤1，
故答案为：[，1]．
本题是典型的对本知识点进行考察，要求就是熟练的应用公式，理解公式的含义并准确计算就可以了，这种比较简单的题型一般出现在选择填空题中．
28．某篮球爱好者每次投3分篮投中的概率为0.8，他连续投3次，得分为6分的概率是（　　）
A．0.64 B．0.512 C．0.384 D．0.128
【答案】C
【解答】解：篮球爱好者投3分篮3次得6分，则其投中2次，
又因为每次投3分篮投中的概率为0.8，
所以得分为6分的概率为0.384．
故选：C．
29．一质点在平面内每次只能向左或向右跳动1个单位，且第1次向左跳动．若前一次向左跳动，则后一次向左跳动的概率为；若前一次向右跳动，则后一次向左跳动的概率为．记第n次向左跳动的概率为pn，则p3＝　　 ；　　 ．
【答案】；．
【解答】解：由题意，得p1＝1，，
，
由，
设，则，，
∴数列是首项为，公比为的等比数列，
∴，，
∴．
故答案为：；．
30．已知随机变量X，Y相互独立，且X～N（4，4），Y～B（8，），则P（X≤4，Y≤4）＝　　 ；若Z＝X+Y，则P（Z≤t）＝　　 ．
【答案】．
【解答】解：已知随机变量X，Y相互独立，X N（4，4），Y～B（8，），
，
P（Y≤4）＝P（Y＝0）+P（Y＝1）+P（Y＝2）+P（Y＝3）+P（Y＝4）
，
，
P（Z≤1）+P（Z≤2）+...+P（Z≤15）
＝P（X≤1，Y＝0）+P（X≤0，Y＝1）+...+P（X≤﹣7，Y＝8）+P（X≤2，Y＝0）
+P（X≤1，Y＝1）+...+P（X≤﹣6，Y＝8）+...+P（X≤7，Y＝0）+P（X≤6，Y＝1）+..．
+P（X≤﹣1，Y＝8）+...+P（X≤15，Y＝0）+P（X≤14，Y＝1）+...+P（X≤7，Y＝8），
并利用P（Y＝k）＝P（Y＝8﹣k），P（X≤k）+P（X≤8﹣k）＝1，
记原式＝S，
倒序相加15[P（Y＝0）+P（Y＝1）+...+P（Y＝8）]＝2S，
2S＝15（）1515，
则S．
故答案为：．
31．已知某同学做抛硬币实验，若他连续抛掷一枚质地均匀的硬币n次，要使正面至少出现一次的概率超过0.99，则至少需要抛掷硬币 　7　 次．
【答案】7．
【解答】解：设至少需要抛掷硬币n次，
则1﹣（0.5）n＞0.99，
所以0.01＞（0.5）n，
又因为y＝0.5n单调递减，且0.56＞0.01，0.57＜0.01，
则至少需要抛掷硬币7次．
故答案为：7．
▉题型7 二项分布的均值（数学期望）与方差
【知识点的认识】
二项分布：
一般地，在n次独立重复的试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则
P（X＝k）pk（1﹣p）n﹣k，k＝0，1，2，…n，此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B（n，p），并记
pk（1﹣p）n﹣k＝b（k，n，p）．
﹣均值（数学期望）：，其中n为试验次数，p为每次试验成功的概率．
﹣方差：．
【解题方法点拨】
﹣使用二项分布的均值和方差公式来计算相关概率分布的期望和方差．
32．已知随机变量ξ服从二项分布．若D（3ξ+2）＝36，则n＝（　　）
A．144 B．48 C．24 D．16
【答案】D
【解答】解：随机变量ξ服从二项分布．
则，
若D（3ξ+2）＝36，
，解得n＝16．
故选：D．
33．已知随机变量，m＝E（X），则将m个人分到3个不同的地方，每个人必去一个地方，每个地方至少去1人的分配方案共有（　　）
A．150 B．200 C．260 D．300
【答案】A
【解答】解：由，得，即m＝5，
故分配方案共有种．
故选：A．
34．已知随机变量X服从二项分布B（5，0.4），则E（X）＝（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解答】解：随机变量X服从二项分布B（5，0.4），
则E（X）＝5×0.4＝2．
故选：B．
35．已知随机变量X服从二项分布，且，则E（3X+6）＝（　　）
A．9 B．11 C．12 D．15
【答案】C
【解答】解：因为X～，
所以，
解得n＝6，
故，
所以，
所以E（3X+6）＝3E（X）+6＝12．
故选：C．
▉题型8 超几何分布
【知识点的认识】
一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品．从N件产品中随机抽取n件（不放回），用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为
P（X＝K），k＝m，m+1，m+2，...，r．
其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n﹣N+M}，r＝min{n，M}．如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布．
【解题方法点拨】
超几何分布的求解步骤：
（1）辨模型：结合实际情景分析所求概率分布问题是否有冥想的两部分组成，如“男生、女生”“正品、次品”“优、劣”等，或可转化为明显的两部分．
（2）算概率：可以直接借助公式，也可利用排列、组合及概率知识求解．
（3）列分布表：把求得的概率值通过表格表示出来．
36．有30件产品，其中有10件次品，从中不放回地抽取10件产品，最可能抽到的次品数是 　3　 ．
【答案】3．
【解答】解：由题意，有30件产品，其中有10件次品，从中不放回地抽取10件产品，
则抽出的次品数X服从超几何分布，
则抽到的次品数的数学期望，
由次品数的实际意义，最可能抽到的次品数是3．
故答案为：3．
37．设随机变量X～H（3，2，10），则P（X＝1）＝　　 ．
【答案】
【解答】解：由于X符合超几何分布，
所以P（X＝1）．
故答案为：．第3章第2节 离散型随机变量及其分布列
题型1 离散型随机变量及其分布列 题型2 离散型随机变量的均值（数学期望）
题型3 离散型随机变量的方差与标准差 题型4 两点分布（0-1分布）
题型5 n重伯努利试验与二项分布 题型6 n次独立重复试验中恰好发生k次的概率
题型7 二项分布的均值（数学期望）与方差 题型8 超几何分布
▉题型1 离散型随机变量及其分布列
【知识点的认识】
1、相关概念；
（1）随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量随机变量常用希腊字母ξ、η等表示．
（2）离散型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．若ξ是随机变量，η＝aξ+b，其中a、b是常数，则η也是随机变量．
（3）连续型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量
（4）离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系：离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出．
2、离散型随机变量
（1）随机变量：在随机试验中，试验可能出现的结果可以用一个变量X来表示，并且X是随着试验结果的不同而变化的，这样的变量X叫做一个随机变量．随机变量常用大写字母X，Y，…表示，也可以用希腊字母ξ，η，…表示．
（2）离散型随机变量：如果随机变量X的所有可能的取值都能一一列举出来，则称X为离散型随机变量．
3、离散型随机变量的分布列．
（1）定义：一般地，设离散型随机变量X的所有可能值为x1，x2，…，xn；X取每一个对应值的概率分别为p1，p2，…，pn，则得下表：
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
该表为随机变量X的概率分布，或称为离散型随机变量X的分布列．
（2）性质：①pi≥0，i＝1，2，3，…，n；②p1+p2+…+pn＝1．
1．甲、乙两人玩一种扑克游戏，每局开始前每人手中各有6张扑克牌，点数分别为1～6，两人各随机出牌1张，当两张牌的点数之差为偶数时，视为平局，当两张牌的点数之差为奇数时，谁的牌点数大谁胜，重复上面的步骤，游戏进行到一方比对方多胜2次或平局4次时停止，记游戏停止时甲、乙各出牌X次，则P（X＝4）＝（　　）
A． B． C． D．
2．下表是离散型随机变量ξ的概率分布，则P（ξ≥2）＝（　　）
ξ 1 2 3 4
P
A． B． C． D．
3．已知离散型随机变量X的分布列为，则P（X≥2）＝（　　）
A． B． C． D．1
4．若离散型随机变量X的分布列如表，则常数c的值为（　　）
X 0 1
P 9c2﹣c 3﹣8c
A．或 B． C． D．1
5．下列是离散型随机变量的是（　　）
A．种子含水量的测量误差X1
B．某品牌电视机的使用寿命X2
C．某网页在24小时内被浏览的次数X3
D．测量某一零件的长度产生的测量误差X4
6．已知随机变量X的分布列为，则P（3≤X＜6）＝（　　）
A． B． C． D．
7．一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒子中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，其分布列为P（X），则P（X＝4）的值为（　　）
A． B． C． D．
（多选）8．已知随机变量X的概率分布如表（其中a为常数）：
X 0 1 2 3 4
P 0.1 0.2 0.4 0.2 a
则下列计算结果正确的是（　　）
A．a＝0.1 B．P（X≤2）＝0.7
C．P（X≥3）＝0.4 D．P（X≤1）＝0.3
▉题型2 离散型随机变量的均值（数学期望）
【知识点的认识】
1、离散型随机变量的期望
数学期望：一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布
则称Eξ＝x1p1+x2p2+…+xnpn+…为ξ的数学期望，简称期望．
数学期望的意义：数学期望离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．
平均数与均值：一般地，在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令p1＝p2＝…＝pn，则有p1＝p2＝…＝pn，Eξ＝（x1+x2+…+xn），所以ξ的数学期望又称为平均数、均值．
期望的一个性质：若η＝aξ+b，则E（aξ+b）＝aEξ+b．
9．抛掷一枚质地均匀的硬币，一直到出现正面向上时或抛满100次时结束，设抛掷的次数为X，则随机变量X的数学期望E（X）（　　）
A．大于2 B．小于2
C．等于2 D．与2的大小无法确定
10．离散型随机变量X的分布列如下：
X 1 2 3 4
P m 0.3 n 0.2
若E（X）＝2.7，则下列结论错误的是（　　）
A．m+n＝0.5 B．E（3X﹣1）＝7.1
C．D（X）＝0.81 D．P（X＞2）＝0.5
（多选）11．在如图所示的电路中，L1和L2是两个灯泡，每个开关闭合的概率均为且相互独立，则下列说法正确的是（　　）
A．闭合的开关个数的数学期望为
B．L1被点亮的概率为
C．恰有一个灯泡被点亮的概率为
D．若已知至少有一个灯泡被点亮，则L2被点亮的概率为
12．某种资格证考试，每位考生一年内最多有3次考试机会．一旦某次考试通过，便可领取资格证书，不再参加以后的考试，否则就继续参加考试，直到用完3次机会．李明决定参加考试，如果他每次参加考试通过的概率依次为0.6，0.7，0.8，且每次考试是否通过相互独立，则李明在一年内参加考试次数X的期望 　　 ．
13．会员足够多的某知名咖啡店，男会员占60%，女会员占40%．现对会员进行服务质量满意度调查．根据调查结果得知，男会员对服务质量满意的概率为，女会员对服务质量满意的概率为．
（1）随机选取一名会员，求其对服务质量满意的概率；
（2）从会员中随机抽取3人，记抽取的3人中，对服务质量满意的人数为X，求X的分布列和数学期望．
▉题型3 离散型随机变量的方差与标准差
【知识点的认识】
1、离散型随机变量的期望
数学期望：一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为
x1 x2 … xn …
P p1 p2 … pn …
则称Eξ＝x1p1+x2p2+…+xnpn+…为ξ的数学期望，简称期望．
数学期望的意义：数学期望离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．
平均数与均值：一般地，在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令p1＝p2＝…＝pn，则有p1＝p2＝…＝pn，Eξ＝（x1+x2+…+xn），所以ξ的数学期望又称为平均数、均值．
期望的一个性质：若η＝aξ+b，则E（aξ+b）＝aEξ+b．
2、离散型随机变量的方差；
方差：对于离散型随机变量ξ，如果它所有可能取的值是x1，x2，…，xn，…，且取这些值的概率分别是p1，p2，…，pn…，那么，
称为随机变量ξ的均方差，简称为方差，式中的Eξ是随机变量ξ的期望．
标准差：Dξ的算术平方根叫做随机变量ξ的标准差，记作．
方差的性质：．
方差的意义：
（1）随机变量 的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的；
（2）随机变量 的方差、标准差也是随机变量 的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度；
（3）标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛．
14．已知随机变量X的分布列为
X 0 2 4
P m
则D（X）＝（　　）
A． B． C． D．
15．设随机变量ξ服从B（6，p），当方差Dξ最大时，P（ξ＝3）的值是（　　）
A． B． C． D．
16．若随机事件A在1次试验中发生的概率为p（0＜p＜1），用随机变量X表示A在1次试验中发生的次数，则方差D（X）的最大值为 　　 ；的最大值为 　　 ．
17．已知随机变量Y＝3X+2，且D（Y）＝18，则D（X）＝ 　　 ．
18．一批笔记本电脑共有10台，其中A品牌3台，B品牌7台，如果从中随机挑选2台，设挑选的2台电脑中A品牌的台数为X．
（Ⅰ）求X的分布列；
（Ⅱ）求X的均值和方差．
▉题型4 两点分布（0-1分布）
【知识点的认识】
﹣0﹣1分布：也称为伯努利分布，只有两个可能取值（0或1），用于描述事件发生的概率．
【解题方法点拨】
﹣计算0﹣1分布的期望和方差时，使用伯努利分布的性质和公式．
19．已知随机变量X服从两点分布，E（X）＝0.6，则其成功概率为（　　）
A．0.3 B．0.4 C．0.5 D．0.6
20．若随机变量X服从两点分布，P（X＝1）﹣P（X＝0）＝0.4，则P（X＝0）为（　　）
A．0.3 B．0.35 C．0.6 D．0.65
21．若随机变量X服从两点分布，且，则下列结论错误的是（　　）
A．P（X＝1）＝E（X） B．
C． D．
22．已知随机变量X服从两点分布，且P（X＝1）＝0.6．设Y＝3X﹣2，那么P（Y＝﹣2）等于（　　）
A．0.6 B．0.3 C．0.2 D．0.4
（多选）23．已知随机变量X服从两点分布，且P（X＝1）＝p，则下列说法正确的是（　　）
A．E（X）＝p B．D（X）＝2p（1﹣p）
C．E（2X+1）＝2p+1 D．D（2X+1）＝4p（1﹣p）
▉题型5 n重伯努利试验与二项分布
【知识点的认识】
1、二项分布：
一般地，在n次独立重复的试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则
P（X＝k）pk（1﹣p）n﹣k，k＝0，1，2，…n，此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B（n，p），并记
pk（1﹣p）n﹣k＝b（k，n，p）．
2、独立重复试验：
（1）独立重复试验的意义：做n次试验，如果它们是完全同样的一个试验的重复，且它们相互独立，那么这类试验叫做独立重复试验．
（2）一般地，在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每件试验中事件A发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P（X＝k）pk（1﹣p）n﹣k，k＝0，1，2，…n，此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B（n，p），并称p为成功概率．
（3）独立重复试验：若n次重复试验中，每次试验结果的概率都不依赖于其他各次试验的结果，则称这n次试验是独立的．
（4）独立重复试验概率公式的特点：Pn（k）pk（1﹣p）n﹣k，是n次独立重复试验中某 事件A恰好发生k次的概率．其中，n是重复试验的次数，p是一次试验中某事件A发生的概率，k是在n次独立重复试验中事件A恰好发生的次数，需要弄清公式中n，p，k的意义，才能正确运用公式．
【解题方法点拨】
独立重复试验是相互独立事件的特例（概率公式也是如此），就像对立事件是互斥事件的特例一样，只要有“恰好”字样的用独立重复试验的概率公式计算更简单，就像有“至少”或“至多”字样的题用对立事件的概率公式计算更简单一样．
24．若随机变量X～B（10，0.6），则D（2X﹣1）＝（　　）
A．4.8 B．2.4 C．9.6 D．8.6
25．抛掷一枚质地均匀的硬币8次，若正面朝上k次的概率最大，则k＝（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
26．设随机变量X服从二项分布，则D（X）＝（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
27．5个零件中有3个次品，从中每次抽检1个，检验后放回，连续抽检3次，则抽检的3个零件中恰有2个是次品的概率为 　　 ．
▉题型6 n次独立重复试验中恰好发生k次的概率
【知识点的认识】
一般地，在n次独立重复试验中，用ξ表示事件A发生的次数，如果事件发生的概率是P，则不发生的概率q＝1﹣p，N次独立重复试验中发生K次的概率是P（ξ＝K）（K＝1，2，3，…n）那么就说ξ服从二项分布．其中P称为成功概率．记作ξ～B（n，p），期望：Eξ＝np，方差：Dξ＝npq．
【解题方法点拨】
例：在3次独立重复试验中，随机事件恰好发生1次的概率不大于其恰好发生两次的概率，则随机事件A在一次试验中发生的概率的范围是 　　 ．
解：由题设知p（1﹣p）2p2（1﹣p），
解p≤1，
故答案为：[，1]．
本题是典型的对本知识点进行考察，要求就是熟练的应用公式，理解公式的含义并准确计算就可以了，这种比较简单的题型一般出现在选择填空题中．
28．某篮球爱好者每次投3分篮投中的概率为0.8，他连续投3次，得分为6分的概率是（　　）
A．0.64 B．0.512 C．0.384 D．0.128
29．一质点在平面内每次只能向左或向右跳动1个单位，且第1次向左跳动．若前一次向左跳动，则后一次向左跳动的概率为；若前一次向右跳动，则后一次向左跳动的概率为．记第n次向左跳动的概率为pn，则p3＝　 ；　 ．
30．已知随机变量X，Y相互独立，且X～N（4，4），Y～B（8，），则P（X≤4，Y≤4）＝　 ；若Z＝X+Y，则P（Z≤t）＝　 ．
31．已知某同学做抛硬币实验，若他连续抛掷一枚质地均匀的硬币n次，要使正面至少出现一次的概率超过0.99，则至少需要抛掷硬币 　 次．
▉题型7 二项分布的均值（数学期望）与方差
【知识点的认识】
二项分布：
一般地，在n次独立重复的试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则
P（X＝k）pk（1﹣p）n﹣k，k＝0，1，2，…n，此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B（n，p），并记
pk（1﹣p）n﹣k＝b（k，n，p）．
﹣均值（数学期望）：，其中n为试验次数，p为每次试验成功的概率．
﹣方差：．
【解题方法点拨】
﹣使用二项分布的均值和方差公式来计算相关概率分布的期望和方差．
32．已知随机变量ξ服从二项分布．若D（3ξ+2）＝36，则n＝（　　）
A．144 B．48 C．24 D．16
33．已知随机变量，m＝E（X），则将m个人分到3个不同的地方，每个人必去一个地方，每个地方至少去1人的分配方案共有（　　）
A．150 B．200 C．260 D．300
34．已知随机变量X服从二项分布B（5，0.4），则E（X）＝（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
35．已知随机变量X服从二项分布，且，则E（3X+6）＝（　　）
A．9 B．11 C．12 D．15
▉题型8 超几何分布
【知识点的认识】
一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品．从N件产品中随机抽取n件（不放回），用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为
P（X＝K），k＝m，m+1，m+2，...，r．
其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n﹣N+M}，r＝min{n，M}．如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布．
【解题方法点拨】
超几何分布的求解步骤：
（1）辨模型：结合实际情景分析所求概率分布问题是否有冥想的两部分组成，如“男生、女生”“正品、次品”“优、劣”等，或可转化为明显的两部分．
（2）算概率：可以直接借助公式，也可利用排列、组合及概率知识求解．
（3）列分布表：把求得的概率值通过表格表示出来．
36．有30件产品，其中有10件次品，从中不放回地抽取10件产品，最可能抽到的次品数是 　　 ．
37．设随机变量X～H（3，2，10），则P（X＝1）＝　　 ．

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