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第3章第3节 正态分布
题型1 正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义
▉题型1 正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义
【知识点的认识】
1．正态曲线及性质
（1）正态曲线的定义
函数φμ，σ（x），x∈（﹣∞，+∞），其中实数μ和σ（σ＞0）为参数，我们称φμ，σ（x）的图象（如图）为正态分布密度曲线，简称正态曲线．
（2）正态曲线的解析式
①指数的自变量是x定义域是R，即x∈（﹣∞，+∞）．
②解析式中含有两个常数：π和e，这是两个无理数．
③解析式中含有两个参数：μ和σ，其中μ可取任意实数，σ＞0这是正态分布的两个特征数．
④解析式前面有一个系数为，后面是一个以e为底数的指数函数的形式，幂指数为．
2．正态分布
（1）正态分布的定义及表示
如果对于任何实数a，b（a＜b），随机变量X满足P（a＜X≤b）φμ，σ（x）dx，则称X的分布为正态分布，记作N（μ，σ2）．
（2）正态总体在三个特殊区间内取值的概率值
①P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6826；
②P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）＝0.9544；
③P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）＝0.9974．
3．正态曲线的性质
正态曲线φμ，σ（x），x∈R有以下性质：
（1）曲线位于x轴上方，与x轴不相交；
（2）曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；
（3）曲线在x＝μ处达到峰值；
（4）曲线与x轴围成的图形的面积为1；
（5）当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿x轴平移；
（6）当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．
4．三个邻域
会用正态总体在三个特殊区间内取值的概率值结合正态曲线求随机变量的概率．落在三个邻域之外是小概率事件，这也是对产品进行质量检测的理论依据．
【解题方法点拨】
正态分布是高中阶段唯一连续型随机变量的分布，这个考点虽然不是高考的重点，但在近几年新课标高考中多次出现，其中数值计算是考查的一个热点，考生往往不注意对这些数值的记忆而导致解题无从下手或计算错误．对正态分布N（μ，σ2）中两个参数对应的数值及其意义应该理解透彻并记住，且注意第二个数值应该为σ2而不是σ，同时，记住正态密度曲线的六条性质．
1．随机变量ξ N（4，2），若P（ξ＞2a﹣1）＝P（ξ＜a），则实数a的值为（　　）
A．2 B． C．3 D．4
2．已知随机变量X～N（80，σ2），且P（X≥120）＝0.21，则P（40＜X＜80）＝（　　）
A．0.21 B．0.29 C．0.71 D．0.79
3．已知随机变量ξ～N（2，σ2），且P（ξ≤a﹣3b）＝P（ξ≥b），则当时，的最小值为（　　）
A． B． C． D．
4．对A，B两地国企员工上班迟到情况进行统计，可知两地国企员工的上班迟到时间均符合正态分布，其中A地员工的上班迟到时间为X（单位：min），X～N（3，4），对应的曲线为C1，B地员工的上班迟到时间为Y（单位：min），Y～N（2，），对应的曲线为C2，则下列图象正确的是（　　）
A． B．
C． D．
5．若随机变量X～N（6，1），且P（5＜X≤7）＝a，P（4＜X≤8）＝b，则P（4＜X≤7）等于（　　）
A． B． C． D．
6．某高中对高三年级的1000名学生进行了一次数学模拟测试，学生的数学成绩（满分15分）X近似服从正态分布N（110，100），则得分在区间[100，130]内的学生大约有（　　）
（参考数据：若X N（μ，σ2），则P（μ﹣σ≤X≤μ+σ）≈0.7，P（μ﹣2σ≤X≤μ+2σ）≈0.96）
A．520人 B．760人 C．830人 D．950人
7．已知随机变量，为使ξ在内的概率不小于0.9545（若X～N（μ，σ2），则P（|X﹣μ|＜2σ）＝0.9545），则a的最小值为（　　）
A．8 B．16 C．32 D．64
8．若随机变量X～N（2，σ2），且P（X≤1）＝0.29，则P（X＜3）＝（　　）
A．0.29 B．0.71 C．0.79 D．0.855
9．已知随机变量X～N（2，σ2），P（X≤4）＝0.8，那么P（X≤0）的值为（　　）
A．0.2 B．0.32 C．0.4 D．0.8
10．某高中对高三年级的1000名学生进行了一次数学成绩测试，得到各同学的数学成绩（满分150分）X近似服从正态分布N（120，100），则得分在区间[130，140]内的学生大约有（参考数据：若X～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ≤X≤μ+σ）≈0.7，P（μ﹣2σ≤X≤μ+2σ）≈0.96）（　　）
A．324人 B．90人 C．130人 D．45人
11．设X～N（15，σ2），记P（X＞15﹣σ）＝a，P（15﹣σ＜X＜15+3σ）＝b，当σ变小时，则（　　）
A．a变大 B．b变小 C．a+b不变 D．a﹣b变小
12．无人机飞行最大距离是无人机性能的一个重要指标．普宙S2000系列是我国生产的一款民用无人机，其飞行的最大距离X（千米）服从正态分布X～N（15，σ2），记P（X＞15﹣σ）＝a，P（15﹣σ＜X＜15）＝b，当σ变小时，则（　　）
A．a变大 B．b变小 C．a+b不变 D．a﹣b变小
13．下列说法中正确的是（　　）
①设随机变量X服从二项分布；
②已知随机变量X服从正态分布N（2，σ2）且P（X＜4）＝0.9，则P（0＜X＜2）＝0.4；
③小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A＝“4个人去的景点互不相同”，事件B＝“小赵独自去一个景点”，则；
④D（2X+3）＝2D（X）+3．
A．②③④ B．①②③ C．②③ D．①②
14．已知随机变量ξ服从正态分布N（3，σ2），且P（0＜ξ＜3）＝0.4，则P（ξ＞6）＝（　　）
A．0.1 B．0.2 C．0.4 D．0.6
15．设随机变量ξ～N（1，4），若P（ξ＜1）＝P（ξ＞3﹣m），则m＝（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
16．某初级中学对本校八年级的500名男生进行1000米跑步体能测试，据统计，500名男生跑完1000米所用的时间X（分钟）服从正态分布N（5，σ2），若P（X≤4）＝0.01，则这500名男生跑完1000米所用的时间不少于6分钟的人数大约为（　　）
A．1 B．5 C．9 D．50
17．如果随机变量X～N（1，σ2），且P（﹣1≤X≤1）＝0.3，则P（X≥3）＝（　　）
A．0.3 B．0.2 C．0.8 D．0.7
18．已知连续型随机变量ξ服从正态分布N（1，4），记函数f（x）＝P（ξ≤x），则f（x）的图象（　　）
A．关于直线x＝1对称
B．关于直线x＝4对称
C．关于点成中心对称
D．关于点成中心对称
19．设随机变量X～N（2，32），且P（X＞m）＝P（X＜m﹣2），则m＝（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
20．设随机变量X～N（0，22），随机变量Y～N（0，32），则以下结论错误的是（　　）
A．P（|X|≤1）＜P（|Y|≤1）
B．P（X≤0）＝P（Y≤0）
C．P（﹣2≤X≤2）＝P（﹣3≤Y≤3）
D．P（X≤﹣2）+P（X≤2）＝1
21．设X～N（80，4），则P（X＜80）等于（　　）
A．0.5 B．0.68 C．0.95 D．0.99
22．若随机变量X服从正态分布N（0，22），随机变量Y服从正态分布N（2，32），则（　　）
A．E（2X+1）＝5 B．D（2Y+1）＝12
C．P（X≤﹣2）+P（X≤2）＝1 D．P（|X|≤2）＜P（|Y|≤2）第3章第3节 正态分布
题型1 正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义
▉题型1 正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义
【知识点的认识】
1．正态曲线及性质
（1）正态曲线的定义
函数φμ，σ（x），x∈（﹣∞，+∞），其中实数μ和σ（σ＞0）为参数，我们称φμ，σ（x）的图象（如图）为正态分布密度曲线，简称正态曲线．
（2）正态曲线的解析式
①指数的自变量是x定义域是R，即x∈（﹣∞，+∞）．
②解析式中含有两个常数：π和e，这是两个无理数．
③解析式中含有两个参数：μ和σ，其中μ可取任意实数，σ＞0这是正态分布的两个特征数．
④解析式前面有一个系数为，后面是一个以e为底数的指数函数的形式，幂指数为．
2．正态分布
（1）正态分布的定义及表示
如果对于任何实数a，b（a＜b），随机变量X满足P（a＜X≤b）φμ，σ（x）dx，则称X的分布为正态分布，记作N（μ，σ2）．
（2）正态总体在三个特殊区间内取值的概率值
①P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6826；
②P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）＝0.9544；
③P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）＝0.9974．
3．正态曲线的性质
正态曲线φμ，σ（x），x∈R有以下性质：
（1）曲线位于x轴上方，与x轴不相交；
（2）曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；
（3）曲线在x＝μ处达到峰值；
（4）曲线与x轴围成的图形的面积为1；
（5）当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿x轴平移；
（6）当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．
4．三个邻域
会用正态总体在三个特殊区间内取值的概率值结合正态曲线求随机变量的概率．落在三个邻域之外是小概率事件，这也是对产品进行质量检测的理论依据．
【解题方法点拨】
正态分布是高中阶段唯一连续型随机变量的分布，这个考点虽然不是高考的重点，但在近几年新课标高考中多次出现，其中数值计算是考查的一个热点，考生往往不注意对这些数值的记忆而导致解题无从下手或计算错误．对正态分布N（μ，σ2）中两个参数对应的数值及其意义应该理解透彻并记住，且注意第二个数值应该为σ2而不是σ，同时，记住正态密度曲线的六条性质．
1．随机变量ξ N（4，2），若P（ξ＞2a﹣1）＝P（ξ＜a），则实数a的值为（　　）
A．2 B． C．3 D．4
【答案】C
【解答】解：因为ξ N（4，2），所以随机变量ξ的正态曲线关于x＝4对称，
又P（ξ＞2a﹣1）＝P（ξ＜a），
故，则a＝3．
故选：C．
2．已知随机变量X～N（80，σ2），且P（X≥120）＝0.21，则P（40＜X＜80）＝（　　）
A．0.21 B．0.29 C．0.71 D．0.79
【答案】B
【解答】解：已知随机变量X～N（80，σ2），且P（X≥120）＝0.21，得μ＝80，
则P（40＜X＜80）＝P（80＜X＜120），
故P（40＜X＜80）＝0.5﹣P（X＞120）＝0.5﹣0.21＝0.29．
故选：B．
3．已知随机变量ξ～N（2，σ2），且P（ξ≤a﹣3b）＝P（ξ≥b），则当时，的最小值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：因为随机变量ξ～N（2，σ2），且P（ξ≤a﹣3b）＝P（ξ≥b），
所以2，
即a﹣2b＝4，
所以a﹣2x+2（x﹣b）＝4，
因为，所以b＜x且a＞2x，
则a﹣2x＞0，x﹣b＞0，
所以，
当且仅当时取等号，
所以的最小值为．
故选：B．
4．对A，B两地国企员工上班迟到情况进行统计，可知两地国企员工的上班迟到时间均符合正态分布，其中A地员工的上班迟到时间为X（单位：min），X～N（3，4），对应的曲线为C1，B地员工的上班迟到时间为Y（单位：min），Y～N（2，），对应的曲线为C2，则下列图象正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解答】解：因为μX＝3，μY＝2，所以μX＞μY，
所以曲线C1的对称性在曲线C2的对称轴的右侧，排除A，B，
因为4，，所以，
所以曲线C2比曲线C1瘦高，排除C．
故选：D．
5．若随机变量X～N（6，1），且P（5＜X≤7）＝a，P（4＜X≤8）＝b，则P（4＜X≤7）等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：随机变量X N（6，1），且P（5＜X≤7）＝a，P（4＜X≤8）＝b，
由正态密度曲线的对称性可知，，
所以．
故选：B．
6．某高中对高三年级的1000名学生进行了一次数学模拟测试，学生的数学成绩（满分15分）X近似服从正态分布N（110，100），则得分在区间[100，130]内的学生大约有（　　）
（参考数据：若X N（μ，σ2），则P（μ﹣σ≤X≤μ+σ）≈0.7，P（μ﹣2σ≤X≤μ+2σ）≈0.96）
A．520人 B．760人 C．830人 D．950人
【答案】C
【解答】解：已知数学成绩X近似服从正态分布N（110，100），
根据正态分布的性质可知，标准差10，
区间[100，130]等价于[μ﹣σ，μ+2]，
已知正态分布的概率性质可知，P（μ﹣σ≤X≤μ+σ）≈0.7，P（μ﹣2σ≤X≤μ+2σ）≈0.96，
设[μ﹣σ，μ+2]的概率为a，则0.96＝a+0.7+a，解得2a＝0.26，即a＝0.13，
因此，P（μ+σ≤X≤μ+2σ）＝0.13，
则区间[μ﹣σ，μ+2σ]的概率为P（μ﹣σ≤X≤μ+σ）+P（μ+σ≤X≤μ+2σ）＝0.7+0.13＝0.83，
总共有1000名学生，因此得分在[100，130]内的学生数量约为：1000×0.83＝830．
故选：C．
7．已知随机变量，为使ξ在内的概率不小于0.9545（若X～N（μ，σ2），则P（|X﹣μ|＜2σ）＝0.9545），则a的最小值为（　　）
A．8 B．16 C．32 D．64
【答案】C
【解答】解：因为X～N（μ，σ2），则P（|X﹣μ|＜2σ）＝0.9545，
随机变量，则，，
为使ξ在内的概率不小于0.9545，则，解得a≥32，
即a的最小值为32．
故选：C．
8．若随机变量X～N（2，σ2），且P（X≤1）＝0.29，则P（X＜3）＝（　　）
A．0.29 B．0.71 C．0.79 D．0.855
【答案】B
【解答】解：因为X～N（2，σ2），又P（X≤1）＝0.29，
所以P（X≥3）＝P（X≤1）＝0.29，
所以P（X＜3）＝1﹣P（X≥3）＝0.71．
故选：B．
9．已知随机变量X～N（2，σ2），P（X≤4）＝0.8，那么P（X≤0）的值为（　　）
A．0.2 B．0.32 C．0.4 D．0.8
【答案】A
【解答】解：由题可得：P（X＜2）＝0.5，P（X≥4）＝0.2，
根据正态分布曲线的对称性得出P（X≤0）＝P（X≥4）＝0.2．
故选：A．
10．某高中对高三年级的1000名学生进行了一次数学成绩测试，得到各同学的数学成绩（满分150分）X近似服从正态分布N（120，100），则得分在区间[130，140]内的学生大约有（参考数据：若X～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ≤X≤μ+σ）≈0.7，P（μ﹣2σ≤X≤μ+2σ）≈0.96）（　　）
A．324人 B．90人 C．130人 D．45人
【答案】C
【解答】解：由题意，μ＝120，σ＝10，
则P（130≤x≤140），
则得分在区间[130，140]内的学生大约有1000×0.13＝130人．
故选：C．
11．设X～N（15，σ2），记P（X＞15﹣σ）＝a，P（15﹣σ＜X＜15+3σ）＝b，当σ变小时，则（　　）
A．a变大 B．b变小 C．a+b不变 D．a﹣b变小
【答案】C
【解答】解：由正态分布的性质可知，P（X＞15﹣σ）＝0.5P（15﹣σ＜X＜15+σ），
所以当σ变小时，P（X＞15﹣σ）不变，即a不变，
因为P（15﹣σ＜X＜15+3σ）P（15﹣σ＜X＜15+σ）P（15﹣3σ＜X＜15+3σ），
所以当σ变小时，P（15﹣σ＜X＜15+3σ）不变，即b不变，
所以a+b不变．
故选：C．
12．无人机飞行最大距离是无人机性能的一个重要指标．普宙S2000系列是我国生产的一款民用无人机，其飞行的最大距离X（千米）服从正态分布X～N（15，σ2），记P（X＞15﹣σ）＝a，P（15﹣σ＜X＜15）＝b，当σ变小时，则（　　）
A．a变大 B．b变小 C．a+b不变 D．a﹣b变小
【答案】C
【解答】解：由正态分布性质可知，当σ变小时，P（X＞15﹣σ）与P（15﹣σ＜X＜15）都不会变，
即a、b不变，所以a+b不变．
故选：C．
13．下列说法中正确的是（　　）
①设随机变量X服从二项分布；
②已知随机变量X服从正态分布N（2，σ2）且P（X＜4）＝0.9，则P（0＜X＜2）＝0.4；
③小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A＝“4个人去的景点互不相同”，事件B＝“小赵独自去一个景点”，则；
④D（2X+3）＝2D（X）+3．
A．②③④ B．①②③ C．②③ D．①②
【答案】B
【解答】解：对于①：随机变量X服从二项分布，
则，故①正确；
对于②：随机变量X服从正态分布N（2，σ2）且P（X＜4）＝0.9，
则P（0＜X＜2）＝P（2＜X＜4）＝0.9﹣0.5＝0.4，故②正确；
对于③：事件A＝“4个人去的景点互不相同”，事件B＝“小赵独自去一个景点”，
则，，所以，故③正确；
对于④：D（2X+3）＝4D（X），故④错误．
故选：B．
14．已知随机变量ξ服从正态分布N（3，σ2），且P（0＜ξ＜3）＝0.4，则P（ξ＞6）＝（　　）
A．0.1 B．0.2 C．0.4 D．0.6
【答案】A
【解答】解：因为μ＝3，且P（0＜ξ＜3）＝0.4，所以P（3＜ξ＜6）＝0.4，
又P（ξ＞3）＝0.5，所以P（ξ＞6）＝P（ξ＞3）﹣P（3＜ξ＜6）＝0.1．
故选：A．
15．设随机变量ξ～N（1，4），若P（ξ＜1）＝P（ξ＞3﹣m），则m＝（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解答】解：根据题意可知，P（ξ＜1）＝P（ξ＞3﹣m），
所以，所以m＝2．
故选：B．
16．某初级中学对本校八年级的500名男生进行1000米跑步体能测试，据统计，500名男生跑完1000米所用的时间X（分钟）服从正态分布N（5，σ2），若P（X≤4）＝0.01，则这500名男生跑完1000米所用的时间不少于6分钟的人数大约为（　　）
A．1 B．5 C．9 D．50
【答案】B
【解答】解：根据题意可知，P（X≥6）＝P（X≤4）＝0.01，
故500名学生跑完1000米所用的时间不少于6分钟的人数大约为500×0.01＝5．
故选：B．
17．如果随机变量X～N（1，σ2），且P（﹣1≤X≤1）＝0.3，则P（X≥3）＝（　　）
A．0.3 B．0.2 C．0.8 D．0.7
【答案】B
【解答】解：因为随机变量X～N（1，σ2），且P（﹣1≤X≤1）＝0.3，
根据正态分布密度曲线的对称性可得：P（1≤X≤3）＝P（﹣1≤X≤1）＝0.3，
所以P（X≥3）＝P（X≥1）﹣P（1≤X≤3）＝0.5﹣0.3＝0.2．
故选：B．
18．已知连续型随机变量ξ服从正态分布N（1，4），记函数f（x）＝P（ξ≤x），则f（x）的图象（　　）
A．关于直线x＝1对称
B．关于直线x＝4对称
C．关于点成中心对称
D．关于点成中心对称
【答案】C
【解答】解：根据题意可知，连续型随机变量ξ服从正态分布N（1，4），
可得μ＝1，σ2＝4，可得μ＝1，σ＝2，所以正态密度曲线关于x＝1对称，
即P（ξ≤x）＝P（ξ≥2﹣x），由f（x）＝P（ξ≤x），可得f（x）＝P（ξ≤x）在x≤1时增加较快，
在x＞1时增加越来越慢，所以f（x）无对称轴，故AB错误；
f（x）+f（2﹣x）＝P（ξ≤x）+P（ξ≤2﹣x）＝P（ξ≥2﹣x）+P（ξ≤2﹣x）＝1，
所以f（x）关于点成中心对称，故C正确，D错误．
故选：C．
19．设随机变量X～N（2，32），且P（X＞m）＝P（X＜m﹣2），则m＝（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解答】解：随机变量X～N（2，32），对称轴为X＝2，
又P（X＞m）＝P（X＜m﹣2），
则2，则m＝3．
故选：C．
20．设随机变量X～N（0，22），随机变量Y～N（0，32），则以下结论错误的是（　　）
A．P（|X|≤1）＜P（|Y|≤1）
B．P（X≤0）＝P（Y≤0）
C．P（﹣2≤X≤2）＝P（﹣3≤Y≤3）
D．P（X≤﹣2）+P（X≤2）＝1
【答案】A
【解答】解：选项A：标准化计算，P（|X|≤1），，
因，且Φ（x）单调递增，故，即P（|x|≤1）＞P（|Y|≤1），A错误；
选项B：正态分布中，P（X≤μ）＝0.5，X和Y的均值μ均为0，故P（X≤0）＝P（Y≤0）＝0.5，B正确；
选项C：P（﹣2≤X≤2）是X在μ±σ（σ＝3）的概率，P（﹣3≤Y≤3）是Y在μ±σ（σ＝3）的概率，
正态分布中μ±σ的概率均为约0.6826，C正确；
选项D：正态分布关于x＝0对称，P（X≤﹣2）＝P（X≥2），而P（X≤2）+P（X≥2）＝1，即P（X≤﹣2）+P（X≤2）＝1，D正确．
故选：A．
21．设X～N（80，4），则P（X＜80）等于（　　）
A．0.5 B．0.68 C．0.95 D．0.99
【答案】A
【解答】解：因为X～N（80，4），对称轴为X＝80，
则P（X＜80）＝0.5．
故选：A．
22．若随机变量X服从正态分布N（0，22），随机变量Y服从正态分布N（2，32），则（　　）
A．E（2X+1）＝5 B．D（2Y+1）＝12
C．P（X≤﹣2）+P（X≤2）＝1 D．P（|X|≤2）＜P（|Y|≤2）
【答案】C
【解答】解：X～N（0，22），均值μx＝0，方差D（X）＝4，Y～N（2，32），均值μy＝2，方差D（Y）＝9.2，
选项A：根据期望性质，则E（2X+1）＝2E（X）+1＝2×0+1＝1≠5，故A错误；
选项B：根据方差性质，则D（2Y+1）＝22×D（Y）＝4×9＝36≠12，故B错误；
选项C：X～N（0，4）关于x＝0对称，故P（X≤﹣2）＝P（X≥2），
又P（X≥2）＝1﹣P（X≤2），因此：P（X≤﹣2）+P（X≤2）＝P（X≥2）+P（X≤2）＝（1﹣P（X≤2））+P（X≤2）＝1，故C正确；
选项D：|X|≤2，则﹣2≤X≤2，设Z为标准正太变量，则标准化为，即﹣1≤Z≤1，由正态分布性质，P（﹣1≤Z≤1）≈0.6827，
|Y|≤2，则2≤Y≤2，标准化为，即，
计算得：（1﹣0.9082）＝0.4082，
比较：0.6827＞0.4082，即P（|X|≤2）＞P（|Y|≤2），故D错误．
故选：C．

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