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第4章第3节 独立性检验
题型1 独立性检验
▉题型1 独立性检验
【知识点的认识】
1、分类变量：
如果某种变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这样的变量称为分类变量．
2、原理：假设性检验（类似反证法原理）．
一般情况下：假设分类变量X和Y之间没有关系，通过计算K2值，然后查表对照相应的概率P，发现这种假设正确的概率P很小，从而推翻假设，最后得出X和Y之间有关系的可能性为（1﹣P），也就是“X和Y有关系”．（表中的k就是K2的观测值，即k＝K2）．
其中n＝a+b+c+d（考试给出）
3、2×2列联表：
4、范围：K2∈（0，+∞）；性质：K2越大，说明变量间越有关系．
5、解题步骤：
（1）认真读题，取出相关数据，作出2×2列联表；
（2）根据2×2列联表中的数据，计算K2的观测值k；
（3）通过观测值k与临界值k0比较，得出事件有关的可能性大小．
1．某学校在一次调查“篮球迷”的活动中，获得了如下数据，以下结论最准确的是（　　）
男生 女生
篮球迷 90 20
非篮球迷 60 30
附：
P（X2≥k） 0.10 0.05 0.01 0.005
k 2.706 3.841 6.635 7.789
A．有99.5%的把握认为是否是篮球迷与性别有关
B．有99%的把握认为是否是篮球迷与性别有关
C．在犯错误的概率不超过0.1的前提下，可以认为是否是篮球迷与性别有关
D．在犯错误的概率不超过0.05的前提下，可以认为是否是篮球迷与性别有关
2．下列说法正确的是（　　）
K2的部分临界值如下表：
P（K2≥k0） 0.1 0.05 0.025 0.01
k0 2.706 3.841 5.024 6.635
A．一组数据的标准差为0，则这组数据中的数均相等
B．两组数据的标准差相等，则这两组数据的平均数相等
C．若两个变量的相关系数越接近于0，则这两个变量的相关性越强
D．已知变量X，Y，由它们的样本数据计算得到K2的观测值k≈5.527，则在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为变量X，Y没有关系
3．下列说法中，正确的是（　　）
A．经验回归直线必经过样本点中心
B．样本相关系数r的值越大，两个变量的相关程度越强
C．在残差图中，残差点所在的水平带状区域越宽，回归方程的预报精确度越高
D．根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到χ2≈3.56，根据小概率值α＝0.05的χ2独立性检验x0.05＝3.841），可判断X与Y有关联，此推断犯错误的概率不超过0.05
4．为了考查一种新疫苗预防某X疾病的效果，研究人员对一地区某种动物进行试验，从该试验群中随机进行了抽查，已知抽查的接种疫苗的动物数量是没接种疫苗的2倍，接种且发病占接种的，没接种且发病的占没接种的，若本次抽查得出“在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为接种该疫苗与预防某X疾病有关”的结论，则被抽查的没接种动物至少有（　　）只．
α 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
A．59 B．60 C．61 D．62
5．假设有两个分类变量X与Y，它们的可能取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其2×2列联表为：
Y X y1 y2
x1 10 18
x2 m 26
则当m取下面何值时，X与Y的关系最弱（　　）
A．8 B．9 C．14 D．19
6．某高校团委对学生性别和喜欢短视频是否有关联进行了一次调查，其中被调查的男生、女生人数均为6m（m∈N*），男生中喜欢短视频的人数占男生人数的，女生中喜欢短视频的人数占女生人数的．若有99%的把握认为喜欢短视频和性别相关联，则m的最小值为（　　）
附：．
临界值表：
α 0.050 0.010
xα 3.841 6.635
A．18 B．20 C．22 D．24
（多选）7．为了验证牛的毛色（黑色、红色）和角（有角、无角）这两对相对性状是否相关，某学院进行了一次数据统计，并根据形成的2×2列联表，计算得到χ2≈2.727，根据小概率值为α的独立性检验，则（　　）
附：
P（χ2≥k） 0.10 0.050 0.010
k 2.706 3.841 6.635
A．若α＝0.100，则认为“毛色”和“角”无关
B．若α＝0.100，则认为“毛色”和“角”有关，此推断犯错误的概率不超过10%
C．若α＝0.010，则认为“毛色”和“角”无关
D．若α＝0.010，则认为“毛色”和“角”有关，此推断犯错误的概率不超过1%
（多选）8．下列说法中正确的是（　　）
A．将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变
B．回归直线恒过样本点的中心（，），且至少过一个样本点
C．用相关指数R2来刻画回归效果时，R2越接近1，说明模型的拟合效果越好
D．在2×2列联表中，|ad﹣bc|的值越大，说明两个分类变量之间的关系越弱
（多选）9．根据分类变量x与y的成对样本数据，计算得到χ2＝a．已知P（χ2≥6.635）＝0.01，依据α＝0.01的独立性检验，下列结论正确的是（　　）
A．若a＜6.635，则变量x与y不独立
B．若a＞6.635，则变量x与y独立
C．若a＜6.635，则变量x与y独立
D．若a＞6.635，则变量x与y不独立
10．在研究高中学生的性别与喜欢学科的关系时，总共调查了N个学生（N＝100m，m∈N*），其中男女学生各半，男生中60%表示喜欢该学科，其余表示不喜欢；女生中40%表示喜欢该学科，其余表示不喜欢，若有99.9%把握认为性别与是否喜欢该学科有关，则可以推测N的最小值为 　　 ．
附：．
P（K2≥k） 0.05 0.01 0.001
k 3.841 6.635 10.828
11．随着国家对中小学“双减”政策的逐步落实，其中增加中学生体育锻炼时间的政策引发社会的广泛关注．某教育时报为研究“支持增加中学生体育锻炼时间的政策是否与性别有关”，从某校男女生中各随机抽取80名学生进行问卷调查，得到如下数据（10≤m≤20，m∈N*）
支持 不支持
男生 70﹣m 10+m
女生 50+m 30﹣m
若通过计算得，根据小概率值α＝0.05的独立性检验，认为支持增加中学生体育锻炼时间的政策与性别有关，则在这被调查的80名女生中支持增加中学生体育锻炼时间的人数的最小值为 　　 ．
附：，其中n＝a+b+c+d．
α 0.050 0.010 0.005 0.001
x0 3.841 6.635 7.879 10.828
12．有甲、乙两个班级共计100人进行物理考试，按照大于等于80分为优秀，80分以下为非优秀统计成绩，得到如下所示的列联表：
优秀 非优秀 总计
甲班 10 b
乙班 c 30
已知在全部100人中随机抽取1人，成绩非优秀的概率为，则下列说法正确的是 　　 ．
①列联表中c的值为20，b的值为40；
②列联表中c的值为30，b的值为50；
③根据列联表中的数据，若按97.5%的可靠性要求，能认为“成绩与班级有关系”；
④根据列联表中的数据，若按97.5%的可靠性要求，不能认为“成绩与班级有关系”．
附：，其中n＝a+b+c+d．
α 0.15 0.1 0.05 0.025 0.01 0.001
xα 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
13．某种产品可以采用甲、乙两种工艺来生产，为了研究产品的质量与所采用的生产工艺的关联性，现对该种产品进行随机抽查，得到的结果如表所示．
工艺甲 工艺乙 合计
合格 60 40 100
不合格 20 30 50
合计 80 70 150
（1）依据小概率值α＝0.05的独立性检验，分析产品的质量是否与采用的工艺有关；
（2）在不合格的50件样本产品中任选3件，求在这3件样本产品中至少有1件是采用工艺甲生产的条件下，这3件样本产品中恰有一件是采用工艺乙生产的概率．
附：，
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
14．体育是培养学生高尚人格的重要途径之一．足球作为一项团队运动项目，深受学生喜爱，为了解学生喜爱足球运动是否与性别有关，随机抽取了100名学生作为样本，统计得到如下的列联表：
喜爱足球运动 不喜爱足球运动 合计
男生 40 a
女生 b 25
合计 100
已知从这100名学生样本中随机抽取1个，抽到喜爱足球运动的学生的概率为．
（1）求a，b；
（2）根据小概率值α＝0.001的独立性检验，判断学生喜爱足球运动是否与性别有关？
（3）用样本分布的频率估计总体分布的概率，现在从喜爱足球运动的学生中随机抽取30名，记其中男生的人数为Z，求使事件“Z＝k”概率最大的k的值．
附：，
α 0.01 0.005 0.001
xα 6.635 7.879 10.828
15．某机构为了调查平衡力的好坏与心脏病风险是否有关联（无法单脚站立10秒者，被认为平衡力差，反之，被认为平衡力好），随机邀请了1000名平衡力好和1000名平衡力差的人作为研究对象，在跟踪了这2000人在10年内的健康情况后，统计数据，得到受试者中患心脏病的频率为12.5%，平衡力差的人中患心脏病的频率是平衡力好的人中患心脏病的频率的1.5倍．
（1）根据题中信息，完成下面列联表；
单位：人
平衡力 心脏病 合计
未患心脏病 患心脏病
平衡力好
平衡力差
合计
（2）根据小概率值α＝0.001的独立性检验，能否推断平衡力的好坏与心脏病风险有关联？
附：，n＝a+b+c+d．
α 0.1 0.05 0.01 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 10.828
16．在科学、文化、艺术、经济等领域，出现过大量举世瞩目的“左撇子”天才，如：相对论提出者爱因斯坦，万有引力定律的发现者牛顿，镭的发现者居里夫人，诺贝尔奖获得者杨振宁，著有《变形记》的小说家弗兰兹卡夫卡，乒乓球女将王楠等．正因为如此多的“左撇子”在不同领域取得了卓越的成就，所以越来越多的人认为“左撇子”会更聪明，这是真的吗？某学校数学社成员为了了解真相，决定展开调查．他们从学生中随机选取100位同学，统计他们惯用左手还是惯用右手，并通过测验获取了他们的智力商数，将智力商数不低于120视为高智商人群，统计情况如表．
智力商数不低于120 智力商数低于120 总计
惯用左手 4 6 10
惯用右手 16 74 90
总计 20 80 100
（1）根据小概率值α＝0.10的独立性检验，智力商数与是否惯用左手有关？
（2）从智力商数不低于120分的这20名学生中，按惯用左手和惯用右手采用分层抽样，随机抽取了5人，再从这5人中随机抽取2人代表学校参加区里的素养大赛，求这2人中至少有一人是惯用左手的概率．
参考公式：，其中n＝a+b+c+d．
P（K2≥k0） 0.10 0.05 0.025 0.010 0.001
k0 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
17．近年来，食品添加剂泛滥引起消费者关注，某媒体对消费者在购买预包装食品时是否关注配料表进行调查，调查了100名男性消费者与100名女性消费者，关注配料表的消费者共有80人，其中女性30人．
（1）用2×2列联表表示上述数据；
（2）依据小概率值α＝0.01的独立性检验，能否认为消费者购买预包装食品时是否关注配料表与性别有关？
附：，其中n＝a+b+c+d．
α 0.1 0.05 0.025 0.010
xα 2.706 3.841 5.024 6.635
18．2025年5月6日凌晨，我国斯诺克球员赵心童以业余选手身份参赛，连过九轮，最终取得25年斯诺克世界锦标赛的冠军，成为了我国乃至亚洲在这一赛事上的第一人，这必将在青少年中掀起一股新的台球热．某调研机构为了解青少年对台球的喜爱程度进行问卷调查（评价结果仅有“喜爱”、“不喜爱”），从所有参与评价的对象中抽取100人进行调查，部分数据如表所示（单位：人）：
喜欢 不喜欢 合计
男生 40 b 50
女生 c 30
合计 s 100
（1）请将2×2列联表补充完整，试根据小概率值α＝0.001的独立性检验，能否认为“对台球运动的喜爱与性别有关”？
（2）若将频率视为概率，从所有“喜欢”的青少年中随机选取30人，记被选中的人中恰有n个男生的概率为P（n），当n取何值时，P（n）取得最大值．
附：P（χ2≥10.828）＝0.001，，n＝a+b+c+d．
19．为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老人，结果如下面表中所示：
男 女 合计
需要 50 25 S
不需要 200 225 425
合计 250 t 500
（1）求s，t；
（2）能否有99%的把握认为该地老年人是否需要帮助与性别有关？
（3）根据（2）的结论，你能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例？说明理由．
附：，
P（χ2≥k） 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
20．某学校有2000人，为加强学生安全教育，某校开展了安全知识讲座，讲座结束后，学校组织了一场安全知识测试，将测试成绩划分为“不够良好”或“良好”，并得到如下列联表：
性别 安全知识测试成绩 合计
不够良好 良好
男 800 300 1100
女 700 200 900
合计 1500 500 2000
（1）根据小概率α＝0.01的χ2独立性检验，能否认为本次安全知识测试成绩与性别有关联？
（2）设事件A＝“选到的学生是男生”，事件B＝“选到的学生的测试成绩为‘良好’”，用频率估计概率，通过计算比较与的大小．
其中，P（X）表示事件X发生的概率．
参考公式：χ2，其中n＝a+b+c+d．
参考数据：
α 0.15 0.10 0.05 0.010
xα 2.072 2.706 3.841 6.635第4章第3节 独立性检验
题型1 独立性检验
▉题型1 独立性检验
【知识点的认识】
1、分类变量：
如果某种变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这样的变量称为分类变量．
2、原理：假设性检验（类似反证法原理）．
一般情况下：假设分类变量X和Y之间没有关系，通过计算K2值，然后查表对照相应的概率P，发现这种假设正确的概率P很小，从而推翻假设，最后得出X和Y之间有关系的可能性为（1﹣P），也就是“X和Y有关系”．（表中的k就是K2的观测值，即k＝K2）．
其中n＝a+b+c+d（考试给出）
3、2×2列联表：
4、范围：K2∈（0，+∞）；性质：K2越大，说明变量间越有关系．
5、解题步骤：
（1）认真读题，取出相关数据，作出2×2列联表；
（2）根据2×2列联表中的数据，计算K2的观测值k；
（3）通过观测值k与临界值k0比较，得出事件有关的可能性大小．
1．某学校在一次调查“篮球迷”的活动中，获得了如下数据，以下结论最准确的是（　　）
男生 女生
篮球迷 90 20
非篮球迷 60 30
附：
P（X2≥k） 0.10 0.05 0.01 0.005
k 2.706 3.841 6.635 7.789
A．有99.5%的把握认为是否是篮球迷与性别有关
B．有99%的把握认为是否是篮球迷与性别有关
C．在犯错误的概率不超过0.1的前提下，可以认为是否是篮球迷与性别有关
D．在犯错误的概率不超过0.05的前提下，可以认为是否是篮球迷与性别有关
【答案】D
【解答】解：列出2×2列联表：
男生 女生
篮球迷 90 20 110
非篮球迷 60 30 90
150 50 200
零假设为H0：认为是否是篮球迷与性别无关联，
由表中数据计算可得，
故在犯错误的概率不超过0.05的前提下，可以认为是否是篮球迷与性别有关．
故选：D．
2．下列说法正确的是（　　）
K2的部分临界值如下表：
P（K2≥k0） 0.1 0.05 0.025 0.01
k0 2.706 3.841 5.024 6.635
A．一组数据的标准差为0，则这组数据中的数均相等
B．两组数据的标准差相等，则这两组数据的平均数相等
C．若两个变量的相关系数越接近于0，则这两个变量的相关性越强
D．已知变量X，Y，由它们的样本数据计算得到K2的观测值k≈5.527，则在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为变量X，Y没有关系
【答案】A
【解答】解：对于A，由题意，若一组数据x1，x2， ，xn的标准差，
则有，故A正确；
对于B，两组数据的标准差相等，若是都为1和都为2的两组数据，则这两组数据的平均数不相等，故B错误；
对于C，两个变量的相关系数越接近于0，两个变量的相关性越弱，故C错误；
对于D，k≈5.527＞5.024，根据独立性检验原理，
在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为变量X，Y有关系，故D错误．
故选：A．
3．下列说法中，正确的是（　　）
A．经验回归直线必经过样本点中心
B．样本相关系数r的值越大，两个变量的相关程度越强
C．在残差图中，残差点所在的水平带状区域越宽，回归方程的预报精确度越高
D．根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到χ2≈3.56，根据小概率值α＝0.05的χ2独立性检验x0.05＝3.841），可判断X与Y有关联，此推断犯错误的概率不超过0.05
【答案】A
【解答】解：对于A，经验回归方程必经过中心点，故A正确；
对于B，相关系数r的绝对值|r|越接近于1，两个变量的相关程度越强，故B错误；
对于C，在残差图中，残差点所在的水平带状区域越窄，回归方程的预报精确度越高，
区域越宽，回归方程的预报精确度越低，故C错误；
对于D，由χ2≈3.56＜3.841＝x0.05，根据小概率值α＝0.05的χ2独立性检验，
没有充分证据推断X与Y有关联，不可以判断此推断犯错误的概率不超过0.05，故D错误．
故选：A．
4．为了考查一种新疫苗预防某X疾病的效果，研究人员对一地区某种动物进行试验，从该试验群中随机进行了抽查，已知抽查的接种疫苗的动物数量是没接种疫苗的2倍，接种且发病占接种的，没接种且发病的占没接种的，若本次抽查得出“在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为接种该疫苗与预防某X疾病有关”的结论，则被抽查的没接种动物至少有（　　）只．
α 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
A．59 B．60 C．61 D．62
【答案】D
【解答】解：设没接种的动物数量为x（x∈N+），由题意知，接种疫苗的动物数量是2x，
则接种且发病的动物数量为，没接种且发病的动物数量为，填写列联表如下：
发病 未发病 合计
接种 2x
没接种 x
合计 3x
零假设H0：接种该疫苗与预防某X疾病无关，
由表中数据，计算得χ2，
因为抽查得出“在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为接种该疫苗与预防某X疾病有关”的结论，
所以6.635＝Xα＝0.01，解得x＞61.927，
故没接种的动物数量至少为62．
故选：D．
5．假设有两个分类变量X与Y，它们的可能取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其2×2列联表为：
Y X y1 y2
x1 10 18
x2 m 26
则当m取下面何值时，X与Y的关系最弱（　　）
A．8 B．9 C．14 D．19
【答案】C
【解答】解：当m＝8时，
K21.106，
当m＝9时，
K20.739，
当m＝14时，
K20.004，
当m＝19时，
K20.305，
故m＝14时，X与Y的关系最弱，
故选：C．
6．某高校团委对学生性别和喜欢短视频是否有关联进行了一次调查，其中被调查的男生、女生人数均为6m（m∈N*），男生中喜欢短视频的人数占男生人数的，女生中喜欢短视频的人数占女生人数的．若有99%的把握认为喜欢短视频和性别相关联，则m的最小值为（　　）
附：．
临界值表：
α 0.050 0.010
xα 3.841 6.635
A．18 B．20 C．22 D．24
【答案】B
【解答】解：根据题意，列联表如下：
喜欢 不喜欢 合计
男 3m 3m 6m
女 4m 2m 6m
合计 7m 5m 12m
则，
因为有99%的把握认为喜欢短视频和性别相关联，即χ2≥6.635，
即，
解得m≥19.352，
又m∈N*，则m的最小值为20．
故选：B．
（多选）7．为了验证牛的毛色（黑色、红色）和角（有角、无角）这两对相对性状是否相关，某学院进行了一次数据统计，并根据形成的2×2列联表，计算得到χ2≈2.727，根据小概率值为α的独立性检验，则（　　）
附：
P（χ2≥k） 0.10 0.050 0.010
k 2.706 3.841 6.635
A．若α＝0.100，则认为“毛色”和“角”无关
B．若α＝0.100，则认为“毛色”和“角”有关，此推断犯错误的概率不超过10%
C．若α＝0.010，则认为“毛色”和“角”无关
D．若α＝0.010，则认为“毛色”和“角”有关，此推断犯错误的概率不超过1%
【答案】BC
【解答】解：已知根据形成的2×2列联表，计算得到χ2≈2.727，
则6.635＞χ2≈2.727＞2.706，
则若α＝0.100，则认为“毛色”和“角”有关，此推断犯错误的概率不超过10%，故A错误，B正确；
若α＝0.010，则认为“毛色”和“角”无关，故C正确，D错误．
故选：BC．
（多选）8．下列说法中正确的是（　　）
A．将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变
B．回归直线恒过样本点的中心（，），且至少过一个样本点
C．用相关指数R2来刻画回归效果时，R2越接近1，说明模型的拟合效果越好
D．在2×2列联表中，|ad﹣bc|的值越大，说明两个分类变量之间的关系越弱
【答案】AC
【解答】解：对于A，将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个常数后，数据的波动性不变，故方差不变，故A正确；
对于B，回归直线恒过样本点的中心（，），不一定过样本点，故B错误；
对于C，用相关指数R2来刻画回归效果时，R2越接近1，说明模型的拟合效果越好，故C正确；
对于D，在2×2列联表中，|ad﹣bc|的值越大，说明两个分类变量之间的关系越强，故D错误．
故选：AC．
（多选）9．根据分类变量x与y的成对样本数据，计算得到χ2＝a．已知P（χ2≥6.635）＝0.01，依据α＝0.01的独立性检验，下列结论正确的是（　　）
A．若a＜6.635，则变量x与y不独立
B．若a＞6.635，则变量x与y独立
C．若a＜6.635，则变量x与y独立
D．若a＞6.635，则变量x与y不独立
【答案】CD
【解答】解：根据独立性检验的基本思想知，
若a＞6.635，则变量x与y有关系，即不独立，这个结论犯错误的概率不超过0.01．
若a＜6.635，则变量x与y没有关系，即相互独立．
故选：CD．
10．在研究高中学生的性别与喜欢学科的关系时，总共调查了N个学生（N＝100m，m∈N*），其中男女学生各半，男生中60%表示喜欢该学科，其余表示不喜欢；女生中40%表示喜欢该学科，其余表示不喜欢，若有99.9%把握认为性别与是否喜欢该学科有关，则可以推测N的最小值为 　300　 ．
附：．
P（K2≥k） 0.05 0.01 0.001
k 3.841 6.635 10.828
【答案】300．
【解答】解：由题意可得2×2列联表可得：
喜欢 不喜欢 合计
男生 30m 20m 50m
女生 20m 30m 50m
合计 50m 50m 100m
若有99.9%把握认为性别与是否喜欢该学科有关，
则K24m≥10.828，
解得m≥2.707，又m∈N*，故m的最小值为3，则N的最小值为300．
故答案为：300．
11．随着国家对中小学“双减”政策的逐步落实，其中增加中学生体育锻炼时间的政策引发社会的广泛关注．某教育时报为研究“支持增加中学生体育锻炼时间的政策是否与性别有关”，从某校男女生中各随机抽取80名学生进行问卷调查，得到如下数据（10≤m≤20，m∈N*）
支持 不支持
男生 70﹣m 10+m
女生 50+m 30﹣m
若通过计算得，根据小概率值α＝0.05的独立性检验，认为支持增加中学生体育锻炼时间的政策与性别有关，则在这被调查的80名女生中支持增加中学生体育锻炼时间的人数的最小值为 　66　 ．
附：，其中n＝a+b+c+d．
α 0.050 0.010 0.005 0.001
x0 3.841 6.635 7.879 10.828
【答案】66．
【解答】解：因为有95%以上的把握认为“支持增加中学生体育锻炼时间的政策与性别有关”，
所以，
即（m﹣10）2≥28.8075，
因为函数y＝（m﹣10）2在10≤m≤20时单调递增，
且m∈N*，（15﹣10）2＜28.8075，（16﹣10）2≥28.8075，
所以m的最小值为16，
所以在这被调查的80名女生中支持增加中学生体育锻炼时间的人数的最小值为50+16＝66．
故答案为：66．
12．有甲、乙两个班级共计100人进行物理考试，按照大于等于80分为优秀，80分以下为非优秀统计成绩，得到如下所示的列联表：
优秀 非优秀 总计
甲班 10 b
乙班 c 30
已知在全部100人中随机抽取1人，成绩非优秀的概率为，则下列说法正确的是 　①④　 ．
①列联表中c的值为20，b的值为40；
②列联表中c的值为30，b的值为50；
③根据列联表中的数据，若按97.5%的可靠性要求，能认为“成绩与班级有关系”；
④根据列联表中的数据，若按97.5%的可靠性要求，不能认为“成绩与班级有关系”．
附：，其中n＝a+b+c+d．
α 0.15 0.1 0.05 0.025 0.01 0.001
xα 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
【答案】①④．
【解答】解：由题意得在全部100人中随机抽取1人，成绩非优秀的概率为，
则成绩非优秀的学生有10070人，甲班有40人，则乙班30人，即b＝40，
成绩优秀的学生有30人，甲班由10人，则乙班有20人，即c＝20，故①正确，②错误；
由列联表可得，
故按97.5%的可靠性要求，不能认为“成绩与班级有关系”，③错误，④正确．
故答案为：①④．
13．某种产品可以采用甲、乙两种工艺来生产，为了研究产品的质量与所采用的生产工艺的关联性，现对该种产品进行随机抽查，得到的结果如表所示．
工艺甲 工艺乙 合计
合格 60 40 100
不合格 20 30 50
合计 80 70 150
（1）依据小概率值α＝0.05的独立性检验，分析产品的质量是否与采用的工艺有关；
（2）在不合格的50件样本产品中任选3件，求在这3件样本产品中至少有1件是采用工艺甲生产的条件下，这3件样本产品中恰有一件是采用工艺乙生产的概率．
附：，
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
【答案】（1）产品的质量与采用的工艺有关；
（2）．
【解答】解：（1）零假设H0：产品的质量与采用的工艺无关，
则，
根据小概率值α＝0.05的独立性检验，我们推断H0不成立，即产品的质量与采用的工艺有关；
（2）记事件A为“3件样本产品中至少有1件是采用工艺甲”，事件B为“这3件样本产品中恰有一件是采用工艺乙”，
所以．
14．体育是培养学生高尚人格的重要途径之一．足球作为一项团队运动项目，深受学生喜爱，为了解学生喜爱足球运动是否与性别有关，随机抽取了100名学生作为样本，统计得到如下的列联表：
喜爱足球运动 不喜爱足球运动 合计
男生 40 a
女生 b 25
合计 100
已知从这100名学生样本中随机抽取1个，抽到喜爱足球运动的学生的概率为．
（1）求a，b；
（2）根据小概率值α＝0.001的独立性检验，判断学生喜爱足球运动是否与性别有关？
（3）用样本分布的频率估计总体分布的概率，现在从喜爱足球运动的学生中随机抽取30名，记其中男生的人数为Z，求使事件“Z＝k”概率最大的k的值．
附：，
α 0.01 0.005 0.001
xα 6.635 7.879 10.828
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）由题意可知，；
（2）根据题意，补全2×2列联表如下：
喜爱足球运动 不喜爱足球运动 合计
男生 40 15 55
女生 20 25 45
合计 60 40 100
零假设H0：喜爱足球运动与性别无关，
则，
根据小概率值α＝0.001的独立性检验，我们推断H0成立，
也就是说没有99%的把握认为喜爱足球运动与性别有关；
（3）现在从喜爱足球运动的学生中随机抽取1名学生，该学生是男生的概率是，
从而从喜爱足球运动的学生中随机抽取30名时，记其中男生的人数为Z，则，
所以，
令，
解得，
又因为k∈N，
所以k＝20，
故使事件“Z＝k”概率最大的k的值为20．
15．某机构为了调查平衡力的好坏与心脏病风险是否有关联（无法单脚站立10秒者，被认为平衡力差，反之，被认为平衡力好），随机邀请了1000名平衡力好和1000名平衡力差的人作为研究对象，在跟踪了这2000人在10年内的健康情况后，统计数据，得到受试者中患心脏病的频率为12.5%，平衡力差的人中患心脏病的频率是平衡力好的人中患心脏病的频率的1.5倍．
（1）根据题中信息，完成下面列联表；
单位：人
平衡力 心脏病 合计
未患心脏病 患心脏病
平衡力好
平衡力差
合计
（2）根据小概率值α＝0.001的独立性检验，能否推断平衡力的好坏与心脏病风险有关联？
附：，n＝a+b+c+d．
α 0.1 0.05 0.01 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 10.828
【答案】（1）补全列联表如下：
平衡力 心脏病 合计
未患心脏病 患心脏病
平衡力好 900 100 1000
平衡力差 850 150 1000
合计 1750 250 2000
（2）认为平衡力的好坏与心脏病风险有关联．
【解答】解：（1）由题意可知，受试者中患心脏病的人数为2000×12.5%＝250人，
设平衡力差的人中患心脏病的人数为x人，
因为平衡力差的人中患心脏病的频率是平衡力好的人中患心脏病的频率的1.5倍，
所以，
解得x＝150，
补全列联表如下：
平衡力 心脏病 合计
未患心脏病 患心脏病
平衡力好 900 100 1000
平衡力差 850 150 1000
合计 1750 250 2000
（2）零假设H0：平衡力的好坏与心脏病风险没有关联，
，
根据小概率值α＝0.001的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为平衡力的好坏与心脏病风险有关联．
16．在科学、文化、艺术、经济等领域，出现过大量举世瞩目的“左撇子”天才，如：相对论提出者爱因斯坦，万有引力定律的发现者牛顿，镭的发现者居里夫人，诺贝尔奖获得者杨振宁，著有《变形记》的小说家弗兰兹卡夫卡，乒乓球女将王楠等．正因为如此多的“左撇子”在不同领域取得了卓越的成就，所以越来越多的人认为“左撇子”会更聪明，这是真的吗？某学校数学社成员为了了解真相，决定展开调查．他们从学生中随机选取100位同学，统计他们惯用左手还是惯用右手，并通过测验获取了他们的智力商数，将智力商数不低于120视为高智商人群，统计情况如表．
智力商数不低于120 智力商数低于120 总计
惯用左手 4 6 10
惯用右手 16 74 90
总计 20 80 100
（1）根据小概率值α＝0.10的独立性检验，智力商数与是否惯用左手有关？
（2）从智力商数不低于120分的这20名学生中，按惯用左手和惯用右手采用分层抽样，随机抽取了5人，再从这5人中随机抽取2人代表学校参加区里的素养大赛，求这2人中至少有一人是惯用左手的概率．
参考公式：，其中n＝a+b+c+d．
P（K2≥k0） 0.10 0.05 0.025 0.010 0.001
k0 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
【答案】（1）智力商数与惯用左手有关；（2）．
【解答】解：（1）零假设H0：智力商数与惯用左手无关，
由表知，χ22.778＞2.706，
根据小概率值α＝0.10的独立性检验，推断H0不成立，即认为智力商数与惯用左手有关．
（2）由表知，智力商数不低于120分的学生中惯用左手与惯用右手的人数之比为4：16＝1：4，
所以随机抽取的5人中，惯用左手的人数为1人，惯用右手的人数为4人，
所以抽取的2人中至少有一人是惯用左手的概率为．
17．近年来，食品添加剂泛滥引起消费者关注，某媒体对消费者在购买预包装食品时是否关注配料表进行调查，调查了100名男性消费者与100名女性消费者，关注配料表的消费者共有80人，其中女性30人．
（1）用2×2列联表表示上述数据；
（2）依据小概率值α＝0.01的独立性检验，能否认为消费者购买预包装食品时是否关注配料表与性别有关？
附：，其中n＝a+b+c+d．
α 0.1 0.05 0.025 0.010
xα 2.706 3.841 5.024 6.635
【答案】（1）2×2列联表如下：
女性 男性 合计
关注配料表 30 50 80
不关注配料表 70 50 120
合计 100 100 200
（2）根据小概率值α＝0.01的独立性检验，认为消费者购买预包装食品时是否关注配料表与性别有关．
【解答】解：（1）2×2列联表如下：
女性 男性 合计
关注配料表 30 50 80
不关注配料表 70 50 120
合计 100 100 200
（2）零假设H0：消费者购买预包装食品时是否关注配料表与性别无关，
则，
根据小概率值α＝0.01的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为消费者购买预包装食品时是否关注配料表与性别有关．
18．2025年5月6日凌晨，我国斯诺克球员赵心童以业余选手身份参赛，连过九轮，最终取得25年斯诺克世界锦标赛的冠军，成为了我国乃至亚洲在这一赛事上的第一人，这必将在青少年中掀起一股新的台球热．某调研机构为了解青少年对台球的喜爱程度进行问卷调查（评价结果仅有“喜爱”、“不喜爱”），从所有参与评价的对象中抽取100人进行调查，部分数据如表所示（单位：人）：
喜欢 不喜欢 合计
男生 40 b 50
女生 c 30
合计 s 100
（1）请将2×2列联表补充完整，试根据小概率值α＝0.001的独立性检验，能否认为“对台球运动的喜爱与性别有关”？
（2）若将频率视为概率，从所有“喜欢”的青少年中随机选取30人，记被选中的人中恰有n个男生的概率为P（n），当n取何值时，P（n）取得最大值．
附：P（χ2≥10.828）＝0.001，，n＝a+b+c+d．
【答案】（1）列联表请见解答，能；（2）n＝20．
【解答】解：（1）补充完整的2×2列联表如下所示，
喜欢 不喜欢 合计
男生 40 10 50
女生 20 30 50
合计 60 40 100
零假设H0：青少年对台球运动的喜爱与性别无关，
所χ216.667＞10.828．
故根据小概率值α＝0.001的独立性检验，推断H0不成立，即认为“对台球运动的喜爱与性别有关”．
（2）记“从喜欢台球的青少年中选中男生”为事件A，
由频率估计概率，知，
所以，
若P（n）取得最大值，则，即，
解得，
因为n∈N*，所以n＝20，
故当n＝20时，P（n）取得最大值．
19．为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老人，结果如下面表中所示：
男 女 合计
需要 50 25 S
不需要 200 225 425
合计 250 t 500
（1）求s，t；
（2）能否有99%的把握认为该地老年人是否需要帮助与性别有关？
（3）根据（2）的结论，你能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例？说明理由．
附：，
P（χ2≥k） 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）由列联表知s＝50+25＝75，t＝25+225＝250．
（2）由列联表得6.635，
所以有99%的把握认为该地老年人是否需要帮助与性别有关．
（3）采用分层抽样．
理由如下：由（2）知，该地区的老年人是否需要帮助与性别有关，且从样本数据能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，在调查时，先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男女两层并采用分层抽样方法比采用简单随机抽样方法更好．
20．某学校有2000人，为加强学生安全教育，某校开展了安全知识讲座，讲座结束后，学校组织了一场安全知识测试，将测试成绩划分为“不够良好”或“良好”，并得到如下列联表：
性别 安全知识测试成绩 合计
不够良好 良好
男 800 300 1100
女 700 200 900
合计 1500 500 2000
（1）根据小概率α＝0.01的χ2独立性检验，能否认为本次安全知识测试成绩与性别有关联？
（2）设事件A＝“选到的学生是男生”，事件B＝“选到的学生的测试成绩为‘良好’”，用频率估计概率，通过计算比较与的大小．
其中，P（X）表示事件X发生的概率．
参考公式：χ2，其中n＝a+b+c+d．
参考数据：
α 0.15 0.10 0.05 0.010
xα 2.072 2.706 3.841 6.635
【答案】（1）认为本次安全知识测试成绩与性别有关联，此推断犯错误的概率小于0.01；
（2）．
【解答】解：（1）零假设H0：本次安全知识测试成绩与性别有无联，
则χ26.734＞6.635，
依据小概率值α＝0.01的独立性检验，我们推断H0不成立，
即认为本次安全知识测试成绩与性别有关联，此推断犯错误的概率小于0.01；
（2）由题意可知，P（B|A），P（|A），
所以，
因为P（B|），P（|），
所以，
因为，
所以．

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