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人教版2025-2026学年下学期八年级数学半期考试卷二
（第十九章至第二十一章）
考试范围：第19章--第21章；考试时间：120分钟；试卷分值：150分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
一、单选题（共36分）
1．（本题3分）计算的结果是（ ）
A．5 B． C． D．
2．（本题3分）以下列各组数为边长，不能构成直角三角形的是（ ）
A．2，3，4 B．3，4，5 C．1，1， D．1，，2
3．（本题3分）下列各式不可以与合并的是（ ）
A． B． C． D．
4．（本题3分）如图，在中，，点分别是的中点，则等于（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
5．（本题3分）下列计算正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
6．（本题3分）下列关于的叙述，正确的是（ ）
A．若，则是菱形 B．若，则是矩形
C．若，则是矩形 D．若，则是菱形
7．（本题3分）如图，在中，．若，则正方形和正方形的面积之和为（ ）
A． B． C． D．
8．（本题3分）如图，数轴上点A表示的实数是（ ）
A． B． C． D．
9．（本题3分）如图，在平行四边形中，，以点为圆心作弧，交于点、．分别以点、为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点，作直线交于点，若，，则长是（ ）
A．3 B．4 C． D．
10．（本题3分）如图，在长方形中，．将长方形沿折叠后，使点D恰好落在对角线上的点处，则的长为（ ）
A．2.5 B．3 C．3.5 D．4
11．（本题3分）按照如图所示的程序框图运算，若输入，则输出的值（ ）
A． B． C．2 D．
12．如图是用个全等的直角三角形与个小正方形拼成的正方形图案，已知大正方形的面积为，小正方形的面积为，若用，表示直角三角形的两条直角边长，下列四个说法：①；②；③；④．其中正确的是( )
A．①② B．②④ C．③④ D．①②③④
二、填空题（共16分）
13．（本题4分）若有意义，则的取值范围是_____．
14．（本题4分）计算：的结果是______．
15．古代著作《九章算术》中记载：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，水深几何？如图，其大意是：有一个边长为尺的正方形池塘，一棵芦苇生长在它的正中央，高出水面尺．如果把该芦苇拉向岸边，那么芦苇的顶部恰好碰到岸边，则水深 _______ 尺．
16．（本题4分）如图，等边三角形边长为 点D在边上，且， 点E在边上， 连接，交于点F， 若， 在线段上截取， 连接， 则线段的最小值是_____．
三、解答题（共98分）
17．（本题10分）计算：
(1)
(2)
18．（本题10分）如图，每个小正方形的边长均为1，A，B，C，D均为格点．
(1)直接写出下列线段的长度： ， ；
(2)连接，判断形状，并证明你的结论．
19．（本题10分）实数a、b、c在数轴上的位置如图所示.
(1)比较下列各式与0的大小（用“＞、＜”连接）：a 0， 0， 0；
(2)化简：．
20．（本题10分）正多边形的每条边都相等．每个角都相等．已知正边形的内角和为．边长为2．
(1)求正边形的周长；
(2)若正边形的每个外角的度数比正边形每个内角的度数小，求的值．
21．（本题12分）如图，在平行四边形中，分别是上的点，且．求证：．
22．（本题10分）如图，在菱形中，对角线与交于点，过点作的垂线，过点作的垂线，两直线相交于点．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，，求菱形面积．
23．（本题12分）某实践探究小组在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度，通过勘测，得到如下记录表（风筝线是拉直的）：
测量示意图
测量数据 边的长度 ①测得水平距离的长为15米．
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米．
③小明牵线放风筝的手到地面的距离为1.7米．
数据处理组得到上面数据以后做了认真分析，他们发现根据勘测组的全部数据就可以计算出风筝离地面高度．请完成以下任务．
(1)风筝离地面的垂直高度的长为______米．
(2)如果小明想要风筝沿方向再上升12米，长度不变，则他应该再放出多少米线？
24．（本题12分）观察下列等式：
第个等式：；
第个等式：；
第个等式：；
第个等式：；
……
(1)按照你所发现的规律，请你写出第个等式：______；
(2)根据上述规律猜想：若为正整数，请用含的式子表示第个等式，并证明；
(3)利用（2）中的规律计算：．
25．（本题12分）如图，四边形中，,点在边上，四边形为平行四边形，，动点从点出发，沿以每秒3个单位长度的速度向终点运动，设点的运动时间为秒．
(1)的长为___________，的长为___________；
(2)连结，若将的面积分为两部分，求的值；
(3)若为等腰三角形，求的值；
(4)在点运动过程中，作点关于直线的对称点，当直线与边或边平行或共线时，直接写出的值．
试卷第1页，共3页
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
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人教版2025-2026学年下学期八年级数学半期考试卷二答案解析
考试范围：第19章--第21章；考试时间：120分钟；试卷分值：150分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
一、单选题（共36分）
1．（本题3分）计算的结果是（ ）
A．5 B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查二次根式的基本性质，利用公式即可直接计算出结果．
【详解】解：．
2．（本题3分）以下列各组数为边长，不能构成直角三角形的是（ ）
A．2，3，4 B．3，4，5 C．1，1， D．1，，2
【答案】A
【分析】本题利用勾股定理逆定理，验证各组数中两短边的平方和是否等于最长边的平方，即可判断能否构成直角三角形，选出符合要求的选项．
【详解】解：A、，，故，不能构成直角三角形，符合题意；
B、，故能构成直角三角形，不符合题意；
C、，故能构成直角三角形，不符合题意；
D、，故能构成直角三角形，不符合题意．
3．（本题3分）下列各式不可以与合并的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】只有化简后被开方数相同的同类二次根式可以合并，将各选项二次根式化简后，判断被开方数是否与的被开方数相同即可得到结果．
【详解】解：A．，化简后被开方数为，与是同类二次根式，可以与合并．
B．，化简后被开方数为，与是同类二次根式，可以与合并．
C．，化简后被开方数为，与不是同类二次根式，不可以与合并．
D．，化简后被开方数为，与是同类二次根式，可以与合并．
4．（本题3分）如图，在中，，点分别是的中点，则等于（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】先根据平行四边形的性质得到，再证明是的中位线，则．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵点E，F分别是的中点，
∴是的中位线，
∴．
5．（本题3分）下列计算正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用二次根式的化简和混合运算的法则逐一判断即可．
【详解】解：对于A：和不是同类二次根式，无法合并，故A错误；
对于B：，故B错误；
对于C：，故C正确；
对于D：，故D错误．
6．（本题3分）下列关于的叙述，正确的是（ ）
A．若，则是菱形 B．若，则是矩形
C．若，则是矩形 D．若，则是菱形
【答案】C
【分析】本题考查特殊平行四边形的判定，只需根据矩形、菱形的判定定理逐一判断选项即可.
【详解】解：∵已知四边形是平行四边形，
对于选项A：∵，可得，∴有一个内角是直角的平行四边形是矩形，不是菱形，故A错误；
对于选项B：∵，∴对角线互相垂直的平行四边形是菱形，不是矩形，故B错误；
对于选项C：∵，∴对角线相等的平行四边形是矩形，因此是矩形，故C正确；
对于选项D：若，无法推出平行四边形的邻边相等，也不能得到特殊平行四边形的判定条件，无法判定为菱形，故D错误．
7．（本题3分）如图，在中，．若，则正方形和正方形的面积之和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了勾股定理的应用，由勾股定理得，则正方形和正方形的面积之和为，从而求解，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：在中，，，
∴，
∵正方形的面积是，正方形的面积是，
∴正方形和正方形的面积之和为：，
故选：．
8．（本题3分）如图，数轴上点A表示的实数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用勾股定理计算出长度，即长度，进而计算长度，则题目可求．
【详解】解：如图，由勾股定理得：，
则，
，
∴点A所表示的实数是．
9．（本题3分）如图，在平行四边形中，，以点为圆心作弧，交于点、．分别以点、为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点，作直线交于点，若，，则长是（ ）
A．3 B．4 C． D．
【答案】B
【分析】本题考查平行四边形的性质，尺规作图，等腰三角形的判定，勾股定理．
根据平行四边形的性质可得，，进而结合已知证明，由等腰三角形的判定和性质得到，，再根据勾股定理求出．
【详解】解：在中，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
由作图可知，即，
在中，．
10．（本题3分）如图，在长方形中，．将长方形沿折叠后，使点D恰好落在对角线上的点处，则的长为（ ）
A．2.5 B．3 C．3.5 D．4
【答案】B
【分析】根据勾股定理可得的长，再由折叠的性质可得，，从而得到，，设，则，在中，根据勾股定理，即可求解．
【详解】解：在长方形中，，，
∴，
由折叠的性质得：，，
∴，，
设，则，
在中，∵，
∴，
解得：，
即．
11．（本题3分）按照如图所示的程序框图运算，若输入，则输出的值（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】C
【分析】根据程序框图，先计算输入值与的和，判断其正负性，若大于0则乘以，否则除以，最后利用平方差公式计算即可．
【详解】解：输入，
第一步运算：，
，
，
选择“是”的分支进行运算，
输出值为：
．
12．如图是用个全等的直角三角形与个小正方形拼成的正方形图案，已知大正方形的面积为，小正方形的面积为，若用，表示直角三角形的两条直角边长，下列四个说法：①；②；③；④．其中正确的是( )
A．①② B．②④ C．③④ D．①②③④
【答案】C
【分析】根据勾股定理即可得到，即可判定④；根据图形可知，即可判断②；根据四个直角三角形的面积与小正方形的面积之和为大正方形的面积，可得，即可判断③；进而得到，即可判断①．
【详解】解：如图所示，
正方形的面积为，
，
是直角三角形，
根据勾股定理得：，故④正确；
正方形的面积为，
，
，故②错误；
由图可知，四个直角三角形的面积与小正方形的面积之和为大正方形的面积，
列出等式为，
即，故③正确；
由可得，
又，
两式相加得：，
整理得：，
，故①错误；
故正确的是③④．
二、填空题（共16分）
13．（本题4分）若有意义，则的取值范围是_____．
【答案】
【分析】根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，列出关于x的一元一次不等式，求解即可得到x的取值范围．
【详解】解：∵二次根式有意义的条件为被开方数是非负数．有意义，
∴．
解得．
14．（本题4分）计算：的结果是______．
【答案】
【分析】先拆分指数，逆用积的乘方法则，再结合平方差公式化简计算，即可得到结果．
【详解】解：
，
∴的结果是．
15．古代著作《九章算术》中记载：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，水深几何？如图，其大意是：有一个边长为尺的正方形池塘，一棵芦苇生长在它的正中央，高出水面尺．如果把该芦苇拉向岸边，那么芦苇的顶部恰好碰到岸边，则水深 _______ 尺．
【答案】
【分析】设尺，则尺，根据勾股定理可得，解方程求出的值即为水深．
【详解】解：如下图所示，
由题意可知,尺，
设尺，则尺，
在中，，
，
解得：，
尺，
答：水深尺．
16．（本题4分）如图，等边三角形边长为 点D在边上，且， 点E在边上， 连接，交于点F， 若， 在线段上截取， 连接， 则线段的最小值是_____．
【答案】
【分析】先根据等边三角形的性质证明，得出，进而得到，从而得到点G在以AC为弦、所对圆周角为的一段弧上运动，然后作辅助线图如图，得到（当且仅当三点共线时取=），得出的最小值即为，再求出即得答案．
【详解】解：∵等边三角形，
∴，
∵，
又∵,
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
连接，如图，
∵，
∴，
∴，
∴点G在以为弦、所对圆周角为的一段弧上运动，
设这段弧所在的圆心为O，连接，如图，
则（当且仅当三点共线时取），
∴的最小值即为，
设交于点H，
∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴四边形是菱形，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值为；
故答案为；．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质、菱形的判定和性质、勾股定理以及圆的相关知识，得出点G取最小值的位置是解题的关键．
三、解答题（共98分）
17．（本题10分）计算：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了二次根式的运算、平方差公式、完全平方公式，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
（1）根据二次根式的运算法则进行计算即可；
（2）结合完全平方公式和平方差公式进行计算．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
.
18．（本题10分）如图，每个小正方形的边长均为1，A，B，C，D均为格点．
(1)直接写出下列线段的长度： ， ；
(2)连接，判断形状，并证明你的结论．
【答案】(1)；5
(2)是直角三角形，证明见解析
【分析】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，解题关键是牢记公式．
（1）根据勾股定理计算即可；
（2）先计算，再利用勾股定理的逆定理即可证明．
【详解】（1）解：，
；
（2）解：是直角三角形；
证明：∵，，，
∴，
∴是直角三角形．
19．（本题10分）实数a、b、c在数轴上的位置如图所示.
(1)比较下列各式与0的大小（用“＞、＜”连接）：a 0， 0， 0；
(2)化简：．
【答案】(1)＞；＞；＜
(2)
【分析】本题考查了实数与数轴、二次根式的性质、绝对值的化简，利用数轴判断实数的正负性是解题的关键．
（1）根据数轴可得，则，，，即可得出答案；
（2）根据二次根式和绝对值的性质化简，再合并同类项即可．
【详解】（1）解：由数轴得，，
∴，，，
故答案为：＞；＞；＜；
（2）解：
．
20．（本题10分）正多边形的每条边都相等．每个角都相等．已知正边形的内角和为．边长为2．
(1)求正边形的周长；
(2)若正边形的每个外角的度数比正边形每个内角的度数小，求的值．
【答案】(1)20
(2)5
【分析】（1）根据正多边形的内角和求出的值，进而求出周长即可；
（2）先求出正边形的一个外角的度数，再根据多边形的外角和为360度，进行求解即可．
【详解】（1）解：由题意，，
解得，
∵正边形的边长为2，
∴周长为；
（2）解：由（1）可知，正边形每个内角的度数为，
∴正边形的每个外角的度数为；
∴．
21．（本题12分）如图，在平行四边形中，分别是上的点，且．求证：．
【答案】见解析．
【分析】由四边形是平行四边形，得，，然后证明，再通过平行四边形的判定方法即可求证．
【详解】证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∴．
22．（本题10分）如图，在菱形中，对角线与交于点，过点作的垂线，过点作的垂线，两直线相交于点．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，，求菱形面积．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由菱形的性质可得，结合，，命题得证；
（2）根据矩形和菱形的性质可得，，从而计算出菱形的面积．
【详解】（1）证明：∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴四边形是矩形；
（2）解：∵四边形是矩形，
∴，，
∵四边形是菱形，
∴，，
∴．
23．（本题12分）某实践探究小组在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度，通过勘测，得到如下记录表（风筝线是拉直的）：
测量示意图
测量数据 边的长度 ①测得水平距离的长为15米．
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米．
③小明牵线放风筝的手到地面的距离为1.7米．
数据处理组得到上面数据以后做了认真分析，他们发现根据勘测组的全部数据就可以计算出风筝离地面高度．请完成以下任务．
(1)风筝离地面的垂直高度的长为______米．
(2)如果小明想要风筝沿方向再上升12米，长度不变，则他应该再放出多少米线？
【答案】(1)9.7
(2)他应该再放出8米线
【分析】（1）先运用勾股定理求得米，进而求得即可；
（2）先求出风筝的高度为20米，然后求出此时风筝线的长为25米，最后根据线段的和差即可解答．
【详解】（1）解：由题意，，米，米，米，
由勾股定理得：（米），
∴（米）．
（2）解：风筝沿方向再上升12米后，风筝与点的距离变为20米，
∴此时风筝线的长为：（米），
（米）．
答：他应该再放出8米线．
24．（本题12分）观察下列等式：
第个等式：；
第个等式：；
第个等式：；
第个等式：；
……
(1)按照你所发现的规律，请你写出第个等式：______；
(2)根据上述规律猜想：若为正整数，请用含的式子表示第个等式，并证明；
(3)利用（2）中的规律计算：．
【答案】(1)（或）
(2)，证明见解析
(3)
【分析】（1）观察已知等式的规律，代入写出对应的二次根式化简等式；
（2）根据规律猜想第个等式，再通过通分、因式分解和二次根式性质证明等式成立；
（3）利用（2）的规律将乘积转化为分数相乘的形式，约分化简后得到结果．
【详解】（1）解：根据题意可知，第个等式是（或）．
（2）解：根据题意可知，第个等式为：．
证明：已知为正整数，
∵左边右边，
∴原等式成立．
（3）解：原式
．
25．（本题12分）如图，四边形中，,点在边上，四边形为平行四边形，，动点从点出发，沿以每秒3个单位长度的速度向终点运动，设点的运动时间为秒．
(1)的长为___________，的长为___________；
(2)连结，若将的面积分为两部分，求的值；
(3)若为等腰三角形，求的值；
(4)在点运动过程中，作点关于直线的对称点，当直线与边或边平行或共线时，直接写出的值．
【答案】(1)13，20
(2)5或
(3)或或
(4)5或
【分析】（1）先根据平行四边形的性质得，再根据勾股定理求出，然后根据得出答案．
（2）先表示出,，再分两种情况可得或，然后得出两个方程，求出解即可；
（3）作，连接，根据平行四边形的性质得，再根据勾股定理求出，然后根据为等腰三角形，分三种情况，分别列出方程求出解即可；
（4）当共线时，则，根据可得，即可求出；当时，连接，先根据“边边边”证明，再说明，进而得出，即可得出四边形是菱形，然后根据边长相等可得答案．
【详解】（1）解：∵四边形为平行四边形，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：13，20；
（2）解：如图所示，
由题意，得,
∵，
∴．
∵将的面积分为两部分，
即或，且等高，
∴或，
∴或，
∴或，
解得或，
∴t的值为5或；
（3）解：如图，过点E作，连接，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴．
∵,
∴．
由（1）知由（2）知，
∴．
∵为等腰三角形，
∴分三种情况：
当时，则，
解得；
当时，
∴即则，
解得；
当时，，
∵，
∴，
在中，，即，
解得．
综上所述，当为等腰三角形，t的值为或或；
（4）解：∵点B，C，D在同一条直线上，点M与点D关于直线对称，
∴如图所示，当共线时，则，
同理（3）可得，
∴，
∴；
如图，当时，连接，
由对称的性质得，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴
∴，
∴，
∴点M在上，即四边形是平行四边形．
∵，
∴四边形是菱形，
∴，即，
解得．
综上所述，当直线与边或边平行或共线时，t的值为5或．
【点睛】运用分类讨论的思想方法是解题的关键．
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