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人教版2025-2026学年下学期八年级数学半期考试卷一
（第十九章至第二十一章）
考试范围：第19--21章；考试时间：120分钟；试卷分值：150分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
一、单选题（共36分）
1．（本题3分）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数据中，是勾股数的是（ ）
A．0.3，0.4，0.5 B．1，2， C．4，5，7 D．6，8，10
2．（本题3分）下列二次根式中属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
3．（本题3分）龟背纹是中国传统经典的几何装饰纹样．如图是丝绸上设计的正六边形龟背纹图案，则它的一个内角的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．（本题3分）下列二次根式与是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
5．（本题3分）小明学了在数轴上画出表示无理数的点的方法后，进行练习：首先画数轴，原点为O，在数轴上找到表示数2的点A，然后过点A作，使（如图）．以O为圆心，的长为半径作弧，交数轴正半轴于点P，则点P所表示的数是（ ）
A． B． C． D．
6．（本题3分）下列计算正确的是(　　 )
A． B． C． D．
7．（本题3分）如图，菱形中，对角线相交于点O，E为的中点．若菱形的周长为32，则的长为（　　）
A．3 B．4 C．6 D．8
8．（本题3分）如图，下列条件中，不能确定四边形是平行四边形的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
9．（本题3分）实数a，b在数轴上的位置如图，则化简的结果是（ ）
A．b B．b－2a C．2a－b D．2a+b
10．（本题3分）如图，四边形为菱形，对角线，相交于点，于点，连接，，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
11．（本题3分）我国是最早了解勾股定理的国家之一．据《周髀算经》记载，勾股定理的公式与证明是由商高发现的，故又称之为“商高定理”．三国时代的蒋铭祖在《蒋铭祖算经》中对勾股定理作出了详细注释，并给出了另外一个证明，下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（ ）
A． B． C． D．
12．（本题3分）如果a满足，那么的值为（ ）
A．2024 B．2025 C．2026 D．2027
二、填空题（共16分）
13．（本题4分）二次根式中字母的取值是_________．
14．（本题4分）一直角三角形的两条边长为3和5，则第三条边是______．
15．（本题4分）如图，把长方形纸片折叠，使其对角顶点C与A重合，折痕，若长方形的长为8，宽为4，则的面积为________．
16．（本题4分）如图，在矩形中，，，的平分线交于点，，分别是，上的动点，且，是线段上的动点，连接，．若，则的长为_______．
三、解答题（共98分）
17．（本题10分）计算：
(1)；
(2)．
18．（本题10分）如图，在四边形中，，，，，．
(1)求的长
(2)四边形的面积．
19．（本题10分）已知一个多边形的边数为．
(1)若多边形的内角和为，求的值；
(2)若多边形的每一个外角度数均为，求这个多边形的内角和．
20．（本题10分）如图，四边形中，对角线，相交于点，点，分别在线段，上，且，，，求证：四边形是平行四边形．
21．（本题10分）如图，一条东西走向的公路一侧有一村庄，从村庄到公路原有两个出口，，其中，．由于暴雨导致到的小路路面塌陷，现已不通，该村为方便村民出行，决定在旁边新修一条小路（，，在同一条直线上），测得，．
(1)从村庄到公路，请通过计算说明是否为距离最近的路；
(2)求新修的路比原来的路短多少．
22．（本题12分）如图，中，，平分，，．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)过点E作于，若，，求的长．
23．（本题12分）阅读下列材料，然后回答问题：
有理化因式：两个含有根式的代数式相乘，如果它们的积不含有根式，那么这两个代数式相互叫作有理化因式．
例如：的一个有理化因式是；的一个有理化因式是．
分母有理化：分母有理化又称“有理化分母”，也就是把分母中的根号化去，指的是如果．二次根式中分母有根号，通常在分子、分母上同乘一个二次根式，达到化去分母中根号的目的．
例如：；．
(1)填空：的有理化因式是______（写出一个即可）；的有理化因式是______．
(2)把下列式子分母有理化：
(3)化简：．
24．（本题12分）如图，在中，，，，，是边上的两个动点，其中点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为秒．
(1)求的长．
(2)当点在边上运动，为等腰三角形时，求的值．
(3)当点在的垂直平分线上时，求的长．
(4)当点（与顶点，，重合除外）在的角平分线上时，直接写出的值．
25．（本题12分）综合探究综合与实践课上，智慧星小组三位同学对含角的菱形进行了探究
【背景】在菱形中，，作，，分别交边，于点，．
(1)【感知】如图1，若点是边的中点，小智经过探索发现了线段与之间的数量关系，请你直接写出这个关系为________；
(2)【探究】如图2，当点为上任意一点时，请说明（1）中的结论是否仍然成立，并写出理由；
(3)【应用】若菱形纸片中，，，在边上取一点，连接，在菱形内部作，交于点，当时，请直接写出线段的长．
试卷第1页，共3页
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
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人教版2025-2026学年下学期八年级数学半期考试卷一答案解析
考试范围：第19--21章；考试时间：120分钟；试卷分值：150分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
一、单选题（共36分）
1．（本题3分）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数据中，是勾股数的是（ ）
A．0.3，0.4，0.5 B．1，2， C．4，5，7 D．6，8，10
【答案】D
【分析】本题考查了勾股数的定义，关键是利用定义进行判断；勾股数需满足三个正整数且符合勾股定理，逐一验证各选项即可．
【详解】解：∵勾股数要求三个数均为正整数，且满足两个较小数的平方和等于最大数的平方．
A选项中，三个数都不是正整数，不是勾股数，不符合题意；
B选项中，不是正整数，不是勾股数，不符合题意；
C选项中，，，，不满足定义，不是勾股数，不符合题意；
D选项中，，且三个数均为正整数，符合勾股数定义，符合题意．
故选D．
2．（本题3分）下列二次根式中属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】最简二次根式需满足两个条件是①被开方数不含分母；② 被开方数不含能开得尽方的因数或因式，据此逐项判断即可．
【详解】解：A．的被开方数含有分母，可化简为，不是最简二次根式，不符合题意；
B．的被开方数含能开得尽方的因数，可化简为，不是最简二次根式，不符合题意；
C．满足最简二次根式的两个条件，是最简二次根式，符合题意；
D．的被开方数含能开得尽方的因数，可化简为，不是最简二次根式，不符合题意．
3．（本题3分）龟背纹是中国传统经典的几何装饰纹样．如图是丝绸上设计的正六边形龟背纹图案，则它的一个内角的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求出该正六边形的一个外角的度数，即可求解．
【详解】解：该正六边形的一个外角的度数为，
∴它的一个内角的度数为．
4．（本题3分）下列二次根式与是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先将各选项化为最简二次根式，再根据同类二次根式的定义判断，同类二次根式是化简后被开方数相同的二次根式．
【详解】解：∵同类二次根式的定义为：化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式是同类二次根式，
∴、，与被开方数不同，不是同类二次根式；
、，与被开方数不同，不是同类二次根式；
、，化简后被开方数为，与被开方数相同，是同类二次根式；
、，与被开方数不同，不是同类二次根式．
5．（本题3分）小明学了在数轴上画出表示无理数的点的方法后，进行练习：首先画数轴，原点为O，在数轴上找到表示数2的点A，然后过点A作，使（如图）．以O为圆心，的长为半径作弧，交数轴正半轴于点P，则点P所表示的数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】勾股定理求出的长即可得出结果.
【详解】解：由题意，，，
∴，
∴点P所表示的数.
6．（本题3分）下列计算正确的是(　　 )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查二次根式的运算，根据二次根式的乘除运算法则，以及同类二次根式的合并规则，逐一判断各选项即可．
【详解】解：对选项A，， A错误；
对选项B，与不是同类二次根式，不能直接合并，，B错误；
对选项C，，计算正确， C正确；
对选项D，与不是同类二次根式，不能直接合并，，D错误．
7．（本题3分）如图，菱形中，对角线相交于点O，E为的中点．若菱形的周长为32，则的长为（　　）
A．3 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【分析】先由菱形的周长求解得到，再证明为的中位线，即可求解．
【详解】解：∵四边形是菱形，
∴，，
∵E为的中点
∴．
8．（本题3分）如图，下列条件中，不能确定四边形是平行四边形的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】A
【详解】解：A、，，可能是等腰梯形，所以不能判定四边形是平行四边形，故此选项符合题意；
B、，， 根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可判定四边形为平行四边形，故此选项不符合题意；
C、，，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可判定四边形为平行四边形，故此选项不符合题意；
D、，，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形可判定四边形为平行四边形，故此选项不符合题意．
9．（本题3分）实数a，b在数轴上的位置如图，则化简的结果是（ ）
A．b B．b－2a C．2a－b D．2a+b
【答案】A
【分析】先根据数轴确定a，b的范围，再根据二次根式的性质进行化简，即可解答．
【详解】解：由数轴可得：，
∴，
．
10．（本题3分）如图，四边形为菱形，对角线，相交于点，于点，连接，，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先根据菱形的性质得，利用得到为的斜边上的中线，得到，利用等腰三角形的性质得，即可求解．
【详解】解：∵四边形是菱形，，
，
，
，
，
，
．
11．（本题3分）我国是最早了解勾股定理的国家之一．据《周髀算经》记载，勾股定理的公式与证明是由商高发现的，故又称之为“商高定理”．三国时代的蒋铭祖在《蒋铭祖算经》中对勾股定理作出了详细注释，并给出了另外一个证明，下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据面积公式，逐项推理论证判断即可．
【详解】解：A：∵，
整理得：，
∴此选项不符合题意；
B：∵，
∴，
∴此选项不符合题意；
C：∵，
∴，
∴此选项不符合题意；
D：∵，
∴此选项符合题意.
故选：D.
12．（本题3分）如果a满足，那么的值为（ ）
A．2024 B．2025 C．2026 D．2027
【答案】C
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件、绝对值的化简，掌握二次根式的被开方数是非负数，根据取值范围化简绝对值是解题的关键．
本题由方程中的可知，从而，代入原方程化简后平方求解，再计算的值．
【详解】解：∵有意义
∴，即
∵
∴
代入原方程：
化简得：
两边平方：
∴．
∴．
故选：C．
二、填空题（共16分）
13．（本题4分）二次根式中字母的取值是_________．
【答案】
【分析】根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，列出关于x的一元一次不等式，解不等式即可得到结果.
【详解】解：根据二次根式有意义的条件，被开方数是非负数，可得：
，
解得 .
14．（本题4分）一直角三角形的两条边长为3和5，则第三条边是______．
【答案】4或
【分析】分两种情况分类讨论，再利用勾股定理计算第三边的长度即可．
【详解】解：当为斜边长时，为直角边长时，第三条边是；
当和都为直角边长时，第三条边是．
综上所述，第三条边是4或．
15．（本题4分）如图，把长方形纸片折叠，使其对角顶点C与A重合，折痕，若长方形的长为8，宽为4，则的面积为________．
【答案】10
【分析】设，则，由折叠的性质可知，，根据四边形是矩形，得出，在中，由勾股定理求出，则，根据，得出．结合，，得出，最后利用三角形的面积公式计算即可．
【详解】解：设，则，
由折叠的性质可知，，
∵四边形是矩形，
∴，
在中，由勾股定理得，即，
整理得，
解得．
∴，
，
．
又∵，
，
，
．
16．（本题4分）如图，在矩形中，，，的平分线交于点，，分别是，上的动点，且，是线段上的动点，连接，．若，则的长为_______．
【答案】
【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，正方形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练应用相关性质定理是解题的关键．由题意易知，在上取点，使，连接，，则，从而可得，进而证得四边形是矩形，四边形、四边形均为正方形，得到，结合，利用勾股定理即可求解．
【详解】解：四边形是矩形，
，，
的平分线交于点，
，
如图，在上取点，使，连接，，
，
，，
与的距离为，
，
，
如图，则四边形是矩形，
，，
，
，
，，，
四边形为正方形，
，，，
四边形为矩形，
，
四边形为正方形，
，
，
，
，
由勾股定理得，
故答案为：．
三、解答题（共98分）
17．（本题10分）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)1
(2)
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则和乘法公式是解决问题的关键．
（1）先根据二次根式的除法法则运算，然后化简二次根式后进行有理数的加减运算；
（2）根据平方差公式和完全平方公式计算．
【详解】（1）解：
（2）解：
18．（本题10分）如图，在四边形中，，，，，．
(1)求的长
(2)四边形的面积．
【答案】(1)5
(2)36
【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
（1）在中， 根据勾股定理求得的长即可；
（2）在中，根据得到是直角三角形，利用进行求解即可．
【详解】（1）解： 在中，，
由勾股定理得；
（2）解：在中，
由于，即，
则是直角三角形，
因此．
19．（本题10分）已知一个多边形的边数为．
(1)若多边形的内角和为，求的值；
(2)若多边形的每一个外角度数均为，求这个多边形的内角和．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了多边形内角和公式与外角和定理，熟练掌握多边形内角和公式（且为整数 ）以及多边形外角和为是解题的关键．
（1）根据多边形内角和公式（且为整数 ），已知内角和为，通过列方程求解的值．
（2）因为多边形外角和是固定的，已知每个外角度数为，先求出边数，再利用内角和公式计算内角和．
【详解】（1）解：多边形内角和公式为，且内角和为
（2）解：多边形外角和为，每个外角是
边数
又多边形内角和公式为
内角和为
20．（本题10分）如图，四边形中，对角线，相交于点，点，分别在线段，上，且，，，求证：四边形是平行四边形．
【答案】见解析
【分析】先证明，得，再结合，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形得出答案．
【详解】∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
∵，
∴四边形是平行四边形．
21．（本题10分）如图，一条东西走向的公路一侧有一村庄，从村庄到公路原有两个出口，，其中，．由于暴雨导致到的小路路面塌陷，现已不通，该村为方便村民出行，决定在旁边新修一条小路（，，在同一条直线上），测得，．
(1)从村庄到公路，请通过计算说明是否为距离最近的路；
(2)求新修的路比原来的路短多少．
【答案】(1)是
(2)
【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理、垂线段最短的性质，熟练掌握勾股定理及其逆定理的应用，以及利用垂线段最短判断最短距离是解题的关键．
（1）先利用勾股定理的逆定理，验证三边是否满足，以此判断是否为直角三角形，进而得到与公路垂直，再根据“垂线段最短”确定是否为距离最近的路．
（2）先设的长度为未知数，结合表示出的长度，再在中利用勾股定理列方程，求解出的长度，最后计算与的差值．
【详解】（1）解：，，，
，，
．
是直角三角形，且，
∴，
是村庄到公路距离最短的路；
（2）解：，
．
由（1）可知，
，
，
，解得，
，
答：新修的小路比原来的路短．
22．（本题12分）如图，中，，平分，，．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)过点E作于，若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)的长为
【分析】（1）根据等腰三角形的性质得，再根据平行线的性质得，然后根据，可得，即可得出结论；
（2）根据等腰三角形的性质求出，再根据勾股定理得，然后根据矩形的性质得，，最后根据三角形的面积相等得出答案．
【详解】（1）证明： 中，，平分，
，，
，，
，，
四边形是矩形；
（2）解：，平分，，，
．
在中，由勾股定理得：．
四边形是矩形，
，．
，
．
23．（本题12分）阅读下列材料，然后回答问题：
有理化因式：两个含有根式的代数式相乘，如果它们的积不含有根式，那么这两个代数式相互叫作有理化因式．
例如：的一个有理化因式是；的一个有理化因式是．
分母有理化：分母有理化又称“有理化分母”，也就是把分母中的根号化去，指的是如果．二次根式中分母有根号，通常在分子、分母上同乘一个二次根式，达到化去分母中根号的目的．
例如：；．
(1)填空：的有理化因式是______（写出一个即可）；的有理化因式是______．
(2)把下列式子分母有理化：
(3)化简：．
【答案】(1)，
(2)
(3)2024
【分析】（1）根据新定义，进行求解即可；
（2）把的分子、分母同时乘以，进行化简即可；
（3）先进行分母有理化，再根据平方差公式进行计算即可．
【详解】（1）解：，
的有理化因式是，
，
的有理化因式是；
（2）解：
；
（3）解：∵
∴原式
．
24．（本题12分）如图，在中，，，，，是边上的两个动点，其中点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为秒．
(1)求的长．
(2)当点在边上运动，为等腰三角形时，求的值．
(3)当点在的垂直平分线上时，求的长．
(4)当点（与顶点，，重合除外）在的角平分线上时，直接写出的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)2或
【分析】（1）利用勾股定理求解；
（2）表示出，，然后根据题意得到，列方程求解即可；
（3）由垂直平分线的性质得到，然后利用勾股定理求解即可；
（4）分2种情况讨论，分别根据勾股定理和等面积法列方程求解即可．
【详解】（1）解：∵，，，
∴；
（2）解：∵，点E的运动速度为每秒，
∴点E到达点A的时间为（秒）
∴当点在边上运动时，，
∴
∵
∴当为等腰三角形时，
∴
∴；
（3）解：如图，当点在的垂直平分线上时，
∴
∵，，
∴，即
∴
∴点E运动的路程为
∴；
（4）解：如图，当点E在的平分线上时，过点E作于点F，
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∵
∴
∴；
如图，当点E在的平分线上时，过点E作于点H，过点E作于点G，
∴
∵，
∴，是等腰直角三角形，
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴，
∴
∴
综上所述，当点（与顶点，，重合除外）在的角平分线上时，直接写出的值为2或．
25．（本题12分）综合探究综合与实践课上，智慧星小组三位同学对含角的菱形进行了探究
【背景】在菱形中，，作，，分别交边，于点，．
(1)【感知】如图1，若点是边的中点，小智经过探索发现了线段与之间的数量关系，请你直接写出这个关系为________；
(2)【探究】如图2，当点为上任意一点时，请说明（1）中的结论是否仍然成立，并写出理由；
(3)【应用】若菱形纸片中，，，在边上取一点，连接，在菱形内部作，交于点，当时，请直接写出线段的长．
【答案】(1)
(2)成立，证明见解析
(3)的长度为或
【分析】（1）连接，利用菱形的性质和等边三角形的三线合一性质证明即可；
（2）利用菱形的性质和等边三角形的性质证明即可；
（3）过点作交于点，利用菱形的性质和等边三角形的性质可得，利用勾股定理求出，，分当点在点的左侧和点在点的右侧两种情况，可得出最后的结果．
【详解】（1）解：连接，如下图所示：
∵四边形为菱形，
∴，，，
∵，
∴，，
∵为菱形的角平分线，
∴，
故与为等边三角形，
∴，
∵点为中点，
∴平分，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴；
（2）解：成立，理由如下：
连接，如下图所示：
由（1）中，同理可得与为等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴．
（3）解：过点作交于点，按题意补充线段，连接，当点在点左侧时，如下图所示：
由（1）（2）得，为中点，
∴，
由勾股定理得，
∵，
∴，
故，
∴；
当点在点右侧时，如下图所示：
同理可得，
故，
∴；
综上，的长度为或．
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