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保密★启用前
2026年贵州省中考数学模拟试卷一
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
一、单选题（每题3分，共36分）
1．（本题3分）中国是世界上最早使用负数的国家，我国古代数学名著《九章算术》中，就首次记载了“正负术”，引入了负数的概念．如果公元前600年记作年，则公元2026年记作（ ）.
A．年 B．2026年 C．年 D．2626年
2．（本题3分）下列图案中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．（本题3分）在纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵仪式上，近12000名受阅官兵迈着英姿飒爽、气势如虹的步伐，昂首阔步通过天安门城楼，向世界彰显了新时代中国军队的强大力量与崇高形象．其中12000可用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
4．（本题3分）如图， 矩形的对角线， 相交于点O，若， 则的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
5．（本题3分）下列方程的变形中，不正确的是（ ）
A．由，得 B．由，得
C．由，得 D．由，得
6．（本题3分）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
7．（本题3分）下列调查中，调查方式选择合理的是（ ）
A．为了解一批圆珠笔芯的使用寿命，选择全面调查
B．为了解中央电视台春节联欢晚会的收视率，选择抽样调查
C．为了解我国七年级学生的视力情况，选择全面调查
D．为了解长征运载火箭的设备零件质量情况，选择抽样调查
8．（本题3分）若分式的值为，则的值为（ ）．
A． B． C．或 D．
9．（本题3分）如图，若半径为的定滑轮边缘上一点绕中心逆时针转动（绳索与滑轮之间没有滑动），则重物上升的高度（单位：）为（ ）
A． B． C． D．
10．（本题3分）物理课上我们学习过凸透镜成像规律．如图，蜡烛的高是，蜡烛与凸透镜的距离是，蜡烛的像与凸透镜的距离是，则像的高是（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．6
11．（本题3分）如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径画圆弧，分别交、于点、，再分别以点、为圆心，大于的长为半径画圆弧，两弧交于点，作射线交边于点，且，点在边上，连接．则下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．线段的最小值是2
12．（本题3分）如图是二次函数图象的一部分，对称轴为直线，且经过点，给出以下结论：①；②当时，随的增大而减小；③当时，或；④；⑤若二次函数经过点，则其图象必经过点．其中正确的结论是（ ）
A．①②③ B．④⑤ C．①②⑤ D．②③④
二、填空题（每题4分，共16分）
13．（本题4分）不透明袋子中有3个红球，2个白球，4个黄球，这些球除颜色外无其他差别．从袋中随机摸出1个球恰好是红球的概率为 ．
14．（本题4分）分解因式： ．
15．（本题4分）“盈不足问题”作为我国数学的古典名题，在2000多年前的《九章算术》一书中就有很多详尽而深刻的阐述．现从中选取一题：今有人共买物，人出九，盈六；人出七，不足四，问人数，物价各几何？译文为：现有一些人共同买一个物品，每人出9元，则多6元；每人出7元，则少4元．则人数为 人．
16．（本题4分）如图，在矩形中，，，是边上一个动点，连接．在上取一点，满足，则长度的最小值为 ．
三、解答题（共有9个大题，共98分）
17．（本题12分）（1）计算：
（2）解方程：
18．（本题10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象上与反比例函数的图象交于、两点，与轴交于点，已知点，点的横坐标为．
(1)求一次函数与反比例函数的解析式；
(2)若点是轴上一点，且，求点坐标．
19．（本题10分）某校七年级准备开展以“火星冲日”为主题的项目化学习．为了了解学生对“火星冲日”天文景象的知晓情况，该校七年级备课组随机对七年级部分学生进行了问卷调查，调查结果共分成四个类别：A表示“非常了解”，B表示“比较了解”，C表示“不太了解”，D表示“从未听说过”．根据调查统计结果，绘制成两幅不完整的统计图．请结合统计图，回答下列问题．

(1)在此次调查中一共抽取了多少名学生？并将条形统计图补充完整．
(2)扇形统计图中B部分的圆心角是多少度？
(3)在A类学生中，有2名男生和2名女生，现需要从这4名学生中随机抽取2名，在课前进行“火星冲日”天文景象的介绍，请利用画树状图或列表的方式，求所抽取的2名学生中恰好是1名男生和1名女生的概率．
20．（本题10分）如图，菱形的对角线，相交于点，过点作，且，连结，．

(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，，求的长．
21．（本题10分）2026年是中国农历马年，以生肖马为主题的玩偶凭借可爱的形象“圈粉”无数．某商店销售甲、乙两种型号以马为主题的生肖玩偶，已知1只甲型玩偶和2只乙型玩偶的价格为160元，2只甲型玩偶和3只乙型玩偶价格为260元．
(1)求甲、乙两种型号玩偶的单价各是多少元？
(2)某公司计划采购两种型号玩偶共60个作为员工新年礼物，总费用不超过3000元，最多可以采购多少个乙型玩偶？
22．（本题10分）根据以下材料，完成任务．
材料1 如图，幸福村村口有棵大树，平时是居民喜欢的一个聚集地
材料2 小明画出了大树的侧面示意图，经过测量，点距离地面，与水平面的夹角为
材料3 当太阳光线与地面的夹角为时，阴影的长约为
任务1 求出大树的树枝的边缘点到树干的距离
任务2 求出大树的树枝的长度（保留整数）
备注 参考数据：
23．（本题12分）如图1，在中，为线段上一点，以为圆心，长为半径的圆与边，分别交于，两点，过点作的切线，交于点．
(1)求与的位置关系，并说明理由．
(2)如图2，若为的中点．
①探究与的数量关系，并说明理由；
②连接，若，求阴影部分的面积．
24．（本题12分）已知二次函数（b，c为常数）．
(1)当时，若二次函数图象的对称轴为直线，求该二次函数的最小值；
(2)当时，函数的最小值为，最大值为1，求b的值；
(3)若二次函数图象的顶点在y轴上，当时，，且y随x的增大而增大或y随x的增大而减小，求c的取值范围．
25．（本题12分）综合探究：如图，在矩形中，E是对角线上一动点，连接．

(1)【操作探究】
如图①，，过点E作交线段于点F，根据题意在图①中画出，图中的值为 ；
(2)【问题探究】
如图②，，过点E作交线段于点F，探究线段与的数量关系，并说明理由；
(3)【拓展延伸】
如图③，，过点E作交射线于点F，当为等腰三角形时，求的长.
试卷第1页，共3页
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
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2026年贵州省中考数学模拟试卷一答案解析
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
一、单选题（每题3分，共36分）
1．（本题3分）中国是世界上最早使用负数的国家，我国古代数学名著《九章算术》中，就首次记载了“正负术”，引入了负数的概念．如果公元前600年记作年，则公元2026年记作（ ）.
A．年 B．2026年 C．年 D．2626年
【答案】B
【知识点】相反意义的量、正负数的实际应用
【分析】本题主要考查正负数的实际应用，掌握正负数表示相反意义的量是解题的关键．
根据正负数表示相反意义的量即可解答．
【详解】解：∵公元前600年记作年，
∴公元后年份应记作正数，
∴公元2026年记作2026年．
故选B．
2．（本题3分）下列图案中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】轴对称图形的识别
【分析】本题考查了轴对称图形：如果一个图形沿着某条直线对折后，直线两旁的部分能够重合，则称这个图形是轴对称图形，这条直线叫做对称轴；根据这个概念判断即可．
【详解】解：选项A中的图形可以找到一条直线，使直线两旁的部分能够重合，故是轴对称图形；其它选项中的图形不能找到一条直线，使直线两旁的部分能够重合，故都不是轴对称图形；
故选：A．
3．（本题3分）在纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵仪式上，近12000名受阅官兵迈着英姿飒爽、气势如虹的步伐，昂首阔步通过天安门城楼，向世界彰显了新时代中国军队的强大力量与崇高形象．其中12000可用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数
【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法表示形式为，其中，n为整数，12000可表示为．
【详解】解：∵，
∴12000用科学记数法表示为，
故选：B．
4．（本题3分）如图， 矩形的对角线， 相交于点O，若， 则的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】C
【知识点】根据矩形的性质求线段长
【分析】本题考查矩形的性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．利用矩形的性质得出，，即可解答．
【详解】解：∵四边形是矩形，对角线、相交于点，
∴，，
∴，
故选：C．
5．（本题3分）下列方程的变形中，不正确的是（ ）
A．由，得 B．由，得
C．由，得 D．由，得
【答案】D
【知识点】等式的性质1、等式的性质2、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项
【分析】本题考查一元一次方程的变形，需根据等式的性质和移项法则判断每个选项的变形是否正确
【详解】解：∵对于选项A，由，移项得，变形正确
∵对于选项B，由，两边同乘得，变形正确
∵对于选项C，由，两边同除以得，变形正确
∵对于选项D，由，移项得，而选项中是，变形错误
故选：D．
6．（本题3分）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】写出直角坐标系中点的坐标
【分析】本题考查平面直角坐标系，正确建立坐标系是解题关键．根据点、两点坐标，建立坐标系，即可得出点坐标．
【详解】解：∵点的坐标为，点的坐标为，
∴建立坐标系如下：
∴点的坐标是．
故选：A．
7．（本题3分）下列调查中，调查方式选择合理的是（ ）
A．为了解一批圆珠笔芯的使用寿命，选择全面调查
B．为了解中央电视台春节联欢晚会的收视率，选择抽样调查
C．为了解我国七年级学生的视力情况，选择全面调查
D．为了解长征运载火箭的设备零件质量情况，选择抽样调查
【答案】B
【知识点】判断全面调查与抽样调查
【分析】调查方式的选择取决于总体大小和调查可行性.全面调查适用于总体小或重要且可行的情况；抽样调查适用于总体大或全面调查不经济的情况.
【详解】A、∵圆珠笔芯使用寿命测试具有破坏性，全面调查会破坏所有笔芯，
∴ 应选择抽样调查，A不合理.
B、∵收视率调查总体很大，全面调查不可行，
∴ 选择抽样调查合理，B正确.
C、∵七年级学生数量大，全面调查不经济，
∴ 应选择抽样调查，C不合理.
D、∵火箭零件质量要求高，必须全面检查以确保安全，
∴ 选择全面调查更合理，D不合理.
故选：B.
8．（本题3分）若分式的值为，则的值为（ ）．
A． B． C．或 D．
【答案】A
【知识点】分式有意义的条件、分式值为零的条件
【分析】本题考查分式的概念，掌握好相关的知识是关键．
分式值要为，需满足分子为且分母不为，据此求解的值．
【详解】解：∵分式的值为
∴，
由，得，
∴或，
又∵，
∴，
∴．
故选：A．
9．（本题3分）如图，若半径为的定滑轮边缘上一点绕中心逆时针转动（绳索与滑轮之间没有滑动），则重物上升的高度（单位：）为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】求某点的弧形运动路径长度
【分析】本题考查了弧长的计算，根据定滑轮的性质得到重物上升的高度即为转过的弧长，利用弧长公式l=计算即可．
【详解】解：根据题意得：，
则重物上升了，
故选：B．
10．（本题3分）物理课上我们学习过凸透镜成像规律．如图，蜡烛的高是，蜡烛与凸透镜的距离是，蜡烛的像与凸透镜的距离是，则像的高是（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．6
【答案】B
【知识点】相似三角形实际应用
【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
根据题意，证明，可得，即可求出的长度．
【详解】解：根据题意，可得，
∵，
∴，
∴，
即，
解得，
故选B．
11．（本题3分）如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径画圆弧，分别交、于点、，再分别以点、为圆心，大于的长为半径画圆弧，两弧交于点，作射线交边于点，且，点在边上，连接．则下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．线段的最小值是2
【答案】C
【知识点】角平分线的性质定理、作角平分线(尺规作图)
【分析】本题考查尺规作图—作角平分线，角平分线的性质，根据作图得到平分，根据作图方法，结合角平分线的定义和性质，垂线段最短，逐一进行判断即可．
【详解】解：由作图可知：，平分；故A选项正确；
∴；故B选项正确；
∵平分，，
∴点到两边的距离相等，均为的长，
∵点E在边上，
∴当时，的长取最小值，为的长，
∴长的最小值是，故D选项正确；
∵，
∴，
∴C选项错误；
故选C．
12．（本题3分）如图是二次函数图象的一部分，对称轴为直线，且经过点，给出以下结论：①；②当时，随的增大而减小；③当时，或；④；⑤若二次函数经过点，则其图象必经过点．其中正确的结论是（ ）
A．①②③ B．④⑤ C．①②⑤ D．②③④
【答案】C
【知识点】二次函数图象与各项系数符号、根据二次函数的图象判断式子符号、y=ax +bx+c的图象与性质、图象法解一元二次不等式
【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象与性质．根据抛物线开口方向，对称轴以及与轴的交点即可判断选项①④；由图象性质即可判断②；由二次函数性质结合即可判断③；根据二次函数的性质即可判断⑤．
【详解】解：抛物线开口向下，
，
抛物线与轴正半轴相交，
，
对称轴在轴右侧，
，异号，
，
，，故①正确，④错误；
对称轴为直线，
∴当时，随的增大而减小；
∴当时，随的增大而减小；故②正确，
∵对称轴为直线，且经过点，
∴抛物线经过，
∴当时，；故③错误；
∵二次函数经过点，对称轴为直线，
∴抛物线图象必经过点，故⑤正确．
故选：C．
二、填空题（每题4分，共16分）
13．（本题4分）不透明袋子中有3个红球，2个白球，4个黄球，这些球除颜色外无其他差别．从袋中随机摸出1个球恰好是红球的概率为 ．
【答案】
【知识点】根据概率公式计算概率
【分析】本题考查了概率的运算，熟练掌握运算方法是解题的关键．
根据概率公式，计算红球数量与总球数的比值即可．
【详解】解：由题意得：；
故答案为：．
14．（本题4分）分解因式： ．
【答案】
【知识点】综合提公因式和公式法分解因式
【分析】本题考查提公因式法与公式法的综合运用．先提取公因式，再利用平方差公式分解．
【详解】解：．
故答案为：
15．（本题4分）“盈不足问题”作为我国数学的古典名题，在2000多年前的《九章算术》一书中就有很多详尽而深刻的阐述．现从中选取一题：今有人共买物，人出九，盈六；人出七，不足四，问人数，物价各几何？译文为：现有一些人共同买一个物品，每人出9元，则多6元；每人出7元，则少4元．则人数为 人．
【答案】5
【知识点】古代问题(一元一次方程的应用)
【分析】本题考查一元一次方程的应用，掌握知识点是解题的关键．
根据盈不足问题的等量关系，物价不变，由每人出9元盈6元得物价为，由每人出7元不足4元得物价为，两者相等，列方程求解．
【详解】解：设人数为x人，依题意，得．
解得．
故答案为∶5．
16．（本题4分）如图，在矩形中，，，是边上一个动点，连接．在上取一点，满足，则长度的最小值为 ．
【答案】
【知识点】半圆（直径）所对的圆周角是直角、相似三角形的判定与性质综合、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、矩形的性质、最短路径问题．
由可证，进而可证，令为中点，可得，说明点的运动轨迹为在矩形内的半圆上，再根据“最短距离=点到圆心的距离-圆的半径”求解即可．
【详解】解：如图，设中点为，连接．
四边形为矩形，
，，
，
，
，
，
，
则点的运动轨迹为以点为圆心，为半径，且在矩形中的半圆，
当、、三点共线时，取得最小值，
，，
．
故答案为：．
三、解答题（共有9个大题，共98分）
17．（本题12分）（1）计算：
（2）解方程：
【答案】（1）4；（2），
【知识点】实数的混合运算、因式分解法解一元二次方程、零指数幂
【分析】本题考查了零指数幂，实数的混合运算，解一元二次方程．
（1）根据有理数的乘方，零指数幂，求一个数的绝对值进行计算即可求解；
（2）先移项，再根据因式分解法解一元二次方程，即可求解．
【详解】解：（1）
．
（2）移项得，
即，
因式分解得，
，，
，．
18．（本题10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象上与反比例函数的图象交于、两点，与轴交于点，已知点，点的横坐标为．
(1)求一次函数与反比例函数的解析式；
(2)若点是轴上一点，且，求点坐标．
【答案】(1)，；
(2)或．
【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点，解题的关键是利用坐标解出函数的解析式．
（1）把点代入，解得，即可求得反比例函数的解析式以及B的坐标，然后根据待定系数法即可求得一次函数的解析式．
（2）根据求得，进而即可求得D的坐标．
【详解】（1）解：将点代入，得，
反比例函数的解析式为，
点的横坐标为，
将代入，得，
．
将，代入，
得，解得，
一次函数的解析式为；
（2）由可知，
，
，
或．
19．（本题10分）某校七年级准备开展以“火星冲日”为主题的项目化学习．为了了解学生对“火星冲日”天文景象的知晓情况，该校七年级备课组随机对七年级部分学生进行了问卷调查，调查结果共分成四个类别：A表示“非常了解”，B表示“比较了解”，C表示“不太了解”，D表示“从未听说过”．根据调查统计结果，绘制成两幅不完整的统计图．请结合统计图，回答下列问题．

(1)在此次调查中一共抽取了多少名学生？并将条形统计图补充完整．
(2)扇形统计图中B部分的圆心角是多少度？
(3)在A类学生中，有2名男生和2名女生，现需要从这4名学生中随机抽取2名，在课前进行“火星冲日”天文景象的介绍，请利用画树状图或列表的方式，求所抽取的2名学生中恰好是1名男生和1名女生的概率．
【答案】(1)50名，补充图表见解析
(2)
(3)
【知识点】求条形统计图的相关数据、条形统计图和扇形统计图信息关联、求扇形统计图的圆心角、列表法或树状图法求概率
【分析】本题主要考查了扇形统计图和条形统计图相结合描述数据，通过部分得出总体，扇形圆心角度数，补全条形图，根据树状图或列表法计算概率等，解题的关键是理解题意，综合运用这些知识点．
（1）通过部分得出总体，总体减去已知的数据，即可得出数据；
（2）利用占比即可求出部分圆心角度数；
（3）画出树状图，利用树状图求解即可．
【详解】（1）解：（名）
答：此次调查一共抽取了50名学生．
（名）
补充条形统计图如图所示．
（2）解：
答：扇形统计图中部分的圆心角是．
（3）解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中恰好是一名男生和一名女生的结果有8种，
所抽取的2名学生中恰好是一名男生和一名女生的概率是．
20．（本题10分）如图，菱形的对角线，相交于点，过点作，且，连结，．

(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【知识点】用勾股定理解三角形、证明四边形是矩形、利用菱形的性质求线段长
【分析】（1）根据菱形的性质可得，，结合已知条件，即可证明四边形是菱形；
（2）根据题意可得是等边三角形，勾股定理求得的长，进而求得的长，在中，根据勾股定理即可求解．
【详解】（1）证明：四边形是菱形，
，，
，，
，，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形．
（2）解：四边形是菱形，
，
，
是等边三角形，
，
在中，，，
，
，
四边形是矩形，
，，
在中，，
答：的长为．
21．（本题10分）2026年是中国农历马年，以生肖马为主题的玩偶凭借可爱的形象“圈粉”无数．某商店销售甲、乙两种型号以马为主题的生肖玩偶，已知1只甲型玩偶和2只乙型玩偶的价格为160元，2只甲型玩偶和3只乙型玩偶价格为260元．
(1)求甲、乙两种型号玩偶的单价各是多少元？
(2)某公司计划采购两种型号玩偶共60个作为员工新年礼物，总费用不超过3000元，最多可以采购多少个乙型玩偶？
【答案】(1)甲型号玩偶单价为40元，乙型号玩偶单价为60元
(2)最多可以采购30个乙型玩偶
【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、用一元一次不等式解决实际问题
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，不等式的应用等知识，理解题意正确列方程组和不等式是解题关键．
（1）设甲型号玩偶单价为元，乙型号玩偶单价为元，根据“1只甲型玩偶和2只乙型玩偶的价格为160元，2只甲型玩偶和3只乙型玩偶价格为260元”，列方程组求解即可；
（2）设采购个乙型玩偶，根据“总费用不超过3000元”列不等式求解即可．
【详解】（1）解∶设甲型号玩偶单价为元，乙型号玩偶单价为元，
根据题意，得，
解得，
答：甲型号玩偶单价为40元，乙型号玩偶单价为60元；
（2）解：设采购个乙型玩偶，
根据题意，得，
解得，
答：最多可以采购30个乙型玩偶．
22．（本题10分）根据以下材料，完成任务．
材料1 如图，幸福村村口有棵大树，平时是居民喜欢的一个聚集地
材料2 小明画出了大树的侧面示意图，经过测量，点距离地面，与水平面的夹角为
材料3 当太阳光线与地面的夹角为时，阴影的长约为
任务1 求出大树的树枝的边缘点到树干的距离
任务2 求出大树的树枝的长度（保留整数）
备注 参考数据：
【答案】任务1：；任务2：
【知识点】根据矩形的性质与判定求线段长、其他问题（解直角三角形的应用）、根据等角对等边求边长
【分析】本题主要考查解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，等腰三角形的判定，解题的关键是掌握锐角三角函数的定义，求出相关线段的长度．
（1）先过点作，垂足为点，过点作于点，由题意，得，根据，得出，结合，得出，再证得四边形是矩形，得出，即可解答；
（2）在中，根据，，，求解即可．
【详解】解：（1）如图，过点作，垂足为点，过点作于点，
则，．
由题意，得．
，
，
，
．
又 ，
．
，，，
四边形是矩形，
．
即树枝的边缘点到树干的距离为．
（2）在中，，，
，
树枝的长约为．
23．（本题12分）如图1，在中，为线段上一点，以为圆心，长为半径的圆与边，分别交于，两点，过点作的切线，交于点．
(1)求与的位置关系，并说明理由．
(2)如图2，若为的中点．
①探究与的数量关系，并说明理由；
②连接，若，求阴影部分的面积．
【答案】(1)，理由见解析
(2)①，理由见解析；②
【知识点】切线的性质定理、求其他不规则图形的面积、半圆（直径）所对的圆周角是直角、解直角三角形的相关计算
【分析】（1）连接，证明，再由是的切线可得，从而可证明结论；
（2）①连接，可得，依据等腰三角形的性质可得结论；②连接，分别证明四边形为菱形，和为等边三角形，为等边三角形可得，再根据可得结论
【详解】（1）如图1，连接．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴，
∴．
又∵是的切线，
∴．
∴．
（2）①．
理由：如图2，连接，
∵是的中点，
∴是的直径，
∴．
∵，
∴．
②如图3，连接．
∵为的中点，为的中点，
∴．
又∵，，
∴四边形为菱形．
∴，，
∴和为等边三角形，
∴，
∴，
∴为等边三角形．
∴．点到的距离为
∴，．
∴．
【点睛】本题考查了切线的性质、等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、菱形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及扇形面积公式，解直角三角形等知识；熟练掌握切线的性质和等腰三角形的性质是解题的关键．
24．（本题12分）已知二次函数（b，c为常数）．
(1)当时，若二次函数图象的对称轴为直线，求该二次函数的最小值；
(2)当时，函数的最小值为，最大值为1，求b的值；
(3)若二次函数图象的顶点在y轴上，当时，，且y随x的增大而增大或y随x的增大而减小，求c的取值范围．
【答案】(1)1
(2)或
(3)或
【知识点】y=ax +bx+c的图象与性质、抛物线与x轴的交点问题、y=ax +k的图象和性质
【分析】 本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程之间的关系，熟知二次函数的相关知识是解题的关键．
（1）根据对称轴公式可得b的值，进而得到二次函数解析式，再把解析式化为顶点式即可得到答案；
（2）求出对称轴为直线，则当时，y随x增大而增大，据此可得，解之即可得到答案；
（3）当，且y随x的增大而增大时有，则m、n可看成是关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根，利用判别式和，可求出c的取值范围；当，且y随x的增大而减小时有，可证明，，则可得到是关于x的一元二次方程的两个实数根，根据方程有实数根得到，则；根据根与系数的关系可得，据此可得答案．
【详解】（1）解：∵若二次函数图象的对称轴为直线，
∴，
∴，
∵，
∴二次函数的解析式为，
∵，
∴当时，y有最小值，最小值为1，即二次函数的最小值为1；
（2）解：由题意得，二次函数的对称轴为直线，
∵，
∴二次函数开口向上，
∴当时，y随x增大而增大，
∵当时，函数的最小值为，最大值为1，
∴当时，，当时，，
∴，
解得或；
（3）解：∵二次函数图象的顶点在y轴上，
∴对称轴为y轴，
∴，即，
∴二次函数解析式为
∵当时，，且y随x的增大而增大或y随x的增大而减小，
∴当，且y随x的增大而增大时有，
∴m、n可看成是关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根，
∴，
∴；
∵，
∴当时，y随x增大而增大，
∴，
∴，
∴；
∴当，且y随x的增大而减小时有，
得，
∴，
∴，
∵，
∴当时，y随x增大而减小，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴，，
∴是关于x的一元二次方程的两个实数根，
∴，
∴；
∵，
∴由根与系数的关系可得，
∴，
∴；
综上所述，或．
25．（本题12分）综合探究：如图，在矩形中，E是对角线上一动点，连接．

(1)【操作探究】
如图①，，过点E作交线段于点F，根据题意在图①中画出，图中的值为 ；
(2)【问题探究】
如图②，，过点E作交线段于点F，探究线段与的数量关系，并说明理由；
(3)【拓展延伸】
如图③，，过点E作交射线于点F，当为等腰三角形时，求的长.
【答案】(1)见解析，1
(2)，理由见解析
(3)或4
【知识点】全等三角形综合问题、相似三角形的判定与性质综合、等腰三角形的性质和判定、根据正方形的性质证明
【分析】本题主要考查了矩形和正方形的性质及判定，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，根据等腰三角形的判定和性质求边长，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用．
（1）根据题意画出图形即可，过点作于点，过点作于点，根据条件得出四边形为正方形，证明即可求解；
（2）过点E作分别交于点M，N，则四边形是矩形，证明和，利用对应边成比例即可求解；
（3）分情况进行讨论，当点F在线段上时，过点E作分别交于点M，N，连接交于点H，证明，得出对应角相等，利用勾股定理求出相关线段的长度，用表示出相关线段的长度，证明，，，利用对应边成比例列出方程进行求解即可；当点F在的延长线上时，延长交于点H，找出相等角，利用等角对等边进行求解即可．
【详解】（1）解：画出如图①，理由如下：

过点作于点，过点作于点，
在矩形中，当时，四边形为正方形，
∴平分对角，
∴，
又∵，
∴四边形为正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：1；
（2）解：，理由如下：
如图②，过点E作分别交于点M，N，则四边形是矩形.

∵，
∴.
∵，
∴，
∴，
∴ ，
∵,
∴，
∴,
∴ ,
∴ ；
（3）解：当点F在线段上时，如图③，过点E作分别交于点M，N，连接交于点H.

∵，
∴当为等腰三角形时，则有.
在和中
∴，
∴，
∵在矩形中，，
由勾股定理得，
∴，
∴.
∵，
∴，
∴,
∴ ，即，
∴， ，
∴， ，
由(2)知，
∴ ，即 ，化简得，
∴.
又∵，
∴，
∴，

∴ ，即 ，解得(已舍去)；
当点F在的延长线上时，如图④，延长交于点H．

∵，
∴当为等腰三角形时，则有，
∵，
∴，
∴，
∴.
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴.
综上所述，当为等腰三角形时，的长为或4．
试卷第1页，共3页
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
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