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保密★启用前
2026年贵州省中考数学模拟试卷二
考试时间：120分钟；试卷分值：150分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
一、单选题
1．的相反数是（ ）
A． B． C． D．2026
2．下列图形中，是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
3．单项式的次数为（ ）
A． B． C． D．
4．下列各图中，和互为余角的是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，点在一条直线上，，，则的长是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
6．若，那么下列各式中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．一个不透明布袋中有2个红球，3个白球，这些球除颜色外无其他差别，摇匀后从中随机摸出一个小球，该小球是红色的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．如图所示，四边形是菱形，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
9．在小孔成像问题中，根据如图所示，蜡烛长，若O到的距离是，O到的距离是，则像的长是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，扇形的半径为2，圆心角为，连接，则阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
11．如图，在中，，，以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点M，N；再分别以点M，N为圆心，大于同样长为半径作弧，两弧交于点D，作射线，交于点E，过点E作于F．则下列结论中错误的是（ ）
A． B． C． D．
12．已知二次函数图象的对称轴为直线，部分图象如图所示，下列结论中：①；②；③；④，是函数图象上两点，且，那么．其中正确的结论有（ ）
A．①②③ B．②③ C．②③④ D．③④
二、填空题
13． ．
14．若，满足方程组，则的值为 ．
15．《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到900里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间，设规定时间为天，则可列出关于的分式方程为 ．
16．如图，是直角三角形，，，，平面内一点D，满足，连接并延长至点E，且，则线段的最小值是 ．
三、解答题
17．（1）计算：；
（2）先化简，再求值：，其中．
18．如图所示，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限的点和点，过点作轴的垂线，垂足为点，的面积为4．
(1)分别求出反比例函数与一次函数的表达式；
(2)求的面积．
(3)结合图象直接写出中的取值范围．
19．如图，为厚植学生的家国情怀，某校专门举办了“国之重器·强军梦”主题国防教育展．展厅里陈列着4件等比例缩小的立体模型，分别是A东风-17高超音速导弹、B巨浪-3潜射洲际导弹、C红旗-29反导系统、D歼-35隐身舰载战斗机，学校还制作成与模型一一对应的四张小卡片，参观活动设置惊喜福利：每位同学可以从A、B、C、D四张卡片中分2次随机抽取2张即赠送对应的2件小模型（除图案外每张卡片完全相同，背面朝上）．
(1)甲同学第一次就抽到模型A的概率是______；
(2)若按照“先抽1张不放回，再抽第2张”的方式赠送2件模型，请用列表或画树状图的方法，求乙同学抽到的2件模型中包含A的概率；
(3)甲、乙两名同学都很想拿到模型A，两人约定都从四张卡片中随机抽取1张，直接写出至少有一人抽到模型A的概率．
20．如图，在四边形中，，点为对角线的中点，过点作分别交的延长线、边于点，连接．
(1)求证：四边形为菱形；
(2)交边于点，若，，求的长．
21．国庆期间，庐山某文创店用500元购进的A款文创产品和用750元购进的B款文创产品的数量相同，每件B款文创产品的进价比A款文创产品的进价多5元．
(1)求A，B两款文创产品每件的进价；
(2)根据市场需求，该商店计划再用不超过1320元的总费用购进这两款文创产品共100件进行销售，求B款文创产品最多购进多少件？
22．2025年是中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，我国于9月3日在天安门广场阅兵，56门礼炮，80响轰鸣，寓意着56个民族共同抗击日本侵略者进行了艰苦卓绝的斗争．下图①是礼炮图片，图②是礼炮抽象示意图，已知是水平线，，，，的仰角分别是和，，，且．
(1)求点A的铅直高度；
(2)求A，E两点的水平距离．
（以上结果精确到．参考数据：，，．）
23．石碾，是一种用石头和木材等制作的破碎或去皮工具，如图，为石碾抽象出来的模型，是的直径，为的切线，点是上的一点，连接并延长与的延长线交于点，连接，已知．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的半径长．
24．综合与实践
太阳能灶（如图1）是利用旋转抛物面凹面镜（截面呈抛物线形）把太阳能收集起来，用于做饭、烧水的一种灶具．图2是该太阳能灶采光面凹面所在抛物线的对称轴垂直于地面时的示意图．若该抛物线最低点O到支点A的距离，太阳能灶采光面凹面深度，为部分支架，且，．若以点O为原点，支架所在直线为x轴，抛物线的对称轴（直线）为y轴建立平面直角坐标系，这条抛物线表示的二次函数为．
(1)求太阳能灶采光面的直径．
(2)求支架所在直线的函数表达式．
(3)如图3，为保证抗风稳定性，现需在镜面（抛物线）和支架间焊接支架，且于点Q，于点N，．若设点M的横坐标为m，求支架长度的最小值．
25．综合探究：如图，在矩形中，E是对角线上一动点，连接．

(1)【操作探究】
如图①，，过点E作交线段于点F，根据题意在图①中画出，图中的值为 ；
(2)【问题探究】
如图②，，过点E作交线段于点F，探究线段与的数量关系，并说明理由；
(3)【拓展延伸】
如图③，，过点E作交射线于点F，当为等腰三角形时，求的长.
试卷第1页，共3页
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
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2026年贵州省中考数学模拟试卷二答案解析
考试时间：120分钟；试卷分值：150分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
一、单选题
1．的相反数是（ ）
A． B． C． D．2026
【答案】D
【知识点】相反数的定义
【分析】本题考查了相反数的概念．只有符号不同的两个数叫做互为相反数，据此求解即可．
【详解】解：的相反数是2026．
故选：D．
2．下列图形中，是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】中心对称图形的识别
【分析】本题主要考查了中心对称图形的识别，解题的关键是掌握中心对称图形的定义．
根据中心对称图形的定义逐项进行判断即可，即在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．
【详解】解：A.该选项是中心对称图形，符合题意；
B. 该选项不是中心对称图形，不符合题意；
C. 该选项不是中心对称图形，不符合题意；
D. 该选项不是中心对称图形，不符合题意；
故选：A．
3．单项式的次数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】单项式的系数、次数
【分析】本题考查了单项式次数的定义，掌握单项式的次数是指单项式中所有字母的指数和是解题的关键．根据单项式次数的定义求解即可．
【详解】解：单项式的次数是指单项式中所有字母的指数和，
单项式的次数为．
故选：B．
4．下列各图中，和互为余角的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】与余角、补角有关的计算
【分析】本题考查了余角，根据余角的定义即可判断求解，熟练掌握知识点是解题的关键．
【详解】解：四个选项中只有选项满足，即和互为余角，
故选：．
5．如图，点在一条直线上，，，则的长是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【知识点】全等三角形的性质
【分析】本题考查了全等三角形的性质．先根据全等三角形的性质得到，则可判断，然后利用可求出的长．
【详解】解：∵，
∴，
即，
∴，
∵，
故选：C．
6．若，那么下列各式中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】不等式的性质
【分析】本题考查不等式的基本性质．
根据不等式两边同时乘以负数时不等号方向改变，可判断选项A正确，根据不等式两边同时减去同一数时不等号方向不变，可判断选项B错误，根据不等式两边同时乘以一个正数，不等号方向应不变，可判断选项C错误，根据不等式两边同时除以一个正数，不等号方向应不变，可判断选项D错误．
【详解】解：∵，∴，A正确；
∵，∴，B错误；
∵，∴，C错误；
∵，∴，D错误；
故选：A．
7．一个不透明布袋中有2个红球，3个白球，这些球除颜色外无其他差别，摇匀后从中随机摸出一个小球，该小球是红色的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】根据概率公式计算概率
【分析】本题考查随机事件概率的计算，根据概率公式事件A可能出现的结果数所有可能出现的结果数求解即可．
【详解】解：∵布袋中有2个红球，3个白球，
∴球的总个数为个，
∵从中随机摸出一个红球的可能结果数为2，
∴P(摸出红球)
故选：D．
8．如图所示，四边形是菱形，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】等边对等角、利用菱形的性质求角度、三角形内角和定理的应用
【分析】本题主要考查了菱形的性质，等边对等角和三角形内角和定理，由菱形的性质可得，再由等边对等角和三角形内角和定理可得答案．
【详解】解：∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
9．在小孔成像问题中，根据如图所示，蜡烛长，若O到的距离是，O到的距离是，则像的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】相似三角形实际应用
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，确定正确的相似比是解题的关键．先证明，再由题意得出相似比为，最后根据相似三角形的性质及，求出．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵O到的距离是，O到的距离是，
∴相似比为，
∴，
∵，
∴．
故选：B．
10．如图，扇形的半径为2，圆心角为，连接，则阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】求扇形面积、求其他不规则图形的面积
【分析】本题主要考查了扇形面积的计算，从图中可以看出阴影部分的面积是扇形的面积减去直角三角形的面积是解题的关键．
由圆心角为可知为等腰直角三角形，而．然后根据扇形和直角三角形的面积公式计算即可．
【详解】解：由题意可知：圆心角为，，
∴为等腰直角三角形，
∴．
故选：A．
11．如图，在中，，，以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点M，N；再分别以点M，N为圆心，大于同样长为半径作弧，两弧交于点D，作射线，交于点E，过点E作于F．则下列结论中错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】角平分线的性质定理、作角平分线(尺规作图)、含30度角的直角三角形
【分析】本题考查了基本作图，角平分线的性质，等腰三角形三线合一的性质，含30度角的直角三角形的性质，由作图可知，射线平分，即可判断选项A；根据角平分线的性质可得，即可判断选项B；根据等腰三角形三线合一的性质，含30度角的直角三角形的性质推出，即可判断选项C；根据含30度角的直角三角形的性质推出，再根据，即可判断选项D．
【详解】解：由作图可知，射线平分，
∴，
故选项A正确，不符合题意；
∵即，，
∴，
故选项B正确，不符合题意；
∵在中，，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选项C正确，不符合题意；
∵，，
∴，
∵，
∴，
故选项D错误，符合题意．
故选：D．
12．已知二次函数图象的对称轴为直线，部分图象如图所示，下列结论中：①；②；③；④，是函数图象上两点，且，那么．其中正确的结论有（ ）
A．①②③ B．②③ C．②③④ D．③④
【答案】B
【知识点】二次函数图象与各项系数符号、抛物线与x轴的交点问题、y=ax +bx+c的图象与性质、根据二次函数的图象判断式子符号
【分析】根据抛物线的对称性，抛物线与x轴的交点，抛物线的增减性等解答即可.
本题考查了抛物线的对称性，抛物线与坐标轴的交点，抛物线与各项系数的符号关系，抛物线的增减性，熟练掌握性质是解题的关键.
【详解】解：∵二次函数开口向上，
∴，
∵对称轴为直线，
∴,
∴，
∵抛物线与y轴的交点位于负半轴上，
∴，
∴；
故①错误；
∵对称轴为直线，
∴,
∴，
∴，
故②正确；
∵位于二次函数与x轴的右交点的右侧，
∴根据函数的增减性，得时的函数值大于0，
当时，，
∴
故③正确；
∵在对称轴的右侧，
∴y随x的增大而增大，
∴，
故④错误；
故选：B．
二、填空题
13． ．
【答案】
【知识点】二次根式的乘法
【分析】本题考查了二次根式的乘法，根据二次根式的乘法法则计算求解，即可解题．
【详解】解：．
故答案为：．
14．若，满足方程组，则的值为 ．
【答案】2
【知识点】加减消元法
【分析】本题考查解二元一次方程组，掌握相关知识是解决问题的关键．通过将方程组中的两个方程相加，得到，进而求出的值．
【详解】解：给定方程组
将①和②相加，得
∴．
故答案为：2．
15．《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到900里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间，设规定时间为天，则可列出关于的分式方程为 ．
【答案】
【知识点】分式方程的行程问题
【分析】本题主要考查了分式方程解决应用题，理解题意建立等量关系是关键．
由题意可得，快马所需的时间为天，慢马所需的时间为天，再根据快马的速度是慢马的2倍列出方程即可．
【详解】解：由题意可得：快马所需的时间为天，则快马速度为里/天，慢马所需的时间为天， 则慢马速度为里/天，根据快马的速度是慢马的2倍可得方程：
，
故答案为：．
16．如图，是直角三角形，，，，平面内一点D，满足，连接并延长至点E，且，则线段的最小值是 ．
【答案】6
【知识点】根据矩形的性质与判定求线段长、相似三角形的判定与性质综合
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，由，，得到，根据相似三角形的性质得到．以点A为圆心，2为半径作，则C，D都在上，延长到，使，交于，，，得到，根据相似三角形的性质得到，推出点E在过点F且与垂直的直线上运动，过点B作，垂足为，即为最短的，证明四边形是矩形即可得出结论．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∴，
如图，以点A为圆心，2为半径作，则C，D都在上，延长到，使，交于，连接，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点E在过点F且与垂直的直线上运动，
过点B作，垂足为，即为最短的，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴的最小值为6，
故答案为：6．
三、解答题
17．（1）计算：；
（2）先化简，再求值：，其中．
【答案】
（1）；（2），
【知识点】分式化简求值、特殊角三角函数值的混合运算、实数的混合运算、零指数幂
【分析】本题考查了分式的化简求值，实数的混合运算，涉及负整数指数幂、算术平方根、零指数幂、特殊角的三角函数值，掌握相关运算法则是解题的关键．
（1）先计算负整数指数幂、算术平方根、零指数幂、特殊角的三角函数值，再计算加减运算即可；
（2）先根据分式的运算法则化简原式，再代入给定的值计算即可．
【详解】解：（1）原式
；
（2）原式
，
当时，
原式．
18．如图所示，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限的点和点，过点作轴的垂线，垂足为点，的面积为4．
(1)分别求出反比例函数与一次函数的表达式；
(2)求的面积．
(3)结合图象直接写出中的取值范围．
【答案】(1)，
(2)15
(3)或
【知识点】反比例函数与几何综合、一次函数与反比例函数的交点问题、求一次函数解析式、求反比例函数解析式
【分析】本题考查了求反比例函数，一次函数的解析式，反比例函数与几何综合，一次函数与反比例函数的交点问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）理解题意，根据的面积为4．得出，又因为反比例函数图象在第二、四象限，得出，再分别求出，，最后代入，求解出，即可作答．
（2）先求出，再分别把数值代入的面积计算，即可作答．
（3）运用数形结合思想，得出符合题意的的取值范围，即可作答．
【详解】（1）解：∵过点作轴的垂线，垂足为点，的面积为4．
∴
∴，
∵反比例函数图象在第二、四象限，
∴；
∴；
∵，的面积为4．
∴
解得，
即，
把代入，得，
解得，
∴；
把和代入，
得
解得
∴；
（2）解：连接，如图所示：
由（1）得，，，
令则，
解得，
则
∴，
则的面积
；
（3）解：∵，
∴，
依题意，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限的点和点，
则当时，或，
即结合图象当时的取值范围为或，
19．如图，为厚植学生的家国情怀，某校专门举办了“国之重器·强军梦”主题国防教育展．展厅里陈列着4件等比例缩小的立体模型，分别是A东风-17高超音速导弹、B巨浪-3潜射洲际导弹、C红旗-29反导系统、D歼-35隐身舰载战斗机，学校还制作成与模型一一对应的四张小卡片，参观活动设置惊喜福利：每位同学可以从A、B、C、D四张卡片中分2次随机抽取2张即赠送对应的2件小模型（除图案外每张卡片完全相同，背面朝上）．
(1)甲同学第一次就抽到模型A的概率是______；
(2)若按照“先抽1张不放回，再抽第2张”的方式赠送2件模型，请用列表或画树状图的方法，求乙同学抽到的2件模型中包含A的概率；
(3)甲、乙两名同学都很想拿到模型A，两人约定都从四张卡片中随机抽取1张，直接写出至少有一人抽到模型A的概率．
【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】列表法或树状图法求概率、根据概率公式计算概率
【分析】本题考查树状图或列表法求概率，正确的画出树状图，列出表格，熟练掌握概率公式是解题的关键：
（1）直接利用概率公式进行计算即可；
（2）根据题意，画出树状图，进行求解即可；
（3）根据题意，列出表格，进行求解即可．
【详解】（1）解：由题意，甲同学第一次就抽到模型A的概率是；
（2）解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中抽到的2件模型中包含A的有6种结果，
∴P（抽到的2件模型中包含A）；
（3）解：由题意，列表如下：
A B C D
A A，A A，B A，C A，D
B B，A B，B B，C B，D
C C，A C，B C，C C，D
D D，A D，B D，C D，D
共有16种等可能的结果，其中至少有一人抽到模型A的结果有7种，
∴
20．如图，在四边形中，，点为对角线的中点，过点作分别交的延长线、边于点，连接．
(1)求证：四边形为菱形；
(2)交边于点，若，，求的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【知识点】根据菱形的性质与判定求线段长、已知正切值求边长、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、证明四边形是平行四边形
【分析】（1）根据平行线的性质及中点的定义得，，证明得，证明四边形是平行四边形，再根据菱形的判定即可得证；
（2）根据菱形的性质得，再根据正切的定义得，代入数据可得答案．
【详解】（1）证明：∵，即，
∴，
∵点为对角线的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形；
（2）解：∵四边形是菱形，
∴，
∵，，，
∴在中，，
∴．
【点睛】本题考查菱形的判定与性质，平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义等知识点，掌握菱形的判定与性质及锐角三角函数的定义是解题的关键．
21．国庆期间，庐山某文创店用500元购进的A款文创产品和用750元购进的B款文创产品的数量相同，每件B款文创产品的进价比A款文创产品的进价多5元．
(1)求A，B两款文创产品每件的进价；
(2)根据市场需求，该商店计划再用不超过1320元的总费用购进这两款文创产品共100件进行销售，求B款文创产品最多购进多少件？
【答案】(1)A款文创产品每件的进价是元，B款文创产品每件的进价是元
(2)最多可以购进件B款文创产品
【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、分式方程的经济问题
【分析】本题主要考查分式方程的实际应用，一元一次不等式的应用；
（1）设款文创产品每件的进价是元，则款文创产品每件的进价是元，利用数量总价单价，结合用500元购进的A款文创产品和用750元购进的B款文创产品的数量相同，每件B款文创产品的进价比A款文创产品的进价多5元，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出x的值，再将其代入中，即可求出结果；
（2）设购进件款文创产品，则购进件款文创产品，根据总价等于单价乘以数量，结合不超过1320元，列出一元一次不等式，计算求解取最大值即可．
【详解】（1）解：设款文创产品每件的进价是元，则款文创产品每件的进价是元，
由题意得：，解得：
经检验，是原方程的解，且符合题意
元
答：款文创产品每件的进价是元，款文创产品每件的进价是元．
（2）解：设购进件款文创产品，则购进件款文创产品，由题意得：
，
解得：，
∴的最大值为．
答：最多可以购进件款文创产品．
22．2025年是中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，我国于9月3日在天安门广场阅兵，56门礼炮，80响轰鸣，寓意着56个民族共同抗击日本侵略者进行了艰苦卓绝的斗争．下图①是礼炮图片，图②是礼炮抽象示意图，已知是水平线，，，，的仰角分别是和，，，且．
(1)求点A的铅直高度；
(2)求A，E两点的水平距离．
（以上结果精确到．参考数据：，，．）
【答案】(1)点A的铅直高度是
(2)A，E两点的水平距离约为
【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用)、含30度角的直角三角形
【分析】本题考查了含的直角三角形的性质和解直角三角函数的应用，作出正确的辅助线是解决本题的关键．
（1）作，，，垂足分别为点G，H，M，根据含的直角三角形的性质可得，再在中运用三角函数进而即可求解；
（2）在中，根据含的直角三角形的性质可得，最后在中运用三角函数进而即可求解．
【详解】（1）解：如图，作，，，垂足分别为点G，H，M，
在中，， ，
，
，
在中，，
，
．
点A的铅直高度是；
（2）解：在中，，
在中，，
，
，
答：A，E两点的水平距离约为．
23．石碾，是一种用石头和木材等制作的破碎或去皮工具，如图，为石碾抽象出来的模型，是的直径，为的切线，点是上的一点，连接并延长与的延长线交于点，连接，已知．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的半径长．
【答案】(1)证明见详解；
(2)
【知识点】切线的性质和判定的综合应用、解直角三角形的相关计算、全等的性质和SAS综合（SAS）
【分析】本题考查切线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、锐角三角函数的应用，关键是掌握切线的判定定理，利用全等三角形证明垂直关系，结合直角三角形的特殊性质建立方程求解．
（1）通过连接，利用平行线性质、等腰三角形性质证明，得到，从而证明，证得是的切线；
（2）先由的值得出，利用切线长定理得到，再结合三角函数求出的长度，利用直角三角形中角的性质得到，结合的表达式建立方程求解半径．
【详解】（1）证明：连接，
∵是的切线，
∴，即，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，即，
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）解：设的半径为，则，
∵，
∴，
∵、是的切线，
∴，
∵在中，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
即，解得，
故的半径长为2．
24．综合与实践
太阳能灶（如图1）是利用旋转抛物面凹面镜（截面呈抛物线形）把太阳能收集起来，用于做饭、烧水的一种灶具．图2是该太阳能灶采光面凹面所在抛物线的对称轴垂直于地面时的示意图．若该抛物线最低点O到支点A的距离，太阳能灶采光面凹面深度，为部分支架，且，．若以点O为原点，支架所在直线为x轴，抛物线的对称轴（直线）为y轴建立平面直角坐标系，这条抛物线表示的二次函数为．
(1)求太阳能灶采光面的直径．
(2)求支架所在直线的函数表达式．
(3)如图3，为保证抗风稳定性，现需在镜面（抛物线）和支架间焊接支架，且于点Q，于点N，．若设点M的横坐标为m，求支架长度的最小值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】y=ax +bx+c的图象与性质、相似三角形的判定与性质综合、求一次函数解析式
【分析】本题考查了二次函数的应用，理解题意，熟练进行计算是解题的关键．
（1）根据题意，令即可解答；
（2）利用待定系数法即可解答；
（3）过点作轴，交于点，利用勾股定理可得，进而得到，得到的最小值为，再证，得到，解得即可求解．
【详解】（1）解：当时，．
解，得，．
．
答：太阳能灶采光面的直径为100cm．
（2），，．
．
．
由，得．
设支架所在直线的函数表达式为．
∵直线经过点，点，
，解得
∴支架所在直线的函数表达式为．
（3）过点作轴，交于点．
在中，由勾股定理，得．
∵点在抛物线上，点的横坐标为，轴．
，．
．
．
，
∴当时，的长度有最小值，最小值为．
轴，
．
又，
．
．
．
∴支架的长度的最小值为．
25．综合探究：如图，在矩形中，E是对角线上一动点，连接．

(1)【操作探究】
如图①，，过点E作交线段于点F，根据题意在图①中画出，图中的值为 ；
(2)【问题探究】
如图②，，过点E作交线段于点F，探究线段与的数量关系，并说明理由；
(3)【拓展延伸】
如图③，，过点E作交射线于点F，当为等腰三角形时，求的长.
【答案】(1)见解析，1
(2)，理由见解析
(3)或4
【知识点】全等三角形综合问题、相似三角形的判定与性质综合、等腰三角形的性质和判定、根据正方形的性质证明
【分析】本题主要考查了矩形和正方形的性质及判定，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，根据等腰三角形的判定和性质求边长，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用．
（1）根据题意画出图形即可，过点作于点，过点作于点，根据条件得出四边形为正方形，证明即可求解；
（2）过点E作分别交于点M，N，则四边形是矩形，证明和，利用对应边成比例即可求解；
（3）分情况进行讨论，当点F在线段上时，过点E作分别交于点M，N，连接交于点H，证明，得出对应角相等，利用勾股定理求出相关线段的长度，用表示出相关线段的长度，证明，，，利用对应边成比例列出方程进行求解即可；当点F在的延长线上时，延长交于点H，找出相等角，利用等角对等边进行求解即可．
【详解】（1）解：画出如图①，理由如下：

过点作于点，过点作于点，
在矩形中，当时，四边形为正方形，
∴平分对角，
∴，
又∵，
∴四边形为正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：1；
（2）解：，理由如下：
如图②，过点E作分别交于点M，N，则四边形是矩形.

∵，
∴.
∵，
∴，
∴，
∴ ，
∵,
∴，
∴,
∴ ,
∴ ；
（3）解：当点F在线段上时，如图③，过点E作分别交于点M，N，连接交于点H.

∵，
∴当为等腰三角形时，则有.
在和中
∴，
∴，
∵在矩形中，，
由勾股定理得，
∴，
∴.
∵，
∴，
∴,
∴ ，即，
∴， ，
∴， ，
由(2)知，
∴ ，即 ，化简得，
∴.
又∵，
∴，
∴，

∴ ，即 ，解得(已舍去)；
当点F在的延长线上时，如图④，延长交于点H．

∵，
∴当为等腰三角形时，则有，
∵，
∴，
∴，
∴.
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴.
综上所述，当为等腰三角形时，的长为或4．
试卷第1页，共3页
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
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