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广西柳州地区民族高级中学2025-2026学年下学期期中考试高二数学试题
一、单选题
1．已知函数，则（ ）
A． B．
C． D．
2．某学校读书节活动中，甲、乙、丙3个班级各有2位同学获奖，现将这6人排成一排拍照，则同一班级的两位同学均站在一起的排法共有（ ）
A．96种 B．48种 C．24种 D．144种
3．若随机变量X的概率分布表如下：
X 0 1
P 0.4
则（ ）
A．0.5 B．0.42 C．0.24 D．0.16
4．已知函数在处的切线方程为，则的值为（ ）
A． B．3 C．4 D．5
5．某次考试有10000人参加，若他们的成绩近似服从正态分布，则分数在之间的考生约有（ ）（参考数据：若，则有，
A．1359人 B．1569人 C．2719人 D．3409人
6．已知函数有三个极值点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．已知甲盒中有5个白球、5个黑球，乙盒中有1个黑球，所有球除颜色外均相同，每次从甲盒中随机取出2个球放入乙盒中，当两个盒子中黑球个数相等或甲盒中的球全部取出时停止取球.已知第2次取出的球放入乙盒后停止取球，则第1次取出的是2个白球的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．已知定义在上的函数的导函数为，若，且，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列说法中正确的是（ ）
A．某学校高二年级数学课外活动小组中有男生5人，女生3人，从中选2人，1人做正组长，1人做副组长，共有64种不同的选法
B．线性回归分析中可以用决定系数来刻画回归的效果，若的值越小，则模型的拟合效果越好
C．对具有线性相关关系的变量，其线性回归方程为，若样本点的中心为，则实数的值是-4
D．以模型去拟合一组数据时，为了求出经验回归方程，设，求得线性回归方程为，则的值分别是和2
10．设，则下列说法正确的有（ ）
A．的展开式中所有项的系数的和为1
B．
C．
D．
11．对于函数，下列说法正确的有（ ）
A．在上单调递减，在上单调递增
B．
C．设有3个不同的零点，则
D．设，若对，使成立，则
三、填空题
12．的展开式中的系数为__________.（用数字作答）
13．某超市有两个人工收银区和一个自助收银区，通过统计，顾客在区进行付款的概率分别为，在区付款时购买该超市提供的环保购物袋的概率分别为，若顾客从该超市购物且购买了环保购物袋的概率为，则实数__________.
14．不等式对任意的恒成立，则的取值范围为__________.
四、解答题
15．已知函数.
(1)求单调区间；
(2)求在区间上的最大值和最小值.
16．某校手工社团开展“非遗作品闯关”活动，需依次按顺序完成A（剪纸 窗花），B（陶艺 杯盏），C（刺绣 团扇）三个手工作品，只有完成当前作品，才有资格制作下一个作品.已知该校手工社团某成员完成各个作品的概率和完成时获得的积分如下表，各个手工作品能否完成相互独立.
手工作品 完成的概率 获得的积分
A 0.8 200
B 0.5 600
C 0.4 1200
(1)求该成员未获得制作手工作品C的资格的概率；
(2)设该成员获得的总积分为，求的分布列及均值.
17．下表是某品牌净化器的年销售量与年份的统计表.
年份 2021 2022 2023 2024 2025
年份代码 1 2 3 4 5
年销售量（万台） 2 3.5 2.5 8 9
(1)计算净化器的年销售量关于年份代码的线性回归方程；
(2)为了调查两地区人群对该品牌净化器的了解情况，调查机构在两地区的人群中分别进行品牌知晓情况的问卷调查.统计知晓与不知晓的人数，得到如下列联表.根据小概率值的独立性检验，判断两地区的人群对该品牌净化器的知晓情况是否有显著差异.
知晓 不知晓 合计
地区 80 20 100
地区 40 60 100
合计 120 80 200
附：关于回归方程，回归系数的计算公式，其中为样本点的中心， ；的计算公式；
0.05 0.01 0.001
3.841 6.635 10.828
18．2025年1月下旬，DeepSeek的R1模型发布，该模型在全球范围内引发广泛关注.现为了对其产品用户的使用行为进行统计分析，收集了1000名用户的每日使用时长（单位：分钟），得到如下所示的频率分布直方图，每日使用时长不小于60分钟的用户称为“忠实粉丝”.
(1)求的值；
(2)现采用分层抽样的方法从样本中使用时长在的用户中随机抽取7人，并从中随机抽取2人作进一步分析，记为2人中忠实粉丝的人数，求的分布列和期望.
(3)用样本的频率估计概率，从该产品所有用户中抽取5人，为忠实粉丝的人数，记时对应的概率为，则为多少时最大？
19．已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)对于，，求实数的取值范围．
参考答案
1．C
【详解】因为，
所以
故选：C.
2．B
【详解】根据题意，把甲、乙、丙3个班的各两名同学看成一个元素，共有种不同的排法，
再对每个班级中的两位同学进行全排列，各个班级中都有种不同的排法，
由分步计数原理得，共有种不同的排法.
3．C
【详解】根据概率的性质可得，
所以，
所以，
故选:C.
4．B
【详解】因为，所以，
又因为函数在处的切线方程为，
所以，所以，则，所以，
将点代入切线方程得，即，所以.
5．A
【详解】由成绩近似服从正态分布，得，
则，
则，所以分数在之间的考生约有1359人.
6．A
【详解】对求导得
有三个极值点有三个不同实根，整理得 ，
设，
时，，单调递减；时，，单调递增；时，，单调递减
因此的极小值为，极大值为 ；且当时，时，恒大于0
要使 有三个不同实根，则.
7．A
【详解】记第2次取出的球放入乙盒后停止取球为事件，第1次取2白球为事件.
则，
，
所以.
故第2次取出的球放入乙盒后停止取球，则第1次取出的是2个白球的概率为.
8．D
【详解】设，则.
因为，所以，即，所以在上单调递减.
不等式等价于不等式，即.
因为，所以，所以.
因为在上单调递减，所以，解得.
9．CD
【详解】对A：可以看作从8个人中取2个人的排列，故有种不同的选法，A错误；
对B：线性回归分析中可以用决定系数来刻画回归的效果，若的值越大，则模型的拟合效果越好，B错误；
对C：由题知，解得，C正确，
对D：以模型去拟合一组数据时，为了求出经验回归方程，设，
则，由题线性回归方程为，则，故的值分别是和2，D正确.
10．ABC
【详解】对于A，取，得的展开式中所有项的系数的和为，A正确；
对于B，取，得，B正确；
对于C，取，得，而，
因此，C正确；
对于D，依题意，，当为偶数时，，当为奇数时，，
因此，D错误.
11．BCD
【详解】函数的定义域为，
求导得，
令，解得，即，
当时，，故，单调递减；
当时，，，故，单调递减；
当时，，，故，单调递增；
选项A：不在函数定义域内，故在上单调递减表述错误；
选项B：由函数的单调性可知上单调递减，在单调递增，
，且，，故B正确；
选项C：方程有3个不同的零点，
等价于有3个不同的实根；
当时，，，此时单调递减，单调递增；
且时，，时，；
当时，且单调递减，，时，
时取极小值；
当时，且单调递增，，时；
要使与有3个交点，直线必须处于与之间，且不能低于
极小值，
需满足，解得，故C正确；
选项D：由题意知，的值域是在上值域的子集，
在上恒成立，故在上单调递增，
，即的值域为；
由单调性可知，在处取得极小值，，且时，
，
的值域为，
要使，则需满足，故D正确．
12．16
【详解】考虑二项式展开式的通项为，
当时，该项为；当时，该项为；
因此展开式中项为，
所以展开式中的系数为16.
13．
【详解】由题意可知顾客在区进行付款的概率分别为，
设顾客从该超市购买了环保购物袋为事件，
由题意可知 ，
则
，解得.
14．
【详解】由不等式 对任意 恒成立，
因为，变形得：恒成立，
构造函数，
求导得： ，
令 ，得 ，即 ，
当 时，，单调递增；
当 时，，单调递减，
在 处取最大值：，
因此 ，即的取值范围是 .
15．(1)递增区间为，递减区间为；
(2)最大值为2，最小值为.
【详解】（1）函数的定义域为R，求导得，
由，得或；由，得，
所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为.
（2）由（1）知，在上单调递增，在上单调递减，
而，，
则，，
所以在区间上的最大值和最小值分别为.
16．(1)0.6
(2)分布列见解析，592
【详解】（1）分别用表示完成三个手工作品的事件，则相互独立.
用表示该成员未获得制作手工作品C的资格，
则.
（2）的可能取值为
则的分布列为
0 200 800 2000
0.2 0.4 0.24 0.16
.
17．(1)
(2)两地区的人群对该品牌净化器的知晓情况有显著差异.
【详解】（1）由表可知，样本中心为：
，
，
则，.
可得净化器的年销售量关于年份代码的线性回归方程为：
（2）设零假设两地区的人群对该品牌净化器的知晓情况没有显著差异
.
因为，
所以，在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为不成立，即两地区的人群对该品牌净化器的知晓情况有显著差异.
18．(1)
(2)分布列见解析，
(3)
【详解】（1）由，解得.
（2）由频率分布直方图可知，[40,60）与[80,100）的用户数之比为3：4，
所以用分层抽样抽取的7人中，有4人是忠实粉丝，从7人中任取2人，取0，1，2，
，
所以的分布列为
0 1 2
所以
（3）用样本的频率估计概率，从所有用户中任取1人，他为忠实粉丝的概率为
所以
，
解得：，又，故时概率最大
19．(1)时在上单调递减，
时在上单调递减，在上单调递增
(2)
【详解】（1）由且，
当时，，则在上单调递减，
当时，时，时，
所以在上单调递减，在上单调递增，
综上，
时在上单调递减，
时在上单调递减，在上单调递增；
（2）由题设，恒成立，
由（1）知，时，即在上单调递减，
此时，只需，
所以，显然不成立；
时，在上单调递减，在上单调递增，
若，则在上单调递增，此时，
只需，
若，则在上单调递减，在上单调递增，
所以，
只需，而且，显然不满足前提，
若，则在上单调递减，此时，
所以不满足前提，
综上，.

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