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高二下学期期中考试
数 学
时量:120分钟 满分:150分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合A={x∈N||x-3|<2},则集合A 的子集个数为
A.2 B.4
C.8 D.16
2.已知向量=(1,λ),=(4,-λ),则“λ=2”是“⊥”的
A.充分不必要条件
B.充要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
3.在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C所对的边,且(b+a)(b-a)=c(b-c),则A=
A.π6 B.π3
C. π3 D.
4.函数 的定义域为
A.[-2,2] B.(0,2]
C.(-2,1)∪(1,2] D.(0,1)∪(1,2]
5.已知关于x的不等式 的解集为(-∞,-4)∪(1,+∞),则不等式 的解集为
B.
C.
D.
6.已知函数 是奇函数，且 则
A.f(r)B.f(s)C.f(t)D.f(r)7.过某正方体的任意两个顶点作直线，在这些直线中，不同的异面直线共有
A.173对 B.174对
C.183对 D.186对
8.已知双曲线 的左、右焦点分别为 点 P为第一象限内一点，且 O为坐标原点，延长PO交双曲线C的左支于点Q，点M为双曲线C上异于P，Q的任意一点，若直线 PM与QM 的斜率都存在，则直线 PM与QM 的斜率之积为
A.
B.
C.
D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知 F(1,0)是抛物线C 的焦点，M是C上的点，O为坐标原点，l为抛物线的准线，过点 M作MQ⊥l于Q，则
A. p=2
B.
C. 不可能为等边三角形
D.线段 FQ的垂直平分线经过点M
10.某计算机程序每运行一次都会随机出现一个七位二进制数 A=(例如1101010),其中A上的数字 6)出现0的概率为 ，出现1的概率为 记 ，其中X为十进制数，则当程序运行一次时
A.
B. E(X)=2
C.
D.当k=4时,P(X=k)取得最大值
11.函数y=f(x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x)为奇函数，该结论可以推广为：函数y=f(x)的图象关于点P(a，b)或中心对称图形的充要条件是函数y=f(x+a)—b为奇函数.已知函数 则下列说法正确的有
A.若k=1,则函数y=g(x)-2为奇函数
B.若k=1,则 =8104
C.函数g(x)的图象一定存在对称中心
D. x∈R,都有 成立
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.曲线y= xlnx在点P(e,e)处的切线方程为 .
13.已知 的最小值为 .
14.甲、乙、丙、丁四人相互传球，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外三个人中的任何一个人.第1次由甲将球传出，则第2次传球后球在甲手中的概率是 ；第 n 次传球后球在甲手中的概率是 .
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分13分)
为响应国家自主研发创新的号召，国内某工厂开发了一种新型机床产品，为评估新型机床的生产能力，现从新型国产机床和原有的进口机床所生产的产品中各抽取了250件，对两台机床的产品进行检验，得到如下列联表：
机床类型 产品质量 合计
良品 次品
新型国产机床 175 75 250
原有进口机床 150 100 250
合计 325 175 500
(1)以频率估计概率，估计新型国产机床的次品率；
(2)根据小概率值α=0.05的独立性检验，能否判断产品的质量与使用机床的类型有关.
附： 其中n=a+b+c+d.
α 0.05 0.01 0.001
3.841 6.635 10.828
16.(本小题满分15分)
已知椭圆 经过点 为椭圆的左、右两个焦点，
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过右焦点 作直线l与椭圆C交于A，B两点(点A位于x轴上方)，是否存在直线 l，使得 若存在，请求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.
17.(本小题满分15分)
在直三棱柱 中， 点D，E分别是线段 的中点，动点 P 在三角形 及其内部，且满足
(1)证明:直线
(2)求动点 P 的轨迹及其长度；
(3)求直线 BP 和平面 所成角的正弦值的最大值.
18.(本小题满分17分)
已知数列 满足 且
(1)证明:数列 为等比数列；
(2)求数列 的通项公式；
(3)若数列 的前n项和为 数列 满足 证明：数列 中任意不同的三项都不能构成等差数列.
19.(本小题满分17分)
已知函数
(1)求 f(x)的单调区间;
(2)当x>1时，g(x)<0恒成立，求实数a 的取值范围；
(3)记 为函数f(x)从小到大的第 个零点，证明：对任意n∈N*都有高二下学期期中考试
数学参考答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
题号
3
6
7
答案
A
B
D
A
B
1.C【解析】集合A={2,3,4},所以集合A共有2-8个子集，
2.A【解析】若λ=2，则a·b=4一4=0，即a⊥b.若4⊥b,则a·b=4一λ2=0，解得入=士2.故“λ=2”是“a⊥b”
的充分不必要条件.
3B【解析】由(6十a)(6-a)=c(6-c,得6B-a2=bc-C,即6+2-a2=c,故cosA-十次口=绥=》
2bc
又04.D【解析】由题意：-x2十4≥0，解得一2x2;又x>0且1nx≠0，即x≠1，所以函数f(x)的定义域为(0,1)
U(1,2]
5.A【解析】由不等式ax2+6x十c<0的解集为(-o∞，-4U(1,十o∞)可知a<0,且-=一4十1=一3，=
a
一4，所以b=3a,c=一4a,所以不等式b.x2-cx十a<0可化为a(3x2十4x十1)<0，又a<0,则3.x2十4x十1>0，
解得一1或>一子
6.B【解析】因为函数f(x)是奇函数，则有f(一x)十f(x)=0,
即log(√9x+1+ax)+log(√9x2十1-ax)=log(9x2+1-Q2x2)=0,
所以a2=9,解得a=士3，丈a0,则a=3,
由题意=10g2,s=l6g31=号，
又3log32=log8<2,3l0g3=log27>2,所以广1s
周为√9x干可-3x=r年+3x
1。,函数y=V9x中+3x>0,且在[0，十∞)上单调递增，故函数y=
√9.x2+1一3.x在[0，十o∞)上单调递减，由复合函数的单调性可知，函数f(x)=log（√9x十1一3.x)在
[0,十)上单调递减，所以f(s)f(t)f(r).
7.B【解析】从正方体的8个顶，点中任取4个顶点，共有C种取法，每4个顶，点可分为共面与不共面两种情况，
其中共面的情况包括6个表面和6个对角面共12种情况，此外，每组不共面的4个点构成的四面体中，均有3
组异面直线，所以共有3(C一12)=174对不同的异面直线.
8C【解析】设PF=m,PF:=m,O1=之1PF+PF1=受c
在三角形PF1F2中，由余弦定理可得m2十72一11=4c2,
义m-1=2a,则有m=4c2一4a2,①
又0为FF:的中点，由中线定理可得，得m+㎡=2[(2c)+2]-2,②
@-2X①可得(m-n2=一是+8a2,所以2=号a2,故=号a,
0
易知点P与Q关于原点对称，设P(x1,y1),Q(一2x1,一y),M(x,y),
则·@=二头·士=兰二兰，因为P,Q,M都在双尚线上，
x-x1x十x2-x号
M
所以gr-长(x-a明=g(G-a),所以y-i=(-,
625
则kM·kow
a2=3
高二数学参考答案(T)一1

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