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10.复数——高考数学一轮复习小题练
一、选择题
1．[2025届·辽宁沈阳·模拟考试校考]若复数 z 满足 (1 i) z i ,则复数 z 的共轭复数
对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
1．答案：C
i i 1 i 1 1
解析：因为 (1 i) z i ,所以 z i .
1 i 1 i 1 i 2 2
1 1
所以 z 1 1 i ,对应的点为 ,

,位于第三象限. 2 2 2 2
故选：C.
3 4i
2．[2024秋·高二·湖南株洲·月考校考]若 z ，则 z ( )
1 2i
A. 3 B.3 C. 5 D.5
2．答案：C
z 3 4i 3 4i 1 2i 3 10i 8i
2 5 10i
解析：方法一：因为 1 2i ，
1 2i 1 2i 1 2i 1 4i2 5
所以 z 1 2 22 5 ，
3 4i 3 4i 32 42
方法二： z 5 ，
1 2i 1 2i 12 2 2
故选：C.
3．[2023秋·高三·辽宁朝阳·开学考试联考]已知复数 z 满足 z 1 3i 4 i，则 z
( )
A 1 11 1 11 7 11 7 11． i B． i C． i D． i
8 8 8 8 10 10 10 10
3．答案：D
z 4 i 4 i 1 3i 解析：由题意可得 .
1 3i 1 3i 1 3i
4 12i i 3i2 7 11

1 9i2
i
10 10
故选：D
1
4．[2023秋·高三·辽宁·期中联考]若复数 z （i 为虚数单位）,则 z ( )
2 i
A. 2 1 i B. 2 1 i C. 3 3 i D. 3 3 i
5 5 5 5 5 5 5 5
4．答案：A
1 2 i 2 i 2 1 2 1
解析：因为 z i ,故 z i ,故选 A.
2 i 2 i 2 i 5 5 5 5 5
5．[2024春·高一·浙江杭州·月考联考]已知 z 3i 4 i ,则 z 的虚部为( )
A.2 B.4 C. 2 D.2i
5．答案：A
解析： z 3i 4 i , z 4 2i ,则 z 的虚部为 2.
故选:A.
2 i
6．[2024秋·高三·云南德宏州·开学考试]已知复数 z ，则 z 的虚部为( )
1 i
A. 1 B. 1 C. 1 i D. 1 i
2 2 2 2
6．答案：A
z 2 i (2 i)(1 i) 3 i 3 1 3 1解析：依题意， i，则 z i ，
1 i (1 i)(1 i) 2 2 2 2 2
z 1所以 的虚部为 .
2
故选：A
7．[2024 秋·高二·江苏无锡·月考校考]已知复数 1 i 2 mi 在复平面内对应的点
位于第二象限,则实数m 的取值范围为( )
A. , 2 B. 2, C. , 2 D. 2,2
7．答案：B
解析：因为 1 i 2 mi (2 m) (m 2)i ,
又因为此复数在第二象限,
2 m 0
所以 ,解得m 2 .
m 2 0
故选:B.
5 1 i3
8．[2024春·高二·四川泸州·期末] ( )
(2 i)(2 i)
A.-1 B.1 C.1 i D.1 i
8．答案：C
5 1 i3 5(1 i)
解析： 1 i .故选 C.
(2 i)(2 i) 5
二、多项选择题
9．[2023春·高一·江西赣州·期中校考]设 z1 ， z2 是复数，则( )
A.若 z1 z2 0，则 z1 z2 B.若 z1 z2 ，则 z1 z2
C.若 z1 z2 ，则 z
2
1 z1 z2 z2 D.若 z1 z2 ，则 z1 z
2
2
9．答案：ABC
解析：对于 A：若 z1 z2 0，则 z1 z2 ，
所以 z1 z2 ，故 A 正确；
对于 B：若 z1 z2 ，根据共轭复数的定义可得 z1 z2 ，故 B 正确；
2 2
对于 C： z1 z1 z1 ， z2 z2 z2 ，
2 2
若 z1 z2 ，即 z1 z2 ，可得 z1 z1 z2 z2 ，故 C 正确；
对于 D：例如 z1 1， z2 i，显然 z1 z2 成立，
但 z21 1， z
2
2 1，即 z
2
1 z
2
2 ，故 D 错误；
故选：ABC.
6i
10．[2024秋·高三·广东·月考联考]已知复数 z a i a R ,且 的虚部为 3,则
z
( )
A. a 1
B. 3 2 2
z
C. z 2 1 3i 为纯虚数
D. 2 i 在复平面内对应的点在第二象限
z 2
10．答案：AC
6i 6i 6i a i 6 6a
解析：由 i 6a的虚部为 3,则 3 ,
z a i a i a i a2 1 a2 1 a2 1
解得 a 1 ,所以选项 A 正确.
3
z 3 3 1 i 3 3 1 i, i ,
z 1 i 1 i 1 i 2 2
2 2
所以 3 3 3 3 2 ,所以选项 B 错误. z 2 2 2
由 z 2 1 3i 3 i 1 3i 10i为纯虚数,所以选项 C 正确.
2 i 2 i 2 i 3 i 1 1
由 i ,
z 2 3 i 3 i 3 i 2 2
2 i 1 1
所以复数 在复平面内对应的点为 ,

,位于第一象限,所以选项 D 错误, z 2 2 2
故选：AC.
11．[2024春·高一·湖南永州·期末]已知复数 z1 2 ai ， z2 a 4i(a R) ，则下
列说法正确的是( )
A. z1 z2 B.存在实数 a，使得 z1z2 为实数
C.若 z z 为纯虚数，则 a 2 D. z z 2 z z 21 2 1 2 1 2
11．答案：AC
解析：因为 z1 2
2 a2 a2 4 ， z 2 2 2 所以 z z ，A2 4 a a 16, 1 2
正确；
因为 z1z2 2 ai a 4i 2a 8i a2i 4ai2 =2a a2 8 i， a2 8无实数解，B 选
项错误；
a 2 0因为 z1 z2 a 2 a 4 i为纯虚数，则 ，即 a 2，C 选项正确；
a 4 0
当 a 0时， z1 2, z2 4i， z1 z2 2 4i，
2
则 z1 z
2
2 4 16i 16= 12+16i， z z
2 1 2 2
2 4 2 20，D 选项错误.
故选：AC.
12．[2024秋·高二·辽宁朝阳·月考校考]已知 i 为虚数单位,复数 z1 1 2i , z2 2 i ,
则( )
A. z1 的共轭复数为 1 2i B. z1 z2
C. z1 z2 为实数 D. z1 z2 在复平面内对应的点在第一象限
12．答案：BD
解析：因为 z1 1 2i 的共轭复数为 z 1 2i ,所以 A 不正确;
2
因为 z 121 2
2 5 , z2 2
2 1 5 ,所以 B 正确;
因为 z1 z2 1 2i 2 i 3 i ,所以 C 不正确;
因为 z1 z2 1 2i 2 i 4 3i点的坐标 4,3 在第一象限,所以 D 正确.
三、填空题
13．[2024秋·高三·河南洛阳·月考校考]若复数 z (m 2) (m 1)i(m R)在复平
面上对应的点位于第二象限,则 m 的取值范围是__________.
13．答案： 2,
解析：复数 z (m 2) (m 1)i(m R)在复平面上对应的点位于第二象限.
m 2 0
可得 解得m 2 .
m 1 0
故答案为： 2, .
14．[2025届·湖北·模拟考试联考]若复数 z z满足 2 i，则 z ______.
z i
14．答案： 10
2
z
解析：由已知条件可知 2 i，
z i
可得到 z 2 i z i ，
化简整理可得 z zi 1 2z 2i，
1 i z 1 2i，
z 1 3i所以 ，
2
2 2
所以 z 1 3 10 2 2
.
2
故答案为： 10
2
3 i 3 4i15．[2024春·高二·四川内江·期末校考]已知复数 z （其中 i 为虚数
1 3i
单位），则 z ________.
15．答案：5
3 iz 3 4i 9 12i 3i 4i
2 13 9i 13 9i 1 3i
解析：易知
1 3i 1 3i 1 3i 1 3i 1 3i
13 39i 9i 27i2 40 30i
2 4 3i ， 1 9i 10
所以 z 4 3i ，可得 z 42 3 2 5 .
故答案为：5
16．[2025届·长郡中学·模拟考试]在复平面内,复数 z 对应的点为 1,1 , 2 z则
1 z
__________．
1 3i
16．答案： -
5 5
解析：由于复数 z 对应的点为 1,1 ,所以 z 1 i ,
2 z 1 i 1 i 2 i 1 3i 1 3i
故 = = = - ,
1 z 2 i 2 i 2 i 5 5 5
1 3i
故答案为： - .
5 5
（10）复数——2025 届高考数学百日冲刺小题练习
一、选择题
3 4i
1．已知复数 z 的共轭复数为 z ，则 z z ( )
2 i
A.3 B.4 C.5 D.6
1．答案：C
3 4i (3 4i)(2 i)
解析：方法一： z 2 i ，则 z 2 i，故 z z 22 i2 5 .
2 i (2 i)(2 i)
2 2
3 4i
方法二： z ，则 z z | z |2 | 3 4i | 5
2 i
5 .
| 2 i | 5
2．[2024届·四川德阳·模拟考试]设表示复数 z1 ， z2 的点在复平面内关于实轴对
2
称，且 z1 1 i，下面关于复数 z 的四个命题中正确的是( ) z2
A. z 2 B. z2 2i
C.z 的共轭复数为1 i D.z 的虚部为 i
2．答案：B
解析：由复数 z1 ， z2 的点在复平面内关于实轴对称，且 z1 1 i，
z 1 i z 2 2 2(1 i)则 2 ，则 1 i ， z2 1 i (1 i)(1 i)
z ( 1)2 ( 1)2 2 ，A 错误；
z2 ( 1 i)2 (1 i)2 2i，B 正确；
z 的共轭复数为 1 i，C 错误；
z 的虚部为 1，D 错误.
故选：B.
3．[2025届·全国·模拟考试联考]已知复数 z 满足 (1 i)z 4 i ，则 z 的共轭复数在
复平面内对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3．答案：D
z 4 i (4 i)(1 i) 3 5i 3 5i解析：由题知 ， z ，故 z 在复平面内对应的点为
1 i (1 i)(1 i) 2 2
3 5
, ，位于第四象限.故选 D.
2 2
z 1
4．[2025届·四川·一模联考]已知复数 z 满足 ，则 | z | ( )
2 z 2 i
A.1 B. 2 C.2 D. 5
4．答案：B
z 1 z 2 2
解析：方法一：因为 ，所以 2 i，所以 1 i，则
2 z 2 i z z
z 2 2(1 i) 1 i，所以 | z | 2 .故选 B.
1 i (1 i)(1 i)
z 1 z 2 2 2
方法二：因为 ，所以 2 i，所以 1 i，所以 |1 i | 2 ，所
2 z 2 i z z | z |
以 | z | 2 .故选 B.
1 2i
5．[2024秋·高三·江苏无锡·期中]若复数 z （i 为虚数单位），则在复平面
3 4i
内 z 所对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
5．答案：B
z 1 2i (1 2i)(3 4i) 3 8 6i 4i 5 10i 1 2解析：复数 2 2 i， 3 4i (3 4i)(3 4i) 3 4 25 5 5
1 , 2对应点为
，位于第二象限，
5 5
故选：B
z
6．[2025届·湖南·模拟考试联考]若 2 i （i 为虚数单位），则复数 z 的虚部
z 1
为( )
1 1 1 1
A. B. C. i D. i
2 2 2 2
6．答案：B
z z 1 1 1 1
解析：方法一：由 2 i ，得 1 2 i，所以 1 i，则
z 1 z 1 z 1 z 1
z 1 1 i 3 1 1 1 1 i，其虚部为 .故选 B.
1 i (1 i)(1 i) 2 2 2
z 2 i z (2 i)z (2 i) z 2 i (2 i)(1 i) 3 1方法二：由 ，得 ，整理得 i，
z 1 1 i (1 i)(1 i) 2 2
1
其虚部为 .故选 B.
2
7．设 f (x) ax2 bx c （a，b， c R ）.已知关于 x 的方程 f (x) x有纯虚数根，则
关于 x 的方程 f ( f (x)) x 的解的情况，下列描述正确的是( )
A.方程只有虚根解，其中两个是纯虚根
B.可能方程有四个实数根的解
C.可能有两个实数根，两个纯虚数根
D.可能方程没有纯虚数根的解
7．答案：A
解析：a，b， c R ， f (x) ax2 bx c ，关于 x 的方程 f (x) x有纯虚数根，设纯虚
数根为 x mi（m R ，m 0 ），
则有 f (mi) mi，即 am2 c bmi mi，即有 c am2 ，b 1， a 0，
f (x) ax2 x am2 ，
方程 f (x) x化为 x2 m2 0，方程有两个纯虚数根为 mi，
方程 f ( f (x)) x 化为 a2x4 2ax3 2 a2m2 1 x2 2am2x a2m4 2m2 0，
整理得 a2x2 2ax a2m2 2 x2 m2 0，于是得 x2 m2 0或
a2x2 2ax a2m2 2 0，
因此方程 f ( f (x)) x 有两个纯虚数根 mi，
而方程 a2x2 2ax a2m2 2 0中， 4a2 4a2 a2m2 2 4a2 a2m2 1 0，
1 a2m2a2x2 2ax a2m2 2 0 x 1因此方程 无实数根，有两个虚数根 i ，不是
a a
纯虚数根，所以选项 A 正确，选项 B，C，D 均不正确.故选 A.
二、多项选择题
8．[2025届·西藏拉萨·一模]已知复数 z1 3i , z2 1 2i （i 为虚数单位）,则( )
A. z1 3i
B. z2 的虚部为 2i
C. z1 z2
z
D. 1 在复平面内对应的点位于第四象限
z2
8．答案：AC
解析：A 选项：由 z1 3i ,则 z1 3i ,A 选项正确;
B 选项： z2 的虚部为 2 ,B 选项错误;
C 选项： z 21 3 , z 1 2 5 ,故 z1 z2 ,C 选项正确; 2
D z1 3i
3i 1 2i 6 3
选项： i ,其在复平面内对应的点的坐标为
z2 1 2i 1 2i 1 2i 5 5
6 , 3

,位于第二象限,D 选项错误;
5 5
故选：AC.
9．[2024届·河南·三模]已知复数 1 3 i , 为 的共轭复数,则( )
2 2
A. 1 B. 2 2
C.1 2 0 D. 2 3 2024 1
9．答案：ABC
解析：对于 A,因为 1 3 i ,所以 1 3 i ,
2 2 2 2
2
1 3 1 3 2所以 i i 1
3 1 3
2 2
,A 正确;
i 1
2 2
2 2 4 4
2 2
B, 2 2 1 3 对于 1 3 1 3 3 1 3 3 i i , 2 2
i i 1
2 2 4 2 4 4 2 4
1 3 1 3 i i= 1 ,B 正确;
2 2 2 2
2
对于 C, 1 2 1 1 3 i+ 1 3 i
1 3 1 3 3
i i 0 ,C 正确; 2 2 2 2 2 2 4 2 4
对于 D,因为1 2 0 ,所以 1 2 n n n 1 n 2 0 ,
所以 2 3 2024 2 1 ,D 错误.
故选:ABC
10．[2024届·湖南衡阳·三模]已知复数 z , z1 , z2 均不为 0,则下列说法正确的是( )
A.若复数 z 满足 z2 R ,且 z2 0 ,则 z R
B. z 1若复数 满足 R ,则 z R
z
C.若 z1 z2 R ,则 z1z2 R
D.若复数 z1 , z2 满足 z z ,则 1 2 R z1z2 R
10．答案：ABD
解析：对于 A 选项,令 z a bi ,a,b R ,则 z2 a2 b2 2abi ,
a2 b2 0
因为 z2 R ,且 z2 0 ,所以 ,则b 0 ,故 z R ,故 A 正确;
2ab 0
对于 B 1 1 a bi选项,令 z a bi a,b R ,则由 ,得 ,2 2 R b 0 a 0 , z a bi a b
所以 z R ,故 B 正确;
对于 C 选项,令 z1 1 i , z2 2 i ,此时 z1 z2 R , z1z2 3 i , z1z2 R ,故 C 错误;
对于 D 选项,令 z1 a bi , z2 c di a,b,c,d R ,
则 z1 z2 a bi c di ac bd bc ad i R ,所以bc ad 0 ,
z1z2 a bi c di ac bd ad bc i ac bd R ,故 D 正确.
故选：ABD.
11．欧拉公式 exi cos x i sin x (其中 i 为虚数单位， x R )是由瑞士著名数学家欧拉创
立的，该公式将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数与指数函数的关
联，在复变函数理论里占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥，依据欧拉公式，
下列选项正确的是( )
i
A.复数 e2i对应的点位于第三象限 B. e 2 为纯虚数
exi i
C. 1 1 3复数 的模长等于 D. e6 的共轭复数为 i
3 i 2 2 2
11．答案：BC
解析：A 项， e2i cos 2 i sin 2 ，因为 2 ，所以 cos 2 0， sin 2 0，即复数 e2i
2
对应的点 (cos 2,sin 2)位于第二象限，故 A 项错误；
i
B 项， e 2 cos i sin i ，为纯虚数，故 B 项正确；
2 2
C 项，
exi cos x i sin x (cos x isinx)( 3 i)

3 i 3 i ( 3 i)( 3 i)
3 cos x i cos x 3isin x i2 sin x

4
3 cos x sin x ( 3 sin x cos x)i
，
4
所以
exi
2 2
3 cos x sin x 3 sin x cos x
4

3 i
4

4cos2 x 4sin2 x 2 1
，C 正确；
4 4 2
i
D e6 cos i sin 3 1
i 3 1
项， i e 6 的共轭复数为 i，故 D 项错误.
6 6 2 2 2 2
三、填空题
12．[2025届·全国·一模] z 1，若 z2 与 z 关于复平面虚轴对称，则 z ________.
12．答案： 1或 1 3 i或 1 3 i .
2 2 2 2
解析：设 z a bi ， a,b R ，则 z2 a2 b2 2abi，
因为 z 1，所以 a2 b2 1，①
因为 z2 与 z 关于复平面虚轴对称，
所以 a2 b2 a 0，②
1
a
a
1
①② 2由 解得 或 ，
b 0

b 3 2
a 1
所以当 时，b z 1
，此时 ；
0
z 1

a
1

2
当 时， z 1 3 i，此时 z 1 3 i ；
b 3 2 2 2 2
2

a
1

2
当 时， z 1 3 1 3 i ，此时 z i .
b 3 2 2 2 2
2
故答案为： 1或 1 3 1 3 i或 i .
2 2 2 2
a 3i
13．若复数 是纯虚数,则实数 a 的值是_______________.
1 2i
13．答案： 6
a 3i a 3i 1 2i a 6 3 2a i a 6 3 2a
解析：因为 i是纯虚数,
1 2i 1 2i 1 2i 5 5 5
a 6
0
所以 5 ,解得 a 6 ,
3 2a 0
5
故答案为： 6 .
14．已知关于 x 的方程 x2 zx 4 3i 0有实数根，则复数 z 的模的最小值为
__________.
14．答案：3 2
解析：由 x2 zx 4 3i 0可得 zx x2 4 3i ，显然 x 0不是方程
x22 4 3 x zx 4 3i 0的实数根，所以 x 0，即 z i .若关于 x 的方程
x x


x2 zx 4 3i 4 3 0 有实数根，则 z x i ， x R ，即复数 z 的实部为
x x
2
x 4 3
2
z | z | x 4 3 x2 25 ，虚部为 ，所以复数 的模 x x x x x2
8 ，利

25
用基本不等式可得 x2 2 8 2 x
2 25 2 8 18 3 2 ，当且仅当 x 5 时，等x x
号成立，即 | z | 3 2 ，
所以复数 z 的模的最小值为3 2 .故答案为3 2 .
15．设复数 z1 ， z2 满足 z1 z2 2， z1 z2 3 i ，则 z1 z2 ____________.
15．答案： 2 3
解析：（代数法）设 z1 a bi， a,b R ，则 z2 3 a (1 b)i .由 z1 z2 2，得
a2 b2 4 2 a b2 4
，即 ，因为 z1 z2 2a 3 (2b 1)i，所以
( 3 a)
2 (1 b)2 4 3a b 2
z1 z2 (2a 3)
2 (2b 1)2 4 a2 b2 3a b 4 2 3 .

多种解法一：（复数的几何意义）设 z1 ， z2 在复平面内对应的向量分别为OZ1 ，OZ2 .

由題意知 OZ1 OZ2 2， OZ1 OZ2 | 3 i | 2，则以OZ1，OZ2 为邻边的平行四边

形为菱形，且 Z2OZ1 120 ，如图所示.则 z1 z2 OZ1 OZ2 2 3 .
多种解法二：（向量法）原题等价于平面向量 a，b 满足 | a | | b | 2 ，且
a b ( 3,1)，求 | a b | .因为 | a b |2 ∣a b2 2 | a |2 2 | b |2 ，所以 22 | a b2 16，
所以 | a b | 2 3 .
十、复数——高考数学一轮复习小题强化训练
一、选择题
3 i
1．[2025秋·高二·广西南宁·开学考试校考]已知复数 z 满足 z ，则复数 z 的
1 i
虚部为( )
A.2i B.i C.2 D.1
1．答案：D
3 i 3 i 1 iz 4 2i解析：因为 2 i，所以复数 z 的虚部为 1.
1 i 1 i 1 i 2
故选：D.
2．[2025春·高一·甘肃定西·期末校考]已知复数 z1 2 i , z2 1 2i ,复数 z z2 z1 ,
则 z 的共轭复数 z 对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2．答案：A
解析：由 z z2 z1 2 i 1 2i 3 i ,
则 z 3 i 对应的点为 3,1 位于第一象限,所以 A 正确,
故选:A.
3．[2025春·高二·长沙市第一中学·期末]实数 a，b 满足 a bi 2 i 5，则
a b ( )
A. 3 B. 1 C.1 D.3
3．答案：D
a bi 2 i 5 2a b 2b a i 5 2a b 5解析：由 得 ，
2b a 0
a 2
解得 ，所以 a b 3 .
b 1
故选：D.
z
4．[2025秋·高三·湖南常德·开学考试校考]若复数 z 满足 1 i ,则 z ( )
i
A. 1 i B. 1 i C.1 i D.1 i
4．答案：C
z
解析： 1 i ,则 z i( 1 i) i i2 1 i ．
i
故选：C.
2 i
5．[2024秋·高三·河北邯郸·月考校考]复数 的共轭复数是( )
1 2i
A. 3 i B. 3 i C.-i D.i
5 5
5．答案：C
解析：由题意知，
z 2 i (2 i)(1+2i)令 i ，
1 2i (1 2i)(1+2i)
所以复数的共轭复数为 z i ，
故选：C
6．[2025春·高二·河北邯郸·期末校考]已知复数 z 满足 zi3 1 2i，则复数 z 在复
平面内对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
6．答案：C
解析：因为 zi3 1 2i，
z 1 2i i 2i
2
所以 3 4 2 i ， i i
则 z 2 i ，
所以复数 z 在复平面内对应的点位于第三象限，
故选：C.
7．[2025年湖南高考真题] (1 5i)i 的虚部为( )
A. 1 B.0 C.1 D.6
7．答案：C
解析：因为 1 5i i i 5i2 5 i ,所以其虚部为 1,
故选：C.
8．[2024年黑龙江高考真题]已知 z 1 i ，则 | z | ( )
A.0 B.1 C. 2 D.2
8．答案：C
解析： z 1 i， | z | ( 1)2 ( 1)2 2 ，故选 C.
9．[2023年云南高考真题]在复平面内， (1 3i)(3 i)对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
9．答案：A
解析： (1 3i)(3 i) 3 i 9i 3 6 8i，在复平面内对应的点的坐标为 (6,8)，位于第
一象限，故选 A.
2 i
10．[2021年辽宁高考真题]复数 在复平面内对应的点所在的象限为( )
1 3i
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
10．答案：A
2 i (2 i)(1 3i) 5 5i 1 i 1 1
解析： ，所以该复数对应的点为 , ，该点在第一1 3i 10 10 2 2 2
象限，
故选：A.
11．[2023届·辽宁鞍山·一模]若 i 1 z 1，则 z z ( )
A.-2 B.-1 C.1 D.2
11．答案：D
解析：因为 i(1 z) 1，所以 z 1 1 1 i，所以 z 1 i，所以 z z (1 i) (1 i) 2 .
i
故选 D.
12．[2021年湖北高考真题]已知 z 2 i，则 z(z i) ( )
A. 6 2i B. 4 2i C. 6 2i D. 4 2i
12．答案：C
解析：本题考查复数及共轭复数的概念与运算.因为 z 2 i，所以
z(z i) (2 i)(2 i i) (2 i)(2 2i) 6 2i .
z
13．[2024年安徽高考真题]若 1 i ，则 z ( )
z 1
A. 1 i B. 1 i C.1 i D.1 i
13．答案：C
z
解析：解法一：因为 1 i，所以 z (z 1)(1 i) ，即 z z 1 zi i ，即
z 1
zi 1 i z 1 i (1 i)( i) ，所以 1 i ，故选 C.
i i( i)
z z 1 1 1 1 i 1 1
解法二：因为 1 i，所以 ，即1 i，即
z 1 z 1 i z (1 i)(1 i) 2 2
1 1 1
i 1 i 2 ，所以 z 1 i ，故选 C.
z 2 2 2 1 i
14．[2022年辽宁高考真题] (2 2i)(1 2i) ( )
A. 2 4i B. 2 4i C. 6 2i D. 6 2i
14．答案：D
解析： (2 2i)(1 2i) 2 4i 2i 4 6 2i ，故选 D.
1
15．[2025年新疆高考真题]已知 z 1 i，则 ( )
z 1
A. i B.i C. 1 D.1
15．答案：A
1 1
解析： i，故选 A.
z 1 i
16．[2025届·辽宁·模拟考试]复数 (1 i)2 的虚部是( )
A.2i B. 2i C.2 D. 2
16．答案：C
解析：由复数 (1 i)2 12 2i i2 2i ,所以复数 (1 i)2 的虚部为 2.
故选:C.
二、填空题
3 i
17．[2025秋·高二·黑龙江·开学考试联考]复数 z 的共轭复数
i(2 i) z
________.
17．答案：1 i
3 i (3 i)(1 2i) 5 5i
解析：依题意， z 1 i，所以 .
1 2i (1 2i)(1 2i) 5 z 1 i
故答案为：1 i
18．[2024秋·高二·河南濮阳·开学考试校考]已知 a R ，若复数
z a2 a 2 (a 1)i 是纯虚数，则 z _________.
18．答案：3
解析：由 z a2 a 2 (a 1)i 是纯虚数，
a2 a 2 0
得 ，
a 1 0
解得 a 2， z 3i，
所以 | z | 3 .
故答案为：3
19．若复数 z m2 5m 6 m2 3m i是纯虚数，则实数m ________.
19．答案：2
m2 5m 6 0,
解析：由题意得 解得2 m 2 .
m 3m 0,
故答案为：2.
20．用“>”、“<”或“=”填空.
（1）复数 z1 4 3i ， z2 4 3i，则 z1 __________ z2 ；
（2）复数 z1 5 12i ， z2 6 3i，则 z1 __________ z2 .
20．答案：（1）=
（2）>
解析：（1） z 421 ( 3)
2 5， z2 4
2 32 5，故 z1 z2 ；
（2） z 521 ( 12)
2 13， z 2 22 ( 6) 3 15 ，故 z1 z2 .
故答案为：（1）=；（2）>.
考点 10 复数—高考数学一轮复习考点创新题训练
一、选择题
z 2 i x i1．[2024届·河南·模拟考试联考]若 (x R)且 | z | 1，则 x 取值的集合
2 i
为( )
A.{2} B.{3} C.{3,7} D.{1,3}
1．答案：C
z 2 i x i (2 i)(2 i) (x i) (5 x) i解析： ，
2 i 2 i 2 i
| z | 1 (5 x) i
| (5 x) i |
因 ，则 1，即 1，
2 i | 2 i |
可得， (5 x)2 1 5，解得， x 3或 7.
故选：C.
1 3
2．[2023秋·高三·江苏常州·期末]在复平面内，复数 z i对应的向量为
2 2

OA，复数 z 1对应的向量为OB ，那么向量 AB 对应的复数是( )
A.1 B. 1 C. 3i D. 3i
2．答案：A
1 3 1 3
解析： A , ，B , ， AB (1,0) 对应复数 1，选 A.
2 2 2 2
3．[2023届·河南郑州·模拟考试联考]关于复数 z 1 i 的下列命题中 p1 : z z 1 ,1 i
p2 : z 1, p3 : z i , p
2
4 : z 1 ,其中真命题为( )
A. p1 , p4 B. p2 , p3 C. p2 , p4 D. p3 , p4
3．答案：B
2
解析： z 1 i 1 i i , z 1 , z i , 1 i 1 i 1 i
对于命题 p1 : z z i i 1 ,错误;
对于命题 p2 : z 1,正确;
对于命题 p3 : z i ,正确;
对于命题 p 2 24 : z i 1 ,错误.
故选：B.
4．[2024 春·高三·陕西西安·月考]著名的欧拉公式是 eix cos x isinx ,则 e3i 在复平
面内的( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
4．答案：B
解析：由题意知, e3i cos3 i sin 3 ,又 cos3 0,sin 3 0 ,
所以该复数在复平面所对应的点的坐标为 (cos3,sin 3) ,为第二象限的点.
故选:B
1
5．[2024届·南京市金陵中学·模拟考试]已知集合 A {z | z in n , n N
}，则 A
i
的元素个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
5．答案：C
1
解析：当 n 1时， z i i i 0，当 n 2时， z i2
1
2 1 1 2， i i
z i3 1 i 1 0 1当 n 3时， ，当3 n 4时， z i
4 1 1 2，
i i i4
当 n 5时， z i5
1 i 1 1 1 5 i i 0，当 n 6时， z i
6 6 i
2 1 1 2，
i i i i2
当 n 7时， z i7
1 3 1 1 1 1 7 i 3 i 0，当 n 8时， z i
8 i4 1 1 2，
i i i i8 i4
，可知以上四种情况循环，故集合 A {0, 2, 2}，A 的元素个数为 3.
故选：C
6．[2024 春·高一·广西河池·期末]欧拉恒等式 eiπ 1 0（i 为虚数单位,e 为自然对
数的底数）被称为数学中最奇妙的公式.它是复分析中欧拉公式 ei x cos x i sin x 的特
例:当自变量时, ei x cos π i sin π 1 ,得 ei π 1 0 .根据欧拉公式,复数 z e3i 在复平面上
所对应的点在( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
6．答案：B
π
解析：由题意得 z cos3 i sin 3 ,又 3 π ,所以 cos3 0,sin 3 0 ,所以复数 z e3i 在复
2
平面内对应的点为 (cos3,sin 3) ,位于第二象限.故选 B.
7．[2024届·全国·模拟考试联考]在复数范围内方程 x2 2x 2 0的两个根分别为
x1， x2，则 x1 2x2 ( )
A.1 B. 5 C. 7 D. 10
7．答案：D
解析：根据题意可得 x 1 2 1 i2，
x 1 i，即 x 1 i ，
当 x1 1 i， x2 1 i时， x1 2x2 3 i ，
x 2 2 ， 1 2x2 1 3 10
当 x1 1 i ， x2 1 i 时， x1 2x2 3 i ，
x 21 2x2 1 3
2 10 ，
综上， x1 2x2 10 .
故选：D.
8．[2024 届·江西·一模联考]在复平面内 ,复数 z 对应的点在第三象限 ,则复数
z (1 i)2024 对应的点在( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
8．答案：C
2 1012解析：因为 (1 i)2024 1 i 2i 1012 21012 2 506i 21012 ,
且复数 z 对应的点在第三象限,则 z (1 i)2024 21012 z对应的点也在第三象限.
故选:C
二、多项选择题
9．[2024届·江苏·模拟考试校考]已知复数 z0 1 i , z x yi(x, y R) ,则下列结论
正确的是( )
A.方程 | z z0 | 2 表示的 z 在复平面内对应点的轨迹是圆
B.方程 | z z0 | | z z0 | 2表示的 z 在复平面内对应点的轨迹是椭圆
C.方程 | z z0 | | z z0 | 1表示的 z 在复平面内对应点的轨迹是双曲线的一支
D. 1方程 | z (z0 z0 ) | | z z0 |表示的 z 在复平面内对应点的轨迹是抛物线 2
9．答案：AC
解析： | z z0 | 2 表示复平面内点 (x, y)与点 (1, 1) 之间的距离为定值 2,
则 z 在复平面内对应点的轨迹是圆,故 A 正确;
| z z0 | | z z0 | 2表示复平面内点 (x, y)到点 (1, 1) 和 (1,1) 的距离之和为 2,
又 2 | z0 z0 | ,不满足椭圆的定义 2a | F1F2 | ,故 B 不正确;
| z z0 | | z z0 | 1表示复平面内点 (x, y)到点 (1, 1) 和 (1,1) 的距离之差为 1,
又 2 | z0 z0 | ,满足双曲线的定义 2a | F1F2 | ,故 C 正确;
对于 D, | z 1 (z0 z0 ) | | z z0 |可化为 | z 1| | z z0 | , 2
表示复平面内点 (x, y)到点 ( 1,0) 和 (1, 1) 的距离相等,轨迹是直线,故 D 不正确.
10．[2024 春·高一·四川·期中联考]若复数 z 满足: z 1 i i2025（其中 i 是虚数单
位）,复数 z 的共轭复数为 z ,则下列说法正确的是( )
A.z 1的虚部是 B. z 1 1 i C. z 2 D. z z
1

2 2 2 2 2
10．答案：CD
2025 i : z i
1 i 1 i 1 1
解析：由 z 1 i i i 得 i ,
1 i 1 i 1 i 2 2 2
所以 z 1的虚部是 ,故 A 是错误的;
2
z 1 1由 i ,故 B 是错误的;
2 2
由 z 1 1 1 1 2 i ,故 C 是正确的;
2 2 4 4 2
z z z 2 1由 ,故 D 是正确的;
2
故选:CD.
三、填空题
11．[2024届·江苏南通·模拟考试]已知平面直角坐标系 xOy 中向量的旋转和复数有

关,对于任意向量 x a,b ,

对应复数 z a bi ,向量 x 逆时针旋转一个角度 ,得到复数
z a bi cos isin acos bsin i asin bcos ,于是对应向量

x a cos bsin ,a sin bcos .这就是向量的旋转公式.已知正三角形 ABC 的两个
顶点坐标是 A 1,4 , B 3,2 ,根据此公式,求得点 C 的坐标是_______________.（任写一
个即可）
11．答案： (2 3,3 3) （答案不唯一）

解析：设点 C 的坐标为 x0 , y0 ,点 A 1,4 , B 3,2 ,则 AB 2, 2 , AC x0 1, y0 4 ,

从而 AB 对应的复数为 z 2 2i ,
, 若 AC 由 AB 逆时针旋转60 得到 AC 对应的复数为
z 2 2i cos60 isin60 3 1 3 1 i ,

因此 AC x0 1, y0 4 3 1, 3 1 ,解得 x , , 0 2 3 y0 3 3
则 C 的坐标是 2 3,3 3 ；

若 AC 由 AB 逆时针旋转300 得到, AC 对应的复数为
z 2 2i cos300 isin300 1 3 (1 3)i ,

因此 AC (x0 1, y0 4) (1 3, 1 3) ,解得 x0 2 3, y0 3 3 ,
则点 C 的坐标是 2 3,3 3 .
12 ． [2024 春 · 高 一 · 上 海 闵 行 区 · 期 末 联 考 ] 已 知 关 于 z 的 方 程
z2 4z 5 z2 az 9 0 a R 有四个互不相等的根,若这四个根在复平面上对应的
点共圆,则 a 的取值范围是________.
12．答案： 6,6 7
解析：因为 2 2z2 4z 5 0 ,即 z 2 1 i ,解得 z 2 i ,
设所对应的两点分别为 A、B,则 A(2,1)、B(2, 1) ,
设 z2 az 9 0的解所对应的两点分别为 C、D,记为C x1, y1 , D x2 , y2 ,
当 0 ,即 a2 36 0 ,解得 6 a 6 ,即 6 a 6时,
因为 A、B 关于 x 轴对称,且 C、D 关于 x 轴对称,
则以 A、B、C、D 为顶点的四边形为矩形或等腰梯形,所以 A、B、C、D 四点共圆;
当 0 ,即 a 6或 a 6时,
C x ,0 , D x ,0 , x1 x a此时 21 2 且 , x1x2 9 , 2 2
a 2
故此圆的圆心为O ,0 ,半径 x1 x r 2
a 36
1 ,
2

2 2
2
又圆心O1到 A的距离 O1A
2 a
2
2
1 r ,

解得 a 7 ,
综上可得m 6,6 7 .
故答案为: 6,6 7 .
13．[2024春·高一·福建龙岩·期中联考]已知复数 z x yi（ x, y R ），则复平
面内满足 z 1 i m的点 Z 的集合围成的图形面积为16π，则实数m ________.
13．答案：4
解析：复平面内满足 z 1 i m的点 Z 的集合围成的图形为以 (1, 1) 为圆心，以 m 半
径的圆，
复平面内满足 z 1 i m的点 Z 的集合围成的图形面积为16π，
则 π m2 16π ，解得m 4 （负值舍去）.
故答案为：4.
四、解答题

14．[2024秋·高二·陕西咸阳·开学考试校考]设 O 为坐标原点,向量OZ 、1 OZ 、2

OZ 分别对应复数 z 23 1 、 z2 、 z3 ,且 z1 a 2 a i , z2 1 3 2a i ,
z3 2 mi a,m R .已知 z1 z 是纯虚数. 2
（1）求实数 a 的值;
（2）若Z1 , Z2 , Z3三点共线,求实数 m 的值.
14．答案：（1） a 1
（2）m 2
解析：（1）由题意可得 z1 z2 a
2 1 1 a i ,
a2 1 0
由于复数 z z 是纯虚数,则 ,解得1 2 a 1 ;
1 a 0
（2）由（1）可得 z1 1 3i , z2 1 5i ,则点Z1 1,3 , Z2 1,5 ,点Z3 2, m

所以, Z1Z2 ( 2,2) , Z1Z3 (1, m 3)

因Z1 , Z2 , Z3三点共线,所以Z1Z2 //Z Z ,所以1 3 ( 2) ( m 3) 1 2 ,
所以m 2 .
15．[2024秋·高三·福建龙岩·开学考试校考]通过平面直角坐标系，我们可以用有
序实数对表示向量.类似的，我们可以把有序复数对 z1, z2 z1, z2 C 看作一个向量，
a z , z 记 1 2 ，则称 a 为复向量.类比平面向量的相关运算法则，对于 a z1, z2 ，

b z3 , z4 ， z1 、 z2 、 z3、 z4 、 C，我们有如下运算法则：
① a

b z1 z3 , z2 z4 ；② a z1, z2 ；
③ ④ a b z z z z ； . 1 3 2 4 a a a
(1) a

设 (i,1 i) ，b (2, 2 i) ，求 a b 和 a b .
(2)由平面向量的数量积满足的运算律，我们类比得到复向量的相关结论：
① a b b a
② a (b c) a b a c ③ ( a) b a ( b) .
试判断这三个结论是否正确，并对正确的结论予以证明.
(3) a

若 (2i,1) Ω p p ，集合 (x, y), y 2x 1, x, y C ，b .对于任意的 c ，

求出满足条件 (a b) (b c ) 0的b ，并将此时的b 记为b ，证明对任意的b ，不0

等式 a b a b0 恒成立.
根据对上述问题的解答过程，试写出一个一般性的命题（不需要证明）.

15．答案：(1) a

b 2 i,3 ， a b 1 5i；
(2)①③错误，②正确，证明见解析；
(3)证明见解析，答案见解析

解析：（1 ）因为 a (i,1 i) ，b (2, 2 i) ，

所以 a b i,1 i 2, 2 i 2 i,3 ，
a b 2i 1 i 2 i 2i 2 i 2i i2 1 5i

（2）设 a z1, z2 ，b z3 , z4 ， c z5 , z6 ， z1 、 z2 、 z3、 z4 、 z5 、 z6 、 C，
则 a

b z z z z ， ，故① 不成立， 1 3 2 4 b a z3 z1 z4 z2 a b b a

b c z3 z5 , z4 z6 ， a

b z1 z3 z z ，2 4 a c z z z 1 5 2 z6
a (b c) z1 z3 z5 z z ， 2 4 z6
因为 z3 z5 z3 z ，5 z4 z6 z z ， 4 6

所以 a (b c) z1 z3 z5 z2 z4 z6

z1 z3 z1 z5 z2 z4 z2 z6 z z z z z z z z a b a c ，故②正确； 1 3 2 4 1 5 2 6
a

z1, z2 ， b z3 , z4 ，

( a ) b z 1 z3 z ， ， 2 z4 a ( b) z1 z3 z2 z4
设 a bi， z3 c di， a,b,c,d R，
则 z3 a bi c di ac bd ad bc i ， z3 ac bd ad bc i ，
z3 a bi c di ac bd ad bc i ，

所以 z ，故 3 z3 ( a) b a ( b)，即③错误；

（3）设满足条件的b z1, 2z1 1 ， c z2 , 2z2 1 ， z1、z2 C，

则 a b 2i z1, 2z1 ，b c z1 z2 , 2z1 2z2 ，
因为 z1 z2为任意的复数，不妨设 z3 z1 z2 且 z3 C，
由定义可得 2i z1 z3 2z1 2z3 0，即 5z1 2i z3 0 ，则5z1 2i 0，
2 b 2 4所以 z1 i，则 0 i, i 1

5 5 5
，


以下证明对任意的b ，不等式 a b a b0 恒成立，只需计算 a b 的最小值，不

妨令b m ni, 2m 1 2ni ，则 a b m n 2 i, 2m 2ni ，

则 a b m n 2 i m n 2 i 2m 2ni 2m 2ni
m2 n 2 2 2m 2 4n2 5m2 5n2 4n 4 ，
2 2 4
当m 0， n 时取得最小值，此时b i, i 1

与之前得到的b 相同，结论得证； 5 5 5 0

推广结论：对于任意复向量 a ， b ，若对于任意的 c ，当且仅当
(a b) (b c) 0 a b时， 取到最小值.

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