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最全二次函数第二问考法合集
目录
将军饮马求和的最小值 2
例题1 3
练习1 4
将军饮马求差的最大值 6
例题2 7
练习2 9
将军溜马-造桥问题 11
例题3 12
练习3 14
胡不归问题-系数小于1 16
例题3 16
练习3 18
胡不归问题-系数大于1 20
例题4 20
练习4 22
求周长最小值-垂直平分线 23
例题5 23
例题5 25
将军饮马-线段和最小
【题型1】两定一动型（线段和差最值问题）
1．常见题型：①求折线段和最小，；①求折线段差最大，
2．做题关键：①找定点、动点；②确定同侧还是异侧；③化折现段为直线，使三点共线
3．题目考点：①：两点之间直线最短；
②：垂直平分线的应用；
③：三角形三边关系，两边之差大于第三边；
1：异侧求和最小问题
提问：在直线l上求一点P，使PA＋PB最小
解决：①：确定定点和动点：A、B均为定点；P为在直线上的动点
②：确定同侧还是异侧：A、B两点是在直线l的异侧。
③：化折现段为直线，使三点共线：直接连接AB，P为直线AB与直线l的交点。
2：同侧求和最小问题
提问：在直线l上求一点P，使PA＋PB最小
解决：①：确定定点和动点：A、B均为定点；P为在直线上的动点
②：确定同侧还是异侧：A、B两点是在直线l的同侧。故先取其中一点关于直线l的对称点（注意：通常取坐标更简单的一点）。如：作B关于直线l的对称点B'
③：化折现段为直线，使三点共线：直接连接 AB'，P为直线AB'与直线l的交点。

【例题1-将军饮马求和最小值】
1．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，连接．其中点的坐标为，对称轴为直线．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点是直线下方抛物线上的一个动点，点为轴上的一个动点，过点作轴交于点．当的长度最大时，求出此时点的坐标及的最小值：
【答案】(1) (2)；
【详解】（1）∵抛物线的对称轴为直线，
∴，即，
把代入中得，解得，
∴抛物线解析式为；
（2）解：当时，
解得或，∴；
设直线解析式为，
∵过B(3,0),C(0,-3)
∴直线解析式为；
设，则，
∴
∵，开口向下有最大值，
∴当，即时，PH的长度最大，此时点P的坐标为；
作点B关于y轴的对称点T，连接，则，∴，
∴，
∴当P、T、N三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长，
∵，
∴的最小值为；
【练习1】
2．如图1，抛物线与坐标轴分别交于A、B、C三点，其中A点坐标为，．
(1)求抛物线解析式：
(2)点E是直线上方抛物线上的一动点，于F，点D是x轴上一动点，连接，当线段长度最大时，求点E的坐标及的最小值．
3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点C，与x轴交于，B两点（A在B的左侧），抛物线的对称轴是直线，连接．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图1，点P是直线上方抛物线上的一动点，过点P作交于点D，点E，F为x轴上的两个动点，点E在F的左侧，且，连接．当线段的长度取得最大值时，求的最小值；
将军饮马-线段差最大
3：同侧求差最大问题
提问：在直线l上求一点P，使|PA－PB|最大
解决：①：确定定点和动点：A、B均为定点；P为在直线上的动点
②：确定同侧还是异侧：A、B两点是在直线l的同侧。
③：化折现段为直线，使三点共线：即直接连接AB，P为直线AB与直线l的交点。
原理：三角形两边之差小于第三边，在△AB'P中，|PA－PB'|≤AB'
4：异侧求差最大问题
提问：在直线l上求一点P，使|PA－PB|最大
解决：①：确定定点和动点：A、B均为定点；P为在直线上的动点
②：确定同侧还是异侧：A、B两点是在直线l的异侧。故先取其中一点关于直线l的对称点，如：作B关于直线l的对称点B'
③：化折现段为直线，即直接连接AB'，P为直线AB'与直线l的交点。
原理：①：垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等；(因为对称，所以直线l是直线B B'的垂直平分线，所以PB'=PB)
②：三角形两边之差小于第三边，在△AB'P中，|PA－PB'|≤AB'
【例题2-将军饮马求差最大值】
4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于点、点，且过点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图1，点是直线上方抛物线上的一个动点，过点作，垂足为．点、是轴上的两个动点（点在点的上方），且，连接，．当线段的长度取得最大值时，求的最大值；
【答案】(1) (2)
【详解】（1）解：将、代入中，
得，解得，
∴抛物线的表达式为；
（2）解：当时，由得，，
∴，，
当时，，则，，
∴；
设直线的表达式为，
则，解得，
∴直线的表达式为，
如图1，过P作轴交直线于H，则，
∵，
∴，当的长度最大时，的长度最大；
设，则，
∴
∵，，
∴当时，最大，即的长度最大，此时；
∵，
∴将线段向下平移一个单位，得到，连接，此时，
∴，当G在的延长线上时取等号，
∵,
∴的最大值为；
【练习2】
5．如图，抛物线与x轴交于点，点，交y轴于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，点P在直线上方抛物线上运动，K是线段的动点，过点P作，轴于点F，求的最大值时，的最大值；
6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与轴交于点，与轴交于，两点（在的左侧），连接，，．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点是直线上方抛物线上的一动点，过点作轴，交于点，作，垂足为点，点是轴上一动点，连接，．当周长取得最大值时，求的最大值以及点的坐标；
将军溜马-造桥问题
1．常见题型：①求折线段和最小，；
2．做题关键：①将点B向上平移MN个单位长度，得B'，②连接B'M，③，直接连接A B'，当A、B'、M三点共线时有最小值
3．题目考点：①：构造平行四边形，将问题转化问普通将军饮马；
②：两点之间线段最短；
③：垂直平分线的应用；
④：三角形三边关系，两边之差大于第三边；
例题1：上下平移求三线段和最小：AM＋MN＋BN
将点B向上移动MN个单位长度，得到B'，直接连接B'A，B'A+MN即为最小值
(AM＋MN＋BN)min＝AM＋MN＋B'M=AB'＋MN (注意：MN通常为定值)
例题2：左右平移求三线段和最小：AM＋MN＋BN
将点B向左移动MN个单位长度，得到B'，作B'关于直线l的对称点B''，直接连接B''A，B''A+MN即为最小值。
（AM+MN+BN）min=AM+MN+ B''M=B''A+MN
【例题3-将军饮马溜马-造桥问题】
7．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，，连接．
(1)求抛物线的解析式．
(2)如图，点P是直线下方抛物线上一点，点A、E关于y轴对称，线段沿着射线平移．平移后的线段记为，当面积最大时，求的最小值．
【答案】(1) (2)
【详解】（1）解：对于，令．
∴．
∴根据图象可知：点A坐标为，点B坐标为，点C坐标为．
对于一元二次方程，根据二次函数和一元二次方程的关系，．
由根与系数关系可得：，
∴．
∴抛物线的解析式为．
（2）设点P坐标为，从点P向x轴作垂线，H为垂足，PH交BC于点G．
过点E作交y轴于点F．
根据题意，为等腰直角三角形．
故直线BC相当于直线向下平移了4个单位长度，根据平移性质直线BC的解析式为：．
∴点G坐标为．
∵，，
．
∴．
当时，点M坐标为，面积最大．
此时点H与点E重合，点M与点G重合，
当点M坐标为时，HF为和FM为的中位线，点F坐标为，点N的轨迹在与射线BC平行的射线EF上．
作点C关于直线EF对称点，根据为等腰直角三角形，可得点坐标为．
∴．
∵，
∴四边形在平移时始终为平行四边形，．
∴对于，，．
∴．
∴的最小值为．
故面积最大时，的最小值为2．
【练习3】
8．如图1．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点（在左侧）．与轴交于点，且，连接．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，点是直线下方抛物线上一动点．过点作于点是直线上的动点（在左侧）．且．连、．当线段取最大值时，求点坐标以及的最小值：
9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于，两点，连接．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点是线段上方抛物线上的一动点，过点作，垂足为点，点，为直线上的两个动点（点在的左侧），且，连接，．当线段的长度取得最大值时，求的最小值；
【例题4-胡不归问题-系数小于1】
10．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在y轴的左侧），与y轴交于点C．已知抛物线的对称轴为直线，．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图2，点D为线段上一动点（不与端点重合），过点D作轴交抛物线于点P，过点P作交x轴于点E，F为线段上的一个动点，连接，当取得最大值时，求点D的坐标及的最小值；
【答案】(1)，(2)D，的最小值为
【详解】（1）解：抛物线的对称轴为直线，
，
抛物线，
，，
代入得，，
解得：，
抛物线的解析式为．
（2）解：令，则，
，，
，
令，则，
解得：，，，
设直线BC的解析式为，
代入，得，，
解得：，
直线BC的解析式为，
如图，延长PD交x轴于点Q，
轴，，
，，
，
，即，
，
，
设，则，，
，，
∵，∴开口向下有最大值
当时，有最大值，即取得最大值，此时点D的坐标为，
作直线，过点C作轴交直线于点M，
令，则，解得，
，，
在中，，
，
作于点K，则，
，
，
当三点共线时，有最小值，此时，
过点D作轴交直线于点L，则，
令，则，，
，
在，，
，
的最小值为，
综上所述，D，的最小值为．
【练习4】
11．如图，已知抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C，连接，．
(1)求该拋物线解析式；
(2)如图1，点P是直线下方抛物线上一动点，过点P作轴，交于D，点E为直线上一动点，连接，当有最大值时，求的最小值；
12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴的正半轴交于点，且，连接．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图1，点是直线上方抛物线上一动点，过点作轴，交于点，求的最大值及点的坐标；
【例题5-胡不归问题-系数大于1】
13．如图，抛物线与坐标轴分别交于A、B、D三点，其中点坐标为，．
(1)求抛物线解析式；
(2)点P是直线下方抛物线上的一动点，点Q是x轴上一动点，当四边形的面积最大时，求的最小值；
【答案】(1)；(2)12
【详解】（1）解：令，则，
∴，，
∵，∴，，
把，代入得，解得，
∴抛物线解析式；
（2）解：过P作轴于N，交AD于M，
∵，
∴设直线AD解析式为，
把代入得，解得，
∴直线AD解析式为，
∵，
∴设直线AD解析式为，
把代入得，解得，
∴直线AD解析式为，
∴设，
，
，
∴当时，最大，此时，
过B在x轴上方找一点E，使，，连接EP，设BE交y轴于F，
∴，，
∴，，即，点E在直线BF上移动，
，
即，
∴当Q在EP上时，最小，
设直线BF解析式为，
把代入得，
解得，
∴直线BF解析式为，
∴设，
∴
∴当时，最小，即，
∴的最小值；
【练习5】
14．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x＋2与x轴交于点A，与y轴交于点C．抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是x＝－且经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B．
(1)求二次函数y＝ax2＋bx＋c的表达式；
(2)点P为线段AB上的动点，求AP＋2PC的最小值；
【例题6-求周长最小值-垂直平分线的应用】
15．如图，平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，交轴于点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图1，作过、两点所在的直线，点是直线下方抛物线上一动点，过点作于点．点是过点的直线上的一个动点，点是轴上一个动点，连接，当线段取得最大值时，求点的坐标及周长的最小值；
【答案】(1)；(2)
【详解】（1）解： 设点A的坐标为，点B的坐标为，
∵抛物线的对称轴是直线，
∴，
又∵，
∴，
可得：，，
即：点A的坐标为，点B的坐标为，
将，代入，
得，解得：，
∴抛物线的表达式为；
（2）当时，，则点C的坐标为，
设直线BC的解析式为，将，代入，
得，解得：，
即：直线BC的解析式为，
设点P的坐标为，
∵轴，交BC于点D，
∴点D的坐标为，则，
∴，
当时，的面积取得最大值，
所以，此时点P的坐标为，点D的坐标为，，
的周长，则只需取得最小值即可，
作点D关于y轴对称的点E，连接EM，EP，
则点E的坐标为，，
∴，当点M在直线EP上时取得等号，
∵，
∴的最小值为，
∴的周长的最小值为；
【练习6】
16．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴分别交于，两点（点在点的右侧），与轴交于点，抛物线的对称轴是直线，．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点是直线下方抛物线上的一动点，过点作轴，交于点，点是轴上的动点，连接、，当的面积取得最大值时，求周长的最小值；
17．已知二次函数的图象与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，．
(1)求二次函数的解析式；
(2)如图1，P是直线上方抛物线上一动点，过P作轴交于点Q．点E、F分别是x轴、y轴上的动点，连接．当的长度最大时，求点P坐标以及四边形周长的最小值．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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