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2026年吉林省吉林地区普通高中高考数学第四次调研试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知角终边经过点，则的值为( )
A. B. C. D.
3.已知圆锥的底面半径为，母线长为，则圆锥的体积为( )
A. B. C. D.
4.已知圆：，则过点的圆的最短弦所在直线的方程为( )
A. B. C. D.
5.已知等比数列的前项和为，若，，则( )
A. B. C. 或 D. 或
6.已知两函数，的图象有公共点，且在公共点处的切线重合，则( )
A. B. C. 或 D. 或
7.已知函数的定义域为，满足，，且，则( )
A. B. C. D.
8.已知复数满足，则复数在复平面上对应的点的轨迹是( )
A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知直线：，直线：，则( )
A. 当时， B. 当时，
C. 当时， D. 当时，
10.已知甲箱中有个红球和个黑球，乙箱中有个红球和个黑球，先从甲箱中随机抽取出个球放入乙箱，再从乙箱中随机抽取出个球分别用，表示由甲箱中取出的是红球和黑球，用表示从乙箱中抽出的是红球，则( )
A. 事件与事件互斥 B.
C. D. 事件与事件相互独立
11.已知正方体的棱长为，点在内运动包括边界，点到，，的距离分别为，，，且，则( )
A. 点到平面的距离为 B.
C. 点的运动轨迹是圆 D. 点的运动路径的长度为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数，则 ．
13.已知抛物线上一点到直线与直线的距离分别为，，则的最小值为 ．
14.已知平面向量，满足，且，则 ；若，则的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知，，是锐角三个内角，，的对边，且的面积为．
求；
若，且的外接圆的半径为，求的周长．
16.本小题分
如图，在四棱台中，上、下底面均为正方形，，平面，点满足．
若点为中点，证明：平面；
当时，若，求点到平面的距离．
17.本小题分
已知椭圆，双曲线分别为，的离心率，且．
求双曲线的标准方程；
若双曲线的上顶点为，经过上焦点的直线与的上支相交于，两点，直线，分别与轴相交于，两点，求的最小值．
18.本小题分
高三班的联欢会设计了一项抽奖活动：参加抽奖活动的同学从含有张有奖的张卡片中任取张，如果抽到张或者张以上有奖的卡片，就可以获得一件精美小礼品，每名同学是否参与抽奖活动相互独立，且最多参加一次抽奖活动．
甲同学准备试一试，记甲同学抽到有奖的卡片数为．
求的分布列和数学期望；
求甲同学获得一件精美小礼品的概率；
参与抽奖活动的同学，若获得一件精美小礼品可得积分，未获得一件精美小礼品可得积分抽奖活动结束后，从参与抽奖活动的同学中随机抽取个人，记这个人积分总和为的概率为，求数列的前项和．
19.本小题分
已知函数．
讨论函数的单调性；
已知，函数，对任意，存在，使，求实数的取值范围；
已知，函数有两个不同的零点，，且有唯一的极值点，记，，，判断是否可能为等腰三角形，并说明理由．
参考答案
1.
2.
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7.
8.
9.
10.
11.
12.．
13.
14.．
15.解：由的面积为，
可得，所以，
又，所以；
因为，的外接圆的半径为，
所以由正弦定理得：，
由余弦定理得：，
又因为，所以，
所以，即，可得，
又，所以为等边三角形，
所以的周长为．
16.解：证明：在四棱台中，上、下底面均为正方形，为中点，
，且，
，且，
，，
四边形为平行四边形，
，
平面，平面，
平面
由题可知，，．
平面，，平面，
，，又．
以为原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
又，，
，
设平面一个法向量为，
则，
，，
取，则，，，
设点到平面的距离为，
则，
即点到平面的距离为．
17.解：由题可知，，
，，
解得，
；
可知斜率存在，设，设，
由，得，
，得．
，：，令，，
同理，得．
，
，，
当即时，取最小值为，
的最小值为．
18.的可能值为，，，．
则，
．
的分布列为：
．
(ⅱ)甲同学获得一件精美小礼品的概率为．
个人积分总和为，有名同学得积分，名同学得积分，
即名同学获得一件精美小礼品，名同学未获得一件精美小礼品．
由(ⅱ)可知，每名同学获得一件精美小礼品的概率为，
．
则，
，
故
，
则．
19.解：函数的定义域为，，，
当时，，在上单调递减；
当时，令，则，
令，则；令，则；
在上单调递增，在上单调递减．
综上所述，当时，在上单调递减；
当时，在上单调递增，在上单调递减．
，，
当时，即．
由知，当时，，在上单调递增，在上单调递减．
对任意，
对任意，存在，使，则．
，，，
即实数的取值范围为．
不可能为等腰三角形，理由如下：
由知，当时，在上单调递增，在上单调递减，
有唯一的极大值点，不妨设，
，，，，，
过点作轴于点，则．
比较与的大小，等价于比较与的大小，等价于比较与的大小，即比较与的大小．
，
设，，
在上单调递减，
，即，
在上单调递减，，
即，，由勾股定理可得，
比较与的大小，，
先证明，设，，
在上单调递增，，即，
，，
，
下面比较与的大小，
，
设，，
设，
则，
，，即，在上单调递增，
，在上单调递增，
，，
在上单调递减，，
即，
，
综上，不可能为等腰三角形．
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