资源简介

江苏南京外国语学校等学校2026届高三年级第三次质量检测
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，那么下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
2.若，则的定义域为( )
A. B. C. D.
3.某超市在周末下午高峰时段，记录了位顾客的结账等待时间单位：分钟：，，，，，，，，，，，，，，，，则该组数据的第百分位数为( )
A. B. C. D.
4.已知函数，则满足的实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
5.已知的展开式中的系数为，且正数，满足，则的最小值为( )
A. B. C. D.
6.已知抛物线在处的切线与圆交于、两点，则的面积为( )
A. B. C. D.
7.已知满足，，则( )
A. B. C. D.
8.在等腰梯形中，与平行，，，沿对角线将折起得到三棱锥，若异面直线与所成角的余弦值为，则三棱锥外接球的表面积为( )
A. B.
C. D. 或
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知为等比数列的前项和，为其前项积，公比，且，，则下列结论正确的是( )
A. 数列为递减数列 B. 使的正整数的最小值为
C. 的最大值为 D.
10.有甲、乙两个不透明的盒子，甲盒中装有个红球和个白球，乙盒中装有个红球和个白球，先随机选择一个盒子选甲盒的概率，选乙盒的概率为，再从选中的盒子里不放回依次取出个记事件为“第一次摸到红球”，事件为“第二次摸到红球”，其中表示摸出的个球中红球的个数则下列说法正确的是( )
A. B.
C. 的数学期望 D. 的方差
11.已知函数，且的图象过点，若的图象与直线有个不同的交点，且这个交点的横坐标依次为，，，则下列说法正确的是( )
A. 实数的取值范围是
B. 的取值范围是
C. 的最大值为
D. 若在上的值域为，则的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.实数的值为___________．
13.设是椭圆的上顶点，若上的任意一点都满足，则椭圆的离心率的取值范围是 ．
14.对正实数定义运算：已知平面向量，满足，，，设，，令，记的最大值为若正实数，满足，则的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，圆锥的底面圆心为，直径为，为半圆弧的中点，为劣弧的中点，且，．
求证：平面；
求直线与底面所成角的正切值．
16.本小题分
为推进双碳目标，我国西北某地区自年起开展生态修复碳汇造林工程，统计了--年治理经费投入与新增碳汇造林面积数据如下表，单位：亿元、万亩．
年份
治理经费
新增碳汇造林面积
根据表中数据，求关于的线性回归方程，并预测该地区年的新增碳汇造林面积；
统计该地区治理项目相关数据，将治理经费分为低投入、高投入两类，新增碳汇造林面积分为未达标、达标两类，得到如下列联表：
未达标 达标 合计
低投入
高投入
合计
有无的把握认为新增碳汇造林面积是否达标与治理经费有关？
经统计，前年该地区造林项目总数量为个，其中未达标项目数量为个，达标项目数量为个
由题意判断数列为何种数列，并说明理由；
现从前年的所有造林项目中随机抽取个，记抽取的达标项目个数为随机变量，求的数学期望；已知抽取的个项目中至少有个达标，求这个项目全部达标的概率．
附：对于一组数据，，，，的斜率和截距的最小二乘估计分别为，，卡方统计量：．
小概率值
17.本小题分
在中，角，，所对的边分别为，，，从以下三个条件中任选一个作为已知条件，解答后续问题：；；．
求角的大小；
若，，求的面积．
，，求的最大值；
若满足中所选条件记第个三角形中，，，，记的面积为，求数列的前项和．
18.本小题分
某城市建设椭圆文化广场，以广场中心为坐标原点建立平面直角坐标系，广场主要景观为贴合椭圆轮廓的弧形承重拱架，工程团队结合材料力学与结构安全规范开展设计：
该弧形拱架的受力形态与椭圆离心角相关，受型材应力、用料损耗影响，单位长度拱架的应力成本函数为土木工程简化模型求的最小值，并求出此时对应的椭圆离心角的值；
在竖向风荷载作用下，该拱架对应第一问最优离心角的结构安全储备函数为结构力学荷载模型：，工程设计规范要求，拱架应力成本最小值与安全储备函数值之和不小于，对任意荷载参数恒成立，求实数的取值范围；
广场椭圆为拱架基准轮廓线，长轴在轴上，离心率为第一问求出的值，长半轴长等于第二问参数的临界值，且椭圆过点过直线上的任意动点作椭圆的两条切线，切点分别为、，求证：直线恒过广场中心文化纪念碑定点，并求出该定点坐标．
19.本小题分
幂运算相关不等式是数学研究的常见对象，以下探究一类幂不等式的性质．
探究一：当且时，用二项式定理证明：；
探究二：当且为实数时，用导数法证明：；
探究三：已知，且，证明：；
探究四：已知，，，是大于的实数，且所有数同号，证明：．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：连接交于，因为为劣弧的中点，所以是中点，
又是中点，所以，即
因为平面，平面，
所以平面；
因为平面，所以是直线与底面所成的角，，
又平面，所以
因为，所以，所以．

16.解：设回归方程为，
由已知，，
，，
所以回归直线方程为，
年，，，
所以预测该地区年的新增碳汇造林面积为万亩；
由已知，
所以有的把握认为新增碳汇造林面积是否达标与治理经费有关；
由题意，，，
所以是首项为，公差为的等差数列；
随机抽取个项目，达标项目个数服从超几何分布，期望为，
抽取个项目，至少有一个达标，个全部达标的概率为
．

17.解：选，
由正弦定理得，
中，，所以，所以；
选；
由正弦定理得，
中，，所以，所以；
选，
所以，
，
中，，上式化简为，所以；
由余弦定理得，又，
所以，
所以；
由知，，，
，
，
当时，是减函数，是增函数，
所以在上是减函数，
又时，，，，，
，
令，得，
所以，，
所以时，，递增，时，，递减，
所以
；
由已知，
，
所以．

18.略
19.解：时，不等式显然成立．
时，由二项式定理及，
．
时，显然成立．
时，令，，
，易得在上单调递增，
时，，单调递增，
时，，单调递减，
故，即．
由，得．
时，显然成立．时，由结论成立．
假设时，，结论成立，即：，，，是大于的实数，
且所有数同号有，．
对于时，若，，，是大于的实数，且所有数同号．
由于，，所以，即．
，时，；时，；
，时，，
故，，，同号．
由及归纳假设，对于，，，这个数，有：
．
即时，结论成立．由归纳法结论得证．

第1页，共1页

展开更多......

收起↑