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安徽枞阳县浮山中学等校2026届高三下学期五月（一）数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集，集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知两个单位向量的夹角为，若，则( )
A. B. C. D.
3.已知函数为常数，若，，则( )
A. B. C. D.
4.已知，，则的最小值为( )
A. B. C. D.
5.我国古代数学专著九章算术中将四个面均为直角三角形的三棱锥称为“鳖臑”如图，在中，，，是边上的高，将沿直线折起，使点到点的位置，如图，此时三棱锥恰好是一个“鳖臑”，则二面角的余弦值为( )
A. B. C. D.
6.已知函数，直线与曲线交于，两点，若的最小值为，则的值为( )
A. B. C. D.
7.已知椭圆的左、右焦点分别为，，以为直径的圆与在第一象限交于点，直线交于另一点，且，则的离心率为( )
A. B. C. D.
8.已知函数，若，且，则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若随机变量服从正态分布，则，现已知两个随机变量，，则( )
A. B. C. D.
10.已知数列的前项和为，且满足，，，则下列说法正确的是( )
A. 数列为等差数列 B. 数列为等比数列
C. D.
11.已知为抛物线的焦点，，，为该抛物线上不同的三点，则下列说法正确的是( )
A. 若，则
B. 若点的坐标为，且，则直线过定点
C. 若，且，则的重心在曲线上
D. 若点的坐标为，点在的上方，且，则这样的有且仅有个
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.某公园的一处景观湖中有个小岛，现需要在小岛之间建座桥，使得这个小岛彼此相连即从任意一个小岛都能走到另外任意一个小岛，每座桥只能连接个小岛，则一共有 种不同的建桥方案．
13.若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则 ．
14.已知锐角三角形的内角，，的对边分别为，，，的面积为，且记，则的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
求的单调递增区间；
先将的图象上各点的横坐标缩短到原来的纵坐标不变，再向右平移个单位长度，得到的图象，若方程在区间上有解，求的取值范围．
16.本小题分
某工厂为促进技工们不断提升技能水平，每年组织一次技能达标测试假设技工小李每年都参加，他第年达标的概率为，以后每年参加时达标的概率比上一年增加个百分点即第年达标的概率为，第年达标的概率为，依此类推，且每年达标与否不受往年影响．
求小李第年首次达标的概率
设小李第年首次达标的概率为，则当为多少时，最大
17.本小题分
如图，在四棱锥中，底面为矩形，，，，点在侧棱上与端点不重合．
若平面，且为的中点，求直线与平面所成角的正弦值
若，且，，证明：是的中点．
18.本小题分
已知双曲线的两条渐近线互相垂直，右焦点到渐近线的距离为．
求的方程．
设为上一动点，在点处的切线为，过点作的垂线，垂足为．
证明：点到原点的距离为定值；
当点与不重合时，过点作的另一条切线，切点为，直线与两坐标轴的交点分别为，，求的最小值．
19.本小题分
已知函数．
记为的从小到大的第个极值点．
证明：数列是等比数列；
若对于一切，不等式恒成立，求实数的最大值．
若为方程在区间内的实数根，证明：．
参考答案
1.
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8.
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10.
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12.
13.
14.
15.解：原解析式中分母不为，即，
所以，得，
则
令，解得，
故的单调递增区间为．
由题意知，且．
当时，，
则，所以．
又的定义域不含，
所以在区间上的值域为
故的取值范围是．

16.解：在第年首次达标，意味着第年未达标，第年达标．
第年达标的概率为，未达标的概率为，
第年达标的概率为．
故所求概率为．
当时，．
当时，，
，
令，即，
化简，得，
因为，
所以，即时，，
当时，，
所以当时，最大．
17.解：由题可知，，两两互相垂直，以为坐标原点，以，，所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
因为为的中点，所以，，
设平面的法向量为，
则
令，得，则．
易得
设直线与平面所成的角为，
则，
故直线与平面所成角的正弦值为．
如图，在平面中过点作交于点，在平面中过点作交于点，连接，．
因为底面为矩形，所以，又，，，平面，
所以平面，因为，所以平面．
设，由，得，则
在中，．
在中，由余弦定理得
，
即，
解得或舍去，从而，所以为的中点．

18.解：由题意的两条渐近线分别为，，
则，可得，所以，即．
由右焦点到渐近线的距离为，得，
解得，则，故的方程为．
若点的坐标为时，则点与重合，坐标也为，到原点的距离为．
若点的坐标为，则，
设的方程为，与的方程联立，
消去，得，
由，结合，得，则的方程为．
由题得，则的垂线的方程为．
设点，将和垂线的方程联立，得
，解得，即，
则．
综上，点到原点的距离为定值．
记，由知，，．
由于点在这两条直线上，所以
因此直线的方程为．
不妨设点在轴上，点在轴上，则，．
故，
当且仅当时取等号，因此的最小值为．

19.解：因为，所以，
令，可得，即，解得，，
当为奇数时，在附近左负右正；
当为偶数时，在附近左正右负．
所以，均为极值点，即，．
所以．
因为，故，而，
故，所以数列是等比数列．
对于一切，恒成立，即恒成立，
可得恒成立，设，可得恒成立．
设函数，则，令，可得，
当时，，在区间上单调递减，
当时，，在区间上单调递增．
因为，当时，，且，由，可得，
所以，
所以，解得，所以的最大值为．
设，则，
当时，，所以在上为减函数．
记，则，
所以在区间上单调递减，所以，即．
由题可知，记，则，
故，
由及在区间上单调递减，得，因此．
由，及，
得，
即．

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