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四川字节精准教育联盟2026年普通高等学校招生全国统一考试冲刺
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.集合，集合，则( )
A. B. C. D.
2.已知复数，则( )
A. B. C. D.
3.已知等差数列的前项和，，等比数列满足，，则( )
A. B. C. D.
4.某地区发现一种传染病，初期感染人数增长符合指数函数模型其中为感染人数，为初始感染人数，为传播系数，为发现疫情后的天数，为自然对数的底数已知发现疫情第天感染人数为人，第天感染人数为人若感染人数达到人时需要启动紧急防控预案，则最迟应在发现疫情后第天启动参考数据：，，
A. B. C. D.
5.的展开式中，的系数为( )
A. B. C. D.
6.已知是定义在上的偶函数，且对任意，总有，则不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
7.设为坐标原点，为椭圆的两个焦点，点在上，，则( )
A. B. C. D.
8.已知函数，若对任意恒成立，则实数的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.为测试脑机接口设备的信号识别精度，某科研团队开展高三学生脑机接口操作实验，实验评分部分满分分随机抽取名参与实验的高三学生的操作得分单位：分如下：，，，，，，，，，下列说法正确的是( )
A. 该样本的分位数为分 B. 该样本的极差为分
C. 用样本均值估计总体均值，其值约为分 D. 用样本方差估计总体方差，其值约为
10.将函数的图象向左平移个单位，再将横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则( )
A. 函数的图象的一条对称轴为直线
B. 函数的图象的一个对称中心为
C. 函数的周期为
D. 不等式的解集为
11.如图，矩形中，，，为边的中点，沿将折起，点折至处平面，若为线段的中点，平面与平面所成锐二面角，直线与平面所成角为，则在折起过程中，下列说法正确的是( )
A. 存在某个位置，使得
B. 面积的最大值为
C.
D. 三棱锥体积最大时，三棱锥的外接球的表面积
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若，且，则的最小值是 ．
13.已知圆：，圆：，，分别是圆，上的动点，为轴上的动点，则点到，两点的距离之和的最小值为 ．
14.有个相同的球，分别标有数字，，，，，从中有放回地随机取次，每次取个球记为这个球中至少被取出次的球的个数，则的数学期望 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
人教版选择性必修二第页中提到：欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数且与互素的正整数的个数，例如：
，，，，，，正偶数与不互素，所有正奇数与互素，比小的正奇数有个，所以；
求，，的值；
已知数列满足，求的前项和；
若数列的前项和为，对任意，均有恒成立，求实数的取值范围．
注：两个整数互素是指这两个整数的最大公因数为．
16.本小题分
甲、乙两人进行围棋比赛，每局胜者得分，负者得分，约定一方比另一方多分或比赛满局时结束，并规定：当一方比另一方多分或比赛满局时，得分多的一方才算赢假设在每局比赛中不存在平局，且甲每局获胜的概率为，各局比赛相互独立已知前局中，甲胜局，乙胜局，两人又打了局后比赛结束．
求甲获得这次比赛胜利的概率；
求的分布列及期望．
17.本小题分
已知函数，．
令，求在点处的切线方程；
讨论在上的单调性；
证明：当时，；
．
18.本小题分
已知双曲线的方程为，是一个定点．
若点在双曲线的渐近线上，求的离心率；
若点在双曲线上，，是双曲线上的另外两个动点，是坐标原点．
当是的重心且直线的斜率为时，求双曲线的方程；
当时，求证：存在一个定圆与直线相切．
19.本小题分
如图，在中，，点是边上一点，且，．
若平分时，求的大小；
如图，将沿翻折至，使平面平面．
当三棱锥的体积最大时，求三棱锥的外接球的表面积；
求直线与平面所成角的正弦值的最大值．
参考答案
1.
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14.
15.解：因为不超过正整数且与互素的正整数只有，，所以，
因为不超过正整数且与互素的正整数只有，，，，所以，
所有不超过正整数的正整数有个，其中与不互素的正整数有，，，，
，共个，
所以所有不超过正整数，且与互素的正整数的个数为个，
即；
，
，
两式相减得
，
；
由可知
，
得恒成立，
令，
则，
可得；当时，，当时，，
所以的最大值为，
故．

16.解：情况：在接下来的比赛中，甲连赢局，则甲获胜，
概率为；
情况：在接下来的比赛中，甲嬴局，乙赢局，则甲获胜，
概率为，
甲获得这次比赛胜利的概率为；
由题意得的可能取值为，，
时，在接下来的比赛中，乙连嬴局，
，，
的分布列为：
的期望为．
17. 在单调递增 证明：令，则，
所以在上单调递增，所以，即当时，
所以当时，；由可知当时，，故，
由于，则，故，
由可知在单调递增，在单调递减，故在单调递减，即在单调递减，
故，所以
18.解：双曲线的渐近线方程为，若点在双曲线的渐近线上，
则，所以；
设，的坐标分别为，，因为点在双曲线上，
所以，
因为，在双曲线上，所以，
作差可得，即，
因为是的重心，所以，即，，
又因为直线的斜率为，所以，即，
代入解得，
所以双曲线的方程为；
因为，直线不可能垂直于轴，所以设直线的方程为，
代入，化简得，
所以，
因为，所以，即，
即，
化简得，
所以原点到直线的距离，存在定圆与直线相切．

19.解：因为，所以，
即，
若平分，则，所以．
设，则，
因为，，所以．
由，得，
解得，即．
所以，
又，所以；
设，作，垂足为，所以，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面C.
又，
所以，
当且仅当时取最大值，此时，，即，，两两垂直，
设三棱锥的外接球半径为，则，
所以三棱锥的外接球的表面积为；
如图，以所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，
设，则，，
，，，
则
设平面的一个法向量为，则
所以

令，则，
所以，，
设直线与平面所成角为，则
，
令，则，
所以，当且仅当时取等号，
所以，
故直线与平面所成角的正弦值的最大值为．

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