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云南曲靖市宣威市2026届高三第二次模拟考试数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.在复平面内，复数对应的点与复数对应的点关于直线对称，则( )
A. B. C. D.
3.经过椭圆的左顶点与上顶点的直线的斜率为，则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
4.若曲线的一个对称中心为，则不可能是( )
A. B. C. D.
5.已知定义域为的函数满足，且对任意，，当时，都有，则( )
A. B.
C. D.
6.已知正方形的边长为，为该正方形内切圆的直径，点在正方形的边上运动，则的最大值为( )
A. B. C. D.
7.若曲线上存在两点到直线的距离为，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
8.已知正项数列的前项和为，，，则下列选项正确的是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.某学校高三年级共有人，其中男生人，为调查学生的身高情况，现采用性别比例分配的分层随机抽样抽取容量为的样本，其中，男生身高的平均数和方差分别为和，女生身高的平均数和方差分别为和，则( )
A. 该校每位男生被抽到的可能性大于每位女生被抽到的可能性
B. 男生中抽取的样本量为
C. 该校高三年级学生身高的平均数估计值为
D. 该校高三年级学生身高的方差估计值为
10.如图，已知正方体的棱长为，分别为的中点，为正方体表面上的动点，则下列说法正确的是( )
A. 若点在棱上运动，则与一定为异面直线
B. 若点在棱上运动，则存在点，使得平面
C. 若点是底面内一点包括边界，且点到直线与到直线的距离相等，则点的轨迹为抛物线的一部分
D. 若点为中点，则三棱锥体积为
11.已知满足，且外接圆半径为，则( )
A.
B.
C. 当面积取得最大值时，
D. 当周长取得最大值时，
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.记为等比数列的前项和，若，则 ．
13.已知圆锥的高为，，为底面圆周上两点且满足，，则该圆锥的体积为 ．
14.一项比赛由，，，，共人参加，任意两人之间都需要比赛一场并且分出胜负，若人实力相当即每场比赛两人胜负概率均为，则的胜场数比其余任何一人的胜场数都多的概率为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数的部分图象如图所示．
求的解析式；
若函数，求方程在上的解的个数．
16.本小题分
某食盐厂生产标准质量为克的袋装食盐，由于各种因素，实际质量与标准质量或多或少会存在一些误差，误差在克以内视为质量合格，现为了检测一条自动流水线的机器运行情况，随机抽取该流水线上的袋食盐检测它们的质量单位：克作为样本数据，质量的分组区间为，，且由样本数据绘制频率分布直方图如图：
求的值；
从质量不合格的食盐样本中，随机抽取袋，其中质量在的食盐袋数记为，求的分布列和期望．
17.本小题分
如图甲，是等边三角形，为等腰直角三角形，，将沿翻折到的位置，其中如图乙，点在线段上不含端点．
证明：；
设平面与平面的夹角为，求的取值范围．
18.本小题分
已知，．
若，求的单调区间和极值；
若在上既存在极小值点，又存在零点，求参数的取值范围；
设，求中元素个数的所有可能值．
19.本小题分
已知双曲线的左、右顶点分别为、，为坐标原点．设点、、是上不同的三点，点、点分别在的左支、右支上．
已知点在上，过作轴的平行线，与双曲线的两条渐近线交于、两点，．
求的标准方程；
的外心为异于原点，若直线、、、的斜率均存在且不为，分别记为、、、，探究是否为定值．注：
设直线与直线交于点，直线与直线交于点，求证：．
参考答案
1.
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10.
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13.
14.
15.解：的最小值为，所以，
的最小正周期，得，又，所以，
结合图象可知，即，
，
，
；
，
令，即，又，
，
当或或时，，
分别对应，，，故方程在上的解的个数为．

16.解：由直方图得，则；
区间中有袋食盐，区间中有袋食盐，
且质量不合格的食盐所在区间为和
从中随机抽取袋，则的所有可能取值为，，，，
，，
，，
则的分布列为：
所以．

17.解：如图，取中点为，连接，，
因为，，所以，，
因为，，平面，所以平面，
因为平面，所以；
因为为等腰三角形，，即，
所以，因为为等边三角形，
所以，故，，
因为，则，即，又，，
所以，，两两互相垂直，以为原点，为基底建立空间直角坐标系，
则，，，
设平面的法向量为，，，
则，即，取，得，
设，所以，则，故，
设平面的法向量为，，
则，即，取，得，
所以，
令，则，所以，
因为时，，所以，
所以．

18.解：当时，，函数定义域为，
，令，
则当时，当时，且，
所以的单调减区间为，单调增区间为，
在处取到极小值，无极大值．
因为，所以，
若，则，此时在上单调递增，不存在极小值点，与题设矛盾，故舍去；
若，令舍去，
当时，，当时，，
则在上单调递减，在上单调递增，
因为在上存在极小值点，所以，解得，
又因为在上存在零点，且，当，，
所以，即，解得，
综上，参数的取值范围为．
设为方程在上的解的个数，
为方程在上的解的个数，
显然，
对于方程，因为，所以，
则等价于，
对于方程，等价于，
设，，
，时，，
当时，，在上单调递减，
当时，，在单调递增，
故在取得最小值，
又因为，；，，
所以方程的解的个数为
，
则当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
故在取得最小值，
又因为，；，，
所以方程的解的个数为
因为，
所以当时，，
当时，，
当时，，
综上，的所有可能值为．

19.解：由题得，过与轴平行的直线，双曲线的渐近线，
所以，不妨令，
则，所以，
所以，，则的标准方程为；
根据条件知，的三边中至多有一边经过原点，
不妨设、不过原点，，，，，
如图，则，，
两式相减，得，
所以，，同理，
于是线段的垂直平分线的方程为，
整理，得，
同理线段的垂直平分线的方程为，
所以，，
两式相减，得，
整理，得，
即，又，，
所以，于是，是定值；
设直线的方程为，，，
联立，消，得，
所以，，，，
把代入得，则直线为．
由题，，如图，则直线为，
联立直线与直线的方程，得，
，又，
要证明，只需证明，
即证明，
把，代入上式，得
，
所以．

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