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安徽合肥市肥东一中大数据联考2026届高三毕业班考前质量检测
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.给出下列复数：；；；；其中表示实数的有( )
A. B. C. D.
2.为了丰富学生的课余生活，促进学生全面发展，某校开设了劳动实践、研学参观、技术培训类拓展课程．高三某班学生共有人报名参加拓展课程，其中有人报名参加劳动实践，有人报名参加研学参观，有人报名参加技术培训，同时报名参加劳动实践和研学参观的有人，同时报名参加研学参观和技术培训的有人，只参加技术培训的人数为( )
A. B. C. D.
3.函数的值域为( )
A. B. C. D.
4.在中，，且满足，其中是外接圆的圆心，则( )
A. B. C. D.
5.在中，角，，的对边分别为，，，满足，若，则的相反数为( )
A. B. C. D.
6.如图，函数的图象与轴交于点，将绘有该函数图象的纸片沿轴折成直二面角，如图，若折叠后、两点间的距离为，则( )
A. B. C. D.
7.平面直角坐标系中，曲线上有一系列点，，对，以为圆心的圆与轴都相切，且圆与圆彼此外切．若，且，记数列的前项的和为，对于任意的使得恒成立，记不超过的最大整数为，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.计算：的值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.近年来，全球数字化进程持续加速，人工智能，简称已然成为科技变革的核心驱动力，有媒体称开启了我国新纪元．某地区随机调查了经常使用某工具的名用户，统计他们的年龄，得到如下的统计表：
项目 第一组 第二组 第三组 第四组 第五组
年龄
人数
为了分析数据，小组甲、小组乙分别使用不同的办法解决一些统计问题．
【小组甲】用分层随机抽样的方法，从上面名用户中随机抽取了人，现从这人中随机抽取人，记抽到第一组的人数为，第二组的人数为．
【小组乙】通过查阅资料，该工具对某个问题能准确答对其中的个，其余个问题均无法答对．若从这个问题中随机抽取个对该工具提问，不妨记事件为“抽取的个问题中，恰好答对个问题”．
则下列说法正确的有( )
A. 该工具用户的平均年龄为岁 B.
C. 使概率最大的值为 D. 使概率最大的值为
10.已知函数( )
A. 函数的对称中心为
B. 记根的个数所构成的集合为，则
C. 当必然有实数根且有个不同实根时，
D. 当必然有实数根且有个不同实根时，
11.球的体积公式可以利用微分法推导：先将半球用平行于底面大圆面的平面将其分成等高的部分，每一部分可近似看作圆柱，这些圆柱体积之和就作为半球体积的近似结果，当时，的极限即为半球的体积，从而得到球的体积公式．图中，为过圆柱的轴的截面，分别为圆柱上下底面圆周上的点，且的夹角为若将直线绕转一周，可得双曲面图，即过圆柱的轴的任一截面与双曲面的交线都为双曲线．设为的中点，在平面内以为原点，为轴建立如图所示的平面直角坐标系，记圆柱高为，底面半径为，过作直线平面，交圆柱侧面于两点，过双曲线的右焦点的直线与双曲线右支交于两点，将双曲面与圆柱上下底面围成的封闭几何体记为则下列说法错误的是( )
参考公式：．
A. 若，坐标平面中相应的双曲线的方程为
B. 若，四面体体积的最小值为
C. 若矩形周长为，则的体积最大值为
D. 若矩形周长为，则的体积最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，则 ．
13.已知圆：，若存在，使得直线与圆有公共点，则实数的取值范围是 ．
14.已知函数，则的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
求极值点的个数，并解不等式；
求证：若，则
16.本小题分
如图，正方形的边长为如图，现将正方形沿着对角线翻折，其中为原正方形的中心．

证明：平面；
翻折至四面体的体积最大时，求与平面所成的角的正弦值．
17.本小题分
二项式定理是代数版的二项分布，二项分布是概率版的二项式定理，组合数是二者共同的数学基础．
证明：为正整数，且；
若随机变量的概率分布列为，试求；
若函数，求用含，代数式表达．
18.本小题分
三角形的布洛卡点由法国数学家布洛卡首次发现，当内一点满足时，则称点为的布洛卡点，角为布洛卡角．如图，在斜中，角，，所对的边分别为，，，记的面积为，点是的布洛卡点，布洛卡角为．
证明：当时，；
当且时，求的值；
证明：当时，是等边三角形．
19.本小题分
如下图所示：曲线是与组成的，与其中的两个交点分别记作、，点在第一象限，点在第三象限．
如图，设，，，求点的坐标和结果保留根号；
如图，设四边形的四条边都与曲线相切，时，求四边形的面积；
如图，在轴右侧的曲线上有两点、，直线经过点点在上当时，是否存在直线，使得所在直线与所在直线关于直线对称？若存在，求直线的方程，若不存在请说明理由．
参考答案
1.
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4.
5.
6.
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8.
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10.
11.
12.
13.
14.
15.解：因为，
所以，
令，
因为，两个根为，
当或时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以在处取得极值，所以有两个极值点；
由，
当时，，则；
当时，，则，
当时，，则，
当时，，则，
所以的解集为：．
由，
设，
则，
，
所以，
所以当时，．

16.解：在图中连接，，

因为和都是等腰三角形，且是正方形中心，
所以，，
因为，，平面，
所以平面．
在翻折过程中，四面体的体积取最大值时，点到平面的距离最大，
此时平面平面，因为，所以平面．
所以，，两两垂直，如图，
以为坐标原点，，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系．
因为正方形的边长为，
所以，，，，
，，，
设平面的一个法向量，
因为，即
令，则，，得，
设与平面所成角为，，
即与所成的角的正弦值为．

17.解：
因为随机变量的概率分布列为，
若，则，
故，则
对求导，可得，则，
又因为
，
所以．

18.解：当时，
，则，
在中，由余弦定理得，
在中，由余弦定理得，
在中，由余弦定理得，
相加得，
；
当时，是等腰三角形，，
而，，则，
又，则，，即，
又，则．
设，则，
由，得，则，
又，即，
则，
在中，由正弦定理得，即，
即，则，
在中，，
由正弦定理得，即，
由余弦定理得，即，
故的值为．
在中，，
由正弦定理，得，
由，
得点是的重心，，
即，
则，又，于是，
同理，，
因此，由正弦定理得，是等边三角形

19.解：令，由题可得，、为与公共点，
将与联立，可得，解得：
则，由题可得，则，
又，则，从而，
将代入得．
解得或由，故舍去，故．
由知，又，则，
则椭圆方程为：．
设，由对称性可得，则直线方程为：．
将直线方程与联立，化简后可得，
因直线与椭圆相切，则判别式．
此时，将与联立，化简后可得：，
其判别式也为，则直线也与椭圆相切．
则，由对称性可得，
则四边形的面积为：．
由分析可得，又，则，
则两椭圆方程为：．
从而曲线与轴正半轴，轴正半轴交点为：．
设直线，将直线分别与两椭圆方程联立，
则
化简后可得：，；
，．
设，由韦达定理，
，．
因、在轴右侧，点在上，
则．
则，．
因为，则，．
若所在直线与所在直线关于直线对称，则．
因，，则若，
则，
化简可得，
因，则不存在使得，即不存在使得直线与直线关于对称．

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