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2025-2026学年北京市顺义区牛栏山第一中学板桥学校高一（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在复平面内，复数对应的点的坐标为，则实数( )
A. B. C. D.
2.已知向量，满足，，，则( )
A. B. C. D.
3.已知满足，，则( )
A. B. C. D.
4.设，是两个平面，，是两条直线，若，，则“”是“，”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.设，，分别为的三边，，的中点，则( )
A. B. C. D.
6.已知中，，，，则等于( )
A. B. 或 C. D. 或
7.以下四个命题中，正确命题是( )
A. 不共面的四点中，其中任意三点不共线
B. 若点，，，共面，点，，，共面，则，，，，共面
C. 若直线，共面，直线，共面，则直线，共面
D. 依次首尾相接的四条线段必共面
8.三边长分别为，，，则的值为( )
A. B. C. D.
9.在中，，，，则的面积为( )
A. B. C. D.
10.如图，在平面四边形中，，，，若点为边上的动点，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.已知向量，，若，则 ．
12.已知复数的实部等于虚部，则 ．
13.已知向量在正方形网格中的位置如图所示若网格中每个小正方形的边长均为，则 ．
14.如图所示，已知三棱柱的所有棱长均为，且底面，则
三棱锥的体积为______．
15.如图所示，在空间四边形中，点，分别是边，的中点，点，分别是边，上的点，且，给出下列四个结论：
与平行；
与共面；
与的交点可能在直线上，也可能不在直线上；
与的交点一定在直线上．
其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
已知复数，为虚数单位．
Ⅰ若，求的值；
Ⅱ若为实数，求的值．
Ⅲ若，在复平面上对应的点在第一象限，求的取值范围．
17.本小题分
如图，在中，，，，点在线段上，且．
Ⅰ求的长；
Ⅱ求的值．
18.本小题分
已知平面向量，．
若，求实数的值；
设，若，，三点共线，求的值．
19.本小题分
如图所示，在四棱锥，平面，，是的中点．
求证：；
求证：平面．
20.本小题分
在中，角，，所对的边分别为，，已知．
Ⅰ求的值；
Ⅱ若，的周长为，求的面积．
21.本小题分
如图，四棱锥中，四边形是正方形，若，分别是线段，的中点．
求证：平面．
在线段上是否存在一点，使得平面平面？并说明理由．
参考答案
1.
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10.
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14.
15.
16.解：Ⅰ因为，解得；
Ⅱ因为为实数，
所以，解得．
Ⅲ因为且，
所以，
因为在复平面上对应的点在第一象限
所以，解得，
故的取值范围为
17.解：因为，，，
所以，，
又点在线段上，且，
所以，中，由余弦定理可得，，
，
所以；
因为，
中，由正弦定理可得，，
所以
18.解：因为，，所以，
因为，所以，
整理得，解得或．
法一：因为，，三点共线，所以，
因为，，
所以，解得．
法二：因为，，三点共线，所以存在实数，使得，
即，
所以，解得．
19.证明：因为平面，平面，平面平面，所以．
如图，取的中点，连接，，
因为是的中点，所以，
因为，所以，，
则四边形是平行四边形，，
因为平面，平面，
所以平面．
20.解：Ⅰ中，，
由正弦定理得，，即，
由余弦定理得，Ⅱ当时，由，得，
由，，得，
所以，
设的外接圆半径为，
则的周长为，解得，
所以的面积为．
21.证明：取的中点，连接，，
，，分别是线段，，的中点，
，，
又，，
平面平面，
又平面，
底面．
解：当为的中点时，平面平面理由如下：
证明如下：
，分别为，的中点，
为的中位线，
，
又平面，平面，
平面，
又平面，，平面，平面
平面平面．
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