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2025-2026学年辽宁省沈阳市浑南区东北育才学校高二（下）期中
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若随机变量，则( )
A. B. C. D.
2.下列求导数的运算中正确的是( )
A. B.
C. D.
3.某医院有现场和在线两种挂号方式，其中现场挂号的比例为，通过调查问卷，得知的现场挂号患者对医院的服务满意，的在线挂号患者对医院的服务满意，随机调查该医院的一名患者，他对医院的服务满意的概率为( )
A. B. C. D.
4.我国古代数学名著算法统宗中说：九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠；次第每人多十七，要将第八数来言；务要分明依次第，孝和休惹外人传说的是，有斤棉花要赠送给个子女做旅费，从第个孩子开始，以后每人依次多斤，直到第个孩子为止根据这些信息第三个孩子分得斤棉花？
A. B. C. D.
5.等比数列的公比为，前项和为，则“”是“对任意的，，，构成等比数列”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分条件也不必要条件
6.过点作函数图像的切线，则切线方程为( )
A. B. C. D.
7.已知随机变量的分布列如下：
其中，是和的等差中项若，则( )
A. B. C. D.
8.设数列的各项均为非零的整数，其前项和为若为正偶数，均有，且，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.某设备的使用年限年和所支出的维修费用万元有如下表的统计资料：
已知根据表中原始数据得回归直线方程为某位工作人员在查阅资料时发现表中有个数据模糊不清了，下列说法正确的是( )
A. 所支出的维修费用与使用年限正相关
B. 估计使用年维修费用是万元
C. 根据回归方程可推断出模糊不清的数据的值为
D. 第年维修费用的残差为万元
10.已知数列满足，若，，则( )
A. 存在实数，使得是等差数列 B. 不存在实数，使得是等比数列
C. 存在实数，使得是周期数列 D. 不存在实数，使得是递增数列
11.将函数的所有极值点按照由小到大的顺序排列，得到数列其中，则( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知随机变量服从正态分布，且，则 ．
13.若在上单调递减，则实数的最大值为 ．
14.已知支球队两两之间都要进行一场比赛，任意两支球队之间的比赛都没有平局，各队的实力相同，则有且只有支球队恰好获胜场的概率为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
当时，求曲线在点处的切线方程；
讨论的单调性．
16.本小题分
某学校为提升学生的科学素养，要求所有学生在学年中完成规定的学习任务，并获得相应过程性积分现从该校随机抽取名学生，获得其科普测试成绩百分制，且均为整数及相应过程性积分数据，整理如下表：
科普测试成绩 科普过程性积分 人数
当时，
从该校随机抽取一名学生，估计这名学生的科普过程性积分不少于分的概率；
从该校科普测试成绩不低于分的学生中随机抽取名，记为这名学生的科普过程性积分之和，求的分布列及数学期望；
从该校科普过程性积分不高于分的学生中随机抽取一名，其科普测试成绩记为，上述名学生科普测试成绩的平均值记为若根据表中信息能推断恒成立，直接写出的最小值．
17.本小题分
为数列的前项和，已知．
设，证明：，并求；
证明：．
18.本小题分
现有标号依次为，，，的个盒子其中，标号为号的盒子里有个红球和个白球，其余盒子里都是个红球和个白球现从号盒子里取出个球放入号盒子，再从号盒子里取出个球放入号盒子，，依次进行到从号盒子里取出个球放入号盒子为止．
当时，求号盒子里有个红球的概率；
当时，求号盒子里的红球的个数的分布列；
记号盒子中红球的个数为，求第号盒子有两个红球和两个白球的概率及的期望
19.本小题分
已知数列的前项和为若对每一个，有且仅有一个，使得则称为“数列”记，，称数列为的“余项数列”．
若的前四项依次为，，，，试判断是否为“数列”，并说明理由；
若，证明为“数列”，并求它的“余项数列”的通项公式；
已知正项数列为“数列”，且的“余项数列”为等差数列，证明：．
参考答案
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14.．
15.解：当时，，，，，
所以曲线在点处的切线方程为：，即．
因为，所以的定义域是，，
当时，当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增．
当时，当时，，当时，，
所以在和上单调递增，在上单调递减．
当时，当时，，在上单调递增．
当时，当时，，当时，，
所以在和上单调递增，在上单调递减．
16.解：当时，
可知，科普过程性积分不少于分的学生人数为．
从该校随机抽取一名学生，科普过程性积分不少于分的频率为．
即这名学生的科普过程性积分不少于分的概率估计为．
根据题意，从样本中成绩不低于分的学生中随机抽取一名，
这名学生的科普过程性积分为分的频率为．
所以从该校学生科普测试成绩不低于分的学生中随机抽取一名，
这名学生的科普过程性积分为分的概率估计为．
同理，从该校学生科普测试成绩不低于分的学生中随机抽取一名，
这名学生的科普过程性积分为分的概率估计为．
由表可知的所有可能取值为，，．
．
所以的分布列为
；
，则，
从该校科普过程性积分不高于分的学生中随机抽取一名，科普测试成绩记为，
则的最大值为，名学生科普测试成绩的平均值记为，
要恒成立，当，
显然的最小值为各分数段取最小值求得的平均分，
因此，
则，解得，
能推断恒成立的的最小值是．
17.证明：当时，即，
由，
两式相减可得，
两边同时乘可得即，
，
所以时，
，
所以时，；
满足上式，
故，；
由得
，
所以，
所以
．
18.解：设事件号盒子里有个红球，
则；
可取，，，
，
，
分布列为：
记为第号盒子有三个红球和一个白球的概率，则，
为第号盒子有两个红球和两个白球的概率，则，
则第号盒子有一个红球和三个白球的概率为，
且，得，
得，
而，则为等比数列，，公比为，所以，
第号盒子有两个红球和两个白球的概率为，
又，
由得
所以
又，所以，
．
19.解：不为“数列”理由如下：
由题意得：，，，，
因为，，所以满足的至少有个，不合题意，
所以不为“数列”；
证明：因为，
所以当时，，所以，解得，所以，
当时，，所以，解得，因此，此时，
所以，对每一个，有且仅有一个，使得，
故为“数列”，且其“余项数列”的通项为；
证明：因为为正项数列，所以单调递增．
，所以，
因为，且为“数列”，所以必有，因此，
因为“余项数列”为等差数列，所以其公差．
易知，若，则当时，，与矛盾，
所以，因此，所以，即．
对于，若，则，与正项数列矛盾，所以．
由正项数列可知递增，所以，
所以，所以，
所以．
又因为，，
所以．
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