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四川绵阳市三台县2025-2026学年高一下学期期中教学质量调研测试数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数满足，则的虚部是( )
A. B. C. D.
2.已知一个弹簧振子的运动方程为，则该弹簧振子的振幅、初相分别是( )
A. 振幅是，初相是 B. 振幅是，初相是
C. 振幅是，初相是 D. 振幅是，初相是
3.已知向量反向共线，且，则向量的方向( )
A. 与向量方向相同 B. 与向量方向相同
C. 与向量方向相同 D. 与向量方向相反
4.已知向量，，若，则 ．
A. B. C. D.
5.在中，点在边上，，记则( )
A. B. C. D.
6.已知三个平面向量，，两两的夹角相等，且满足，则向量在向量上的投影向量是( )
A. B. C. 或 D. 或
7.如图所示，，，，在同一个铅垂面，在山脚测得山顶的仰角为，，斜坡长为，在处测得山顶的仰角为，则山的高度为( )
A. B.
C. D.
8.已知非零向量与满足，且，点是的边上的动点，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列结论正确的是( )
A. 若复数满足，则
B. 复数在复平面内对应的点在第二象限
C. 若复数是纯虚数，则实数或
D. 若复数满足，则复数在复平面内对应的点所构成的图形的面积为
10.已知在四边形中，，且，为的中点则下列说法正确的有( )
A. 四边形的面积为 B.
C. 的外接圆的周长为 D.
11.在中，角、、所对的边分别为、、，且 ，则下列说法正确的是( )
A.
B. 若，则 周长的最大值为
C. 若为锐角三角形，且，则的取值范围为
D. 若 的外心为，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，则的共轭复数是 ．
13.已知点，点在线段的延长线上，且，则点的坐标为 ．
14.在中，角，，的对边分别为，，，若，，点是的重心，且，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
潮汐是指海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象，一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐．下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表：
时刻 ： ： ： ： ： ： ： ：
水深米
经长期观测，这个港口的水深与时间的关系，可近似用函数来描述．
根据以上数据，求出函数的表达式及其频率；
在某日时至时，求该港口水深的最大值和最小值及对应时刻；
16.本小题分
已知，是平面内两个不共线的向量，若，，，且、、三点共线．
求实数的值；
若，．
(ⅰ)求；
(ⅱ)若，四边形构成平行四边形，求点的坐标．
17.本小题分
在中，角的对边分别为已知且．
求角的大小；
若，的面积为，线段的中点为，求的长．
18.本小题分
如图，在平行四边形中，为的中点，与交于点．分别是与方向同向的单位向量
若，的夹角为，且，求；
在的条件下求的值
若，，求；
19.本小题分
阅读下面的两个材料：
材料一：我国南宋的数学家秦九韶在数书九章中提出了“三斜求积术”：若把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜，记小斜为，中斜为，大斜为，则三角形的面积为，这个公式称之为秦九韶公式；
材料二：希腊数学家海伦在其所著的度量术中给出了用三角形的三条边长表示三角形的面积的公式，即三角形的三条边长分别为，，，则它的面积，其中，这个公式称之为海伦公式；
在中，所对边分别为请回答下面的问题：
若的周长为，且满足，求这个三角形的面积；
若的面积为，其内切圆半径为，，求、．
若，，求面积的最大值．
参考答案
1.
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8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.或
15.解：由表格知，，
则，，
函数的最小正周期为，故频率为，，
故，
又，故，故，
又，故，解得，
故，频率为；
当时，，
当，即时，取得最小值，最小值为，
故的最小值为，
当，即时，取得最大值，最大值为，
的最大值为，
某日时至时，该港口水深的最大值为，对应时刻为；
最小值为，对应时刻为．

16.由题意得，，，则。
又，所以。
。
因为、、三点共线，所以存在实数，使得，即。
由于，不共线，可得，解得，代入，得，故。
由题意得，，，且，则。
设点的坐标为，因为，所以点的坐标为。
由知，则点的坐标为。
因为四边形是平行四边形，所以。已知，则。
又，所以，解得，，故点的坐标为。
17.解：，故，
由正弦定理得，
又，
故，
即，
因为，所以，故，
因为，所以；
由，可得，
由余弦定理得，即，
故，
线段的中点为，故，两边平方得
，
故；

18.解：
，
故；
因为，，
分别是与方向同向的单位向量，故，
故，
，
，故，
；
设两向量夹角为，，
，
，即，
即，
即，
因为，所以，故，，
，
则，
，故，
设，则，故，
因为，所以，故，
故，，
故
．

19.解：由正弦定理得，
又的周长为，故，
故，
；
的内切圆半径为，
则，故，，
又，故，
又，，
故，，则，
联立与，又，解得；
，
又，所以，
故，
即，
由正弦定理得
又，故，，
，
当且仅当时，等号成立，故面积最大值为．

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