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安徽省示范高中培优联盟2025-2026学年高二下学期春季联赛
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，则( )
A. B.
C. D.
2.从，，，，这五个数中随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率为( )
A. B. C. D.
3.若复数，满足，则( )
A. B. C. D.
4.已知平面向量，，则在上的投影向量为( )
A. B. C. D.
5.已知，则下列不等式中一定成立的是( )
A. B. C. D.
6.已知，，若，则的最大值为( )
A. B. C. D.
7.若，则( )
A. B. C. D.
8.如图，设曲线上的点与轴上的点顺次构成等腰直角三角形，直角顶点在曲线上，则点的横坐标为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知随机变量服从正态分布，定义函数为取值不超过的概率，即若，则( )
A. B.
C. 在上是减函数 D.
10.已知点是抛物线：的焦点，设直线：与抛物线有唯一公共点，过点作直线的垂线交轴于点，则( )
A. B. C. D.
11.已知正方体的棱长为，点，分别是棱，上的动点，是棱的中点，以为底面作三棱柱，顶点，，也在正方体的表面上设，，则 ．
A. ，直线与直线所成的角均为
B. ，使得四面体的体积为
C. 当时，直线与平面所成角的正切值为
D. 当时，若三棱柱为正三棱柱，则其高为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.乘积式展开后的项数是 ．
13.函数的最大值为 ．
14.如图，圆形纸片的圆心为，半径为，该纸片上的正六边形的中心为，、、、、、为圆上的点，，，，，，分别是以，，，，，为底边的等腰三角形，沿虚线剪开后，分别以，，，，，为折痕折起，，，，，，使得、、、、、重合，得到六棱锥当正六边形的边长变化时，所得六棱锥体积单位：的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知数列的递推关系式为．
记的前项和为，证明：；
若数列各项除以后所得到的余数构成，记前项和为，求．
16.本小题分
如图，四棱锥的底面是边长为的正方形，．
证明：；
当直线与平面所成角的正弦值最大时，求此时二面角的大小．
17.本小题分
在平面直角坐标系中，设，两点的坐标分别为，直线，相交于点，且它们的斜率之积是，设点的轨迹为曲线．
求曲线的方程；
点，在上，是平面上不同于，的动点，且满足．
从下面中选取两个作为条件，证明另外一个成立：
在曲线上；；．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
18.本小题分
证明：当且时，，；
从编号到的张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取次，设抽得的个号码互不相同的概率为证明：．
19.本小题分
点是直线外一点，点，在直线上点，与点，任一点不重合若点在线段上，记；若点在线段外，记记记的内角，，的对边分别为，，已知，，点是射线上一点，且．
若，求；
射线上的点，，，满足，，
当时，求的最小值；
当时，过点作于，记，求证：数列的前项和．
参考答案
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13.
14.
15.解：因为，所以，
则有，
以上各式相加得，
又，所以；
根据递推关系及每一项的奇偶性可知，数列各项除以后所得余数构成新数列，，，，，，
所以该数列的周期为，个周期内的项为，
所以．

16.证明：由题意，四边形为正方形，
取、中点、，连接、、，如图所示：
因为，所以，又，，、平面，
所以平面，过作于，
因为平面，所以，
又，、平面，
所以平面，
因为点在线段垂直平分线上，所以，
根据勾股定理易证，
因为四边形为正方形，所以，又，
于是≌，
所以．
解：以为坐标原点，分别以，所在直线为，轴，以在平面内过点且垂直于的直线为轴，
建立如图所示的空间直角坐标系．
设，，，则，，即得，
，，，，，
则，，，
设平面的法向量为，
则，取，得；
所以，，，
注意到，
设直线与平面所成的角为，则直线与平面所成角的正弦值为

，
当且仅当，即时，等号成立，
注意到四边形是边长为的正方形，所以点与点重合，
所以平面，所以平面平面，
由可知即为二面角的平面角，
在中，，，
所以，
所以此时二面角的大小为．
17.解：设点的坐标为，
由题意可得，
化简得，点的轨迹方程为．
设，，，
由可得，
若由推：当在曲线上，则有，
化简得，，
又，所以，即．
若由推：当在曲线上，则有，化简得，再由得，从而可得．
若由推：由得，结合．
，
所以在曲线上

18.解：当时，；
当，时，构造函数，其中且，
则，可知，
所以当时，，此时在上单调递减；
当时，，此时在上单调递增，
所以，故当且时，．
综上，当且时，，；
由题意，从张卡片中有放回地抽取次，每次抽取相互独立，总可能结果为，
要使个号码互不相同，相当于从个号码中选取个进行排列，共有种方式．
因此概率为．
对分子中的因数配对并放缩：
，
，
，
．
于是．
由可得，对且，有．
即，两边取倒数得．
因此，原不等式得证．

19.解：因为是线段上一点，，
所以故，
所以为的角平分线，又，所以，
若，在中，由余弦定理可得，
故，
由正弦定理可得，故，解得，
由于是最大的边，所以，
设，
当时，因为，所以在线段的延长线上，
所以，
因为，
，
所以
当且仅当，即取等号，此时，
由于，，等号可以取到，
故的最小值为
当，，所以在线段的延长线上，
所以，
所以，
时，所以，
，，
所以，
综上

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