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2026年湖北省高中数学竞赛预赛试题
一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分.
1.已知x)∈R且)y>0,集合A=x2+x+1-x--1,B=仁y-,当.若A=B,则2+y=
22
2已知正整数ah.cd满足：og,b,1og,d,c-a=65,则d-b三二
3.随机投掷3枚质地均匀的正方体骰子(6个面的点数分别为1、2,3,4,5,6)，则3枚骰子正面
朝上的点数之和为完全平方数的概率为一
4.在△ABC中，∠CAB=120°、作AD⊥AB交BC于点D,若AB=CD=1,则BD=
5.设a,=
2·卫.∈.i,其中i为虚数单位，n∈N.设所有能表示为A4+p,4,+…+P46形式
的数之和为复数T,则|T
6.在正三棱锥P-ABC中，D为PB的中点，E为PC的靠近P点的三等分点，且AD⊥DE,设PA=2,
则三棱锥P-ABC的体积为
7.在△OAC中，B,D分别在QC,OA上，AB和CD交于点P,直线PQ分别与DB,AC交于点M,N,
若QM=2.MN=3,则MP=
8,一个各位数字互不相同的四位数M是完全平方数，它的各位数字之和N和M也都是完全平方数
这样的四位数M共有个。
二、解答题：本大题共3小题，满分56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，
9(本愿满分16分)设AB是椭圆「：兰+y户=1上不同于顶点的两个动点，0为坐标原点，直线
OA0B的斜率分别记为片，k如果椭圆r上存在点C满足OC=cos9OA+sin60丽，其中0∈(0，，
(1)证明：k·k2为定值；
(2)求|OAOB|的最大值.
10.(本题满分20分)已知a,b都是正整数，函数f(x)=a2+bx+1的图象与x轴有两个不同的交点
A(m,0)、B(n,0),如果|m≤1，In1,求a+b的最小值.
11.(本题满分20分)设a,b,c,d为实数，如果不等式acosx-+bsinx+ccos2x+dsin2x≥-1对任意x∈R
恒成立，求证：2+b2+c2+d2≤3.
2026年湖北省高中数学竞赛预赛试题参考答案和评分标准
说明：
1.评阅试卷时，请依据本评分标准.填空题只设8分和0分两档：其他各题的评阅，请严
格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次.
2.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评
分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题5分为一个档
次，不得增加其他中间档次，
一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分
1已知yeR且八0，集合A=世+x-x-,B=以学当若A=B,则2+户
答案：5
数a,b6d满足：1og,b=,log=,c-a=65.则d
答案：179
3.随机投掷3枚质地均匀的正方体般子(6个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)，则3枚般子正面
朝上的点数之和为完全平方数的概率为
答案：17
108
4,在△ABC中，∠CAB=120°，作AD⊥AB交BC于点D,若AB=CD=1,则BD=
答案：5
5.设a,=,Ae化用，其中i为虚数单位，HGN.设所有能表示为A4+P,4十…+Aa形式
的数之和为复数T,则T=
答案：52-孕.
6.在正三校锥P-ABC中，D为PB的中点，E为PC的靠近P点的三等分点，且AD⊥DE.设PA=2,
则三棱锥P-ABC的体积为】
答案：
6
7.在△OAC中，B,D分别在QC,OA上，AB和CD交于点P,直线P2分别与DB,AC交于点M,N,
若M=2,N=3,则MP=
答案：
8.一个各位数字互不相同的四位数M是完全平方数，它的各位数字之和N和M也都是完全平方数
这样的四位数M共有个
答案：2.

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