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2026年全县九年级中招模拟考试（二）
数 学 试 卷
注意事项:
1.本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟。
2.请用 2B 铅笔和黑色钢笔(或黑色水笔)直接答在答题卡上，答在试卷上无效。
一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．如图，在数轴上被笑脸覆盖的数可能是（ ）

A． B． C． D．1.7
2．在全球人工智能应用市场，DeepSeek的下载量以惊人的速度增长．截至2025年2月5日，DeepSeek的全球下载量约4000万．数据“4000万”用科学记数法可以表示为（ ）
A． B． C． D．
3．如图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ）
A． B． C． D．
4．已知a，b，c为常数，点在第四象限，则关于x的一元二次方程 的根的情况为（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根 D．无法判定
5．如图，直线和相交于点，，若，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
6．计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
7．如图是的小正方形网格，小正方形的边长为2，点A和B是格点，连接AB，在网格中画出以AB为直径的半圆，圆心为点O，点C是格点且在半圆上，连接BC，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
8．哥德巴赫提出“每个大于2的偶数都可以表示为两个质数之和”的猜想，我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．在质数2，3，5中，随机选取两个不同的数，其和是偶数的概率是（ ）
A． B． C． D．
9．如图1，正方形的边长为4，为边的中点．动点从点出发沿匀速运动，运动到点时停止．设点的运动路程为，线段的长为，与的函数图象如图2所示，则点的坐标为（ ）

A． B． C． D．
10．赵爽是三国时期非常有名的数学家，他大约在年的时候深入研究了《周髀算经》，书中的一段余字的“勾股圆方图”注文是数学史上极有价值的文献，这个注文也让赵爽对勾股定理产生新的证明方法．“赵爽弦图”被誉为中国数学界的图腾，年在北京召开的国际数学家大会上，就以此为会徽，足以见得它的完美．如图，若大正方形与小正方形的边长之比为，则等于（ ）
A． B． C． D．
二、填空题(共5小题，满分15分，每小题3分)
11．用一个的值说明“”是错误的，则的值可以是________
12．分式方程的解为______．
13．某校为全面了解学生周末作业外的时间安排，对该校2400名学生进行调研并将结果整理成如扇形统计图，其中把作业外时间用于“运动”的约有______人．
14．菱形的边长为3，，点是对角线上不与点，重合的一个动点，过点作交于，若以点，，为顶点的三角形恰为直角三角形，则长为_____．
15．如图，直线与坐标轴交于A，P两点，过点A作交y轴于点B，以为边在AB右侧作正方形，复制正方形并沿着直线向上平移，使得一边重合，得到正方形，继续复制正方形（，并沿着直线向上平移，使得一边重合，得到正方形，依此类推，复制平移2025次后，顶点的坐标为___________．
三、解答题(共8个小题，共75分)
16．（10分）（1）计算：；
（2）化简：．
17．（9分）随着春节成功列入世界非物质文化遗产名录，全球范围内对春节文化的关注度日益提升．某校为了评估学生对春节文化知识的掌握程度，举行春节文化知识竞赛，七、八年级根据初赛成绩各选出5名选手组成七年级代表队和八年级代表队参加学校决赛，根据这10人的决赛成绩，制作了统计图和数据分析表．
平均数 中位数 众数 方差
七年级 a 85 85 c
八年级 86 b 100 160
根据以上信息，解答下面的问题：
(1)_________，__________，_________．
(2)分析以上数据，你认为该校七、八年级代表队中哪个年级学生掌握春节文化知识较好？请说明理由（写出一条即可）．
18．（9分）如图，AM∥BC，且AC平分∠BAM．
（1）用尺规作∠ABC的平分线BD交AM于点D，连接CD．（只保留作图痕迹，不写作法）
（2）求证：四边形ABCD是菱形．
19．（9分）如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上，与轴交于A，B两点，与轴相切于点．连接，．已知是等边三角形，且．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)若与反比例函数的图象交于点E，F，连接，．请直接写出的度数．
20．（9分）某城市响应“长江大保护”国家战略，开展水域生态修复工程．施工队需购买甲、乙两种环保型清污设备，其中甲设备用于河道淤泥清理，乙设备用于水面垃圾打捞．
(1)已知购买3台甲设备和2台乙设备共需44万元，购买2台甲设备和5台乙设备共需66万元．求甲、乙两种设备的单价；
(2)根据工程需求，施工队计划购进这两种设备共100台，且购进甲设备的数量不少于乙设备数量的．为鼓励绿色技术应用，政府对每台甲设备提供2万元补贴，乙设备无补贴，若最大总支出为920万元，求的值．
21．（9分）某数学研究小组在老师的指导下，利用课余时间测量湖中亭子的边长．已知亭子的底座为矩形，在湖外取一点E，使得D、A、E在同一条直线上，过点E作，沿方向前进到点F，测得的长为8米，并用测角仪测得．（）
(1)求线段的长；
(2)求矩形的面积．
22．（10分）如图是某公园的一种水上娱乐项目．数学兴趣小组对该项目中的数学问题进行了深入研究．下面是该小组绘制的水滑道截面图，如图，人从点 处沿水滑道下滑至点处腾空飞出后落入水池．以地面所在的水平线为轴，过腾空点与轴垂直的直线为轴，为坐标原点，建立平面直角坐标系．他们把水滑道和人腾空飞出后经过的路径都近似看作是抛物线的一部分，根据测量和调查得到的数据和信息，设计了以下三个问题，请你解决：
(1)如图，点 与地面的距离为米，水滑道最低点 与地面的距离为 米，点 到点的水平距离为米，求水滑道所在抛物线的解析式；
(2)在（）的条件下，某人腾空后的路径形成的抛物线恰好与抛物线关于点成中心对称．
①直接写出腾空飞出后的最大高度为_______m，抛物线所对应的二次函数函数表达式为 ____________；
②腾空点与对面水池边缘的水平距离米，人腾空后的落点与水池边缘的安全距离应不少于米．那么人飞出后落地点是否在安全距离内 请说明理由．
23．（10分）在边长为12的等边三角形中，是边上的高，是边上一动点（不与、重合），连接，将绕点顺时针旋转得到，连接、．
某数学小组围绕上面的问题进行了如下的思考与探索：
【初步探索】（1）小组成员发现，点在上移动时，点会落在上，如图①，此时他们发现与存在一定的数量关系，请你猜想存在什么数量关系，并说明你的理由．
【深入交流】（2）小组成员进一步移动点，点位置也随之变化，他们猜测不论点在什么位置，与存在的数量关系仍然成立．当点落在线段下方时，若成立，请就图②所示的情形给出证明，若不成立，请说明理由．
【拓展应用】（3）请你借助上面探究的过程及结论，完成下面的应用：在点运动的过程中，当的面积为9时，请直接写出线段的长．
2026年全县九年级中招模拟考试（二）
数学试卷参考答案
一、选择题（满分30分，每小题3分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B D B B A A B C A
二、填空题(满分15分，每小题3分)
11．（答案不唯一）
12．
13．240
14．或
15．
三、解答题(共8个小题，共75分)
16.（10分）
解：（1）
（3分）
（5分）
（2）
（3分）
（5分）
17．（9分）
（1）解：，
由图可知，，
，
故答案为：85；80；70． （6分）
（2）解：七年级学生掌握春节文化知识较好． （7分）
理由：①七年级和八年级的平均数接近，但七年级的中位数大于八年级的中位数，所以七年级学生掌握春节文化知识较好． （9分）
②七年级的方差小于八年级的方差，所以七年级学生掌握春节文化知识较好．
18.（9分）
解：(1)如下图所示，DB、CD为所作；
（4分）
(2)证明：∵AC平分∠BAM，
∴∠BAC＝∠DAC，
∵AM∥BC，
∴∠DAC＝∠BCA．
∴∠BAC＝∠BCA．
∴AB＝BC， （3分）
同理可证：AB＝AD．
∴AD＝BC．
又∵AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AB＝BC，
∴四边形ABCD是菱形． （5分）
19.（9分）
（1）解：∵是等边三角形，且，
∴，
如图1，过点P作轴，垂足为M，连接，
由三线合一得，
即，
∴，
则，
∵与轴交于A，B两点，与轴相切于点．
∴轴，
∴P点的纵坐标为4，
∴点P的坐标为，
∵点P在反比例函数图象上，
∴把代入，得，
解得，
∴反比例函数的表达式为； （5分）
（2）解：∵与反比例函数的图象交于点E，F，
∴设点的坐标为，
由（1）得点P的坐标为，
∴，
即，
∴解得（另一个小于，故舍去）
∴点的坐标为，
∵由（1）得，且，
∴的坐标为
∵点P的坐标为，
∵，
即三点共线，
即为直径，
连接，如图所示：
∴． （9分）
故答案为：
20.（9分）
（1）解：设甲设备的单价为每台万元，乙设备的单价为每台万元．
根据题意，得， （3分）
解得，
答：甲设备的单价为每台8万元，乙设备的单价为每台10万元． （5分）
（2）解：设购进甲设备台，则购进乙设备台，购进甲、乙这两种设备的总支出为万元．
根据题意，得．
解得． （6分）
∵政府对每台甲设备提供2万元补贴，
∴．
，
随的增大而减小．
当时，最大．
．
解得． （9分）
经检验，是该分式方程的解且符合题意．
的值为25．
21.（9分）
（1）解：在中，，
在中，，
，
， （4分）
即线段的长度是14米，的长度是6米；
（2）过点B作于点M，则四边形是矩形，
．
在中，，
，
，
，
∴矩形的面积为（平方米）． （9分）
22.（10分）
（1）由题意得，，，
∵点是水滑道所在抛物线的解析式顶点，
设水滑道所在抛物线的解析式为，把代入得，
，
解得，
∴水滑道所在抛物线的解析式为； （3分）
（2）解：①∵某人腾空后的路径形成的抛物线恰好与抛物线关于点成中心对称，
∴抛物线的顶点与抛物线的顶点关于点成中心对称，
∴抛物线的顶点坐标为，
∴腾空飞出后的最大高度为，
设抛物线的函数表达式为，把代入得，
，
解得，
∴抛物线的函数表达式为，
故答案为：，； （5分）
②在安全距离内，理由如下：
把代入，得，
解得或（不合，舍去），
∴，
∴米，
∵米，
∴，
∴人飞出后落地点在安全距离内． （10分）
23.（10分）
（1）解：，理由如下，
∵是等边三角形边上的高，
∴，
由题意知，，
∴△DPQ是等边三角形，
∴，
∴，
∴； （2分）
（2）成立，
证明：如图，取的中点，连接，，
则，又，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
又，，
∴，
∴； （6分）
（3）线段的长为或．
解：取的中点，
由（2）知，，
∴点在线段的垂直平分线上，
∵是等边三角形边上的高，
∴直线与平行，设直线交于点，如图，
∵，，
∴，，
∵的面积为9，
∴，
∴，
∴当点落在线段下方时，；
当点落在线段上方时，，
由（2）知，
∴，
∴线段的长为或． （10分）

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