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2026 年初中学业水平考试数学模拟卷参考答案
17．(1) k 3；……………………………………………………………………………（3分）
一、选择题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 3
（2） y x 3 .……………………………………………………………………………（6分）
1．A； 2．B； 3．A； 4．C； 5．D； 6．D． 4
二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 四、（本大题共 3 小题，每小题 8 分，共 24 分）
7． a 1 a 1 ； 8．2.5×105； 9．-1； 18．（1）证明：连接 OD.
90 90 ∵AB 是⊙O 的直径，
10． 3； 11． 3 1； 12． 3 cm 或 3cm 或 1cm．
x 1.5x ∴∠ACB=900.
三、（本大题共 5 小题，每小题 6 分，共 30 分） ∵DE⊥AC,
13．⑴0；…………………………………（3分） ∴∠AEF=90
0.
AB AC, ∵∠ACB=∠AEF,
∴BC∥EF.
⑵在△ABD 和△ACD 中， BD CD,
∵点 D是弧 BC的中点，
AD AD, ∴OD⊥BC.
∴△ABD≌△ACD（SSS）. ∴OD⊥EF.
∴∠BAD=∠CAD. ∴EF 是⊙O 的切线.…………………………………………………………………………（4 分）
∴AD平分∠BAC.……………………………（3 分） （2）∵BC∥EF，
14．原不等式组的解集为 2 x 1，…………（4分） AC AB
∴ .
在数轴上表示如图．…………………（6 分） CE BF
第 14 题 ∵AC=2CE=2，
15．（1）总共有金色、银色、红色三种等可能的结果，红色是其中的一种，故模块变换为红色的概 ∴AB=2BF，AE=3.
1 ∴OA=OB=BF=OD.
率是 ；
3 ∴OF=2OD.
（2）方法一：画树状图如下： ∵OD⊥EF,
∴∠ODF=900.
∴ sin F OD 1 .
OF 2
∴∠F=300.
由图可知，共有 9 种等可能的结果，其中颜色相同的结果有 3 种， ∴AF=2AE=6.
3 1 第 16题 ∴OA=2,即⊙O的半径为 2.………………………………………………………………（8 分）
所以 P（两块模块颜色相同）= = .………………………（6分）
9 3 19.（1）设甲种铲雪车 x辆，乙种铲雪车 y辆，
方法二：列表如下：
金 银 红 x y 5, x 2,
由表可知，共有 9 种等可能的结果，其中颜色相 依题意，得 解得5 24x 30y 690.
同的结果有 3 种， 金 （金金） （金银） （金红）
y 3.
3 1 银 （银金） （银银） （银红） 答：甲款铲雪车 2辆，乙款铲雪车 3辆.………………………………………………………（4分）
所以 P（两块模块颜色相同）= = .
9 3 红 （红金） （红银） （红红） （2）设要调集 m辆甲款铲雪车到 A路段,
………………………（6分）
16．（1）如图，BD即为所求；………（3分）（2）如图，点 M、N即为所求．…………（6分） ∵A路段的清理时间不大于 B路段的清理时间,∴A路段的清理速度不小于 B路段的清理速度，
1
24x 24 7 x 30 3 x 5 3 ∴PH=PD+DQ+QH=34.63+17+34≈85.6（cm）.依题意，得 ，解得 .
8 即点 B到水平地面 MN的距离为 85.6cm.………………………………………………………（8 分）
五、（本大题共 2 小题，每小题 9 分，共 18 分）
答：要使 A路段的清理时间不大于 B路段的清理时间，则至少要调集 6辆甲款铲雪车到 A路段. 人数21．（1）200；…………………………………………（2 分）
………………………………………………………………（8分） （2）补全条形统计图如图：……………………（5 分） 50
20．（1）延长 EO交 AB于点 G. 52
（3）
BF O 1800 468（人）；∵ 与⊙ 相切于点 D， 200
∴OD⊥BF, ∴估计该校最喜欢“乒乓球”的学生人数为 468 人；……（7 分）
球类
∴∠ODB=∠ODF=90 . （4）答案不唯一，合理即可.如：
∵BF⊥MN, ①喜欢篮球的人数最多，可以多成立几个篮球兴趣活动小组，让更多学生能够发展自己的兴趣和特长；
②喜欢足球的人数最少，应多鼓励学生积极参与足球运动，推动校园足球更好更快发展.
∴OD∥MN，∠DFE=90 .
……………………………………………………………………………（9 分）
∵AB∥OD, 22．（1）证明：如图 1，延长 CD 至点 E，使 DE=CD，连接 AE，BE.
∴AB∥OD∥MN. ∵点 D 是 AB 的中点，
∵⊙O与 MN相切于点 E, ∴BD=AD.
∴OE⊥MN. ∵DE=CD，
∴EG∥BF,∠OEF=90 . ∴四边形 ACBE 是平行四边形.
∵∠ACB=90 ，
∴四边形 OEFD、ODBG、EFBG 均为矩形.
∴四边形 ACBE 是矩形. 图 1
∴∠AGO=∠BGO=90 ，BF=GE，BG=OD，BD=OG.
∴AB=CE.
∵⊙O的半径为 34cm,AB=76cm, 1 1
∴CD= CE= AB.………………………………………………………………………………（3分）
∴AG=AB-BG=AB-OD=76-34=42（cm）. 2 2
OG （2）如图 2，
在 Rt△GOA 中，tan∠OAG= ，
AG ∵∠ACB=∠ADB=90 ,点 E 为 AB 的中点，
∴OG=AGtan∠OAG=42tan43.6 ≈42×0.952≈39.984（cm）. 1
∴DE=CE= AB.
∴BF=GE=OG+OE=39.964+34≈74.0（cm）.……………………………………………………（4分） 2
（2）过点 D作 DH⊥MN于点 H，过点 O作 OQ⊥DH于点 Q，过点 B作 BP⊥DH交 HD的延长线 ∴AE=CE，BE=DE.
于点 P，则 PH的长即为点 B到水平地面 MN的距离. ∴∠EAC=∠ECA，∠EBD=∠EDB.
∵DH⊥MN，OQ⊥DH，BP⊥DH， ∵∠EAC+∠ECA=∠BEC，∠EBD+∠EDB=∠AED，
图 2
∴∠BPD=∠DQO=∠OQH=∠QHE=90 ， ∴∠BEC=2∠EAC，∠AED=2∠EBD.
∴四边形 OEHQ 为矩形. ∴∠BEC+∠AED=2∠EAC+2∠EBD=2(∠EAC+∠EBD)=2∠AFD=2x.
∴QH=OE=34cm. ∴∠DEC=180 -(∠BEC+∠AED).
由旋转可知,∠BDP=∠DOQ=30 . ∴y与 x的函数关系式为 y=180-2x.………………………………………………………（6 分）
在 Rt△BDP 中， （3）猜想：AB＝2CD.…………………………………………………………………………（7 分）
理由：如图 3，取 AB 的中点 E，连接 DE，CE.
3
PD=BDcos∠BDP=BDcos30 ≈39.984× ≈34.63（cm）. ∵∠ACB=∠ADB=90 ,点 E 为 AB 的中点，
2 1
∴DE=CE= AB.
在 Rt△BDP 中， 2
1 ∵∠AFB=120 ,
DQ=ODsin∠DOQ=BDsin30 ≈34× ≈17（cm）.
2 ∴∠AFD=60 . 图 3
2
由（2）可得∠DEC=180 -2∠AFD=180 -2×60 =60 .
∵点 A为抛物线 y a x h 2 k a 0 的顶点，
∴△DCE 是等边三角形.
∴DE=CE=CD. ∴OD=h，AD=k.
1
∴CD= AB，即 AB=2CD.……………………………………………………………………………（9 分） 3
2 ∴CD k .3
方法二：如图 4，∵∠AFB=120 ,∠ADF=90 , 3
∴∠DAF=30 . ∴OC h k .3
∴AF=2DF.
3
∵∠ADF=∠BCF=90 ,∠AFD=∠BFC, ∴点 C 的坐标为（h k ，0）.
3
∴△ADF∽△BCF.
2
AF DF 将点 C 坐标代入 y a x h k a 0 中，
∴ . 2
BF CF 3
AF BF 得 a h k h k 0，化简，得 ak=-3.………………………………………………（8分）
∴ . 3
DF CF 图 4 2 3 2 3
又∵∠AFB=∠DFC, （4）由(3)可知，两“等边抛物线”的内接正三角形的边长分别为 k
3 1
， k
∴△AFB∽△DFC. 3
2
2
AB AF 2 2 3
2 3 3 2
∴ . ∴“等边抛物线” y1 a1 x h1 k1的内接正三角形的面积为： DC DF 4 k1
k ，
3 3
1
∴AB=2CD.…………………………………………………………………………………………（9 分）
3
方法三：如图 5，延长 AD，BC交于点 E. 同理，“等边抛物线” y2 a2 x h 2 22 k2的内接正三角形的面积为 k3 2 .
∵∠ACB=∠ADB=90 ,
∴∠ACE=∠BDE=90 . 3 k 2: 3 k 2 k 1∴ 1 2 ＝1:9，即 1 .
∵∠AFB=120 , 3 3 k2 3
∴∠CFD=120 . a k
由(3)可知， a1k1 a2k2 3，∴ 1 2 3 .…………………………………………（12 分）
∴∠E=60 . a2 k1
∴∠EAC=∠EBD=30 .
AE BE
∴ 2 .
CE DE 图 5
又∵∠AEB=∠CED,
∴△AEB∽△CED.
AB AE
∴ 2 .
DC CE
∴AB=2CD.……………………………………………………………………………………（9 分）
六、（本大题共 1小题，共 12分）
23．（1）-3，1；……………………………………………………………………………（2分）
（2）ak=-3；…………………………………………………………………………………（4 分）
（3）（2）中 a， k的数量关系仍成立.…………………………………………………………（5 分）
理由：过点 A 作 AD⊥BC 于点 D，则 BD=CD，AD= 3 CD.
3长为 .
2026 年初中学业水平考试数学模拟卷
一、选择题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）
1．-2 的相反数是（ ）
1 1
A．2 B．-2 C． D．
2 2 图 1 图 2
1 第 11题 第 12题2
2．计算 a a 的结果为（ ）
a 三、（本大题共 5 小题，每小题 6 分，共 30 分）
A. 1 B. 1 C. a2 D. a2 1 0
3．如图是由一个圆柱和一个长方体组成的几何体，则该几何体的俯视图是（ ） 13.（1）计算： 1 3 8 .
2
（2）如图，已知 AB=AC，BD=CD，求证：AD平分∠BAC．
A B C D
4．2025 年，中国持续推进“碳达峰、碳中和”目标，某市积极响应，统计了该市 2025 年 1 月至 6 月
的碳排放量（单位：万吨）如下表： 3x 1 x 3

月份 1 月 2月 3 月 4月 5 月 6月 14．解不等式组： 1 ，并将解集在数轴上表示出来. x 2 x 1
碳排放量 98 99 101 103 99 102 2
则该市 2025 年 1 月至 6 月碳排放量的众数和中位数是（ ）
A．101，100 B．99，101 C．99，100 D．99，101
k 15．2026 年央视春晚的舞台设计堪称数学与艺术的完美结合.主舞台的数控奔马装置由 300 多块模组、
5．已知正比例函数 y1 k1x与反比例函数 y 22 的图象相交于点 A（ a1，b1）、B（ a2 ，b2 ），则x 5584 块单块翻转模块构成.每块模块都有三面可变换材质，颜色分别为金色、银色、红色，通过数
下列结论不．正确的是（ ）
控指令结合智能灯光系统，能随机产生千变万化的色彩.
．．
A a b a b B A B （1）若给一块模块发出一个数控指令，则模块变换为红色的概率是 ；． 1 1 2 2 ．点 ， 关于原点对称
k k 0 k 0 y x （2）若给两块模块各发出一个数控指令，请用画树状图或列表的方法求两块模块变换出相同颜色的C． 1 2 D．若 1 ，则反比例函数 2随 的增大而减小
概率.
6．如图，是由若干个全等的小菱形组成的菱形网格的一部分(图中所有的锐角均为 600)，每个小菱形的
顶点称为格点，顺次连接图中的 4个格点，能连出矩形的方法共有（ ）
Ａ．6 种 Ｂ．8 种 Ｃ．9 种 Ｄ．10 种
16．如图，已知正方形 ABCD和等腰直角△CDE，∠CED=900，请仅用
二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3分，共 18 分） 第 6题
7．分解因式： a2 1= . 无刻度的直尺分别按下列要求画图.（不写画法，保留画图痕迹）
（1）在图 1 中，过点 D作 CE的平行线；（2）在图 2中，找到线
8．截至 2026 年 3 月，江西赣南脐橙累计出口量达 250000 吨，将 250000 用科学记数法表示为 .
段 CD的三等分点 M、N.
9．已知m、 n是一元二次方程 x2 2x 1 0的两个实数根，则m n mn的值为 ．
10．我国古代数学名著《九章算术》记载：某工匠制作器物，改进工艺后，每日制作数量为原来的 1.5
倍，制作 90件器物比原来少用 3天.设原来每天制作 x件，则可列方程为 . k17.如图，反比例函数 y x 0 的图象经过点 A 2,m ，OA=AB,点 B的
11．把两个同样大小的含 45°角的三角尺按如图方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个的直 x
坐标为（0，3）.
角顶点重合于点 A，且另三个锐角顶点 B，C，D在同一直线上．若 AB＝ 2 ，则 CD＝ ． ⑴求 k的值；⑵求 AB所在直线的解析式.
12．如图 1，在 Rt△ABC中，∠ACB=90 ，∠BAC=60 ，AC=2cm,DE是△ABC的中位线，将△BDE绕
点 E逆时针旋转得△ B ED ,线段 B D 与 AB相交于点 F，当 B D 与△ABC某条边平行时，BF的
（九年级数学 第 1页，共 4页） （九年级数学 第 2页，共 4页）
三、（本大题共 3 小题，每小题 8 分，共 24 分） (2)请补全条形统计图； 人数
18．如图，AB是⊙O的直径，点 D是弧 BC的中点，过点 D作 DE⊥AC交 AC的延长线于点 E， (3)若该校共有 1800 名学生，请估计该校最喜欢“乒乓
延长 ED交 AB的延长线于点 F，连接 CD,BC. 球”的学生人数；
（1）求证：EF是⊙O的切线. (4)请你根据调查结果，就该校成立课外球类兴趣活动
（2）若 AC=2CE=2，求⊙O的半径. 小组提两条合理化建议.
球类
22．课本再现
学习完矩形的定义和性质后，课本中给出定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
19．某地冻雨灾害期间，部分高速路段积雪结冰.为了消除安全隐患，方便群众出行，政府迅速调集了一
批铲雪车用于路面积雪清理.已知甲款铲雪车每小时可清理 24km，乙款铲雪车每小时可清理 30km. 【定理证明】
（1）在某高速积雪路段，政府共调来了 5辆铲雪车，5h刚好清理了 690km，求甲、乙两款铲雪车各调来 （1）以下是小明同学证明该定理时的部分推理过程，请你完成证明过程.
多少辆？ 已知：如图 1，在 Rt△ABC中，∠ACB=90 ,点 D是 AB边的中点.
（2）现还有 A，B两路段的积雪未清理，计划调集 7辆甲款铲雪车和 3辆乙款铲雪车赶赴现场进行清理. 1
已知 A、B两路段长度均为 480km，且 A路段只能让甲款铲雪车通过，B路段两款车辆都能通过.现 10 辆 求证：CD= AB.2
铲雪车分别在两路段同时开工，要使 A路段的清理时间不大于 B路段的清理时间，则至少要调集多少辆
A 证明：延长 CD至点 E，使 DE=CD，连接 AE，BE.甲款铲雪车到 路段？
【知识应用】
（2）如图 2，在四边形 ABCD中，∠ACB=∠ADB=90 ,点 E是 AB的中点，AC与 BD相交于点 F. 设∠
AFD=x ,∠DEC=y ,求 y与 x的函数关系式.
20.如图 1 是某建筑工地的一种手推车.
【问题解决】
（1）如图 2 是它停放在水平地面 MN上的侧面示意图.车轮⊙O与地面 MN相切于点 E,支撑脚
BF⊥MN于点 F且与⊙O相切于点 D，车斗 ABDO可绕轴心 O自由转动，转动时始终保持 （3）如图 3,在四边形 ABCD中，∠ACB=∠ADB=90 ,∠AFB=120 ,请猜想 AB与 CD的数量关系，并说
AB∥OD,BC为拉杆，点 A，B，C三点共线.已知⊙O的半径为 34cm,AB=76cm,BC=70cm， 明理由.
∠OAB=43.6 ，求支撑脚 BF的长；
（2）如图 3，在（1）的条件下，将手推车车斗 ABDO绕点 O逆时针旋转 30 ，求此时点 B到水平地面
MN的距离.
（参考数据：tan43.6 ≈0.952， 3 1.732，结果保留一位小数） 六、（本大题共 12 分） 图 1 图 2 图 3
2
23．我们定义：如图，抛物线 y a x h k a 0 的顶点为 A,与 x轴交于点 B，C（点 B在点 C的
左侧），当△ABC为等边三角形时，我们把抛物线 y a x h 2 k a 0 称为“等边抛物线”，等边
△ABC为它的内接正三角形.
【探究发现】
图 1 图 2 图 3 2（1）若抛物线 y ax 1 是“等边抛物线”，则 a = ；若抛物线 y=-3x2+K是“等边抛物线”，
则 k = .
五、（本大题共 2 小题，每小题 9 分，共 18 分） 2
（2）若抛物线 y ax k 是“等边抛物线”,请直接写出 a , k的数量关系.
21．为了增强学生体质，丰富校园文化生活，进一步推动阳光体育运动，某校决定成立若干个课外
（3）若抛物线 y a(x h)2 k 是“等边抛物线”，则（2）中 a , k的数量
球类兴趣活动小组.该校体育组为了解学生最喜欢的球类运动项目情况，随机抽取了部分学生进行问卷
关系仍成立吗？请说明理由.
调查（每人必选且只选一项），并将调查结果绘制成如下不完整的条形统计图和扇形统计图，其中扇形
【拓展应用】
统计图中“羽毛球”对应的扇形的圆心角是直角. y a x h 2 k y a x h 2（4）已知“等边抛物线” 1 1 1 1与 2 2 2 k2的内接
请根据以上信息，解答下列问题： a
(1)本次被调查的学生共有______人； 正三角形的面积之比为 1︰9，试求
1 的值.
a2
（九年级数学 第 3页，共 4页） （九年级数学 第 4页，共 4页）3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
2026 年初中学业水平模拟考试 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效
3 3 数学 答题卡 15.（1） 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18.(1)
（2）
姓 名
学 校
条形码粘贴
准考证号
考生 缺考考生，由监考老师贴条形码，
3 禁填 并用2B铅笔填涂左边缺考标记。
1.答题前，考生先将自己的姓名、学校、准考证号填写清楚，并认真核准条
填 正确填涂 注 形码上的考生信息。 (2)
2.客观题必须使用2B铅笔填涂；主观题必须使用黑色字迹签字笔书写，要求
涂 意
字体工整、笔迹清晰。
样 错误填涂 事 3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无
例 √ × ● 项 效；在试题卷、草稿纸上答题无效。
√ 4.保持答题卡清洁，不折叠、不破损。 16.(1) （2）
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1 A B C D 2 A B C D 3 A B C D
3
4 A B C D 5 A B C D 6 A B C D
3
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7. 8.
9. 10.
19.(1)
17.(1)
11. 12.
三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13.（1） （2）
(2)
(2)
14.
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20.（1） 22.（1） 六、解答题（本大题共12分）
23.（1） ， 。
图1
（2） 。
（3）
图2
（2）
（2）
图3
图2
五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） （4）
21.（1）
（3）
人数
(2) 图3
球类
(3)
(4)
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