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2026年上学期期中考试九年级数学试卷
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．在，，1，2这四个数中，最小的数是（ ）
A． B． C．1 D．2
2．2025年10月1日国家航天局发布的官方信息：天问二号探测器对小行星3的探测距离约为4500万千米．数据4500用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
3．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（ ）
A． B．6 C．4 D．
5．数学名著《九章算术注》中记载：“邪解立方，得两堑堵．”意思是：把一长方体沿对角面一分为二，相同的这两块叫做“堑堵”．如图是“堑堵”的立体图形，它的主视图为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，点A，B，C在中，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
7．甲、乙、丙三名同学进行立定跳远测试，每人5次立定跳远成绩的平均数都是2.30米，方差分别是，，，则这三名同学立定跳远成绩最稳定的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．一样稳定
8．下列不等式变形正确的是（ ）
A．由，得 B．由，得
C．由，得 D．由，得
9．如图，点A，B在反比例函数的图象上，点A，B的横坐标分别是3和6，连接，，，则的面积是（ ）
A． B．4 C． D．5
10．约定：若函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称为“黄金函数”，其图象上关于原点对称的两点叫做一对“黄金点”．若点，是关于x的“黄金函数”上的一对“黄金点”，且该函数的对称轴始终位于直线的右侧，有结论①；②；③；④，则下列结论正确的是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．在函数，自变量x的取值范围是__________________．
12．分解因式_________．
13．方程的解为_________．
14．一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为_________．
15．如下图，在中，．若，，则__________．
16．如图所示，在平面直角坐标系中，是等腰直角三角形，点，，且．把绕点B顺时针旋转，得到；把绕点C顺时针旋转，得到……依此类推，得到的等腰直角三角形的直角顶点的坐标为________．
三、解答题（本大题共8小题，第17-18题每小题6分，第19-20题每小题8分，第21-22题每小题10分，第23-24题每小题12分，共72分）
17．计算：；
18．先化简：，然后再从，，1，2中选取一个合适的数代入求值．
19．某社区以建设“口袋公园”为重点，有效利用社区的边边角角，为业主打造更多的绿地空间和休闲去处．为此社区中心准备购买甲、乙两种花木，用来美化“口袋公园”，经问询得知，甲种花木的单价比乙种花木的单价高30元，购买2棵甲种花木的费用与购买3棵乙种花木的费用相同．
（1）求甲、乙两种花木的单价；
（2）现需要购买甲、乙两种花木共120棵，且要求甲种花木的棵数不少于乙种花木棵数的2倍，请你设计一种总费用最少的购买方案．
20．一辆高空作业的工作示意图如右图所示，支撑点A距地面有，主臂与水平面的夹角，与的夹角，，，求吊篮的边沿点C到地面的距离（结果精确到）．（参考数据：，，，，，，，）
21．2026年是“十五五”规划开局之年，全国两会在北京召开；某校八、九年级举办了“学习两会精神，争做好少年”的知识竞赛（共10题，每题10分，满分100分）．现分别从八、九年级各随机抽取20名学生的竞赛成绩进行统计，根据统计结果绘制成如下统计图，并分析数据得到分析表．
八、九年级所抽取学生成绩分析表
年级 平均数（分） 中位数（分） 众数（分）
八年级 a b 90
九年级 86 80 c
根据以上信息，解答下列问题：
（1）表中：________，________，在扇形统计图中，“90分”所在扇形的圆心角的度数为_______；
（2）求八年级所抽取学生的平均成绩；
（3）若该校八年级共有800名学生参加此次竞赛，请估计八年级成绩为100分的学生人数．
22．如图，内接于，是的直径，为上一点，过点作的切线交的延长线于点，且，连接．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
23．在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线和直线的函数表达式；
（2）点P是第三象限抛物线上的点，过点P作，求的最大值及此时点P的坐标；
（3）抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
24．定义：如果四边形的一条对角线把这个四边形分成面积相等的两个三角形，那么这个四边形叫作和谐四边形，这条对角线叫作四边形的和谐对角线．如图1，在四边形中，若，则四边形为和谐四边形，为四边形的和谐对角线．
（1）①判断：平行四边形________和谐四边形（填“是”或者“不是”）；
②如图2，已知四边形是和谐四边形，和谐对角线与对角线交于点O，求证：；
（2）如图3，已知四边形是和谐四边形，和谐对角线与对角线交于点E，．猜想并证明与的数量关系；
（3）如图4，中，，以为直径的分别交，于点N，M，已知四边形是和谐四边形，连接，交于点D，求的面积．

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