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凌海市《2025-2026学年度第二学期期中测试卷》参考答案
一、单选题（本大题共10个小题，每小题2分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一个选项是正确的）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D D A A C B A A C C
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11．15°
12．5
13．
14．
15．或
三、解答题（本题共8道题，共65分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
16．（8分）（1）解：，
，
，
，∴；.......................................................................................................................................2分
这个不等式的解集在数轴上的表示为：
...........................................................................................................3分
（2）解：，
解不等式①得：；............................................................................................................4分
解不等式②得：；..............................................................................................................5分
不等式组的解集在数轴上表示为：
.................................................................................7分
∴不等式组的解集为：．..........................................................................................8分
17．（6分）（1）解：所作如图所示：......................................................................1分
...................................................................................2分
（2）解：所作如图所示：........................................................................................3分
....................................................................................4分
（3）解：连接，
由图知，，
对称中心的坐标为，即...............................................................6分
18．（8分）（1）证明：∵AE平分∠DAB，
∴∠BAF=∠DAF，.........................................................1分
∵AD∥BC，
∴∠DAF=∠BFA，..........................................................2分
∴∠BAF=∠BFA，
即△ABF为等腰三角形.......................................................3分
（2）解：∵AD∥BC，，分别平分，，
∴∠BAE+∠ABE=（∠BAD+∠ABF）=90°，
∴在△ABE中，∠AEB=90°，即BE⊥AF，
∴AE=EF，...............................................................................................................................5分
又∵∠AED=∠CEF，
∴△AED≌△FEC，
∴AD=CF=2，..........................................................................................................................7分
∵BC=4，
∴AB=BF=BC+CF=4+2=6........................................................................................................8分
19．（8分）（1）解：设甲、乙两种纪念品每件的进价分别为x，y元，
由题意可得：，..............................................................................................2分
解得，..........................................................................................................................4分
∴甲、乙两种纪念品每件的进价分别为30元和20元．
（2）解：设购进甲种纪念品m件，
由题意可列一元一次不等式：，.................................................6分
解得，............................................................................................................................7分
∴最多购进甲种纪念品70件．..............................................................................................8分
20．（8分）（1）是...................................................................................................................2分
（2）解：当是斜边时，，
∵，，
∴此时，这个三角形不是奇异三角形；.................................................................................5分
当是斜边时，，
∵，
∴此时，这个三角形是奇异三角形；....................................................................................8分
综上所述，当是斜边时，这个三角形不是奇异三角形；当是斜边时，这个三角形是奇异三角形．
21．（9分）(1)；；........................................................................................3分
（2）∵OC=3，OD=3，
∴∠BCO=45°，
∴∠BEC=90°，.........................................................................................................................4分
∴E（-1,0）...................................................................................................................................6分
（3）或或．..........................................................................9分
22．（8分）解：初步运用：点是“横和点”，理由如下：
∵，
∴点是“横和点”；........................................................................................................2分
问题情境：∵点是“横和点”，
∴，即，.....................................................................................................3分
又∵点是“横和点”，
∴，即，.............................................................................................................4分
∵将三角形平移得到三角形，点与点的纵坐标相同，点与点的横坐标相同，
∴三角形向右平移个单位长度，向上平移或向下平移个单位长度得到三角形，
∴，即，...........................................................................................................5分
∵三角形的面积为，
∴，
∴，
∴，...............................................................................................................................7分
解得（负值舍去）；.........................................................................................................8分
23．（10分）解：[拓展应用]①3；..........................................................................................2分
②；............................................................................................................................4分
[拓展应用]
①．理由如下：
如图2，延长到点H，使，连接，
∵是的中点，
∴，又，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；................................................................................................................7分
②如图3，作交于P，过E作于T，
∵是的角平分线，
∴，又，
∴，
∴，，，
∴；
∵是的中点，
∴,
设，
∴
，
∵，
∴，
∴，
故的最大值为．........................................................................................................10分凌海市2025~2026学年度八年级（下）期中质量检测
数学试卷
考试时间90分钟 试卷满分100分
※考生注意：请在答题卡各题目规定的区域内作答，答在本试卷上无效
一、单选题（本大题共10个小题，每小题2分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一个选项是正确的）
1．某人工智能创新实验室正在征集实验室的专属徽章设计，要求徽章图案兼具科技感与对称美感．以下四款候选图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．若，则下列不等式不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
3．用反证法证明命题：“已知，，求证：．”第一步应先假设（ ）
A． B． C． D．
4．三角形中，到三个顶点距离相等的点是（ ）
A．三边的垂直平分线的交点 B．三条中线的交点
C．三条角平分线的交点 D．三条高线的交点
5．如图，将绕点O按逆时针方向旋转一定角度后得到，若，，则旋转角的度数是（ ）
A．25° B．30° C．55° D．80°
6．如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线P交于点D，若，，则的面积是（ ）
A．30 B．45 C．60 D．90
7．一副三角板按如图所示的位置摆放，若，则（ ）
A．75° B．70° C．65° D．60°
8．2025年11月25日，我国神舟二十二号载人飞船在酒泉卫星发射中心成功发射，充分展现了我国强大的科技实力．为弘扬航天精神、厚植爱国情怀，某校举办“逐梦航天，强国有我”航天知识竞赛，本次竞赛共有20道题，规定每答对一题得10分，答错或不答均扣5分．若得分不低于150分的均可获奖，问至少要答对多少道题才能获奖？设答对道题，则有（ ）
A． B．
C． D．
9．如图，在等腰中，，，过点B作，过点A作于点D，则的长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
10．如图，中，，，将沿射线方向平移得对应，过点B作，垂足为O，交于点P，若，，则的长是（ ）
A．4 B． C．3 D．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11．如图，在中，，，于点M，于点N．若，则的度数为________．
12．若一个多边形的内角和是540°，则该多边形的边数为________．
13．如图，函数和的图象交于点，则关于x的不等式的解集为________．
14．若关于x的不等式组无解，则m的取值范围是________．
15．如图，在中，，，，点D为的中点，点P是边上动点，将沿直线折叠，折叠后点C的对应点为，与交于E，当为直角三角形时，线段的长为________．
三、解答题（本题共8道题，共65分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
16．（本题8分）
解不等式（组）：
（1）；
（2）．
17．（本题6分）
如图，在的正方形网格中建立平面直角坐标系，O为坐标原点，每个小正方形边长都是1，其顶点叫做格点，的顶点均在格点上．按下列要求作图并解答．
（1）将向左平移5个单位得到，点A、B的对应点分别为，，画出；
（2）作关于点O成中心对称的，点，的对应点分别为、．
（3）与也成中心对称，写出对称中心的坐标：________．
18．（本题8分）
如图，在四边形中，，点为边上一点，，分别平分，，延长交的延长线于点F．
（1）求证：是等腰三角形；
（2）若，，求的长．
19．（本题8分）
第二十七届哈尔滨冰雪大世界于2025年12月17日开园，位于哈市中央大街的某商店销售甲、乙两种纪念品．该商店购进两种纪念品的信息如下：购进甲种纪念品3件、乙种纪念品2件共需130元；购进甲种纪念品5件、乙种纪念品4件共需230元．
（1）求甲、乙两种纪念品每件的进价各是多少元？
（2）若该商店计划购进两种纪念品共100件，所花费用不超过2700元，则该商店最多购进甲种纪念品多少件？
20．（本题8分）
通过对“勾股定理”的学习，我们知道：如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．我们新定义一种三角形：两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形．
（1）根据奇异三角形的定义，等边三角形________（“是”或“不是”）奇异三角形的．
（2）在中，其三边长分别为a，b，c，且，，则这个三角形是不是奇异三角形？请做出判断并写出判断依据．
21．（本题9分）
如图，在平面直角坐标系中有一点，将点A向左平移5个单位再向上平移5个单位得到点B，直线l过点A、B，交x轴于点C，交y轴于点D，通过研究发现直线l上所有点的横坐标x与纵坐标y都是二元一次方程的解．例如：若点E在直线上，横坐标，则其纵坐标为；若点F在直线上，纵坐标，则其横坐标为．
（1）直接写出点B，C，D的坐标：B________，C________，D________；
（2）将绕点B顺时针旋转45°得到，求与x轴的交点E的坐标．
（3）若点P是x轴上的一个动点，当三角形是以为腰的等腰三角形时，直接写出P点的坐标．
22．（本题8分）
综合与探究
定义：若点的坐标满足时，我们称点为“横和点”．
【初步运用】
（1）判断点是否为“横和点”，并说明理由；
【问题情景】
在平面直角坐标系中，将平移得到，点A，B，C的对应点分别是点D，E，F，已知点，点，点，点A是“横和点”，点E的横坐标为p，且．
若点是“横和点”，且三角形的面积为2，求p的值；
23．（本题11分）
某数学兴趣小组在探究一般三角形中线的性质时，提出以下两个结论：
【性质探究】
①“中线平分面积”．如图1，在中，D是的中点，若的面积为6，则的面积为________．
②“倍长中线法可以求中线范围”．如图1，延长到点E，使，连接，根据可以判定，得出．这样就能把线段，，集中在中，根据三角形三边关系可以求出中线的范围．若，，则的取值范围是________．
．【拓展应用】
①如图2，在中，D是的中点，E是边上的一点，连接，交于点F．若，请判断，，之间的数量关系，并说明理由．
【创新人才培养】
②如图3，在中，D是的中点，是的角平分线，交于点F，．设，的面积分别为和，若，试求的最大值．

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