资源简介

请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效
三、解答题：本大题共 8 小题；共 75 分。解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤．
16．（本题满分 9分，第 1小题 4分，第 2小题 5分）
1 10 a a 2(1)
2
π 3 5 2sin 45 8 (2)2 a2
2 ，其中 ．
学校 姓名 考号 座号 4a 4 2a a a
2 2a a 2 2
贴 条 形 码 区
由监考员负责粘贴
考生禁填
缺考标记
缺考考生由监考员贴条形码，并 17.（本题满分 8分）
用 2B 铅笔填涂上面的缺考
标记。 (1) )填空：a 的值为______，图①中m的值为______，统计的这组学生每周参加科学教育的时间数据的众数和
中位数分别为______和______；
(2)
第 I 卷 （须用 2B 铅笔填涂） 填涂样例 正确填涂
1 5 9
2 6 10
3 7
4 8
第 II 卷 （须用 0.5 毫米黑色签字笔书写）
(3)
二、填空题：本大题共 5个小题；每小题 3分，共 15分．把答案写在题中横线上.
11． ； 14. ；
12． ； 15． ；
13． ；
请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效
九年级数学答题卡 第 1 页/共 4 页
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19. （本题满分 10分）
18.（本题满分 8分）
（1）当 x 60时， p ___________．
（2）
（1）
（3）
（2）
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九年级数学答题卡 第 2 页/共 4 页
贴 条 形 码 区
2025—2026 学年度下学期九年级期中检测数学答题卡
由监考员负责粘贴
姓名 座号 准考证号
1 1 21. （本题满分 12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效
20. （本题满分 8分）
21. （本题满分 8分）
（1）
（2）
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22.（本题满分 12分）
23.（本题满分 12分）
（1）
（1）
（2）
（2）
（3） （3）
请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效
九年级数学答题卡 第 4 页/共 4 页2025～2026学年度下学期期中学科学业水平监测
九年级数学试题
（满分 120分, 时间 120分钟）
注意事项：
1.本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分。第Ⅰ卷为选择题，30分；第Ⅱ卷为非选择题，90
分；共 120分。
2.答卷前务必将自己的姓名、座号和准考证号按要求填写在答题卡上的相应位置。
3.第Ⅰ卷每题选出答案后，都必须用 2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号（ABCD）
涂黑，如需改动，必须先用橡皮擦干净，再改涂其它答案。
4.第Ⅱ卷必需用 0.5毫米黑色签字笔书写到答题卡题号所指示的答题区域,不得超出预
留范围。
5．在草稿纸、试卷上答题均无效。
第Ⅰ卷（选择题 30分）
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3分，满分 30 分.在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上．）
1．下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．下图是由 6个大小相同的小正方体摆成的立体图形，它的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
3．石墨烯是目前已知最薄的材料，其理论厚度仅为0.00000000034米，这个数用科学记数
法表示为（ ）
A．3.4 10 9 B．0.34 10 9 C．3.4 1010 D．3.4 10 10
九年级数学试题 第 1页 （共 8页）
4．下列运算中，正确的是（ ）
3
A． a3 a6 B． a3 a3 a6 C． a3 a3 a9 D． a3 a3 2a3
5．我国古代数学名著《孙子算经》中有一问题：“今三人共车，两车空；二人共车，九人
步. 问人与车各几何 ” 其大意为：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车；
若每辆车乘坐 2人，则有9人步行，问人与车各多少 设有 x人， y辆车，则所列方程组正
确的是（ ）
x
y 2
x x x
y 2

y 2 y 2 3 3 A 3 3． B． C． D．x 9 x y 9 x x y 9 y 9 y
2 2 2 2
6．如图，在 O中，直径 AB与弦CD相交于点 P，连接 AC， AD， BD，若 C 15 ，
ADC 40 ，则 BPC的度数为（ ）
A．50 B．55 C．60 D．65
7．定义新运算“※”：对于实数 m，n，p，q有 m，p ※ q，n mn pq ，例如：
2，3 ※ 1，4 2 4 3 1 11 ．若关于 x 2的方程 x 1，x ※ 5 2k， k 0有两个实数根，
则 k的取值范围是（ ）
k 5 k 5 5 5A． 且 k 0 B． C． k 且 k 0 D． k
4 4 4 4
8．如图，在菱形 ABCD中，对角线 AC，BD相交于点O，BD 8， AC 6，点 E是OC
的中点， EF∥AB，交 BC于点 F ，则 EF的长为（ ）
5 5 5
A． B． C． D．5
4 2 3
九年级数学试题 第 2页 （共 8页）
9．如图，在Rt△ABC中， BAC 90 ，以点 A为圆心，适当长为半径画弧，分别交 AB，
1
AC于点 M，N；再分别以 M，N为圆心，大于 MN的长为半径画弧，两弧交于点 O，连
2
1
接 AO并延长交 BC于点 D；再分别以 A，D为圆心，大于 AD的长为半径画弧，两弧分
2
别交于 P，Q两点，作直线 PQ，分别交 AB， AC于点 E，F.若 AB=3， AC 4，则 AE的
长为（ ）
10 12
A．1.5 B． C．2 D．
7 7
10．已知二次函数 y ax 2 2ax a 2（a 0），若﹣1 x 2时，函数的最大值与最小值的
差为 4，则 a的值为（ ）
4 4 4
A． B． 1 C． 1或 D．1或
3 3 3
第Ⅱ卷（非选择题 90 分）
二、填空题（本大题共 5小题，每小题 3分，满分 15 分．不需写出解答过程，请将答案直接写在答题卡
相应位置上．）
11．分解因式： 2a2 8 ______．
(x 3)0
12．使式子 有意义，则 x的值为__________．
x 1
ax 3
13．若关于 x的方程 1 无解，则 a的值是________．
x 2 2 x
14．A，B两地相距100km，甲、乙两人骑车同时分别从 A，B两地相向而行．假设他们都
保持匀速行驶，甲、乙两人各自到 A地的距离 s km 与骑车时间 t h 的关系如图所示，则
他们相遇时距离 A地___________ km．
九年级数学试题 第 3页 （共 8页）
15．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点 A,C分别在 x轴的负半轴，y轴的正
半轴上，点 B在第二象限．将矩形OABC绕点 O顺时针旋转，使点 B落在 y轴上，得到矩
形OA 'B 'C ',BC
k
与OA 相交于点 M．若经过点 M的反比例函数 y (x 0)的图象交 AB于
x
点 N，矩形OABC的面积为 8， tan
1
A 'OB ' ，则 BN的长为______________．
2
三、解答题（本大题共 8 小题，满分 75 分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必
要的文字说明、证明过程或演算步骤.）
16．（本题满分 9分.第 1小题 4分，第 2小题 5分）
1
（1）计算∶ π 3 0 1 5 2sin 45 8 ；
2
a a 2 2
（2 ）先化简，再求值： ，其中 ．
a2 4a 4 2a a2 a2 2a
a 2 2

17．（本题满分 8分）
为了解某校八年级学生每周参加科学教育的时间（单位：h），随机调查了该校八年级 a名
学生，根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②．
请根据相关信息，解答下列问题：
九年级数学试题 第 4页 （共 8页）
(1)填空：a的值为______，图①中m的值为______，统计的这组学生每周参加科学教育的
时间数据的众数和中位数分别为______和______；
(2)求统计的这组学生每周参加科学教育的时间数据的平均数；
(3)根据样本数据，若该校八年级共有学生 500人，估计该校八年级学生每周参加科学教育
的时间是9 h 的人数约为多少？
18．（本题满分 8分）
小军将一副三角板按如图方式摆放在平面直角坐标系 xOy中，其中含30 角的三角板OAB
的直角边OA落在 y轴上，含 45 角的三角板OAC的直角顶点C的坐标为 (2, 2)，反比例函
k
数 y (x 0)x 的图象经过点
C．
(1)求反比例函数的表达式．
(2)将三角板OAB绕点O顺时针旋转90 , AB边上的点D恰好落在反比例函数图象上，求旋
转前点D的坐标．
九年级数学试题 第 5页 （共 8页）
19．（本题满分 10分）
“端午节”吃粽子是中国传统习俗，在“端午节”来临前，某超市购进一种品牌粽子，每盒进
价是 40元，并规定每盒售价不得少于 50元，日销售量不低于 350盒，根据以往销售经验
发现，当每盒售价定为 50元时，日销售量为 500盒，每盒售价每提高 1元，日销售量减
少 10盒．设每盒售价为 x元，日销售量为 p盒．
(1)当 x 60时， p ___________．
(2)当每盒售价定为多少元时，日销售利润 W（元）最大？最大利润是多少？
(3)小红说：“当日销售利润不低于 8000元时，每盒售价 x的范围为60 x 80．”你认为他
的说法正确吗？若正确，请说明理由；若不正确，请直接写出正确的结论．
20．（本题满分 8分）
阳春三月，某景区的油菜花盛开，吸引了大批游客．为了给游客提供更好的观光体验，景
区安装了观光电梯．如图，电梯从地面 A点上行 30米到达点 B，测得地面上一点 D的俯
角为 60 ，电梯再上升 15米到达点 C，测得地面上一点 E的俯角为 45 ．已知 A，D，E
三点在同一直线上，求DE的长（结果保留根号）．
九年级数学试题 第 6页 （共 8页）
21．（本题满分 8分）
如图，△ABC 是 O的内接三角形， ACB 45 ，点 P在 BC的延长线上， PA∥OB ．
(1)求证： PA是 O的切线；
OB 1
(2)若 ， PB 10，求 O半径的长．AP 2
22．（本题满分 12分）
如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y x2 bx c与 x轴交于 A， B(6,0)两点，与 y轴交
5
于点C，抛物线的对称轴是直线 x ．
2
(1)求抛物线的表达式：
(2)点 P是射线 BC下方抛物线上的一动点，连接OP与射线 BC交于点 Q，点 D，E为抛物
PQ
线对称轴上的动点（点 E在点 D的下方），且DE 4，连接 BD，PE．当OQ取得最大值
时，求点 P的坐标及 BD PE 的最小值；
九年级数学试题 第 7页 （共 8页）
PQ
(3)在（2）中OQ取得最大值的条件下，将抛物线 y x
2 bx c沿射线 BC方向平移 2 2 个
单位长度得到抛物线 y ，点 M为点 P的对应点，点 N为抛物线 y 上的一动点．若
NAB OPM 45 ，请直接写出所有符合条件的点 N的坐标，并写出求解点 N的坐标
的其中一种情况的过程．
23．（本题满分 12分）
已知四边形 ABCD中， EF分别是 AB、 AD边上的点，DE与CF交于点 G．
【问题初探】（1）如图 1 ，若四边形 ABCD是正方形，且DE CF，求证：DE CF；
【类比探究】（2）如图 2 ，若四边形 ABCD是矩形， AD 2CD，且DE CF，猜想DE
与CF的数量关系，并加以证明；
【迁移拓展】（3）如图 3 ，若四边形 ABCD是平行四边形，AD 2CD，当 B EGF时，
第（2）问的结论是否成立？若成立给予证明；若不成立，请说明理由．
九年级数学试题 第 8页 （共 8页）九年级数学试题答案
一、选择题：本大题共10个小题；每小题3分，满分30分
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C D D A D C A D B
二、填空题：本大题共5个小题；每小题3分，满分15分．
11.2（a+2)(a-2)
12．且
13. 或1
14．
15．
16.(1)详解】解：原式
．
-----------------------------------------------4分
（2）【详解】
；
当时，
．-----------------------------------------------9分
17.(1) 50, 34, 8, 8 ----------------------------------------4分
（2）
这组数据的平均数是8.36．---------------------------------------6分
（3）在所抽取的样本中，每周参加科学教育的时间是的学生占，
根据样本数据，估计该校八年级学生500人中，每周参加科学教育的时间是的学生占，有．
估计该校八年级学生每周参加科学教育的时间是的人数约为150 ---------------------8分
18.【详解】（1）解：∵含角的三角板的直角顶点的坐标为，反比例函数的图象经过点．
∴，
∴反比例函数的表达式为：； --------------------4分
（2）解：∵，
∴，
∵含角的三角板为等腰直角三角形，，
∴，，
如图，连接，旋转到的位置；
∴，
∵的对应点在的图象上，
∴，
∴，
由旋转可得：，
∴. -----------------------------------------------8分
19.(1)400；---------------------------------------------2分
（2）解：由题意可得，，
由题可知：每盒售价不得少于50元，日销售量不低于350盒，
∴，
即，
解得．
∴当时，W取得最大值，此时，
答：当每盒售价定为65元时，每天销售的利润W（元）最大，最大利润是8750元；
---------------------------------------------6分
（3）解：不正确；当日销售利润不低于8000元时，．
理由：当日销售利润不低于8000元时，
即，，
解得：，
，
∴当日销售利润不低于8000元时，．
故小红错误，当日销售利润不低于8000元时，．
---------------------------------------------10分
20.【详解】解：由已知得，，．
在中，，，
米．
在中，，，
米．
米．
答：的长为米． ---------------------------------------------8分
21.【详解】（1）证明：如图，连接．
，
．
，
．
∵是半径，
是的切线． ---------------------------------------------4分
（2）设与相交于点D．
，
．
∵，
．
，
，
．
，
．
设，则．
∴在中，．
．
．
．
，
，
．
． ---------------------------------------------8分
22.解：【详解】（1）解：设抛物线的解析式为，
把代入得，
解得，
∴； ---------------------------------------------3分
（2）解：令，则，
∴点C的坐标为，
设直线的解析式为，把和代入得：
，解得，
∴，
设点P的坐标为，过点P作轴交于点F，交x轴于点H，
则点F的坐标为，
∴，
∵轴，
∴，，
∴，
∴，
∴当时，取得最大值为，这时点P的坐标为，
把点P向上平移个单位长度得到点，点的坐标为，连接，
则四边形是平行四边形，
∴，
即，
由A，B关于对称性可得点A的坐标为，
连接，则的最小值为长，
即，
即的最小值为； ---------------------------------------------7分
（3）解：∵，
∴，
∴将抛物线沿射线方向平移个单位长度即为向左平移两个单位长度，向下平移两个单位长度得到抛物线，即，
过点P作轴于点Q，过点N作轴于点K，连接，
设点N的坐标为，
由平移得，
∴，
如图所示，∵，
即，解得（舍去）或，
这时点N的坐标为；

如图所示，则∵，
即，解得或（舍去），
这时点N的坐标为；
综上所述，点N的坐标为或． ---------------------------------------------12分
23.【详解】解：（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴； ---------------------------------------------4分
（2），证明如下：
∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即； ---------------------------------------------8分
（3）当时，成立，
证明：如图，在的延长线上取点，使，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，即． ---------------------------------------------12分学校 姓名 考号 座号
第II卷 （须用0.5毫米黑色签字笔书写）
2025—2026学年度下学期九年级期中检测数学答题卡
姓名 座号 准考证号

y
B
D
A
O
O
C
O
45
B
E
A
D
B
Q
C
A
P
A
F
D
A
F
D
A
F
D
E
G
G
E
G
B
C
EB
C
B
C
图1
图2
图3
y
y
A
D
B
备用图2025～2026学年度下学期期中学科学业水平监测
九年级数学试题
（满分120分, 时间120分钟）
注意事项：
1.本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分。第Ⅰ卷为选择题，30分；第Ⅱ卷为非选择题，90分；共120分。
2.答卷前务必将自己的姓名、座号和准考证号按要求填写在答题卡上的相应位置。
3.第Ⅰ卷每题选出答案后，都必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号（ABCD）涂黑，如需改动，必须先用橡皮擦干净，再改涂其它答案。
4.第Ⅱ卷必需用0.5毫米黑色签字笔书写到答题卡题号所指示的答题区域,不得超出预留范围。
5．在草稿纸、试卷上答题均无效。
第Ⅰ卷（选择题　30分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分.在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上．）
1．下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．下图是由6个大小相同的小正方体摆成的立体图形，它的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
3．石墨烯是目前已知最薄的材料，其理论厚度仅为米，这个数用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
4．下列运算中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．我国古代数学名著《孙子算经》中有一问题：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步. 问人与车各几何 ” 其大意为：现有若干人和车，若每辆车乘坐人，则空余两辆车；若每辆车乘坐人，则有人步行，问人与车各多少 设有人，辆车，则所列方程组正确的是（　　）
A． B． C． D．
6．如图，在中，直径与弦相交于点P，连接，，，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．定义新运算“※”：对于实数m，n，p，q有，例如：．若关于x的方程有两个实数根，则k的取值范围是（ ）
A．且 B． C．且 D．
8．如图，在菱形中，对角线，相交于点，，，点是的中点，，交于点，则的长为（ ）
A． B． C． D．5
9．如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点M，N；再分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点O，连接并延长交于点D；再分别以A，D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别交于P，Q两点，作直线，分别交，于点E，F.若AB=3，，则的长为（ ）
A．1.5 B． C．2 D．
10．已知二次函数，若时，函数的最大值与最小值的差为4，则a的值为（　　）
A． B． C．或 D．1或
第Ⅱ卷（非选择题　90分）
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分．不需写出解答过程，请将答案直接写在答题卡相应位置上．）
11．分解因式：______．
12．使式子有意义，则x的值为__________．
13．若关于x的方程无解，则a的值是________．
14．A，B两地相距，甲、乙两人骑车同时分别从A，B两地相向而行．假设他们都保持匀速行驶，甲、乙两人各自到A地的距离与骑车时间的关系如图所示，则他们相遇时距离A地___________ ．
15．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点分别在x轴的负半轴，y轴的正半轴上，点B在第二象限．将矩形绕点O顺时针旋转，使点B落在y轴上，得到矩形与相交于点M．若经过点M的反比例函数的图象交于点N，矩形的面积为8，，则的长为______________．
三、解答题（本大题共8小题，满分75分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）
16．（本题满分9分.第1小题4分，第2小题5分）
（1）计算∶ ；
（2）先化简，再求值：，其中．
17．（本题满分8分）
为了解某校八年级学生每周参加科学教育的时间（单位：），随机调查了该校八年级名学生，根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②．
请根据相关信息，解答下列问题：
(1)填空：的值为______，图①中的值为______，统计的这组学生每周参加科学教育的时间数据的众数和中位数分别为______和______；
(2)求统计的这组学生每周参加科学教育的时间数据的平均数；
(3)根据样本数据，若该校八年级共有学生500人，估计该校八年级学生每周参加科学教育的时间是的人数约为多少？
18．（本题满分8分）
小军将一副三角板按如图方式摆放在平面直角坐标系中，其中含角的三角板的直角边落在轴上，含角的三角板的直角顶点的坐标为，反比例函数的图象经过点．
(1)求反比例函数的表达式．
(2)将三角板绕点顺时针旋转边上的点恰好落在反比例函数图象上，求旋转前点的坐标．
19．（本题满分10分）
“端午节”吃粽子是中国传统习俗，在“端午节”来临前，某超市购进一种品牌粽子，每盒进价是40元，并规定每盒售价不得少于50元，日销售量不低于350盒，根据以往销售经验发现，当每盒售价定为50元时，日销售量为500盒，每盒售价每提高1元，日销售量减少10盒．设每盒售价为元，日销售量为盒．
(1)当时，___________．
(2)当每盒售价定为多少元时，日销售利润W（元）最大？最大利润是多少？
(3)小红说：“当日销售利润不低于8000元时，每盒售价的范围为．”你认为他的说法正确吗？若正确，请说明理由；若不正确，请直接写出正确的结论．
20．（本题满分8分）
阳春三月，某景区的油菜花盛开，吸引了大批游客．为了给游客提供更好的观光体验，景区安装了观光电梯．如图，电梯从地面A点上行30米到达点B，测得地面上一点D的俯角为，电梯再上升15米到达点C，测得地面上一点E的俯角为．已知A，D，E三点在同一直线上，求的长（结果保留根号）．
21．（本题满分8分）
如图，△ABC 是的内接三角形，，点P在的延长线上，．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求半径的长．
22．（本题满分12分）
如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，两点，与轴交于点，抛物线的对称轴是直线．
(1)求抛物线的表达式：
(2)点P是射线下方抛物线上的一动点，连接与射线交于点Q，点D，E为抛物线对称轴上的动点（点E在点D的下方），且，连接，．当取得最大值时，求点P的坐标及的最小值；
(3)在（2）中取得最大值的条件下，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，点M为点P的对应点，点N为抛物线上的一动点．若，请直接写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程．
23．（本题满分12分）
已知四边形中，分别是、边上的点，与交于点G．
【问题初探】（1）如图 1 ，若四边形是正方形，且，求证：；
【类比探究】（2）如图 2 ，若四边形是矩形，，且，猜想 与的数量关系，并加以证明；
【迁移拓展】（3）如图 3 ，若四边形是平行四边形，，当时，第（2）问的结论是否成立？若成立给予证明；若不成立，请说明理由．

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