资源简介

广东省云浮市2024-2025学年高一下学期7月期末教学质量检测数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．若复数（为虚数单位），则的共轭复数的虚部为（　　）
A． B． C．1 D．-1
2．（　　）
A． B． C． D．
3．如图所示，一个水平放置的的斜二测直观图是，若，则的面积是（　　）
A． B． C． D．
4．设的内角的对边分别为，则（　　）
A． B． C． D．
5．若一个圆锥的轴截面是边长为的正三角形，则该圆锥的体积为（　　）
A． B． C． D．
6．直线 ， 互相平行的一个充分条件是（　　）
A． ， 都平行于同一个平面
B． ， 与同一个平面所成的角相等
C． 平行于 所在的平面
D． ， 都垂直于同一个平面
7．如图，某河流两边有（在同一个平面内）四点，已知两个观察点在河的南岸，二者间的距离为，为了测量在河的北.岸两个目标点间的距离，某小组测得，则两个目标点间的距离为（　　）
A． B． C．， D．
8．掷两枚均匀的骰子，观察所得点数.设“两个点数都是偶数”为事件A，“两个点数都是奇数”为事件，“两个点数之和是偶数”为事件，“两个点数之积是奇数”为事件，则（　　）
A．事件与事件互为对立事件 B．事件与事件相互独立
C．事件与事件不相互独立 D．事件与事件互斥
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．已知向量，则下列结论正确的是（　　）
A．
B．
C．与的夹角为钝角
D．在上的投影向量的坐标为
10．在高考中化学科目的成绩不直接以原始分计入总成绩，而是通过等级赋分的方式转换后计入，某次考试中4名同学化学成绩的原始分（记为组）与赋分（记为组）数据如下.
学号 1 2 3 4
原始分组 94 85 76 53
赋分组 100 95 87 70
下列结论正确的是（　　）
A．组数据的极差小于组数据的极差
B．组数据的平均数小于组数据的平均数
C．组数据的方差小于组数据的方差
D．组数据的中位数小于组数据的分位数
11．已知正四面体的每条棱长均为为正四面体的外接球的直径，点在正四面体的表面上运动，则下列结论正确的是（　　）
A．正四面体外接球的表面积为
B．正四面体内切球的体积为
C．的最大值为
D．的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知向量，若，则　 　.
13．在一次招聘面试中，小明要依次回答甲 乙 丙三个问题，已知他答对这三个问题的概率分别为，各题回答正确与否相互独立，则小明能够连续答对至少2个问题的概率为　 　.
14．的内角的对边分别为，且，若外接圆的圆心为，则的最大值为　 　.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15．如图，在平行四边形中，，设.
（1）用表示；
（2）证明：三点共线.
16．2024年底我国一家公司的发布，引起全球轰动.某单位引入该，并对员工进行了该应用的培训，为了激发员工的培训积极性，提升员工的应用能力，单位还举行了该应用相关知识竞赛.竞赛成绩出来后随机抽取了名员工的成绩（单位：分），根据这名员工的成绩（成绩均在之间），将样本数据分为，，，，五组，绘制出频率分布直方图（如图所示）.
（1）求频率分布直方图中的值；
（2）估计这100名员工的竞赛成绩的平均数（同一组中的数据以该组数据所在区间中点的值作代表）；
（3）在样本中，从成绩在和内的员工中按分层抽样抽取6人，再从抽取的6人中随机抽取2人进行再培训，求这2人的成绩都在内的概率.
17．设的内角的对边分别为，且.
（1）求角的大小；
（2）若为的平分线且与交于点，求面积的最小值.
18．如图，在直三棱柱中，为AB的中点.
（1）证明：平面.
（2）证明：平面平面.
（3）求直线与平面所成角的正弦值.
19．在 中，角对应的边分别为，已知向量，且.
（1）求.
（2）著名数学家柯西在数学领域有非常高的造诣，很多数学的定理和公式都以他的名字来命名，如柯西不等式 柯西积分公式等.其中柯西不等式在解决不等式证明的有关问题中有着广泛的应用.
①用向量证明二维柯西不等式：.
②已知三维分式型柯西不等式：，当且仅当时，等号成立.若，是内一点，过作的垂线，垂足分别为，求的最小值.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：因为，所以，则的虚部为1.
故答案为：C.
【分析】根据复数的除法运算求出，再由复数的概念求解．
2．【答案】A
【知识点】平面向量减法运算；向量加法的三角形法则
【解析】【解答】解：根据向量的线性运算法则，可得.
故答案为：A.
【分析】根据向量的线性运算即可求解.
3．【答案】D
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【解答】解：由斜二测直观图可知，且，
则的面积.
故答案为：D.
【分析】由斜二测直观图可知，且，再求的面积即可.
4．【答案】B
【知识点】余弦定理
【解析】【解答】解：由余弦定理，可得.
故答案为：B.
【分析】利用余弦定理进行边角互换，再化简即可．
5．【答案】A
【知识点】锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：由题意可得该圆锥底面半径为，母线长为，
则高为，则.
故答案为：A.
【分析】根据题意求出圆锥的高，再利用锥体体积公式计算．
6．【答案】D
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】由题意选项可以推出直线 ， 互相平行即可，
A中 与 不仅可以平行还可能相交或异面直线；
B中 与 不仅可以平行还可能相交或异面直线；
C中 与 不仅可以平行还可能异面直线；
故答案为：D。
【分析】利用已知条件结合充分条件的判断方法，从而找出直线 ， 互相平行的一个充分条件。
7．【答案】C
【知识点】解三角形；解三角形的实际应用
【解析】【解答】解：在中，由，
则.
在中，可得，
由正弦定理，可得，解得，
在中，
由余弦定理，
可得，解得，
所以两个目标点间的距离为.
故答案为：C.
【分析】先解直角三角形得，进而由正弦定理得到，再用余弦定理求即可.
8．【答案】C
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件
【解析】【解答】解：依题意，可用表示掷两枚骰子得到的点数，则，
对于，
而，
显然事件A与事件互斥但不对立，如，但，故A错误；
对于B，易得，故，
因为，所以，
而，则，则，
即事件与事件不相互独立，故B错误；
对于C，，而，则，
因为，所以，而
，
所以事件A与事件不相互独立，故C正确；
对于D，由以上分析可知，那么事件与事件不互斥，故D错误.
故答案为：C.
【分析】根据题意，列出事件A、B，易知事件A与事件互斥但不对立即可判断A；求出，结合独立事件判断B即可；根据独立事件的判定即可判断C；由题可知即可判断D.
9．【答案】A,B,D
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量数量积的坐标表示；数量积表示两个向量的夹角；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：对A：，故A正确；
对B：，故B正确；
对C：由，故与的夹角为锐角，故C错误；
对D：，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】根据向量坐标的相关运算逐项求解.
10．【答案】B,D
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差；用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：对于A，组数据的极差为，组数据的极差为，
所以组数据的极差41大于组数据的极差30，故A错误.
对于B，组数据的平均数为，
组数据的平均数为，故B正确.
因为组数据的方差
组数据的方差，
所以组数据的方差大于组数据的方差，故C错误.
组数据的中位数为，
因为组数据从小到大排列后的第2个数为87，
所以组数据的分位数为87，大于组中位数，故D正确.
故答案为：BD.
【分析】根据样本特征值的定义，计算出极差、平均数、方差、中位数和分位数 ，再逐项判断即可.
11．【答案】A,B,D
【知识点】平面向量的数量积运算；球的表面积与体积公式及应用；球内接多面体
【解析】【解答】解：正四面体的每条棱长均为，把这个正四面体放在一个棱长为2的正方体内，
如图所示，则其外接球直径为正方体的体对角线，由正四面体的每条棱长均为，
可得正方体的棱长为，利用勾股定理可得正方体的体对角线为，
从而可得外接球的半径，外接球的表面积为，故A正确.
由题意可得，
设正四面体的内切球半径为，所以，
解得，其体积，故B正确.
设正四面体的外接球球心为，则，
.因为点在正四面体的表面上运动，所以，
则的取值范围为，所以C错误，D正确.
故答案为：ABD.
【分析】把正四面体放入正方体中，根据正四面体的外接球即是正方体外接球即可判断A；利用等体积法求得内切球的半径即可判断B；设正四面体的外接球球心为，根据向量的数量积运算可得，进而可求范围.
12．【答案】
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】解：由向量，因为，可得，解得.
故答案为：.
【分析】利用向量共线的坐标表示可得，再解方程即可.
13．【答案】
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解： 记为事件为小明答对甲 乙 丙三个问题，
由题意可得，，
则小明能够连续答对至少2个问题的概率为
.
故答案为：.
【分析】记为事件为小明答对甲 乙 丙三个问题，利用独立事件的乘法和互斥事件的概率加法公式求解即可.
14．【答案】
【知识点】平面向量的数量积运算；解三角形
【解析】【解答】解：如图所示，作，垂足分别为，
则，
在中，由余弦定理得，
当且仅当时，等号成立，所以，即.
故答案为：.
【分析】作，垂足分别为，进而得到，再利用余弦定理结合基本不等式求最值即可.
15．【答案】（1）解：由题意知，向量可得，
又由，可得，
所以.
（2）证明：因为，可得，
所以，
且，可得，所以三点共线.
【知识点】平面向量减法运算；向量加法的三角形法则；平面向量的共线定理；平面向量的基本定理
【解析】【分析】（1）根据向量的线性运算，用表示即可；
（2）根据题意，计算出，，得到即可证明.
（1）解：由题意知，向量可得，
又由，可得，
所以.
（2）证明：因为，可得，
所以，
且，可得，所以三点共线.
16．【答案】（1）解：，解得；
（2）解：，
故可估计这100名员工的竞赛成绩的平均数为；

（3）解：，，
则这6名员工中成绩在的有人，设这四人分别为、、、，
这6名员工中成绩在的有人，设这两人人分别为、，
则从抽取的这6名员工中随机抽取2名员工的不同情况有：、、、、
、、、、、、、、、、，共种，
其中这2名员工的成绩都在内情况有：
、、、、、，共种；
故这2名员工的参赛成绩都在内的概率为.
【知识点】分层抽样方法；频率分布直方图；古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图面积之和为1计算即可；
（2）用组中值乘以频率，再相加即可；
（3）先计算抽取的人数，再列举结合古典概型求概率.
（1），解得；
（2），
故可估计这100名员工的竞赛成绩的平均数为；
（3），，
则这6名员工中成绩在的有人，设这四人分别为、、、，
这6名员工中成绩在的有人，设这两人人分别为、，
则从抽取的这6名员工中随机抽取2名员工的不同情况有：、、、、
、、、、、、、、、、，共种，
其中这2名员工的成绩都在内情况有：
、、、、、，共种；
故这2名员工的参赛成绩都在内的概率为.
17．【答案】（1）解：由，得，
即，则.
又，所以，
由，得.
（2）解：因为为的平分线且与交于点，
所以，整理得.
由，解得，当且仅当时，等号成立，
所以的面积，
即的面积的最小值为.
【知识点】两角和与差的正弦公式；正弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用正弦定理，结合三角恒等化简求解；
（2）利用角平分线及三角形面积公式可得，再结合基本不等式得，即可求解.
（1）由，得，
即，则.
又，所以，
由，得.
（2）因为为的平分线且与交于点，
所以，整理得.
由，解得，当且仅当时，等号成立，
所以的面积，
即的面积的最小值为.
18．【答案】（1）证明：如图，连接交于点，连接
在直三棱柱中，，所以四边形为正方形，
所以为的中点，又为AB的中点，所以，又平面，
平面，所以平面
（2）证明：在直三棱柱中，，为AB的中点，
所以，又平面，平面，所以，
平面，所以平面，又平面，
所以平面
（3）解：以为原点，为轴，为轴，过点在平面作的垂线作为轴，
如图所示，设
又，所以，
所以，
则，
设平面的一个法向量为
则，令，所以，所以
所以
所以直线与平面所成角的正弦值为
【知识点】直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）连接交于点，连接，由中位线可的，再根据线面平行的判定即可证明；
（2）利用，，可得平面，进而可证面面垂直的判定定理可得平面；
（3）以为原点建立空间直角坐标系，再利用空间向量法求线面夹角即可．
（1）如图，连接交于点，连接
在直三棱柱中，，所以四边形为正方形，
所以为的中点，又为AB的中点，所以，又平面，
平面，所以平面
（2）在直三棱柱中，，为AB的中点，
所以，又平面，平面，所以，
平面，所以平面，又平面，
所以平面
（3）以为原点，为轴，为轴，过点在平面作的垂线作为轴，
如图所示，设
又，所以，
所以，
则，
设平面的一个法向量为
则，令，所以，所以
所以
所以直线与平面所成角的正弦值为
19．【答案】（1）解：由向量，
因为，可得，
由正弦定理得，即，
所以，由，得.

（2）①证明：设，由，得，
即，两边平方得；
②，
又由，
所以，
根据三维分式型柯西不等式，可得，
当且仅当，即时，等号成立，
由余弦定理，得，
所以，即，
则，
令，则.
由，可得，当且仅当时，等号成立，
所以，则，令，
令，其图象的对称轴方程为，则在上单调递减，
当，即，即时，，
所以.
【知识点】平面向量数量积定义与物理意义；平面向量数量积的坐标表示；解三角形；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）由向量垂直的坐标表示得，再由余弦定理，即可求解；
（2）①设，根据即可证明；
②由题可得，进而得到，结合三维分式型柯西不等式知，再由余弦定理，得到，则，再令求最值即可.
（1）解：由向量，
因为，可得，
由正弦定理得，即，
所以，由，得.
（2）①证明：设，由，得，
即，两边平方得；
②，
又由，
所以，
根据三维分式型柯西不等式，可得，
当且仅当，即时，等号成立，
由余弦定理，得，
所以，即，
则，
令，则.
由，可得，当且仅当时，等号成立，
所以，则，令，
令，其图象的对称轴方程为，则在上单调递减，
当，即，即时，，
所以.
1 / 1广东省云浮市2024-2025学年高一下学期7月期末教学质量检测数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．若复数（为虚数单位），则的共轭复数的虚部为（　　）
A． B． C．1 D．-1
【答案】C
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：因为，所以，则的虚部为1.
故答案为：C.
【分析】根据复数的除法运算求出，再由复数的概念求解．
2．（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平面向量减法运算；向量加法的三角形法则
【解析】【解答】解：根据向量的线性运算法则，可得.
故答案为：A.
【分析】根据向量的线性运算即可求解.
3．如图所示，一个水平放置的的斜二测直观图是，若，则的面积是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【解答】解：由斜二测直观图可知，且，
则的面积.
故答案为：D.
【分析】由斜二测直观图可知，且，再求的面积即可.
4．设的内角的对边分别为，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】余弦定理
【解析】【解答】解：由余弦定理，可得.
故答案为：B.
【分析】利用余弦定理进行边角互换，再化简即可．
5．若一个圆锥的轴截面是边长为的正三角形，则该圆锥的体积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：由题意可得该圆锥底面半径为，母线长为，
则高为，则.
故答案为：A.
【分析】根据题意求出圆锥的高，再利用锥体体积公式计算．
6．直线 ， 互相平行的一个充分条件是（　　）
A． ， 都平行于同一个平面
B． ， 与同一个平面所成的角相等
C． 平行于 所在的平面
D． ， 都垂直于同一个平面
【答案】D
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】由题意选项可以推出直线 ， 互相平行即可，
A中 与 不仅可以平行还可能相交或异面直线；
B中 与 不仅可以平行还可能相交或异面直线；
C中 与 不仅可以平行还可能异面直线；
故答案为：D。
【分析】利用已知条件结合充分条件的判断方法，从而找出直线 ， 互相平行的一个充分条件。
7．如图，某河流两边有（在同一个平面内）四点，已知两个观察点在河的南岸，二者间的距离为，为了测量在河的北.岸两个目标点间的距离，某小组测得，则两个目标点间的距离为（　　）
A． B． C．， D．
【答案】C
【知识点】解三角形；解三角形的实际应用
【解析】【解答】解：在中，由，
则.
在中，可得，
由正弦定理，可得，解得，
在中，
由余弦定理，
可得，解得，
所以两个目标点间的距离为.
故答案为：C.
【分析】先解直角三角形得，进而由正弦定理得到，再用余弦定理求即可.
8．掷两枚均匀的骰子，观察所得点数.设“两个点数都是偶数”为事件A，“两个点数都是奇数”为事件，“两个点数之和是偶数”为事件，“两个点数之积是奇数”为事件，则（　　）
A．事件与事件互为对立事件 B．事件与事件相互独立
C．事件与事件不相互独立 D．事件与事件互斥
【答案】C
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件
【解析】【解答】解：依题意，可用表示掷两枚骰子得到的点数，则，
对于，
而，
显然事件A与事件互斥但不对立，如，但，故A错误；
对于B，易得，故，
因为，所以，
而，则，则，
即事件与事件不相互独立，故B错误；
对于C，，而，则，
因为，所以，而
，
所以事件A与事件不相互独立，故C正确；
对于D，由以上分析可知，那么事件与事件不互斥，故D错误.
故答案为：C.
【分析】根据题意，列出事件A、B，易知事件A与事件互斥但不对立即可判断A；求出，结合独立事件判断B即可；根据独立事件的判定即可判断C；由题可知即可判断D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．已知向量，则下列结论正确的是（　　）
A．
B．
C．与的夹角为钝角
D．在上的投影向量的坐标为
【答案】A,B,D
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量数量积的坐标表示；数量积表示两个向量的夹角；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：对A：，故A正确；
对B：，故B正确；
对C：由，故与的夹角为锐角，故C错误；
对D：，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】根据向量坐标的相关运算逐项求解.
10．在高考中化学科目的成绩不直接以原始分计入总成绩，而是通过等级赋分的方式转换后计入，某次考试中4名同学化学成绩的原始分（记为组）与赋分（记为组）数据如下.
学号 1 2 3 4
原始分组 94 85 76 53
赋分组 100 95 87 70
下列结论正确的是（　　）
A．组数据的极差小于组数据的极差
B．组数据的平均数小于组数据的平均数
C．组数据的方差小于组数据的方差
D．组数据的中位数小于组数据的分位数
【答案】B,D
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差；用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：对于A，组数据的极差为，组数据的极差为，
所以组数据的极差41大于组数据的极差30，故A错误.
对于B，组数据的平均数为，
组数据的平均数为，故B正确.
因为组数据的方差
组数据的方差，
所以组数据的方差大于组数据的方差，故C错误.
组数据的中位数为，
因为组数据从小到大排列后的第2个数为87，
所以组数据的分位数为87，大于组中位数，故D正确.
故答案为：BD.
【分析】根据样本特征值的定义，计算出极差、平均数、方差、中位数和分位数 ，再逐项判断即可.
11．已知正四面体的每条棱长均为为正四面体的外接球的直径，点在正四面体的表面上运动，则下列结论正确的是（　　）
A．正四面体外接球的表面积为
B．正四面体内切球的体积为
C．的最大值为
D．的最小值为
【答案】A,B,D
【知识点】平面向量的数量积运算；球的表面积与体积公式及应用；球内接多面体
【解析】【解答】解：正四面体的每条棱长均为，把这个正四面体放在一个棱长为2的正方体内，
如图所示，则其外接球直径为正方体的体对角线，由正四面体的每条棱长均为，
可得正方体的棱长为，利用勾股定理可得正方体的体对角线为，
从而可得外接球的半径，外接球的表面积为，故A正确.
由题意可得，
设正四面体的内切球半径为，所以，
解得，其体积，故B正确.
设正四面体的外接球球心为，则，
.因为点在正四面体的表面上运动，所以，
则的取值范围为，所以C错误，D正确.
故答案为：ABD.
【分析】把正四面体放入正方体中，根据正四面体的外接球即是正方体外接球即可判断A；利用等体积法求得内切球的半径即可判断B；设正四面体的外接球球心为，根据向量的数量积运算可得，进而可求范围.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知向量，若，则　 　.
【答案】
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】解：由向量，因为，可得，解得.
故答案为：.
【分析】利用向量共线的坐标表示可得，再解方程即可.
13．在一次招聘面试中，小明要依次回答甲 乙 丙三个问题，已知他答对这三个问题的概率分别为，各题回答正确与否相互独立，则小明能够连续答对至少2个问题的概率为　 　.
【答案】
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解： 记为事件为小明答对甲 乙 丙三个问题，
由题意可得，，
则小明能够连续答对至少2个问题的概率为
.
故答案为：.
【分析】记为事件为小明答对甲 乙 丙三个问题，利用独立事件的乘法和互斥事件的概率加法公式求解即可.
14．的内角的对边分别为，且，若外接圆的圆心为，则的最大值为　 　.
【答案】
【知识点】平面向量的数量积运算；解三角形
【解析】【解答】解：如图所示，作，垂足分别为，
则，
在中，由余弦定理得，
当且仅当时，等号成立，所以，即.
故答案为：.
【分析】作，垂足分别为，进而得到，再利用余弦定理结合基本不等式求最值即可.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15．如图，在平行四边形中，，设.
（1）用表示；
（2）证明：三点共线.
【答案】（1）解：由题意知，向量可得，
又由，可得，
所以.
（2）证明：因为，可得，
所以，
且，可得，所以三点共线.
【知识点】平面向量减法运算；向量加法的三角形法则；平面向量的共线定理；平面向量的基本定理
【解析】【分析】（1）根据向量的线性运算，用表示即可；
（2）根据题意，计算出，，得到即可证明.
（1）解：由题意知，向量可得，
又由，可得，
所以.
（2）证明：因为，可得，
所以，
且，可得，所以三点共线.
16．2024年底我国一家公司的发布，引起全球轰动.某单位引入该，并对员工进行了该应用的培训，为了激发员工的培训积极性，提升员工的应用能力，单位还举行了该应用相关知识竞赛.竞赛成绩出来后随机抽取了名员工的成绩（单位：分），根据这名员工的成绩（成绩均在之间），将样本数据分为，，，，五组，绘制出频率分布直方图（如图所示）.
（1）求频率分布直方图中的值；
（2）估计这100名员工的竞赛成绩的平均数（同一组中的数据以该组数据所在区间中点的值作代表）；
（3）在样本中，从成绩在和内的员工中按分层抽样抽取6人，再从抽取的6人中随机抽取2人进行再培训，求这2人的成绩都在内的概率.
【答案】（1）解：，解得；
（2）解：，
故可估计这100名员工的竞赛成绩的平均数为；

（3）解：，，
则这6名员工中成绩在的有人，设这四人分别为、、、，
这6名员工中成绩在的有人，设这两人人分别为、，
则从抽取的这6名员工中随机抽取2名员工的不同情况有：、、、、
、、、、、、、、、、，共种，
其中这2名员工的成绩都在内情况有：
、、、、、，共种；
故这2名员工的参赛成绩都在内的概率为.
【知识点】分层抽样方法；频率分布直方图；古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图面积之和为1计算即可；
（2）用组中值乘以频率，再相加即可；
（3）先计算抽取的人数，再列举结合古典概型求概率.
（1），解得；
（2），
故可估计这100名员工的竞赛成绩的平均数为；
（3），，
则这6名员工中成绩在的有人，设这四人分别为、、、，
这6名员工中成绩在的有人，设这两人人分别为、，
则从抽取的这6名员工中随机抽取2名员工的不同情况有：、、、、
、、、、、、、、、、，共种，
其中这2名员工的成绩都在内情况有：
、、、、、，共种；
故这2名员工的参赛成绩都在内的概率为.
17．设的内角的对边分别为，且.
（1）求角的大小；
（2）若为的平分线且与交于点，求面积的最小值.
【答案】（1）解：由，得，
即，则.
又，所以，
由，得.
（2）解：因为为的平分线且与交于点，
所以，整理得.
由，解得，当且仅当时，等号成立，
所以的面积，
即的面积的最小值为.
【知识点】两角和与差的正弦公式；正弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用正弦定理，结合三角恒等化简求解；
（2）利用角平分线及三角形面积公式可得，再结合基本不等式得，即可求解.
（1）由，得，
即，则.
又，所以，
由，得.
（2）因为为的平分线且与交于点，
所以，整理得.
由，解得，当且仅当时，等号成立，
所以的面积，
即的面积的最小值为.
18．如图，在直三棱柱中，为AB的中点.
（1）证明：平面.
（2）证明：平面平面.
（3）求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）证明：如图，连接交于点，连接
在直三棱柱中，，所以四边形为正方形，
所以为的中点，又为AB的中点，所以，又平面，
平面，所以平面
（2）证明：在直三棱柱中，，为AB的中点，
所以，又平面，平面，所以，
平面，所以平面，又平面，
所以平面
（3）解：以为原点，为轴，为轴，过点在平面作的垂线作为轴，
如图所示，设
又，所以，
所以，
则，
设平面的一个法向量为
则，令，所以，所以
所以
所以直线与平面所成角的正弦值为
【知识点】直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）连接交于点，连接，由中位线可的，再根据线面平行的判定即可证明；
（2）利用，，可得平面，进而可证面面垂直的判定定理可得平面；
（3）以为原点建立空间直角坐标系，再利用空间向量法求线面夹角即可．
（1）如图，连接交于点，连接
在直三棱柱中，，所以四边形为正方形，
所以为的中点，又为AB的中点，所以，又平面，
平面，所以平面
（2）在直三棱柱中，，为AB的中点，
所以，又平面，平面，所以，
平面，所以平面，又平面，
所以平面
（3）以为原点，为轴，为轴，过点在平面作的垂线作为轴，
如图所示，设
又，所以，
所以，
则，
设平面的一个法向量为
则，令，所以，所以
所以
所以直线与平面所成角的正弦值为
19．在 中，角对应的边分别为，已知向量，且.
（1）求.
（2）著名数学家柯西在数学领域有非常高的造诣，很多数学的定理和公式都以他的名字来命名，如柯西不等式 柯西积分公式等.其中柯西不等式在解决不等式证明的有关问题中有着广泛的应用.
①用向量证明二维柯西不等式：.
②已知三维分式型柯西不等式：，当且仅当时，等号成立.若，是内一点，过作的垂线，垂足分别为，求的最小值.
【答案】（1）解：由向量，
因为，可得，
由正弦定理得，即，
所以，由，得.

（2）①证明：设，由，得，
即，两边平方得；
②，
又由，
所以，
根据三维分式型柯西不等式，可得，
当且仅当，即时，等号成立，
由余弦定理，得，
所以，即，
则，
令，则.
由，可得，当且仅当时，等号成立，
所以，则，令，
令，其图象的对称轴方程为，则在上单调递减，
当，即，即时，，
所以.
【知识点】平面向量数量积定义与物理意义；平面向量数量积的坐标表示；解三角形；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）由向量垂直的坐标表示得，再由余弦定理，即可求解；
（2）①设，根据即可证明；
②由题可得，进而得到，结合三维分式型柯西不等式知，再由余弦定理，得到，则，再令求最值即可.
（1）解：由向量，
因为，可得，
由正弦定理得，即，
所以，由，得.
（2）①证明：设，由，得，
即，两边平方得；
②，
又由，
所以，
根据三维分式型柯西不等式，可得，
当且仅当，即时，等号成立，
由余弦定理，得，
所以，即，
则，
令，则.
由，可得，当且仅当时，等号成立，
所以，则，令，
令，其图象的对称轴方程为，则在上单调递减，
当，即，即时，，
所以.
1 / 1

展开更多......

收起↑