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广东省深圳市2024-2025学年七年级下学期 期末考试数学模拟试题2
一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分）
1．在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A．是轴对称图形，故A符合题意；
B．不是轴对称图形，故B不符合题意；
C．不是轴对称图形，故C不符合题意；
D．不是轴对称图形，故D不符合题意．
故选：A．
【分析】根据如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，逐项分析，即可得出答案.
2．某型号手机搭载的麒麟9020芯片工艺接近工艺水平（），数据0.000000004用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：，
故答案为：C．
【分析】根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，写出即可．
3．现有4张不透明卡片，正面分别标有数字“2”、“4”、“5”、“6”，卡片除正面的数字外，其余均相同．现将4张卡片正面向下洗匀，小王同学从中随机抽取一张卡片，则抽出的卡片数字“能被2整除”的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】概率公式
【解析】【解答】4张卡片上的数字“2”、“4”、“6”，能被2整除，
故随机抽取一张卡片，“能被2整除”的概率为．
故答案为：C．
【分析】利用概率公式求解即可。
4．如图所示，下列条件中能说明的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：A．当时，不能判定，故选项不符合题意；
B．当时，与属于同位角，能判定，故选项符合题意；
C．当时，与属于同旁内角，能判定，故选项不符合题意；
D．当时，不能判定，故选项不符合题意；
故选：B．
【分析】根据直线平行判定定理逐项进行判断即可求出答案.
5．若 ，则m的值为（　　）
A．2 B． C．5 D．
【答案】B
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解： ，
∵ ，
∴m=-2，
故答案为：B.
【分析】先根据多项式乘以多项式法则展开，合并后即可得出答案.
6．下列说法正确的是（　　）
A．同旁内角互补
B．三角分别相等的两个三角形全等
C．如果△ABC满足∠A：∠B：∠C＝3：4：5，则△ABC是锐角三角形
D．一个角的对称轴是它的角平分线
【答案】C
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】A、两直线平行，同旁内角互补，不符合题意；
B、三角分别相等的两个三角形不一定全等，不符合题意；
C、设，则，解得：，所以，则△ABC是锐角三角形，符合题意；
D、一个角的对称轴是它的角平分线所在的直线，不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据同旁内角的性质、三角形全等的判定、锐角三角形的定义及角的对称轴的定义逐项判断即可。
7．如图，在中，是的垂直平分线，，的周长为，则的周长为(　　)
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】的垂直平分线交于，为垂足，
，，
的周长为，
的周长，
的周长．
故答案为：D．
【分析】根据垂直平分线的定义可得出，再结合的周长为，根据垂直平分线的性质可得出AB+BC=12cm，进而得出的周长 为18cm，即可得出答案。
8．如图，△ABC 中，AC＝DC＝3，BD 垂直∠BAC 的角平分线于 D，E 为 AC 的中点，则图中两个阴影部分面积之差的最大值为（ ）
A．6 B．4.5 C．3 D．2
【答案】B
【知识点】余角、补角及其性质；三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积；等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：延长BD交AC的延长线于点H．设AD交BE于点O．
∵AD⊥BH，
∴∠ADB＝∠ADH＝90°，
∴∠ABD+∠BAD＝90°，∠H+∠HAD＝90°，
∵∠BAD＝∠HAD，
∴∠ABD＝∠H，
∴AB＝AH，
∵AD⊥BH，
∴BD＝DH，
∵DC＝CA，
∴∠CDA＝∠CAD，
∵∠CAD+∠H＝90°，∠CDA+∠CDH＝90°，
∴∠CDH＝∠H，
∴CD＝CH＝AC，
∵AE＝EC，
∴S△ABE＝S△ABH，S△CDH＝S△ABH，
∵S△OBD﹣S△AOE＝S△ADB﹣S△ABE＝S△ADH﹣S△CDH＝S△ACD，
∵AC＝CD＝3，
∴当DC⊥AC时，△ACD的面积最大，最大面积为×3×3＝．
故答案为：B．
【分析】延长BD交AC的延长线于点H，先由直角三角形和等腰三角形的性质可得出D、C为中点，在由三角形的中线等分面积，即可推出两个阴影部分面积之差＝S△ADC，当CD⊥AC时，△ACD的面积最大．
二、填空题（共5小题，每题3分）
9．已知，则　 　．
【答案】4
【知识点】同底数幂的除法
【解析】【解答】解：，
故答案为：4．
【分析】利用同底数幂的除法计算方法求解即可。
10．一个长方形的周长为18，若它的长为，宽为，且满足，则这个长方形的面积为　 　．
【答案】19
【知识点】完全平方公式及运用；利用等式的性质将等式变形
【解析】【解答】解：∵长方形的周长为18，x、y为该长方形的一组邻边长，
∴2（x+y）=18，即x+y=9，
∵，
∴，即，
∴
∴这个长方形的面积为19，
故答案为：19．
【分析】本题先根据长方形周长公式列式变形得到，再由完全平方公式的变形得到，最后将x+y=9代入求出xy值即可．
11．某汽车生产厂对其生产的型汽车进行油耗试验，试验中汽车为匀速行驶，在行驶过程中，油箱的余油量（升）与行驶时间（小时）之间的关系如下表：
（小时） 0 1 2 3
（升） 100 92 84 76
由表格中与的关系可知，当汽车行驶　 　小时，油箱的余油量为40升.
【答案】7.5
【知识点】用表格表示变量间的关系
【解析】【解答】∵t=0时，y=100，t=1时，y=92，t=2时y=84，t=3时，y=76，
∴y与t的关系式为y=100-8t，
当y=40时，40=100-8t，
解得：t=7.5，
故答案为7.5
【分析】先求出函数解析式y=100-8t，再将y=40代入计算即可。
12．如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为和．若，，则的度数为　 　．
【答案】68°
【知识点】翻折变换（折叠问题）；两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：如图，延长到点，
由折叠可得，，
∵，
∴，
纸带对边互相平行，即，
∴，
由折叠可得，，
故答案为：．
【分析】本题先结合折叠的性质得出，然后利用“两直线平行、同位角相等”得出，接着利用“两直线平行、同旁内角互补”求出，最后再由折叠的性质得．
13．如图，在等边中，D为边BC上一点，E为边CA延长线上的点，连接DE交AB边于点F，，若的面积为2，则的面积为　 　．
【答案】6
【知识点】三角形的面积；等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA；两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：过点D作DG∥CE，交AB于点G，如图
∴∠E＝∠GDF，∠C＝∠GDB，
∵DF＝EF，∠EFA＝∠DFG，
∴△AEF≌△GDF（ASA），
∴AE＝GD，GF＝AF，，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC＝∠B＝∠C＝60°，
∵DG∥CE，
∴∠C＝∠GDB＝60°，∠BGD＝∠BAC ＝60°，
∴∠B＝∠GDB＝∠BGD＝60°，
∴△GDB为等边三角形，
∴BG＝GD＝AE，
∵AE＝2AF，
∴BG＝2AF＝2GF，
∴＝4，
∴＝6，
即△BDF的面积为6．
故答案为：6．
【分析】做辅助线后，利用“两直线平行、内错角相等、同位角相等”，首先得出∠E＝∠GDF，∠C＝∠GDB，此时结合条件利用ASA可证明△AEF≌△GDF，从而得到AE＝GD，GF＝AF，然后结合等边三角形的性质、“两直线平行、同位角相等”，证明△GDB为等边三角形，最后由等边三角形的性质、三角形面积之间的关系列式计算即可求得答案．
三、解答题（共7小题，共61分）
14．化简：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：原式
（2）解：原式
【知识点】单项式乘多项式；完全平方公式及运用；平方差公式及应用；单项式除以单项式；合并同类项法则及应用
【解析】【分析】（1）先分别计算单项式乘多项式、积的乘方，得到，再计算单项式的乘除，最后合并同类项进行加减运算即可；
（2）利用平方差公式将原式变形为，然后利用完全平方公式计算即可．
（1）解：原式
；
（2）（2）原式
．
15．先化简，再求值：，其中．
【答案】解：原式
当时，原式．
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；多项式除以单项式；合并同类项法则及应用；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】本题先根据完全平方公式、平方差公式、多项式除以单项式法则以及合并同类项法则，将原式变形计算得到，然后把代入计算即可．
16．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形（顶点是网格线交点的三角形）关于直线l对称的图形为，其中是A的对称点．
（1）请作出对称轴直线l及关于直线l对称的（要求B与相对应，C与相对应）
（2）如果每一个小正方形的边长为1，则的面积为________．
（3）在直线l上找到点P，使得最小．（保留作图痕迹）
【答案】（1）解：如图，直线l和即为所作；
（2）4
（3）解：如图，点P即为所作．
∵线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，
∴此时．
【知识点】三角形的面积；线段垂直平分线的性质；作图﹣轴对称；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】（2）解：；
故答案为：（2）4；
【分析】（1）先根据点A和的位置，在网格中找到对称轴l的位置，然后利用轴对称变换的性质分别找到B，C的对应点，，最后连接A1、B1、C1即可；
（2）将三角形放到长为4、宽为3的长方形中，利用割补法再减去三个三角形的面积，即可求出△ABC的面积；
（3）要使最小，只需要找到线段的垂直平分线与直线l的交点P即可，此时结合垂直平分线的性质得出，因此点P即为所求．
（1）解：如图，直线l和即为所作；
（2）解：；
（3）解：如图，点P即为所作．
∵线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，
∴此时．
17．在一个不透明的盒子里装有红、黑两种颜色的球共个，这些球除颜色外其余完全相同．为了估计红球和黑球的个数，七（）班的数学学习小组做了摸球试验．他们将球搅匀后，从盒子里随机摸出一个球记下颜色，再把球放回盒子中，多次重复上述过程，得到下表中的一组统计数据：
摸球的次数
摸到红球的次数
摸到红球的频率
（1）请估计：当次数足够大时，摸到红球的频率将会接近________；（精确到）
（2）假如你去摸一次，则摸到红球的概率的估计值为________；
（3）试估算盒子里红球的数量为________个，黑球的数量为________个．
（4）若先从袋子中取出（）个红球，再从袋子中随机摸出个球，若“摸出黑球”为必然事件，则________．
（5）若先从袋子中取出个红球，再放入个一样的黑球并摇匀，随机摸出个红球的概率为，则的值为________．
【答案】（1）0.3
（2）0.3
（3）18，42
（4）18
（5）3
【知识点】概率的意义；利用频率估计概率；概率公式；简单事件概率的计算；列一元一次方程
【解析】【解答】（1）解：由统计表中的数据可知，随着摸球次数的增加，摸到红球的频率越来越接近，
当次数足够大时，摸到红球的频率将会接近；
（2）解：由可知，当次数足够大时，摸到红球的频率将会接近，
摸到红球的概率估计值为；
（3）解：红球的个数=(个)，黑球的个数=(个)，
（4）解：从袋子中随机摸出个球，若“摸出黑球”为必然事件，则袋子中全部是黑球，红球的个数是，
由可知，估计袋子中有个红球，
应从袋子中取出个红球，
（5）解：由可知，袋子中有个红球，个黑球，
若先从袋子中取出个红球，再放入个一样的黑球，
则袋子中红球的个数是个红球，个黑球，
随机摸出个红球的概率为，
，
解得：，
故答案为：（1）0.3；（2）0.3；（3），；（4）18；（5）．
【分析】由统计表中的数据可知，随着摸球次数的增加，摸到红球的频率越来越接近；
因为随着摸球次数的增加，摸到红球的频率越来越接近，所以找到红球的概率估计值是；
结合(2)的结果，用摸到红球的概率乘以球的总数量，即可计算出盒子里红球的数量大约为个，从而计算出黑球的数量大约为个；
因为摸到黑球是必然事件，所以袋子里只有黑球而没有红球，结合(3)的计算结果得出，应取出个红球；
结合，先根据条件得出操作之后袋子中有个红球，个黑球，此时根据概率公式可得关于的方程，解方程求出的值即可．
（1）解：由统计表中的数据可知，随着摸球次数的增加，
摸到红球的频率越来越接近，
当次数足够大时，摸到红球的频率将会接近；
（2）解：由可知，当次数足够大时，摸到红球的频率将会接近，
摸到红球的概率估计值为；
（3）解：红球的个数为(个)，
黑球的个数为(个)，
故答案为：，；
（4）解：从袋子中随机摸出个球，若“摸出黑球”为必然事件，
则袋子中全部是黑球，红球的个数是，
由可知，估计袋子中有个红球，
应从袋子中取出个红球，
故答案为：；
（5）由可知，袋子中有个红球，个黑球，
若先从袋子中取出个红球，再放入个一样的黑球，
则袋子中红球的个数是个红球，个黑球，
随机摸出个红球的概率为，
，
解得：，
故答案为：．
18．小明和妈妈一起在一条笔直的跑道上锻炼身体，到达起点后小明做了一会准备活动，妈妈先跑．当小明出发时，妈妈已经距离起点200米．他们距起点的距离s（米）与小明出发的时间t（秒）之间的关系如图所示，根据图中给出的信息解答下列问题：
（1）小明出发之后，前70秒的速度是__________米/秒；妈妈的速度是__________米/秒；
（2）a表示的数字是____________；
（3）直接写出小明出发后的110秒内，两人何时相距60米．
【答案】（1）6，2
（2）小明和妈妈相遇时距起点的距离
（3）小明出发后的110秒内，两人分别于35秒、65秒和80秒时相距60米
【知识点】通过函数图象获取信息；用关系式表示变量间的关系；用图象表示变量间的关系；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：（1）由图象可知，小明在前70秒内跑过的距离是420米，
小明前70秒的速度是（米秒）．
妈妈的速度始终不变，在110秒内跑过的距离是（米，
妈妈的速度是（米秒）．
故答案为：6；2．
（2）解：两图象的交点处表示两人相遇，
表示的数字是小明和妈妈相遇时距起点的距离．
故答案为：小明和妈妈相遇时距起点的距离．
（3）解：由题意可知，妈妈距起点的距离与小明出发的时间之间的关系式为．
当时，设小明距起点的距离与小明出发的时间之间的关系式为．
①在第一次相遇前，当两人第一次相距60米时，得
，解得；
②在第一次相遇后且，当两人第二次相距60米时，得
，解得．
③当时，两人第三次相距60米时，得
，解得．
综上，小明出发后的110秒内，两人分别于35秒、65秒和80秒时相距60米．
【分析】本题主要考查函数图象的解读以及一元一次方程在实际运动问题中的应用.解题的关键是能从图象中准确提取信息：小明前70秒的路程对应图象中从原点出发上升至420米的一段，妈妈的路程始终以一条倾斜直线表示，其初始领先距离为200米，终点对应110秒时路程与小明相同.（1）计算速度时，用路程差除以时间差即可分别求出小明前70秒的速度为6米/秒，妈妈全程速度为2米/秒；（2）两图象的交点就是相遇点，其纵坐标表示相遇时距离起点的距离，即a的含义；（3）求两人相距60米的时间，需分三个阶段讨论：第一次相遇前妈妈在前，小明的速度更快，由妈妈路程+200 小明路程=60列出方程；第一次相遇后到70秒前，小明跑在前面，用小明路程 (妈妈路程+200)=60；70秒后小明匀速结束，妈妈继续追，路程差为420 (妈妈路程+200)=60.通过分段列方程并求解，可得三个时间分别是35秒、65秒、80秒.处理此类题目的技巧是：看清图象每段线的含义，明确各阶段的运动关系和方程等量，遇分段问题一定要分区间讨论，避免漏解或多解.
19．【问题起源】
如图1，在一条笔直的道路上建一个燃气站，并向路同侧的两个城镇铺设燃气管道，如何确定燃气站的位置使得铺设管道的路径最短．
【解决方案】
如图2，作点关于直线的对称点，连接与直线交于点，则点就是燃气站的位置．
【实际运用】
（1）如图3，在实际铺设中，在两个城镇之间有一片水源地（水源地的右下角顶点为点），燃气管道不能穿过该区域．下列四种铺设管道路径的方案，最短的铺设路径方案是：_____；（填方案序号）
方案1：过点作于点，连接，则铺设管道路径是． 方案2：连接并延长交于点，连接，则铺设管道路径是． 方案3：作点关于的对称点，连接交于点，连接，则铺设管道路径是． 方案4：作点关于的对称点，连接交于点，连接，则铺设管道路径是．
【数学思考】
（2）如图4，在中，，，，点，在，边上运动，且．如何确定点的位置，使得的值最小；
①解决方案：如图5，过点做射线，在射线上截取．请完成后续作图；
②请解释上述作图的理由；
（3）如图6，在锐角中，，点与点的距离为，点与点的距离为，点到的距离为．点，，分别在边，，上（均不与点重合），请直接写出周长的最小值．
【答案】（1）方案3；
（2）解：①连接交于点，在上截取，如图所示；
②连接BP，如图
∵，即，且，
∴，
∴，
∵，
∴（SAS），
∴，
∴，
∴当点在线段上时，的值最小；
∴连接，即可得到点，再根据，确定点即可；
（3）
【知识点】两点之间线段最短；等边三角形的判定与性质；轴对称的性质；将军饮马模型-一线两点（一动两定）；同旁内角互补，两直线平行
【解析】【解答】解：（1）由题意，作点关于的对称点，连接交于点，连接，则铺设管道路径是，此时最短，即最短的铺设路径方案是方案3；
故答案为：（1）方案3；
（3）如图，作关于的对称点，作关于的对称点，连接，
则：，，，
∵，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∵的周长，
∴当四点共线时，的周长最小为的长，即的长，
∴当时，的周长最小，
由题意，点到的距离为，
∴的最小值为，即：的周长的最小值为．
【分析】（1）利用将军饮马原理和对称性，作点关于的对称点，连接交于点，再连接，此时的路径最短，从而得出答案；
（2）①连接交于点，在上截取，即可；
②先利用“同旁内角互补、两直线平行”得出，此时依据“两直线平行、内错角相等”得出，接着利用SAS证明，从而得到，进而得到，因此得到当在线段上时，的值最小，连接，即可得到点，再根据，确定点即可；
（3）做辅助线后利用对称性，可以先证明为等边三角形，从而得到，根据的周长列式得到，分析得出，当四点共线时，的周长最小为的长，即的长，再根据垂线段最短得到时，的周长最小，至此即可得出结果．
20．如图1，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，BC＝5cm，D是BC的中点，点P从A点出发，以2cm/s的速度沿着射线CA方向运动，连接PD交AB于点E，过点D作PD的垂线交直线AC于点F，交直线AB于点G，若运动时间为t（s）．
（1）当t＝1.5时，则BG＝　 　cm；
（2）在点P的运动过程中，试探究线段PF与EG的数量关系，并说明理由；
（3）如图2，连接EF，EF上是否存在点H使得△DCF与△FAH全等，若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）3
（2）解：PF = EG，理由如下：如图，连接AD，
∵，BC = 5cm，D是BC的中点，
∴，
∵AC = AB，
∴，
∵AD = BD，
∴，
∴，
∵，
∴∠FPD+∠DFP=90°，
∵∠AGF+∠AFD=90°，
∴，
∴
∴AP= BG，
∵，，
∴，
∵CD=AD，，
∴，
∴CF=AE，
∵AB=AC，
∴AC-CF=AB-AE，
∴AF=BE，
∵BG=AP，
∴FP=EG；
（3）解：存在点H使得与全等，理由如下：连接AD，
∵，
∴∠CFD=∠AED，
∵∠AED=∠CFD=∠BAC+∠DGE，
∴∠AED是钝角，
∴当△DCF与△FAH全等时，在△FAH中必有一个钝角，
∵H点在线段EF上，只能是∠FHA是钝角，
∴△DCF≌△FAH，
∴，
在△ADF中，∠FAD=45°，
∴∠FDA=67.5°，
∴∠ADP=∠FDP-∠FDA=22.5°，
∵∠DAP=135°，
∴∠P=22.5°，
∴AP=AD，
∴，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等腰三角形的判定与性质；三角形-动点问题；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：（1）如图，连接AD，
∵，BC = 5cm，D是BC的中点，
∴，
∵AC = AB，
∴，
∵AD = BD，
∴，
∴，
∵，
∴∠FPD+∠DFP=90°，
∵∠AGF+∠AFD=90°，
∴，
∴
∴AP= BG，
∵AP= 2t，t=1.5，
∴AP= BG= 3，
故答案为：3；
【分析】本题主要考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及动点问题中的线段数量关系.解题的关键是利用中线构造全等三角形，将分散的线段进行转化；以及通过计算角度发现隐含的等腰三角形.
第（1）问，利用等腰直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得AD=BD=CD，且AD⊥BC，∠DAB=45°，再由PD⊥DF和角度互余关系，可证，进而推出，得BG=AP.由速度和时间算出AP=3cm，所以BG=3cm；
第（2）问，探究PF与EG的数量关系，需连接AD，通过多次全等证明.先证得到AP= BG；再证得到CF=AE，最后通过线段的和差得出结论；
第（3）问要求判断是否存在点H在线段EF上，使得△DCF ≌ △FAH.由前两问可知，△DCF可通过全等与△ADE关联，且△DCF中∠CFD为钝角，因此要找的全等三角形△FAH中也必须有一个钝角.由于H在EF上，△FAH的钝角只可能在∠FHA处.由此可确定对应关系为：FD对应FH，CF对应AH，CD对应AF.由进一步利用角度计算（∠FAD=45°，结合等腰△ADF可求∠FDA=67.5°），再结合运动时间t与线段长度的关系，即可解出相应的t值.
（1）解：连接AD，
∵，BC = 5cm，D是BC的中点，
∴，
∵AC = AB，
∴，
∵AD = BD，
∴，
∴，
∵，
∴∠FPD+∠DFP=90°，
∵∠AGF+∠AFD=90°，
∴，
∴
∴AP= BG，
∵AP= 2t，t=1.5，
∴AP= BG= 3，
故答案为：3；
（2）解：PF = EG，理由如下：
∵，，
∴，
∵CD=AD，，
∴，
∴CF=AE，
∵AB=AC，
∴AC-CF=AB-AE，
∴AF=BE，
∵BG=AP，
∴FP=EG；
（3）存在点H使得与全等，理由如下：
连接AD，
∵，
∴∠CFD=∠AED，
∵∠AED=∠CFD=∠BAC+∠DGE，
∴∠AED是钝角，
∴当△DCF与△FAH全等时，在△FAH中必有一个钝角，
∵H点在线段EF上，只能是∠FHA是钝角，
∴△DCF≌△FAH，
∴，
在△ADF中，∠FAD=45°，
∴∠FDA=67.5°，
∴∠ADP=∠FDP-∠FDA=22.5°，
∵∠DAP=135°，
∴∠P=22.5°，
∴．AP=AD，
∴，
∴．
1 / 1广东省深圳市2024-2025学年七年级下学期 期末考试数学模拟试题2
一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分）
1．在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．某型号手机搭载的麒麟9020芯片工艺接近工艺水平（），数据0.000000004用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
3．现有4张不透明卡片，正面分别标有数字“2”、“4”、“5”、“6”，卡片除正面的数字外，其余均相同．现将4张卡片正面向下洗匀，小王同学从中随机抽取一张卡片，则抽出的卡片数字“能被2整除”的概率为（　　）
A． B． C． D．
4．如图所示，下列条件中能说明的是（　　）
A． B．
C． D．
5．若 ，则m的值为（　　）
A．2 B． C．5 D．
6．下列说法正确的是（　　）
A．同旁内角互补
B．三角分别相等的两个三角形全等
C．如果△ABC满足∠A：∠B：∠C＝3：4：5，则△ABC是锐角三角形
D．一个角的对称轴是它的角平分线
7．如图，在中，是的垂直平分线，，的周长为，则的周长为(　　)
A． B． C． D．
8．如图，△ABC 中，AC＝DC＝3，BD 垂直∠BAC 的角平分线于 D，E 为 AC 的中点，则图中两个阴影部分面积之差的最大值为（ ）
A．6 B．4.5 C．3 D．2
二、填空题（共5小题，每题3分）
9．已知，则　 　．
10．一个长方形的周长为18，若它的长为，宽为，且满足，则这个长方形的面积为　 　．
11．某汽车生产厂对其生产的型汽车进行油耗试验，试验中汽车为匀速行驶，在行驶过程中，油箱的余油量（升）与行驶时间（小时）之间的关系如下表：
（小时） 0 1 2 3
（升） 100 92 84 76
由表格中与的关系可知，当汽车行驶　 　小时，油箱的余油量为40升.
12．如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为和．若，，则的度数为　 　．
13．如图，在等边中，D为边BC上一点，E为边CA延长线上的点，连接DE交AB边于点F，，若的面积为2，则的面积为　 　．
三、解答题（共7小题，共61分）
14．化简：
（1）；
（2）．
15．先化简，再求值：，其中．
16．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形（顶点是网格线交点的三角形）关于直线l对称的图形为，其中是A的对称点．
（1）请作出对称轴直线l及关于直线l对称的（要求B与相对应，C与相对应）
（2）如果每一个小正方形的边长为1，则的面积为________．
（3）在直线l上找到点P，使得最小．（保留作图痕迹）
17．在一个不透明的盒子里装有红、黑两种颜色的球共个，这些球除颜色外其余完全相同．为了估计红球和黑球的个数，七（）班的数学学习小组做了摸球试验．他们将球搅匀后，从盒子里随机摸出一个球记下颜色，再把球放回盒子中，多次重复上述过程，得到下表中的一组统计数据：
摸球的次数
摸到红球的次数
摸到红球的频率
（1）请估计：当次数足够大时，摸到红球的频率将会接近________；（精确到）
（2）假如你去摸一次，则摸到红球的概率的估计值为________；
（3）试估算盒子里红球的数量为________个，黑球的数量为________个．
（4）若先从袋子中取出（）个红球，再从袋子中随机摸出个球，若“摸出黑球”为必然事件，则________．
（5）若先从袋子中取出个红球，再放入个一样的黑球并摇匀，随机摸出个红球的概率为，则的值为________．
18．小明和妈妈一起在一条笔直的跑道上锻炼身体，到达起点后小明做了一会准备活动，妈妈先跑．当小明出发时，妈妈已经距离起点200米．他们距起点的距离s（米）与小明出发的时间t（秒）之间的关系如图所示，根据图中给出的信息解答下列问题：
（1）小明出发之后，前70秒的速度是__________米/秒；妈妈的速度是__________米/秒；
（2）a表示的数字是____________；
（3）直接写出小明出发后的110秒内，两人何时相距60米．
19．【问题起源】
如图1，在一条笔直的道路上建一个燃气站，并向路同侧的两个城镇铺设燃气管道，如何确定燃气站的位置使得铺设管道的路径最短．
【解决方案】
如图2，作点关于直线的对称点，连接与直线交于点，则点就是燃气站的位置．
【实际运用】
（1）如图3，在实际铺设中，在两个城镇之间有一片水源地（水源地的右下角顶点为点），燃气管道不能穿过该区域．下列四种铺设管道路径的方案，最短的铺设路径方案是：_____；（填方案序号）
方案1：过点作于点，连接，则铺设管道路径是． 方案2：连接并延长交于点，连接，则铺设管道路径是． 方案3：作点关于的对称点，连接交于点，连接，则铺设管道路径是． 方案4：作点关于的对称点，连接交于点，连接，则铺设管道路径是．
【数学思考】
（2）如图4，在中，，，，点，在，边上运动，且．如何确定点的位置，使得的值最小；
①解决方案：如图5，过点做射线，在射线上截取．请完成后续作图；
②请解释上述作图的理由；
（3）如图6，在锐角中，，点与点的距离为，点与点的距离为，点到的距离为．点，，分别在边，，上（均不与点重合），请直接写出周长的最小值．
20．如图1，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，BC＝5cm，D是BC的中点，点P从A点出发，以2cm/s的速度沿着射线CA方向运动，连接PD交AB于点E，过点D作PD的垂线交直线AC于点F，交直线AB于点G，若运动时间为t（s）．
（1）当t＝1.5时，则BG＝　 　cm；
（2）在点P的运动过程中，试探究线段PF与EG的数量关系，并说明理由；
（3）如图2，连接EF，EF上是否存在点H使得△DCF与△FAH全等，若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A．是轴对称图形，故A符合题意；
B．不是轴对称图形，故B不符合题意；
C．不是轴对称图形，故C不符合题意；
D．不是轴对称图形，故D不符合题意．
故选：A．
【分析】根据如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，逐项分析，即可得出答案.
2．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：，
故答案为：C．
【分析】根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，写出即可．
3．【答案】C
【知识点】概率公式
【解析】【解答】4张卡片上的数字“2”、“4”、“6”，能被2整除，
故随机抽取一张卡片，“能被2整除”的概率为．
故答案为：C．
【分析】利用概率公式求解即可。
4．【答案】B
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：A．当时，不能判定，故选项不符合题意；
B．当时，与属于同位角，能判定，故选项符合题意；
C．当时，与属于同旁内角，能判定，故选项不符合题意；
D．当时，不能判定，故选项不符合题意；
故选：B．
【分析】根据直线平行判定定理逐项进行判断即可求出答案.
5．【答案】B
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解： ，
∵ ，
∴m=-2，
故答案为：B.
【分析】先根据多项式乘以多项式法则展开，合并后即可得出答案.
6．【答案】C
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】A、两直线平行，同旁内角互补，不符合题意；
B、三角分别相等的两个三角形不一定全等，不符合题意；
C、设，则，解得：，所以，则△ABC是锐角三角形，符合题意；
D、一个角的对称轴是它的角平分线所在的直线，不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据同旁内角的性质、三角形全等的判定、锐角三角形的定义及角的对称轴的定义逐项判断即可。
7．【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】的垂直平分线交于，为垂足，
，，
的周长为，
的周长，
的周长．
故答案为：D．
【分析】根据垂直平分线的定义可得出，再结合的周长为，根据垂直平分线的性质可得出AB+BC=12cm，进而得出的周长 为18cm，即可得出答案。
8．【答案】B
【知识点】余角、补角及其性质；三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积；等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：延长BD交AC的延长线于点H．设AD交BE于点O．
∵AD⊥BH，
∴∠ADB＝∠ADH＝90°，
∴∠ABD+∠BAD＝90°，∠H+∠HAD＝90°，
∵∠BAD＝∠HAD，
∴∠ABD＝∠H，
∴AB＝AH，
∵AD⊥BH，
∴BD＝DH，
∵DC＝CA，
∴∠CDA＝∠CAD，
∵∠CAD+∠H＝90°，∠CDA+∠CDH＝90°，
∴∠CDH＝∠H，
∴CD＝CH＝AC，
∵AE＝EC，
∴S△ABE＝S△ABH，S△CDH＝S△ABH，
∵S△OBD﹣S△AOE＝S△ADB﹣S△ABE＝S△ADH﹣S△CDH＝S△ACD，
∵AC＝CD＝3，
∴当DC⊥AC时，△ACD的面积最大，最大面积为×3×3＝．
故答案为：B．
【分析】延长BD交AC的延长线于点H，先由直角三角形和等腰三角形的性质可得出D、C为中点，在由三角形的中线等分面积，即可推出两个阴影部分面积之差＝S△ADC，当CD⊥AC时，△ACD的面积最大．
9．【答案】4
【知识点】同底数幂的除法
【解析】【解答】解：，
故答案为：4．
【分析】利用同底数幂的除法计算方法求解即可。
10．【答案】19
【知识点】完全平方公式及运用；利用等式的性质将等式变形
【解析】【解答】解：∵长方形的周长为18，x、y为该长方形的一组邻边长，
∴2（x+y）=18，即x+y=9，
∵，
∴，即，
∴
∴这个长方形的面积为19，
故答案为：19．
【分析】本题先根据长方形周长公式列式变形得到，再由完全平方公式的变形得到，最后将x+y=9代入求出xy值即可．
11．【答案】7.5
【知识点】用表格表示变量间的关系
【解析】【解答】∵t=0时，y=100，t=1时，y=92，t=2时y=84，t=3时，y=76，
∴y与t的关系式为y=100-8t，
当y=40时，40=100-8t，
解得：t=7.5，
故答案为7.5
【分析】先求出函数解析式y=100-8t，再将y=40代入计算即可。
12．【答案】68°
【知识点】翻折变换（折叠问题）；两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：如图，延长到点，
由折叠可得，，
∵，
∴，
纸带对边互相平行，即，
∴，
由折叠可得，，
故答案为：．
【分析】本题先结合折叠的性质得出，然后利用“两直线平行、同位角相等”得出，接着利用“两直线平行、同旁内角互补”求出，最后再由折叠的性质得．
13．【答案】6
【知识点】三角形的面积；等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA；两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：过点D作DG∥CE，交AB于点G，如图
∴∠E＝∠GDF，∠C＝∠GDB，
∵DF＝EF，∠EFA＝∠DFG，
∴△AEF≌△GDF（ASA），
∴AE＝GD，GF＝AF，，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC＝∠B＝∠C＝60°，
∵DG∥CE，
∴∠C＝∠GDB＝60°，∠BGD＝∠BAC ＝60°，
∴∠B＝∠GDB＝∠BGD＝60°，
∴△GDB为等边三角形，
∴BG＝GD＝AE，
∵AE＝2AF，
∴BG＝2AF＝2GF，
∴＝4，
∴＝6，
即△BDF的面积为6．
故答案为：6．
【分析】做辅助线后，利用“两直线平行、内错角相等、同位角相等”，首先得出∠E＝∠GDF，∠C＝∠GDB，此时结合条件利用ASA可证明△AEF≌△GDF，从而得到AE＝GD，GF＝AF，然后结合等边三角形的性质、“两直线平行、同位角相等”，证明△GDB为等边三角形，最后由等边三角形的性质、三角形面积之间的关系列式计算即可求得答案．
14．【答案】（1）解：原式
（2）解：原式
【知识点】单项式乘多项式；完全平方公式及运用；平方差公式及应用；单项式除以单项式；合并同类项法则及应用
【解析】【分析】（1）先分别计算单项式乘多项式、积的乘方，得到，再计算单项式的乘除，最后合并同类项进行加减运算即可；
（2）利用平方差公式将原式变形为，然后利用完全平方公式计算即可．
（1）解：原式
；
（2）（2）原式
．
15．【答案】解：原式
当时，原式．
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；多项式除以单项式；合并同类项法则及应用；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】本题先根据完全平方公式、平方差公式、多项式除以单项式法则以及合并同类项法则，将原式变形计算得到，然后把代入计算即可．
16．【答案】（1）解：如图，直线l和即为所作；
（2）4
（3）解：如图，点P即为所作．
∵线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，
∴此时．
【知识点】三角形的面积；线段垂直平分线的性质；作图﹣轴对称；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】（2）解：；
故答案为：（2）4；
【分析】（1）先根据点A和的位置，在网格中找到对称轴l的位置，然后利用轴对称变换的性质分别找到B，C的对应点，，最后连接A1、B1、C1即可；
（2）将三角形放到长为4、宽为3的长方形中，利用割补法再减去三个三角形的面积，即可求出△ABC的面积；
（3）要使最小，只需要找到线段的垂直平分线与直线l的交点P即可，此时结合垂直平分线的性质得出，因此点P即为所求．
（1）解：如图，直线l和即为所作；
（2）解：；
（3）解：如图，点P即为所作．
∵线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，
∴此时．
17．【答案】（1）0.3
（2）0.3
（3）18，42
（4）18
（5）3
【知识点】概率的意义；利用频率估计概率；概率公式；简单事件概率的计算；列一元一次方程
【解析】【解答】（1）解：由统计表中的数据可知，随着摸球次数的增加，摸到红球的频率越来越接近，
当次数足够大时，摸到红球的频率将会接近；
（2）解：由可知，当次数足够大时，摸到红球的频率将会接近，
摸到红球的概率估计值为；
（3）解：红球的个数=(个)，黑球的个数=(个)，
（4）解：从袋子中随机摸出个球，若“摸出黑球”为必然事件，则袋子中全部是黑球，红球的个数是，
由可知，估计袋子中有个红球，
应从袋子中取出个红球，
（5）解：由可知，袋子中有个红球，个黑球，
若先从袋子中取出个红球，再放入个一样的黑球，
则袋子中红球的个数是个红球，个黑球，
随机摸出个红球的概率为，
，
解得：，
故答案为：（1）0.3；（2）0.3；（3），；（4）18；（5）．
【分析】由统计表中的数据可知，随着摸球次数的增加，摸到红球的频率越来越接近；
因为随着摸球次数的增加，摸到红球的频率越来越接近，所以找到红球的概率估计值是；
结合(2)的结果，用摸到红球的概率乘以球的总数量，即可计算出盒子里红球的数量大约为个，从而计算出黑球的数量大约为个；
因为摸到黑球是必然事件，所以袋子里只有黑球而没有红球，结合(3)的计算结果得出，应取出个红球；
结合，先根据条件得出操作之后袋子中有个红球，个黑球，此时根据概率公式可得关于的方程，解方程求出的值即可．
（1）解：由统计表中的数据可知，随着摸球次数的增加，
摸到红球的频率越来越接近，
当次数足够大时，摸到红球的频率将会接近；
（2）解：由可知，当次数足够大时，摸到红球的频率将会接近，
摸到红球的概率估计值为；
（3）解：红球的个数为(个)，
黑球的个数为(个)，
故答案为：，；
（4）解：从袋子中随机摸出个球，若“摸出黑球”为必然事件，
则袋子中全部是黑球，红球的个数是，
由可知，估计袋子中有个红球，
应从袋子中取出个红球，
故答案为：；
（5）由可知，袋子中有个红球，个黑球，
若先从袋子中取出个红球，再放入个一样的黑球，
则袋子中红球的个数是个红球，个黑球，
随机摸出个红球的概率为，
，
解得：，
故答案为：．
18．【答案】（1）6，2
（2）小明和妈妈相遇时距起点的距离
（3）小明出发后的110秒内，两人分别于35秒、65秒和80秒时相距60米
【知识点】通过函数图象获取信息；用关系式表示变量间的关系；用图象表示变量间的关系；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：（1）由图象可知，小明在前70秒内跑过的距离是420米，
小明前70秒的速度是（米秒）．
妈妈的速度始终不变，在110秒内跑过的距离是（米，
妈妈的速度是（米秒）．
故答案为：6；2．
（2）解：两图象的交点处表示两人相遇，
表示的数字是小明和妈妈相遇时距起点的距离．
故答案为：小明和妈妈相遇时距起点的距离．
（3）解：由题意可知，妈妈距起点的距离与小明出发的时间之间的关系式为．
当时，设小明距起点的距离与小明出发的时间之间的关系式为．
①在第一次相遇前，当两人第一次相距60米时，得
，解得；
②在第一次相遇后且，当两人第二次相距60米时，得
，解得．
③当时，两人第三次相距60米时，得
，解得．
综上，小明出发后的110秒内，两人分别于35秒、65秒和80秒时相距60米．
【分析】本题主要考查函数图象的解读以及一元一次方程在实际运动问题中的应用.解题的关键是能从图象中准确提取信息：小明前70秒的路程对应图象中从原点出发上升至420米的一段，妈妈的路程始终以一条倾斜直线表示，其初始领先距离为200米，终点对应110秒时路程与小明相同.（1）计算速度时，用路程差除以时间差即可分别求出小明前70秒的速度为6米/秒，妈妈全程速度为2米/秒；（2）两图象的交点就是相遇点，其纵坐标表示相遇时距离起点的距离，即a的含义；（3）求两人相距60米的时间，需分三个阶段讨论：第一次相遇前妈妈在前，小明的速度更快，由妈妈路程+200 小明路程=60列出方程；第一次相遇后到70秒前，小明跑在前面，用小明路程 (妈妈路程+200)=60；70秒后小明匀速结束，妈妈继续追，路程差为420 (妈妈路程+200)=60.通过分段列方程并求解，可得三个时间分别是35秒、65秒、80秒.处理此类题目的技巧是：看清图象每段线的含义，明确各阶段的运动关系和方程等量，遇分段问题一定要分区间讨论，避免漏解或多解.
19．【答案】（1）方案3；
（2）解：①连接交于点，在上截取，如图所示；
②连接BP，如图
∵，即，且，
∴，
∴，
∵，
∴（SAS），
∴，
∴，
∴当点在线段上时，的值最小；
∴连接，即可得到点，再根据，确定点即可；
（3）
【知识点】两点之间线段最短；等边三角形的判定与性质；轴对称的性质；将军饮马模型-一线两点（一动两定）；同旁内角互补，两直线平行
【解析】【解答】解：（1）由题意，作点关于的对称点，连接交于点，连接，则铺设管道路径是，此时最短，即最短的铺设路径方案是方案3；
故答案为：（1）方案3；
（3）如图，作关于的对称点，作关于的对称点，连接，
则：，，，
∵，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∵的周长，
∴当四点共线时，的周长最小为的长，即的长，
∴当时，的周长最小，
由题意，点到的距离为，
∴的最小值为，即：的周长的最小值为．
【分析】（1）利用将军饮马原理和对称性，作点关于的对称点，连接交于点，再连接，此时的路径最短，从而得出答案；
（2）①连接交于点，在上截取，即可；
②先利用“同旁内角互补、两直线平行”得出，此时依据“两直线平行、内错角相等”得出，接着利用SAS证明，从而得到，进而得到，因此得到当在线段上时，的值最小，连接，即可得到点，再根据，确定点即可；
（3）做辅助线后利用对称性，可以先证明为等边三角形，从而得到，根据的周长列式得到，分析得出，当四点共线时，的周长最小为的长，即的长，再根据垂线段最短得到时，的周长最小，至此即可得出结果．
20．【答案】（1）3
（2）解：PF = EG，理由如下：如图，连接AD，
∵，BC = 5cm，D是BC的中点，
∴，
∵AC = AB，
∴，
∵AD = BD，
∴，
∴，
∵，
∴∠FPD+∠DFP=90°，
∵∠AGF+∠AFD=90°，
∴，
∴
∴AP= BG，
∵，，
∴，
∵CD=AD，，
∴，
∴CF=AE，
∵AB=AC，
∴AC-CF=AB-AE，
∴AF=BE，
∵BG=AP，
∴FP=EG；
（3）解：存在点H使得与全等，理由如下：连接AD，
∵，
∴∠CFD=∠AED，
∵∠AED=∠CFD=∠BAC+∠DGE，
∴∠AED是钝角，
∴当△DCF与△FAH全等时，在△FAH中必有一个钝角，
∵H点在线段EF上，只能是∠FHA是钝角，
∴△DCF≌△FAH，
∴，
在△ADF中，∠FAD=45°，
∴∠FDA=67.5°，
∴∠ADP=∠FDP-∠FDA=22.5°，
∵∠DAP=135°，
∴∠P=22.5°，
∴AP=AD，
∴，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等腰三角形的判定与性质；三角形-动点问题；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：（1）如图，连接AD，
∵，BC = 5cm，D是BC的中点，
∴，
∵AC = AB，
∴，
∵AD = BD，
∴，
∴，
∵，
∴∠FPD+∠DFP=90°，
∵∠AGF+∠AFD=90°，
∴，
∴
∴AP= BG，
∵AP= 2t，t=1.5，
∴AP= BG= 3，
故答案为：3；
【分析】本题主要考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及动点问题中的线段数量关系.解题的关键是利用中线构造全等三角形，将分散的线段进行转化；以及通过计算角度发现隐含的等腰三角形.
第（1）问，利用等腰直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得AD=BD=CD，且AD⊥BC，∠DAB=45°，再由PD⊥DF和角度互余关系，可证，进而推出，得BG=AP.由速度和时间算出AP=3cm，所以BG=3cm；
第（2）问，探究PF与EG的数量关系，需连接AD，通过多次全等证明.先证得到AP= BG；再证得到CF=AE，最后通过线段的和差得出结论；
第（3）问要求判断是否存在点H在线段EF上，使得△DCF ≌ △FAH.由前两问可知，△DCF可通过全等与△ADE关联，且△DCF中∠CFD为钝角，因此要找的全等三角形△FAH中也必须有一个钝角.由于H在EF上，△FAH的钝角只可能在∠FHA处.由此可确定对应关系为：FD对应FH，CF对应AH，CD对应AF.由进一步利用角度计算（∠FAD=45°，结合等腰△ADF可求∠FDA=67.5°），再结合运动时间t与线段长度的关系，即可解出相应的t值.
（1）解：连接AD，
∵，BC = 5cm，D是BC的中点，
∴，
∵AC = AB，
∴，
∵AD = BD，
∴，
∴，
∵，
∴∠FPD+∠DFP=90°，
∵∠AGF+∠AFD=90°，
∴，
∴
∴AP= BG，
∵AP= 2t，t=1.5，
∴AP= BG= 3，
故答案为：3；
（2）解：PF = EG，理由如下：
∵，，
∴，
∵CD=AD，，
∴，
∴CF=AE，
∵AB=AC，
∴AC-CF=AB-AE，
∴AF=BE，
∵BG=AP，
∴FP=EG；
（3）存在点H使得与全等，理由如下：
连接AD，
∵，
∴∠CFD=∠AED，
∵∠AED=∠CFD=∠BAC+∠DGE，
∴∠AED是钝角，
∴当△DCF与△FAH全等时，在△FAH中必有一个钝角，
∵H点在线段EF上，只能是∠FHA是钝角，
∴△DCF≌△FAH，
∴，
在△ADF中，∠FAD=45°，
∴∠FDA=67.5°，
∴∠ADP=∠FDP-∠FDA=22.5°，
∵∠DAP=135°，
∴∠P=22.5°，
∴．AP=AD，
∴，
∴．
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