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广东省惠州市惠阳区2024-2025学年八年级下学期7月期末数学试题
一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）
1．下列二次根式，能与合并的是（　　）
A． B． C． D．
2．如图，在中，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
3．若能使下列二次根式有意义，则这个二次根式可以是（　　）
A． B． C． D．
4．李师傅到单位附近的加油站加油，如图是所用的加油机上的数据显示牌，则其中的常量是（　　）
116.64 金额
18 数量/升
6.48 单价/元
A．金额 B．数量 C．单价 D．金额和数量
5．为了固定垂直于地面的木桩，工人们在木桩离地面高4米的点A拉了一根长5米的钢丝，另一头固定在地面的处（接头处长度不计），则点与木桩底部的距离应为（　　）
A．3米 B．4米 C．5米 D．6米
6． 若三角形的三边长分别为，且满足，则这个三角形的形状是（　　）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
7．如图，小明与家人乘车去惠州西湖游玩然后返回家中，小明与家的距离与所用时间的对应关系如图所示，以下说法错误的是（　　）
A．小明全家去西湖时的平均速度为
B．小明全家返回时的平均速度为
C．小明全家停车游玩了小时
D．小明“乘车去西湖”和“从西湖返回家”的时间相同
8．如图，在中，，，、分别为的中点，则的长为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．
9．为培养和促进学生对数理化科普知识的兴趣，激发学生形成学科学、用科学、爱科学、积极探索的学习风尚，学校举办了“数理化科普知识竞赛”，设有数学、物理、化学三个科目，学校按照的比例计算综合成绩来评定参赛学生的奖项．在这次竞赛中，小明同学数学、物理、化学三科成绩分别为90分、80分、85分，那么小王的竞赛综合成绩为（　　）
A．85 B．86 C．87 D．88
10．在矩形中，对角线、相交于点，平分交于点，．连接，则下面的结论：①是等边三角形；②是等腰三角形；③；④，其中正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分）
11．化简： =　 　．
12．若直线经过第二、四象限，则m的取值范围为　 　．
13．如图，在平面直角坐标系xOy中，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（﹣3，0），（2，0），点D在y轴上，则点C的坐标是　 　．
14．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、，且与直线相交于点，则的解集是　 　．
15．如图，在正方形的边上连接等腰直角三角形，然后在等腰直角三角形的直角边上连接正方形，无限重复上述过程，如果第一个正方形的边长为，那么第个正方形的面积为　 　．
三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分）
16．计算：
17．如图，某沿海城市接到台风警报，在该市正南方向的处有一台风中心正以的速度向方向移动，已知城市到的距离，那么台风中心经过多长时间从点移到点？
18．如图，四边形是平行四边形．
（1）尺规作图：作的平分线交于点（保留作图痕迹，不写作法）．
（2）在（）的情况下，若，，求的长．
四、解答题（一）（本大题共3小题，每小题8分，共27分）
19．校园消防关系到全校师生的生命安全．某校为加强学生的消防意识，开展了“消防安全知识”宣传活动，活动后举办了消防知识竞赛（百分制），并分别在七、八年级中各随机抽取10名学生的成绩进行了统计、整理与分析（成绩用x表示，共分为三个等级：合格，良好，优秀），下面给出了部分信息：
信息一：10名七年级学生的成绩：83，84，84，88，89，89，95，95，95，98．
信息二：10名八年级学生中“良好”等级包含的所有数据：85，90，90，90，94．
信息三：
年级 平均数 中位数 众数 方差 “优秀”等级所占百分比
七年级 90 89 a 26.6
八年级 90 b 90 30
抽取的10名八年级学生的成绩扇形统计图
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：______，______，______．
（2）该校七、八年级各有700名学生，估计该校七、八年级学生中成绩为“优秀”等级的学生共有多少人？
（3）根据以上数据，你认为该校七、八年级中，哪个年级学生对消防知识掌握得更好？请说明理由．
20．跨学科融合——项目式学习
供水路线设计
背景 在惠州东江流域，有一个依山傍水的传统村落——青溪村（图中点处）．过去，村民们一直依赖河边原有的两个取水点、获取生活用水，且．但由于东江流域季节性洪水冲刷，从村庄到取水点的道路被严重损毁，已无法通行．
测量数据 为保障村民日常用水，青溪村与地理科研团队合作开展“智慧供水”项目，决定在河边新建取水点（、、在一条直线上），并修建一条新路．经地理勘测团队测量，千米，千米，千米．
任务一 最佳路线评估地理团队在进行供水路线规划时，需要确定是否为从村庄到河边的最近路． （）请你结合数学知识，通过计算加以说明：是否为从村庄到河边的最近路？
任务二 工程成本分析在项目成本核算阶段，施工团队需要了解新路比原路少多少千米，从而估算节省的材料与人力成本． （）请运用数学方法，结合地理实际测量数据，求出新路相比原路缩短多少千米？
21．惠州西湖是国家5A级旅游景区，拥有深厚的历史文化底蕴，苏轼曾在此留下众多诗篇．景区内游船租赁服务颇受游客喜爱，某游船租赁公司计划在景区投放新型游船型和型（两种游船乘船人数一样）．已知租3艘型和2艘型游船共需租金1080元：租1艘型和4艘型游船共需租金1160元．
（1）求出每艘型和型的租金分别是多少钱？
（2）惠阳区“伯恩”公司组织部分员工去西湖团建活动，需租型和型游船一共20艘，且型游船不超过型游船的2倍，请你通过计算确定该公司租船费用最低的方案？并求出最低费用是多少？
五、解答题（3）（本大题3小题，22题13分，23题14分，共27分）
22．综合与实践
折纸是一项有趣的活动，折纸活动也伴随着我们初中数学的学习．在折纸过程中，我们可以研究图形的运动和性质，也可以在思考问题的过程中，初步建立几何直观，现在就让我们带着数学的眼光来折纸吧．定义：将纸片折叠，若折叠后的图形恰能拼合成一个无缝隙、无重叠的矩形，这样的矩形称为完美矩形．
（1）操作发现：
如图①，将纸片按所示折叠成完美矩形，若的面积为，，则此完美矩形的边长 ，面积为 ．
（2）类比探究：
如图②，将平行四边形纸片按所示折叠成完美矩形，若平行四边形的面积为，，则完美矩形的周长为 ．
（3）拓展延伸：
如图③，将平行四边形纸片按所示折叠成完美矩形，若，，求此完美矩形的周长为多少．
23．数学建模
【模型建立】如图，三个直角三角形的直角顶点都在同一条直线上，这一模型叫作“一线三垂直”型．这种模型是证明三角形全等的常见模型，在数学解题中被广泛使用．
【模型探索】
（）如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于：，两点．以线段为直角边在的右边作等腰直角，直接写出点的坐标：_____，______，_____．
（）如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于，两点，，是直线上的两动点，连接，．若，，求长的最小值．
【模型应用】
（）如图，在（）的情况下，经过点的直线与轴交于点，为线段上的一点，作射线．若，求直线的函数解析式．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】同类二次根式
【解析】【解答】解：，被开方数为．
A．，被开方数为，不符合．
B．，被开方数为，不符合．
C．，被开方数为，符合条件．
D．无法进一步化简，被开方数为，不符合．
综上，只有选项C能与合并．
故选C．
【分析】本题考查同类二次根式的识别与合并规则，能合并的二次根式需化简后被开方数完全相同。先将化简为，确定其被开方数为3，再逐一化简选项中的二次根式，对比被开方数是否与一致即可完成判断。
2．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形为平行四边形，
∴．
故选：C．
【分析】根据平行四边形性质即可求出答案.
3．【答案】A
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵
∴
∴有意义，
故答案为：A.
【分析】将x的值分别代入各个二次根式的被开方数进行计算，然后根据二次根式有意义的条件为被开方数为非负数，即可判断求解.
4．【答案】C
【知识点】常量、变量
【解析】【解答】解：常量是固定不变的量，变量是变化的量，单价是不变的量，而金额是随着数量的变化而变化，
故选：C．
【分析】根据常量与变量的定义即可求出答案.
5．【答案】A
【知识点】勾股定理的实际应用-旗杆高度问题
【解析】【解答】解：∵
∴，
在中，米，米。
∴，
米 ，
故选：A．
【分析】本题考查勾股定理的实际应用，由可知是直角三角形，已知直角边米、斜边米，代入勾股定理即可计算出的长度。
6．【答案】B
【知识点】勾股定理的逆定理；偶次方的非负性；算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性
【解析】【解答】解： ，
a-13=0，b-12=0，c-5=0，
解得：a=13，b=12，c=5，
b2+c2=122+52=132=a2，
这个三角形的形状是直角三角形.
故答案为：B.
【分析】先利用非负数的性质求出a、b、c的值，得出b2+c2=122+52=132=a2，再利用个勾股定理逆定理证明即可.
7．【答案】D
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】A． 小明全家去西湖时的平均速度为，原说法正确，不符合题意；
B．小明全家返回时的平均速度为，原说法正确，不符合题意；
C． 小明全家停车游玩了小时，原说法正确，不符合题意；
D． 小明全家乘车去西湖的时间是，从西湖返回家的时间是，，时间不相同，该选项原说法错误，符合题意；
故选：D．
【分析】本题考查从一次函数图象中提取信息并计算，先从图象中提取路程、去程时间、返程时间、游玩时长等关键数据，再根据速度=路程÷时间计算速度，逐一验证各选项的说法是否正确。
8．【答案】A
【知识点】含30°角的直角三角形；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：在中，，，，
∴，
∵、分别为的中点，
∴是的中位线，
∴，
故选：A．
【分析】根据含30°角的直角三角形性质可得BC，再根据三角形中位线定理即可求出答案.
9．【答案】B
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：，
因此，小明的综合成绩为86分．
故选B．
【分析】本题考查加权平均数的计算方法，按照各科成绩与对应权重，代入加权平均数公式，计算后即可得到小明的综合成绩。
10．【答案】C
【知识点】三角形外角的概念及性质；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；等腰直角三角形；角平分线的概念
【解析】【解答】解：平分，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
在矩形中，，
是等边三角形，是等边三角形，故①正确；
，
，
，
是等腰三角形，故②正确；
在中，，
，故③错误；
，
，故④正确；
故选：C．
【分析】根据角平分线定义可得，再根据等腰直角三角形判定定理可得是等腰直角三角形，则，根据三角形外角性质可得∠ACE，根据直角三角形两锐角互余可得∠BAO，再根据等边三角形判定定理可判断①；根据等边三角形性质可得，根据边之间的关系可得，再根据等腰三角形判定定理可判断②，根据含30°角的直角三角形可判断③，根据三角形面积可判断④.
11．【答案】
【知识点】分母有理化
【解析】【解答】解：原式= +1．故答案为： +1．
【分析】进行分母有理化，在分子分母中都乘以分母的有理化因式，然后分母利用平方差公式去括号化简即可得出结果。
12．【答案】
【知识点】正比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵正比例函数的图象过第二、四象限，
∴m 3＜0，
解得：．
故答案为：
【分析】本题考查正比例函数的图象性质，正比例函数中，当时图象经过第二、四象限，由此列出关于的不等式，解不等式即可得到的取值范围。
13．【答案】（5，4）
【知识点】坐标与图形性质；勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（﹣3，0），（2，0），点D在y轴上，
∴AB=5，
∴DO=4，
∴点C的坐标是：（5，4）．
故答案为：（5，4）．
【分析】根据两点间距离可得AB=5，根据勾股定理可得DO=4，再根据菱形性质即可求出答案.
14．【答案】
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：∵直线与直线相交于点，
∴不等式的解集是，
故答案为：．
【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式的数形结合应用，不等式的解集是直线图象在直线图象上方时对应的取值范围，结合两直线交点的横坐标即可直接得出解集。
15．【答案】
【知识点】正方形的性质；用代数式表示图形变化规律；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；探索规律-图形的递变规律；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：可以发现，第一个正方形的边长为，
第个正方形的边长为，
第个正方形的边长为
第个正方形的边长为，
∴第个正方形的面积，
故答案为：．
【分析】根据前3个正方形边长的变换，总结规律即可求出答案.
16．【答案】解：
．
【知识点】零指数幂；二次根式的混合运算；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】本题考查零指数幂、二次根式乘法、绝对值的混合运算，先依据零指数幂性质化简第一项，根据二次根式乘法法则化简第二项，按照绝对值性质去掉绝对值符号，最后合并同类二次根式得出结果。
17．【答案】解：在直角三角形中，根据勾股定理，得，
时，
答：台风中心经过小时从点移到点．
【知识点】勾股定理的实际应用-（台风、噪音、触礁、爆破）影响范围问题
【解析】【分析】根据勾股定理可得BD，再根据时间=路程÷速度即可求出答案.
18．【答案】（1）解：如图所示，线段即为所求；
（2）解：∵四边形是平行四边形，∴，，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】等腰三角形的判定；平行四边形的性质；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】(1)本题考查尺规作角平分线的基本操作，按照角平分线的尺规作图步骤，保留作图痕迹即可完成；
(2)本题考查平行四边形性质与等腰三角形判定，由平行四边形对边平行且相等得、，结合角平分线定义推出等角，进而判定为等腰三角形，求出的长度后，，而平行四边形中，即可求出的长。
（1）解：如图所示，线段即为所求；
（2）解：∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴．
19．【答案】（1）95，90，20
（2）解：估计该校七、八年级学生中成绩为“优秀”等级的学生共有
（人）；
（3）解：七年级学生对消防知识掌握得更好，
理由如下：
平均数：七、八年级学生成绩的平均数相同；
众数：七年级学生成绩的众数比八年级学生成绩的众数高；
方差：七年级学生成绩的方差比八年级学生成绩的方差小，即七年级学生成绩比八年级学生成绩更稳定．
综上所述，该校七年级学生对消防知识掌握得更好．
【知识点】中位数；方差；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：由学生成绩统计表可知，八年级10名学生中“优秀”等级所占百分比为，“良好”等级所占百分比为，
∴八年级“优秀”等级人数为：（人），
∴八年级“良好”等级为：（人），
∴八年级“合格”等级所占百分比为，
∴，
∴八年级“合格”等级人数为：（人），
∴八年级10名学生中，中位数为将10名学生成绩从小到大排序后第5、6成绩的平均数，即八年级10名学生中“良好”等级的第3、4成绩的平均数，为（分），
10名七年级学生的成绩中，95出现次数最多，
∴；
故答案为：95，90，20；
【分析】（1）根据众数，中位数的定义可得a，b，分别求出优秀，良好的占比，再用1减去，即可求出m值.
（2）根据700乘以对应占比即可求出答案.
（3）根据各统计量的意义即可求出答案.
（1）解：由学生成绩统计表可知，八年级10名学生中“优秀”等级所占百分比为，“良好”等级所占百分比为，
∴八年级“优秀”等级人数为：（人），
∴八年级“良好”等级为：（人），
∴八年级“合格”等级所占百分比为，
∴，
∴八年级“合格”等级人数为：（人），
∴八年级10名学生中，中位数为将10名学生成绩从小到大排序后第5、6成绩的平均数，即八年级10名学生中“良好”等级的第3、4成绩的平均数，为（分），
10名七年级学生的成绩中，95出现次数最多，
∴；
故答案为：95，90，20；
（2）解：估计该校七、八年级学生中成绩为“优秀”等级的学生共有
（人）；
（3）解：七年级学生对消防知识掌握得更好，
理由如下：
平均数：七、八年级学生成绩的平均数相同；
众数：七年级学生成绩的众数比八年级学生成绩的众数高；
方差：七年级学生成绩的方差比八年级学生成绩的方差小，即七年级学生成绩比八年级学生成绩更稳定．
综上所述，该校七年级学生对消防知识掌握得更好．
20．【答案】解：（）是从村庄到河边的最近路，理由如下：在中，，，
∴，
∴是直角三角形，，
∴，
∵垂线段最短，
∴是从村庄到河边的最近路；
（）设千米，则千米，
∴千米，
在中，由勾股定理得：， .
∴，
解得，
∴千米，
∴千米，
答：新路相比原路缩短千米．
【知识点】垂线段最短及其应用；勾股定理；勾股定理逆定理的实际应用
【解析】【分析】(1)本题考查勾股定理逆定理与垂线段最短，先计算与，验证二者相等判定为直角三角形且，依据垂线段最短即可判断为最近路；
(2)本题考查勾股定理的方程思想，设千米，表达出的长度，在中列勾股定理方程求解，再计算与的长度差。
21．【答案】（1）解：设每艘型和型的租金分别是x元，y元钱，根据题意得：
，
解得：，
答：每艘型和型的租金分别是200元，240元钱；
（2）解：设租用A型游船m艘，则租用B型游船艘，根据题意得：，
解得：，
∵m为整数，
∴m最大为13，
设租金为W元，根据题意得：
，
∵，
∴W随x的增大而减小，
∴当时，W最小，最小值为4280，此时，
答：租用A型游船13艘，租用B型游船7艘，费用最低，最低费用是4280元．
【知识点】一元一次不等式的应用；一次函数的其他应用；二元一次方程组的实际应用-方案选择问题
【解析】【分析】(1)本题考查二元一次方程组的实际应用，设A型、B型游船租金分别为元、元，根据两种租船组合的费用列出方程组，求解即可得到租金；
(2)本题考查一元一次不等式与一次函数最值，设租A型游船艘，根据数量关系列不等式求出的取值范围，建立租金关于的一次函数，根据函数单调性求出租金最小值及对应租船方案。
（1）解：设每艘型和型的租金分别是x元，y元钱，根据题意得：
，
解得：，
答：每艘型和型的租金分别是200元，240元钱；
（2）解：设租用A型游船m艘，则租用B型游船艘，根据题意得：
，
解得：，
∵m为整数，
∴m最大为13，
设租金为W元，根据题意得：
，
∵，
∴W随x的增大而减小，
∴当时，W最小，最小值为4280，此时，
答：租用A型游船13艘，租用B型游船7艘，费用最低，最低费用是4280元．
22．【答案】（1）；
（2）16
（3）解：连接，如图所示：
由折叠可得：点E和G分别是AB和CD的中点，
∴AE=DG，AE∥DG，
∴四边形AEGD是平行四边形，
∴AD=EG=HF，
∵EF：EH=3：4，
∴设，则，
∴在中，，
∴，
解得：，
∴，，
∴矩形的周长.
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：(1)由折叠可知：BF=DF，CG=DG，AH=DH=CH，
∴，点H是AC中点，
过点A作AM⊥BC于点M，AM交EH于点N，如图①所示：
∵，
∴AM=4，
∴由折叠可知：MN=AN=2，
∴EF=HG=MN=2，
∴完美矩形的面积为：FG×EF＝3×2＝6；
故答案为：3；6
解：(2)由折叠可得：BE=HE，CF=FH，，，
∴，
∴，
∴，
∴矩形的周长；
故答案为：16
【分析】
本题考查平行四边形的性质，折叠的性质，矩形的性质，勾股定理等知识点，熟练应用折叠的性质是解题的关键．
（1）根据折叠的性质可知：BF=DF，CG=DG，AH=DH=CH，再根据线段的和差运算可知：，载根据三角形的面积公式：，结合：代入数据可求出高AM的长度，再结合折叠的性质可知：MN=AN=2，由此可得出：矩形的宽EF=2；最后根据矩形的周长公式：矩形的周长=（长+宽）×2，代入数据，即可得出答案；
（2）根据折叠的性质可知：BE=HE，CF=FH，，，再根据线段的和差运算可知：，由图知：，再根据矩形的面积公式：，即：，代入数据可得出矩形的长AE=5，最后根据矩形的周长公式：矩形的周长=（长+宽）×2，代入数据，即可得出答案；
（3）连接EG，根据折叠的性质可知：AE=DG，AE∥DG，再根据平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可知：四边形AEGD是平行四边形，根据平行四边形的性质可知：平行四边形对边相等可知：AD=EG=HF，再结合EF：EH=3：4，设，则，利用勾股定理：在中，，代入数据可求出矩形的长和宽， 最后根据矩形的周长公式：矩形的周长=（长+宽）×2，代入数据，即可得出答案.
23．【答案】（），，；
（）如图，当时，最小，
∵，
∴，
∴，
∵一次函数的图象与轴、轴分别交于，两点，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
∴长的最小值为；
（）如图，过点作于点，过点作轴于点，交过点和轴的平行线于点，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
同理（）可证，
∴，，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，，
∵直线与轴交于点，
∴，
∴，
设，
∴，，
∵，，
∴，
解得，
∴，
设直线的函数解析式为，把和代入得，
，
解得，
∴直线的函数解析式为．
【知识点】勾股定理；三角形全等的判定-AAS；一次函数的实际应用-几何问题；同侧一线三垂直全等模型
【解析】【解答】解：（）如图，过点作轴于点，则，
∵一次函数的图象与轴、轴分别交于，两点，
∴，，
∴，，
∵是以为直角边的等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：，，；
【分析】(1)本题考查一次函数与坐标轴交点、等腰直角三角形及全等三角形，先求一次函数与坐标轴交点得到P、Q坐标，作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的性质求出点R的坐标；
(2)本题考查一线三垂直全等模型与勾股定理，当时取得最小值，证明三角形全等得，在直角三角形中用勾股定理求出，即为的最小值；
(3)本题考查等腰直角三角形、全等三角形与待定系数法，作辅助线构造等腰直角三角形和全等三角形，设点T坐标列方程求出坐标，再代入两点求直线的解析式。
1 / 1广东省惠州市惠阳区2024-2025学年八年级下学期7月期末数学试题
一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）
1．下列二次根式，能与合并的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】同类二次根式
【解析】【解答】解：，被开方数为．
A．，被开方数为，不符合．
B．，被开方数为，不符合．
C．，被开方数为，符合条件．
D．无法进一步化简，被开方数为，不符合．
综上，只有选项C能与合并．
故选C．
【分析】本题考查同类二次根式的识别与合并规则，能合并的二次根式需化简后被开方数完全相同。先将化简为，确定其被开方数为3，再逐一化简选项中的二次根式，对比被开方数是否与一致即可完成判断。
2．如图，在中，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形为平行四边形，
∴．
故选：C．
【分析】根据平行四边形性质即可求出答案.
3．若能使下列二次根式有意义，则这个二次根式可以是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵
∴
∴有意义，
故答案为：A.
【分析】将x的值分别代入各个二次根式的被开方数进行计算，然后根据二次根式有意义的条件为被开方数为非负数，即可判断求解.
4．李师傅到单位附近的加油站加油，如图是所用的加油机上的数据显示牌，则其中的常量是（　　）
116.64 金额
18 数量/升
6.48 单价/元
A．金额 B．数量 C．单价 D．金额和数量
【答案】C
【知识点】常量、变量
【解析】【解答】解：常量是固定不变的量，变量是变化的量，单价是不变的量，而金额是随着数量的变化而变化，
故选：C．
【分析】根据常量与变量的定义即可求出答案.
5．为了固定垂直于地面的木桩，工人们在木桩离地面高4米的点A拉了一根长5米的钢丝，另一头固定在地面的处（接头处长度不计），则点与木桩底部的距离应为（　　）
A．3米 B．4米 C．5米 D．6米
【答案】A
【知识点】勾股定理的实际应用-旗杆高度问题
【解析】【解答】解：∵
∴，
在中，米，米。
∴，
米 ，
故选：A．
【分析】本题考查勾股定理的实际应用，由可知是直角三角形，已知直角边米、斜边米，代入勾股定理即可计算出的长度。
6． 若三角形的三边长分别为，且满足，则这个三角形的形状是（　　）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
【答案】B
【知识点】勾股定理的逆定理；偶次方的非负性；算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性
【解析】【解答】解： ，
a-13=0，b-12=0，c-5=0，
解得：a=13，b=12，c=5，
b2+c2=122+52=132=a2，
这个三角形的形状是直角三角形.
故答案为：B.
【分析】先利用非负数的性质求出a、b、c的值，得出b2+c2=122+52=132=a2，再利用个勾股定理逆定理证明即可.
7．如图，小明与家人乘车去惠州西湖游玩然后返回家中，小明与家的距离与所用时间的对应关系如图所示，以下说法错误的是（　　）
A．小明全家去西湖时的平均速度为
B．小明全家返回时的平均速度为
C．小明全家停车游玩了小时
D．小明“乘车去西湖”和“从西湖返回家”的时间相同
【答案】D
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】A． 小明全家去西湖时的平均速度为，原说法正确，不符合题意；
B．小明全家返回时的平均速度为，原说法正确，不符合题意；
C． 小明全家停车游玩了小时，原说法正确，不符合题意；
D． 小明全家乘车去西湖的时间是，从西湖返回家的时间是，，时间不相同，该选项原说法错误，符合题意；
故选：D．
【分析】本题考查从一次函数图象中提取信息并计算，先从图象中提取路程、去程时间、返程时间、游玩时长等关键数据，再根据速度=路程÷时间计算速度，逐一验证各选项的说法是否正确。
8．如图，在中，，，、分别为的中点，则的长为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．
【答案】A
【知识点】含30°角的直角三角形；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：在中，，，，
∴，
∵、分别为的中点，
∴是的中位线，
∴，
故选：A．
【分析】根据含30°角的直角三角形性质可得BC，再根据三角形中位线定理即可求出答案.
9．为培养和促进学生对数理化科普知识的兴趣，激发学生形成学科学、用科学、爱科学、积极探索的学习风尚，学校举办了“数理化科普知识竞赛”，设有数学、物理、化学三个科目，学校按照的比例计算综合成绩来评定参赛学生的奖项．在这次竞赛中，小明同学数学、物理、化学三科成绩分别为90分、80分、85分，那么小王的竞赛综合成绩为（　　）
A．85 B．86 C．87 D．88
【答案】B
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：，
因此，小明的综合成绩为86分．
故选B．
【分析】本题考查加权平均数的计算方法，按照各科成绩与对应权重，代入加权平均数公式，计算后即可得到小明的综合成绩。
10．在矩形中，对角线、相交于点，平分交于点，．连接，则下面的结论：①是等边三角形；②是等腰三角形；③；④，其中正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】三角形外角的概念及性质；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；等腰直角三角形；角平分线的概念
【解析】【解答】解：平分，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
在矩形中，，
是等边三角形，是等边三角形，故①正确；
，
，
，
是等腰三角形，故②正确；
在中，，
，故③错误；
，
，故④正确；
故选：C．
【分析】根据角平分线定义可得，再根据等腰直角三角形判定定理可得是等腰直角三角形，则，根据三角形外角性质可得∠ACE，根据直角三角形两锐角互余可得∠BAO，再根据等边三角形判定定理可判断①；根据等边三角形性质可得，根据边之间的关系可得，再根据等腰三角形判定定理可判断②，根据含30°角的直角三角形可判断③，根据三角形面积可判断④.
二、填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分）
11．化简： =　 　．
【答案】
【知识点】分母有理化
【解析】【解答】解：原式= +1．故答案为： +1．
【分析】进行分母有理化，在分子分母中都乘以分母的有理化因式，然后分母利用平方差公式去括号化简即可得出结果。
12．若直线经过第二、四象限，则m的取值范围为　 　．
【答案】
【知识点】正比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵正比例函数的图象过第二、四象限，
∴m 3＜0，
解得：．
故答案为：
【分析】本题考查正比例函数的图象性质，正比例函数中，当时图象经过第二、四象限，由此列出关于的不等式，解不等式即可得到的取值范围。
13．如图，在平面直角坐标系xOy中，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（﹣3，0），（2，0），点D在y轴上，则点C的坐标是　 　．
【答案】（5，4）
【知识点】坐标与图形性质；勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（﹣3，0），（2，0），点D在y轴上，
∴AB=5，
∴DO=4，
∴点C的坐标是：（5，4）．
故答案为：（5，4）．
【分析】根据两点间距离可得AB=5，根据勾股定理可得DO=4，再根据菱形性质即可求出答案.
14．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、，且与直线相交于点，则的解集是　 　．
【答案】
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：∵直线与直线相交于点，
∴不等式的解集是，
故答案为：．
【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式的数形结合应用，不等式的解集是直线图象在直线图象上方时对应的取值范围，结合两直线交点的横坐标即可直接得出解集。
15．如图，在正方形的边上连接等腰直角三角形，然后在等腰直角三角形的直角边上连接正方形，无限重复上述过程，如果第一个正方形的边长为，那么第个正方形的面积为　 　．
【答案】
【知识点】正方形的性质；用代数式表示图形变化规律；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；探索规律-图形的递变规律；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：可以发现，第一个正方形的边长为，
第个正方形的边长为，
第个正方形的边长为
第个正方形的边长为，
∴第个正方形的面积，
故答案为：．
【分析】根据前3个正方形边长的变换，总结规律即可求出答案.
三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分）
16．计算：
【答案】解：
．
【知识点】零指数幂；二次根式的混合运算；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】本题考查零指数幂、二次根式乘法、绝对值的混合运算，先依据零指数幂性质化简第一项，根据二次根式乘法法则化简第二项，按照绝对值性质去掉绝对值符号，最后合并同类二次根式得出结果。
17．如图，某沿海城市接到台风警报，在该市正南方向的处有一台风中心正以的速度向方向移动，已知城市到的距离，那么台风中心经过多长时间从点移到点？
【答案】解：在直角三角形中，根据勾股定理，得，
时，
答：台风中心经过小时从点移到点．
【知识点】勾股定理的实际应用-（台风、噪音、触礁、爆破）影响范围问题
【解析】【分析】根据勾股定理可得BD，再根据时间=路程÷速度即可求出答案.
18．如图，四边形是平行四边形．
（1）尺规作图：作的平分线交于点（保留作图痕迹，不写作法）．
（2）在（）的情况下，若，，求的长．
【答案】（1）解：如图所示，线段即为所求；
（2）解：∵四边形是平行四边形，∴，，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】等腰三角形的判定；平行四边形的性质；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】(1)本题考查尺规作角平分线的基本操作，按照角平分线的尺规作图步骤，保留作图痕迹即可完成；
(2)本题考查平行四边形性质与等腰三角形判定，由平行四边形对边平行且相等得、，结合角平分线定义推出等角，进而判定为等腰三角形，求出的长度后，，而平行四边形中，即可求出的长。
（1）解：如图所示，线段即为所求；
（2）解：∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴．
四、解答题（一）（本大题共3小题，每小题8分，共27分）
19．校园消防关系到全校师生的生命安全．某校为加强学生的消防意识，开展了“消防安全知识”宣传活动，活动后举办了消防知识竞赛（百分制），并分别在七、八年级中各随机抽取10名学生的成绩进行了统计、整理与分析（成绩用x表示，共分为三个等级：合格，良好，优秀），下面给出了部分信息：
信息一：10名七年级学生的成绩：83，84，84，88，89，89，95，95，95，98．
信息二：10名八年级学生中“良好”等级包含的所有数据：85，90，90，90，94．
信息三：
年级 平均数 中位数 众数 方差 “优秀”等级所占百分比
七年级 90 89 a 26.6
八年级 90 b 90 30
抽取的10名八年级学生的成绩扇形统计图
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：______，______，______．
（2）该校七、八年级各有700名学生，估计该校七、八年级学生中成绩为“优秀”等级的学生共有多少人？
（3）根据以上数据，你认为该校七、八年级中，哪个年级学生对消防知识掌握得更好？请说明理由．
【答案】（1）95，90，20
（2）解：估计该校七、八年级学生中成绩为“优秀”等级的学生共有
（人）；
（3）解：七年级学生对消防知识掌握得更好，
理由如下：
平均数：七、八年级学生成绩的平均数相同；
众数：七年级学生成绩的众数比八年级学生成绩的众数高；
方差：七年级学生成绩的方差比八年级学生成绩的方差小，即七年级学生成绩比八年级学生成绩更稳定．
综上所述，该校七年级学生对消防知识掌握得更好．
【知识点】中位数；方差；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：由学生成绩统计表可知，八年级10名学生中“优秀”等级所占百分比为，“良好”等级所占百分比为，
∴八年级“优秀”等级人数为：（人），
∴八年级“良好”等级为：（人），
∴八年级“合格”等级所占百分比为，
∴，
∴八年级“合格”等级人数为：（人），
∴八年级10名学生中，中位数为将10名学生成绩从小到大排序后第5、6成绩的平均数，即八年级10名学生中“良好”等级的第3、4成绩的平均数，为（分），
10名七年级学生的成绩中，95出现次数最多，
∴；
故答案为：95，90，20；
【分析】（1）根据众数，中位数的定义可得a，b，分别求出优秀，良好的占比，再用1减去，即可求出m值.
（2）根据700乘以对应占比即可求出答案.
（3）根据各统计量的意义即可求出答案.
（1）解：由学生成绩统计表可知，八年级10名学生中“优秀”等级所占百分比为，“良好”等级所占百分比为，
∴八年级“优秀”等级人数为：（人），
∴八年级“良好”等级为：（人），
∴八年级“合格”等级所占百分比为，
∴，
∴八年级“合格”等级人数为：（人），
∴八年级10名学生中，中位数为将10名学生成绩从小到大排序后第5、6成绩的平均数，即八年级10名学生中“良好”等级的第3、4成绩的平均数，为（分），
10名七年级学生的成绩中，95出现次数最多，
∴；
故答案为：95，90，20；
（2）解：估计该校七、八年级学生中成绩为“优秀”等级的学生共有
（人）；
（3）解：七年级学生对消防知识掌握得更好，
理由如下：
平均数：七、八年级学生成绩的平均数相同；
众数：七年级学生成绩的众数比八年级学生成绩的众数高；
方差：七年级学生成绩的方差比八年级学生成绩的方差小，即七年级学生成绩比八年级学生成绩更稳定．
综上所述，该校七年级学生对消防知识掌握得更好．
20．跨学科融合——项目式学习
供水路线设计
背景 在惠州东江流域，有一个依山傍水的传统村落——青溪村（图中点处）．过去，村民们一直依赖河边原有的两个取水点、获取生活用水，且．但由于东江流域季节性洪水冲刷，从村庄到取水点的道路被严重损毁，已无法通行．
测量数据 为保障村民日常用水，青溪村与地理科研团队合作开展“智慧供水”项目，决定在河边新建取水点（、、在一条直线上），并修建一条新路．经地理勘测团队测量，千米，千米，千米．
任务一 最佳路线评估地理团队在进行供水路线规划时，需要确定是否为从村庄到河边的最近路． （）请你结合数学知识，通过计算加以说明：是否为从村庄到河边的最近路？
任务二 工程成本分析在项目成本核算阶段，施工团队需要了解新路比原路少多少千米，从而估算节省的材料与人力成本． （）请运用数学方法，结合地理实际测量数据，求出新路相比原路缩短多少千米？
【答案】解：（）是从村庄到河边的最近路，理由如下：在中，，，
∴，
∴是直角三角形，，
∴，
∵垂线段最短，
∴是从村庄到河边的最近路；
（）设千米，则千米，
∴千米，
在中，由勾股定理得：， .
∴，
解得，
∴千米，
∴千米，
答：新路相比原路缩短千米．
【知识点】垂线段最短及其应用；勾股定理；勾股定理逆定理的实际应用
【解析】【分析】(1)本题考查勾股定理逆定理与垂线段最短，先计算与，验证二者相等判定为直角三角形且，依据垂线段最短即可判断为最近路；
(2)本题考查勾股定理的方程思想，设千米，表达出的长度，在中列勾股定理方程求解，再计算与的长度差。
21．惠州西湖是国家5A级旅游景区，拥有深厚的历史文化底蕴，苏轼曾在此留下众多诗篇．景区内游船租赁服务颇受游客喜爱，某游船租赁公司计划在景区投放新型游船型和型（两种游船乘船人数一样）．已知租3艘型和2艘型游船共需租金1080元：租1艘型和4艘型游船共需租金1160元．
（1）求出每艘型和型的租金分别是多少钱？
（2）惠阳区“伯恩”公司组织部分员工去西湖团建活动，需租型和型游船一共20艘，且型游船不超过型游船的2倍，请你通过计算确定该公司租船费用最低的方案？并求出最低费用是多少？
【答案】（1）解：设每艘型和型的租金分别是x元，y元钱，根据题意得：
，
解得：，
答：每艘型和型的租金分别是200元，240元钱；
（2）解：设租用A型游船m艘，则租用B型游船艘，根据题意得：，
解得：，
∵m为整数，
∴m最大为13，
设租金为W元，根据题意得：
，
∵，
∴W随x的增大而减小，
∴当时，W最小，最小值为4280，此时，
答：租用A型游船13艘，租用B型游船7艘，费用最低，最低费用是4280元．
【知识点】一元一次不等式的应用；一次函数的其他应用；二元一次方程组的实际应用-方案选择问题
【解析】【分析】(1)本题考查二元一次方程组的实际应用，设A型、B型游船租金分别为元、元，根据两种租船组合的费用列出方程组，求解即可得到租金；
(2)本题考查一元一次不等式与一次函数最值，设租A型游船艘，根据数量关系列不等式求出的取值范围，建立租金关于的一次函数，根据函数单调性求出租金最小值及对应租船方案。
（1）解：设每艘型和型的租金分别是x元，y元钱，根据题意得：
，
解得：，
答：每艘型和型的租金分别是200元，240元钱；
（2）解：设租用A型游船m艘，则租用B型游船艘，根据题意得：
，
解得：，
∵m为整数，
∴m最大为13，
设租金为W元，根据题意得：
，
∵，
∴W随x的增大而减小，
∴当时，W最小，最小值为4280，此时，
答：租用A型游船13艘，租用B型游船7艘，费用最低，最低费用是4280元．
五、解答题（3）（本大题3小题，22题13分，23题14分，共27分）
22．综合与实践
折纸是一项有趣的活动，折纸活动也伴随着我们初中数学的学习．在折纸过程中，我们可以研究图形的运动和性质，也可以在思考问题的过程中，初步建立几何直观，现在就让我们带着数学的眼光来折纸吧．定义：将纸片折叠，若折叠后的图形恰能拼合成一个无缝隙、无重叠的矩形，这样的矩形称为完美矩形．
（1）操作发现：
如图①，将纸片按所示折叠成完美矩形，若的面积为，，则此完美矩形的边长 ，面积为 ．
（2）类比探究：
如图②，将平行四边形纸片按所示折叠成完美矩形，若平行四边形的面积为，，则完美矩形的周长为 ．
（3）拓展延伸：
如图③，将平行四边形纸片按所示折叠成完美矩形，若，，求此完美矩形的周长为多少．
【答案】（1）；
（2）16
（3）解：连接，如图所示：
由折叠可得：点E和G分别是AB和CD的中点，
∴AE=DG，AE∥DG，
∴四边形AEGD是平行四边形，
∴AD=EG=HF，
∵EF：EH=3：4，
∴设，则，
∴在中，，
∴，
解得：，
∴，，
∴矩形的周长.
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：(1)由折叠可知：BF=DF，CG=DG，AH=DH=CH，
∴，点H是AC中点，
过点A作AM⊥BC于点M，AM交EH于点N，如图①所示：
∵，
∴AM=4，
∴由折叠可知：MN=AN=2，
∴EF=HG=MN=2，
∴完美矩形的面积为：FG×EF＝3×2＝6；
故答案为：3；6
解：(2)由折叠可得：BE=HE，CF=FH，，，
∴，
∴，
∴，
∴矩形的周长；
故答案为：16
【分析】
本题考查平行四边形的性质，折叠的性质，矩形的性质，勾股定理等知识点，熟练应用折叠的性质是解题的关键．
（1）根据折叠的性质可知：BF=DF，CG=DG，AH=DH=CH，再根据线段的和差运算可知：，载根据三角形的面积公式：，结合：代入数据可求出高AM的长度，再结合折叠的性质可知：MN=AN=2，由此可得出：矩形的宽EF=2；最后根据矩形的周长公式：矩形的周长=（长+宽）×2，代入数据，即可得出答案；
（2）根据折叠的性质可知：BE=HE，CF=FH，，，再根据线段的和差运算可知：，由图知：，再根据矩形的面积公式：，即：，代入数据可得出矩形的长AE=5，最后根据矩形的周长公式：矩形的周长=（长+宽）×2，代入数据，即可得出答案；
（3）连接EG，根据折叠的性质可知：AE=DG，AE∥DG，再根据平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可知：四边形AEGD是平行四边形，根据平行四边形的性质可知：平行四边形对边相等可知：AD=EG=HF，再结合EF：EH=3：4，设，则，利用勾股定理：在中，，代入数据可求出矩形的长和宽， 最后根据矩形的周长公式：矩形的周长=（长+宽）×2，代入数据，即可得出答案.
23．数学建模
【模型建立】如图，三个直角三角形的直角顶点都在同一条直线上，这一模型叫作“一线三垂直”型．这种模型是证明三角形全等的常见模型，在数学解题中被广泛使用．
【模型探索】
（）如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于：，两点．以线段为直角边在的右边作等腰直角，直接写出点的坐标：_____，______，_____．
（）如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于，两点，，是直线上的两动点，连接，．若，，求长的最小值．
【模型应用】
（）如图，在（）的情况下，经过点的直线与轴交于点，为线段上的一点，作射线．若，求直线的函数解析式．
【答案】（），，；
（）如图，当时，最小，
∵，
∴，
∴，
∵一次函数的图象与轴、轴分别交于，两点，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
∴长的最小值为；
（）如图，过点作于点，过点作轴于点，交过点和轴的平行线于点，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
同理（）可证，
∴，，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，，
∵直线与轴交于点，
∴，
∴，
设，
∴，，
∵，，
∴，
解得，
∴，
设直线的函数解析式为，把和代入得，
，
解得，
∴直线的函数解析式为．
【知识点】勾股定理；三角形全等的判定-AAS；一次函数的实际应用-几何问题；同侧一线三垂直全等模型
【解析】【解答】解：（）如图，过点作轴于点，则，
∵一次函数的图象与轴、轴分别交于，两点，
∴，，
∴，，
∵是以为直角边的等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：，，；
【分析】(1)本题考查一次函数与坐标轴交点、等腰直角三角形及全等三角形，先求一次函数与坐标轴交点得到P、Q坐标，作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的性质求出点R的坐标；
(2)本题考查一线三垂直全等模型与勾股定理，当时取得最小值，证明三角形全等得，在直角三角形中用勾股定理求出，即为的最小值；
(3)本题考查等腰直角三角形、全等三角形与待定系数法，作辅助线构造等腰直角三角形和全等三角形，设点T坐标列方程求出坐标，再代入两点求直线的解析式。
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