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广东省揭阳市榕城区2024-2025学年八年级下学期期末数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何学的研究对象之一，下列坐标系中的数学曲线是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．把不等式组中每个不等式的解集在同一条数轴上表示出来，正确的为（　　）
A． B．
C． D．
3．下列各式从左到右的变形属于因式分解的是（　　）
A． B．
C． D．
4．为了落实“双减”政策，进一步丰富文体活动，学校准备购进一批篮球和足球．已知每个篮球的价格比每个足球的价格多30元，用1800元购进篮球的数量比用900元购进足球的数量多4个．如果设每个足球的价格为x元，那么可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
5．如图，在一块长14m、宽6m的长方形场地上，有一条弯曲的道路，其余的部分为绿化区，道路的左边线向右平移3m就是它的右边线，则绿化区的面积是（　　）
A． B． C． D．
6．如图，在中，，依据尺规作图痕迹，有如下三种说法：
甲：；
乙：；
丙：．
下列判断正确的是（　　）
A．只有甲对 B．只有乙对
C．只有丙对 D．三人说的都对
7．若，则的值为（　　）
A． B．1 C．2 D．3
8．若分式方程无解，则的值是（　　）
A．或 B． C．或 D．或
9．如图，的对角线相交于点O，的平分线与边相交于点P，E是的中点，若，，则的长为（　　）
A．3 B．2 C．1 D．1.5
10．如图，点是的对角线的交点，的平分线 交于点，，连接．下列结论：①；②平分；③；④；⑤其中正确的个数有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分．
11．因式分解：a3－a=　 　.
12．如图 ，在平面直角坐标系中 ，平行四边形ABCD三个顶点坐标分别为A(﹣1，﹣2) ， D(1，1) ，C(5，2) ，则顶点B的坐标为　 　
13．如图，一个正n边形被树叶遮掩了一部分，若直线a，b所夹锐角为，则n的值是　 　．
14．对于代数式m，n，定义运算“”：，例如：，若，则　 　．
15．如图，在平行四边形ABCD中，∠BCD=30°，BC=4，CD=3，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A'MN，连接A'C，则A'C长度的最小值是　 　．
三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16．解分式方程：．
17．如图，在中，点在上，且，，求的度数．
18．如图，在中，．
（1）实践与操作：用尺规作图法过点作边上的高；(保留作图痕迹，不要求写作法)
（2）应用与计算：在（1）的条件下，，，求的长．
19．已知a是不等式的最小整数解，求的值．
20．如图，在四边形中，，．
（1）求的度数；
（2）平分交于点，．求证：．
21．【阅读理解，自主探究】把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法，配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用．
例1：因式分解：．
解：原式．
例2：若，利用配方法求的最小值
解：．
∵，，
∴当时，有最小值1．
请根据上述阅读材料，解决下列问题：
（1）用配方法因式分解：___________；
（2）若，则的最小值为___________；
（3）已知，求的值．
22．综合与应用
【问题情境】
为迎接新春佳节的购物高峰，某品牌服装店准备购进甲、乙两种服装，已知甲服装每件进价比乙服装每件进价多20元，用3200元购进甲服装与用2800元购进乙服装的件数相同．
【问题解决】
（1）甲、乙两种服装每件进价分别是多少元？
【拓展应用】
（2）该品牌服装店计划购进两种服装共100件，其中甲种服装不少于60件，且购进100件服装的费用不超过15250元，问有哪几种符合条件的进货方案？
（3）在（2）的条件下，该品牌服装店在进价的基础上提高作为甲、乙两种服装的售价，甲服装再以每件优惠元的价格进行促销活动，乙种服装价格不变，那么该品牌服装店应选择哪种进货方案才能获得最大利润？
23．综合与探究：
（1）【教材呈现】下面是华师版上教材页的一道习题，请完成证明：
如图，在四边形中，，是对角线的中点，是的中点，是的中点．求证：；
（2）【拓展延伸】
如图，在四边形中，是的中点，是的中点．连接并延长分别与的延长线交于点．求证：；
（3）【问题解决】
如图，在中，，点在上，，是的中点，是的中点，连接并延长，与的延长线交于点，连接．若，当是直角三角形时，直接写出的长．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：选项A、B、D都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，
选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，
故选：C．
【分析】
根据中心对称图形的概念“把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形”逐一判断即可．
2．【答案】C
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：
解不等式得：，
解不等式得：，
在同一条数轴上表示出每一个不等式的解集为：
故答案为：C．
【分析】分别解出题目中不等式组的每一个不等式的解集，在同一条数轴上表示出每一个不等式的解集，即可得答案.
3．【答案】B
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：A、等式左边不是多项式，不是因式分解，不符合题意；
B、是因式分解，符合题意；
C、等式右边不是整式的积的形式，不是因式分解，不符合题意；
D、是整式的乘法，不是因式分解，不符合题意；
故答案为：B．
【分析】利用因式分解的定义（因式分解是把一个多项式转化成几个整式乘积的形式）逐个分析求解即可.
4．【答案】A
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设每个足球的价格为x元，
根据题意可列方程为：，
故答案为：A．
【分析】设每个足球的价格为x元，利用“ 用1800元购进篮球的数量比用900元购进足球的数量多4个 ”列出方程即可.
5．【答案】B
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：由题意得：
（14-3）×6
=11×6
=66（m2），
∴绿化区的面积是66 m2，
故选：B．
【分析】根据平移的性质可得，绿化部分可看作是长为（14-3）m，宽为6m的矩形，结合矩形面积即可求出答案.
6．【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：由作图可得：平分，，
∵，
∴，故甲正确；
∵，
∴，故乙正确；
在和中，
，
∴，
∴，
∴，故丙正确；
故答案为：D．
【分析】利用作图痕迹可得平分，，再利用角的运算和等量代换求出，再利用“HL”证出，最后利用全等三角形的性质及等量代换逐项分析判断即可.
7．【答案】C
【知识点】分式的加减法；分式的化简求值
【解析】【解答】解；∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选C．
【分析】
先对等式左边通分并化简得，再代入计算即可．
8．【答案】D
【知识点】解分式方程；分式方程的增根
【解析】【解答】解：，
方程两边同时乘得：
，
，
，
，
分式方程无解，
，
，
，
解得：，
分式方程无解，
，
解得：，
综上可知：或，
故答案为：．
【分析】先化简分式方程为（a-2）x=-3，根据题意可得x为增根或a-2=0，分别求出对应的a的值即可．熟练掌握分式方程的解法，理解分式方程无解的时候满足的条件是解题的关键．
9．【答案】D
【知识点】平行四边形的性质；角平分线的概念；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵O是中点，E是中点，
∴是的中位线，
∴．
故答案为：D．
【分析】根据平行四边形性质可得，则，再根据角平分线定义可得，则，即，再根据三角形中位线定理即可求出答案.
10．【答案】B
【知识点】解直角三角形；四边形的综合；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：①在中，
，，平分，
，
是等边三角形，
，
是的中点，
，
，
，即，
，
∴结论正确，符合题意；
②，
，
，
故平分，
∴结论正确，符合题意；
③在中，，
∴，
∴结论错误，不符合题意；
④是中点，为中点，
∴是的中位线，
∴，，
在中，，
∴，
∴，
∴结论正确，符合题意；
⑤∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴结论错误，不符合题意；
∴正确的结论有3个.
故答案为：B．
【分析】①由题意易得，即，即可得到；
②根据，可得，进而得出平分；
③依据中，，即可得到；
④由三角形中位线定理可得，，解直角三角形得到，则，可得；
⑤证明，得到，则， 即可得到．
11．【答案】a（a－1）（a + 1）
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：a3-a，
=a（a2-1），
=a（a+1）（a-1）.
【分析】先提取公因式a，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解.
12．【答案】
【知识点】坐标与图形性质；平行四边形的性质；坐标系中的中点公式
【解析】【解答】解：设点的坐标为，
∵平行四边形ABCD三个顶点坐标分别为A(﹣1，﹣2) ， D(1，1) ，C(5，2) ，
∴，
解得，
∴．
故答案为：．
【分析】设点的坐标为，利用平行四边形的性质和中点坐标的性质可得，再求出x、y的值即可.
13．【答案】5
【知识点】多边形内角与外角；正多边形的性质；多边形的外角和公式
【解析】【解答】解：如图所示：
由题意得：，
，
，
正多边形每个外角都相等，
，
正多边形的外角和为，
它的边数为：，
的值为5，
故答案为：5．
【分析】先根据题意得到，进而根据正多边形的性质得到，从而即可得到其边数.
14．【答案】8
【知识点】整式的混合运算；分式的加减法；解二元一次方程；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：，
，
∵，
∴，
∴，，解得，，
∴.
故答案为：8．
【分析】根据题目定义计算出的值，再计算的值，根据相等得，进一步计算即可得，，解出，，代入计算即可得答案.
15．【答案】5
【知识点】两点之间线段最短；含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图，
连接MC，过点M作ME⊥CD，交CD的延长线于点E，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC=4，
∵点M为AD的中点，∠BCD=30°，
∴DM=MA=2，∠MDE=∠BCD=30°，
∴ME=DM=1，DE=，
∴CE=CD+DE=4，
根据勾股定理得：CM2=ME2+CE2，解得：CM=7.
根据翻折变换的性质得：MA'=MA=2，
∴当折线MA'C与线段MC重合时，线段A'C的长度最短，此时A'C=7-2=5.
故答案为：5．
【分析】连接MC，过点M作ME⊥CD，交CD的延长线于点E，根据平行四边形性质得，AD、BC平行，AD、BC等于4，再根据点M为AD的中点，∠BCD等于30°，得DM、MA等于2，∠MDE、∠BCD等于30°，即可得ME等于DM的一半，等于1，DE等于，可得CE=CD+DE等于4，根据勾股定理得CM=7，根据翻折变换的性质得MA'、MA等于2，可得当折线MA'C与线段MC重合时，线段A'C的长度最短，此时A'C等于5.
16．【答案】解：去分母，方程两边都乘以，得，
去括号得：，
解得：，
检验：∵，
∴是原方程解．
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】利用解分式方程的计算方法及步骤（先去分母，再去括号，然后移项并合并同类项，最后系数化为“1”并检验即可）分析求解即可.
17．【答案】解：如图，
，，
，
，
，
，
．
∴的度数为39．
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质
【解析】【分析】根据相等，等于，结合等腰三角形的性质得等于，再根据相等，得相等，根据外角定理得等于的和，即可得的度数为39．
18．【答案】（1）解：依题意作图如下，则即为所求作的高：
（2）解：∵，，是边上的高，
∴，即，
∴．
∵，
∴，
∴的长为．

【知识点】解直角三角形；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）根据过直线外一点作已知直线的垂线的方法作图即可，可用圆规以点D为圆心，在上找到两个点到点D的距离相等，再分别以这两个点为圆心，相等且大于这两点距离的一半为半径画弧，再找到一个到这两个点的距离相等的点，连接最后得到的点与点D所得线段所在的直线就是高所在的直线，据此画图即可；
（2）先利用解直角三角形的方法求出AE的长，再利用线段的和差求出BE的长即可.
19．【答案】解：
．
根据，得，
∵a是不等式的最小整数解，
∴．
∴原式．
【知识点】分式的混合运算；分式的化简求值；一元一次不等式的特殊解
【解析】【分析】先化简得，根据，得，再根据a是不等式的最小整数解得，再代入计算即可得答案.
20．【答案】（1）解：∵，
．
又∵，
∴.
（2）证明：平分，，
．
又∵，
．
，
．
【知识点】角平分线的概念；平行线的应用-求角度；平行线的应用-证明问题
【解析】【分析】（1）利用平行线的性质可得，再利用角的运算求出即可；
（2）利用角平分线的定义可得，再利用平行线的性质可得，利用等量代换可得，即可证出.
（1）解：∵，
．
又∵，
∴；
（2）证明：平分，，
．
又∵，
．
，
．
21．【答案】（1）
（2）
（3）解：，
，
，
又，，，
，，，
，，
【知识点】完全平方公式及运用；因式分解﹣公式法；配方法解一元二次方程；偶次方的非负性
【解析】【解答】（1）解：依题意，，
（2）解：
，
，
的最小值为.
【分析】（1）参照题干中的配方法的计算方法分析求解即可；
（2）利用配方法将原式变形为，再求出最小值即可；
（3）利用配方法将原式变形为，再利用非负数之和为0的性质求出a、b、c的值，最后求出的值即可.
（1）解：依题意，，
（2）解：
，
，
的最小值为；
（3）解：，
，
，
又，，，
，，，
，，
22．【答案】解：（1）设乙种服装的进价x元，甲种服装进价元．
根据题意：，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，
则（元）
答：乙服装的进价为 140 元，甲服装的进价为 160 元；
（2）设计划购买y件甲种服装，则购买件乙种服装，
根据甲种服装不少于60件，且购进这100件服装的费用不得超过15250元，
得，
解得：，
∵为正整数，
∴，
则有三种方案：
甲服装的进货量为 60件，乙服装的进货量为（件）；
甲服装的进货量为61件，乙服装的进货量为（件）；
甲服装的进货量为62 件，乙服装的进货量为（件）；
（3）根据题意，甲种服装的售价为元，
乙种服装的售价为元，
当甲服装购进 60件，乙服装购进件，则利润为：（元）；
当甲服装购进 61件，乙服装购进件，则利润为：（元）；
当甲服装购进 62件，乙服装购进件，则利润为：（元）；
∴
∵，
∴，
∴，
答：应选择甲服装购进 62件，乙服装购进件，才能获得最大利润．
【知识点】一元一次不等式的应用；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设乙种服装的进价x元，甲种服装进价元，利用“ 用3200元购进甲服装与用2800元购进乙服装的件数相同 ”列出方程求解即可；
（2）设计划购买y件甲种服装，则购买件乙种服装，利用“甲种服装不少于60件，且购进这100件服装的费用不得超过15250元”列出不等式组求解即可；
（3）利用（2）的方案分别求出每一种方案的利润，再比较大小即可.
23．【答案】（1）证明：∵是对角线的中点，是的中点，是的中点，
∴，，
∵，
∴，
∴.
（2）证明：如图，连接，取中点，连接，，由（）得，
∵是的中点，是的中点，
∴，，
∴，，
∴.
（3）解：如图，连接，取中点，连接，，由（）得，
同（）可知，，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，是的中点，
∴，
∴，
∵是直角三角形，，
∴当，
由勾股定理得，，
当，
由勾股定理得，，
综上可知的长为或．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；三角形的中位线定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）先利用中位线的性质可得，，再利用等量代换可得，最后利用等边对等角的性质可得；
（2）连接，取中点，连接，，先利用中位线的性质可得，，再利用平行线的性质和等量代换可得；
（3）连接，取中点，连接，，先利用中点的性质可得，再分类讨论：当，当，最后利用勾股定理求出DG的长即可.
1 / 1广东省揭阳市榕城区2024-2025学年八年级下学期期末数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何学的研究对象之一，下列坐标系中的数学曲线是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：选项A、B、D都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，
选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，
故选：C．
【分析】
根据中心对称图形的概念“把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形”逐一判断即可．
2．把不等式组中每个不等式的解集在同一条数轴上表示出来，正确的为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：
解不等式得：，
解不等式得：，
在同一条数轴上表示出每一个不等式的解集为：
故答案为：C．
【分析】分别解出题目中不等式组的每一个不等式的解集，在同一条数轴上表示出每一个不等式的解集，即可得答案.
3．下列各式从左到右的变形属于因式分解的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：A、等式左边不是多项式，不是因式分解，不符合题意；
B、是因式分解，符合题意；
C、等式右边不是整式的积的形式，不是因式分解，不符合题意；
D、是整式的乘法，不是因式分解，不符合题意；
故答案为：B．
【分析】利用因式分解的定义（因式分解是把一个多项式转化成几个整式乘积的形式）逐个分析求解即可.
4．为了落实“双减”政策，进一步丰富文体活动，学校准备购进一批篮球和足球．已知每个篮球的价格比每个足球的价格多30元，用1800元购进篮球的数量比用900元购进足球的数量多4个．如果设每个足球的价格为x元，那么可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设每个足球的价格为x元，
根据题意可列方程为：，
故答案为：A．
【分析】设每个足球的价格为x元，利用“ 用1800元购进篮球的数量比用900元购进足球的数量多4个 ”列出方程即可.
5．如图，在一块长14m、宽6m的长方形场地上，有一条弯曲的道路，其余的部分为绿化区，道路的左边线向右平移3m就是它的右边线，则绿化区的面积是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：由题意得：
（14-3）×6
=11×6
=66（m2），
∴绿化区的面积是66 m2，
故选：B．
【分析】根据平移的性质可得，绿化部分可看作是长为（14-3）m，宽为6m的矩形，结合矩形面积即可求出答案.
6．如图，在中，，依据尺规作图痕迹，有如下三种说法：
甲：；
乙：；
丙：．
下列判断正确的是（　　）
A．只有甲对 B．只有乙对
C．只有丙对 D．三人说的都对
【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：由作图可得：平分，，
∵，
∴，故甲正确；
∵，
∴，故乙正确；
在和中，
，
∴，
∴，
∴，故丙正确；
故答案为：D．
【分析】利用作图痕迹可得平分，，再利用角的运算和等量代换求出，再利用“HL”证出，最后利用全等三角形的性质及等量代换逐项分析判断即可.
7．若，则的值为（　　）
A． B．1 C．2 D．3
【答案】C
【知识点】分式的加减法；分式的化简求值
【解析】【解答】解；∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选C．
【分析】
先对等式左边通分并化简得，再代入计算即可．
8．若分式方程无解，则的值是（　　）
A．或 B． C．或 D．或
【答案】D
【知识点】解分式方程；分式方程的增根
【解析】【解答】解：，
方程两边同时乘得：
，
，
，
，
分式方程无解，
，
，
，
解得：，
分式方程无解，
，
解得：，
综上可知：或，
故答案为：．
【分析】先化简分式方程为（a-2）x=-3，根据题意可得x为增根或a-2=0，分别求出对应的a的值即可．熟练掌握分式方程的解法，理解分式方程无解的时候满足的条件是解题的关键．
9．如图，的对角线相交于点O，的平分线与边相交于点P，E是的中点，若，，则的长为（　　）
A．3 B．2 C．1 D．1.5
【答案】D
【知识点】平行四边形的性质；角平分线的概念；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵O是中点，E是中点，
∴是的中位线，
∴．
故答案为：D．
【分析】根据平行四边形性质可得，则，再根据角平分线定义可得，则，即，再根据三角形中位线定理即可求出答案.
10．如图，点是的对角线的交点，的平分线 交于点，，连接．下列结论：①；②平分；③；④；⑤其中正确的个数有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【知识点】解直角三角形；四边形的综合；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：①在中，
，，平分，
，
是等边三角形，
，
是的中点，
，
，
，即，
，
∴结论正确，符合题意；
②，
，
，
故平分，
∴结论正确，符合题意；
③在中，，
∴，
∴结论错误，不符合题意；
④是中点，为中点，
∴是的中位线，
∴，，
在中，，
∴，
∴，
∴结论正确，符合题意；
⑤∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴结论错误，不符合题意；
∴正确的结论有3个.
故答案为：B．
【分析】①由题意易得，即，即可得到；
②根据，可得，进而得出平分；
③依据中，，即可得到；
④由三角形中位线定理可得，，解直角三角形得到，则，可得；
⑤证明，得到，则， 即可得到．
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分．
11．因式分解：a3－a=　 　.
【答案】a（a－1）（a + 1）
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：a3-a，
=a（a2-1），
=a（a+1）（a-1）.
【分析】先提取公因式a，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解.
12．如图 ，在平面直角坐标系中 ，平行四边形ABCD三个顶点坐标分别为A(﹣1，﹣2) ， D(1，1) ，C(5，2) ，则顶点B的坐标为　 　
【答案】
【知识点】坐标与图形性质；平行四边形的性质；坐标系中的中点公式
【解析】【解答】解：设点的坐标为，
∵平行四边形ABCD三个顶点坐标分别为A(﹣1，﹣2) ， D(1，1) ，C(5，2) ，
∴，
解得，
∴．
故答案为：．
【分析】设点的坐标为，利用平行四边形的性质和中点坐标的性质可得，再求出x、y的值即可.
13．如图，一个正n边形被树叶遮掩了一部分，若直线a，b所夹锐角为，则n的值是　 　．
【答案】5
【知识点】多边形内角与外角；正多边形的性质；多边形的外角和公式
【解析】【解答】解：如图所示：
由题意得：，
，
，
正多边形每个外角都相等，
，
正多边形的外角和为，
它的边数为：，
的值为5，
故答案为：5．
【分析】先根据题意得到，进而根据正多边形的性质得到，从而即可得到其边数.
14．对于代数式m，n，定义运算“”：，例如：，若，则　 　．
【答案】8
【知识点】整式的混合运算；分式的加减法；解二元一次方程；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：，
，
∵，
∴，
∴，，解得，，
∴.
故答案为：8．
【分析】根据题目定义计算出的值，再计算的值，根据相等得，进一步计算即可得，，解出，，代入计算即可得答案.
15．如图，在平行四边形ABCD中，∠BCD=30°，BC=4，CD=3，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A'MN，连接A'C，则A'C长度的最小值是　 　．
【答案】5
【知识点】两点之间线段最短；含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图，
连接MC，过点M作ME⊥CD，交CD的延长线于点E，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC=4，
∵点M为AD的中点，∠BCD=30°，
∴DM=MA=2，∠MDE=∠BCD=30°，
∴ME=DM=1，DE=，
∴CE=CD+DE=4，
根据勾股定理得：CM2=ME2+CE2，解得：CM=7.
根据翻折变换的性质得：MA'=MA=2，
∴当折线MA'C与线段MC重合时，线段A'C的长度最短，此时A'C=7-2=5.
故答案为：5．
【分析】连接MC，过点M作ME⊥CD，交CD的延长线于点E，根据平行四边形性质得，AD、BC平行，AD、BC等于4，再根据点M为AD的中点，∠BCD等于30°，得DM、MA等于2，∠MDE、∠BCD等于30°，即可得ME等于DM的一半，等于1，DE等于，可得CE=CD+DE等于4，根据勾股定理得CM=7，根据翻折变换的性质得MA'、MA等于2，可得当折线MA'C与线段MC重合时，线段A'C的长度最短，此时A'C等于5.
三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16．解分式方程：．
【答案】解：去分母，方程两边都乘以，得，
去括号得：，
解得：，
检验：∵，
∴是原方程解．
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】利用解分式方程的计算方法及步骤（先去分母，再去括号，然后移项并合并同类项，最后系数化为“1”并检验即可）分析求解即可.
17．如图，在中，点在上，且，，求的度数．
【答案】解：如图，
，，
，
，
，
，
．
∴的度数为39．
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质
【解析】【分析】根据相等，等于，结合等腰三角形的性质得等于，再根据相等，得相等，根据外角定理得等于的和，即可得的度数为39．
18．如图，在中，．
（1）实践与操作：用尺规作图法过点作边上的高；(保留作图痕迹，不要求写作法)
（2）应用与计算：在（1）的条件下，，，求的长．
【答案】（1）解：依题意作图如下，则即为所求作的高：
（2）解：∵，，是边上的高，
∴，即，
∴．
∵，
∴，
∴的长为．

【知识点】解直角三角形；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）根据过直线外一点作已知直线的垂线的方法作图即可，可用圆规以点D为圆心，在上找到两个点到点D的距离相等，再分别以这两个点为圆心，相等且大于这两点距离的一半为半径画弧，再找到一个到这两个点的距离相等的点，连接最后得到的点与点D所得线段所在的直线就是高所在的直线，据此画图即可；
（2）先利用解直角三角形的方法求出AE的长，再利用线段的和差求出BE的长即可.
19．已知a是不等式的最小整数解，求的值．
【答案】解：
．
根据，得，
∵a是不等式的最小整数解，
∴．
∴原式．
【知识点】分式的混合运算；分式的化简求值；一元一次不等式的特殊解
【解析】【分析】先化简得，根据，得，再根据a是不等式的最小整数解得，再代入计算即可得答案.
20．如图，在四边形中，，．
（1）求的度数；
（2）平分交于点，．求证：．
【答案】（1）解：∵，
．
又∵，
∴.
（2）证明：平分，，
．
又∵，
．
，
．
【知识点】角平分线的概念；平行线的应用-求角度；平行线的应用-证明问题
【解析】【分析】（1）利用平行线的性质可得，再利用角的运算求出即可；
（2）利用角平分线的定义可得，再利用平行线的性质可得，利用等量代换可得，即可证出.
（1）解：∵，
．
又∵，
∴；
（2）证明：平分，，
．
又∵，
．
，
．
21．【阅读理解，自主探究】把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法，配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用．
例1：因式分解：．
解：原式．
例2：若，利用配方法求的最小值
解：．
∵，，
∴当时，有最小值1．
请根据上述阅读材料，解决下列问题：
（1）用配方法因式分解：___________；
（2）若，则的最小值为___________；
（3）已知，求的值．
【答案】（1）
（2）
（3）解：，
，
，
又，，，
，，，
，，
【知识点】完全平方公式及运用；因式分解﹣公式法；配方法解一元二次方程；偶次方的非负性
【解析】【解答】（1）解：依题意，，
（2）解：
，
，
的最小值为.
【分析】（1）参照题干中的配方法的计算方法分析求解即可；
（2）利用配方法将原式变形为，再求出最小值即可；
（3）利用配方法将原式变形为，再利用非负数之和为0的性质求出a、b、c的值，最后求出的值即可.
（1）解：依题意，，
（2）解：
，
，
的最小值为；
（3）解：，
，
，
又，，，
，，，
，，
22．综合与应用
【问题情境】
为迎接新春佳节的购物高峰，某品牌服装店准备购进甲、乙两种服装，已知甲服装每件进价比乙服装每件进价多20元，用3200元购进甲服装与用2800元购进乙服装的件数相同．
【问题解决】
（1）甲、乙两种服装每件进价分别是多少元？
【拓展应用】
（2）该品牌服装店计划购进两种服装共100件，其中甲种服装不少于60件，且购进100件服装的费用不超过15250元，问有哪几种符合条件的进货方案？
（3）在（2）的条件下，该品牌服装店在进价的基础上提高作为甲、乙两种服装的售价，甲服装再以每件优惠元的价格进行促销活动，乙种服装价格不变，那么该品牌服装店应选择哪种进货方案才能获得最大利润？
【答案】解：（1）设乙种服装的进价x元，甲种服装进价元．
根据题意：，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，
则（元）
答：乙服装的进价为 140 元，甲服装的进价为 160 元；
（2）设计划购买y件甲种服装，则购买件乙种服装，
根据甲种服装不少于60件，且购进这100件服装的费用不得超过15250元，
得，
解得：，
∵为正整数，
∴，
则有三种方案：
甲服装的进货量为 60件，乙服装的进货量为（件）；
甲服装的进货量为61件，乙服装的进货量为（件）；
甲服装的进货量为62 件，乙服装的进货量为（件）；
（3）根据题意，甲种服装的售价为元，
乙种服装的售价为元，
当甲服装购进 60件，乙服装购进件，则利润为：（元）；
当甲服装购进 61件，乙服装购进件，则利润为：（元）；
当甲服装购进 62件，乙服装购进件，则利润为：（元）；
∴
∵，
∴，
∴，
答：应选择甲服装购进 62件，乙服装购进件，才能获得最大利润．
【知识点】一元一次不等式的应用；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设乙种服装的进价x元，甲种服装进价元，利用“ 用3200元购进甲服装与用2800元购进乙服装的件数相同 ”列出方程求解即可；
（2）设计划购买y件甲种服装，则购买件乙种服装，利用“甲种服装不少于60件，且购进这100件服装的费用不得超过15250元”列出不等式组求解即可；
（3）利用（2）的方案分别求出每一种方案的利润，再比较大小即可.
23．综合与探究：
（1）【教材呈现】下面是华师版上教材页的一道习题，请完成证明：
如图，在四边形中，，是对角线的中点，是的中点，是的中点．求证：；
（2）【拓展延伸】
如图，在四边形中，是的中点，是的中点．连接并延长分别与的延长线交于点．求证：；
（3）【问题解决】
如图，在中，，点在上，，是的中点，是的中点，连接并延长，与的延长线交于点，连接．若，当是直角三角形时，直接写出的长．
【答案】（1）证明：∵是对角线的中点，是的中点，是的中点，
∴，，
∵，
∴，
∴.
（2）证明：如图，连接，取中点，连接，，由（）得，
∵是的中点，是的中点，
∴，，
∴，，
∴.
（3）解：如图，连接，取中点，连接，，由（）得，
同（）可知，，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，是的中点，
∴，
∴，
∵是直角三角形，，
∴当，
由勾股定理得，，
当，
由勾股定理得，，
综上可知的长为或．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；三角形的中位线定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）先利用中位线的性质可得，，再利用等量代换可得，最后利用等边对等角的性质可得；
（2）连接，取中点，连接，，先利用中位线的性质可得，，再利用平行线的性质和等量代换可得；
（3）连接，取中点，连接，，先利用中点的性质可得，再分类讨论：当，当，最后利用勾股定理求出DG的长即可.
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