资源简介

广东省湛江市雷州市2024-2025学年八年级下学期7月期末数学试题
一、单选题（每小题3分，共30分）
1．下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
2．以下列各数为边长，能构成直角三角形的是（　　）
A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，4，5 D．4，5，6
3．某科技论坛对 、豆包、腾讯元宝、夸克四款助手中某一项功能的月度用户评分进行了统计，数据如下表所示（单位：分）：
助手 评分（满分）
豆包
腾讯元宝
夸克
评分的众数和中位数分别是（　　）
A．， B．， C．， D．，
4．若添加一个条件，使得是菱形，则这个条件可以是（　　）
A． B． C． D．
5．下列函数中，是的正比例函数的是（　　）
A． B． C． D．
6．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
7．如图，长方形的边长为2，边长为1，在数轴上，以原点O为圆心，对角线的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是（　　）
A． B． C． D．2.5
8．若点，，在一次函数（是常数）的图象上，则，，的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
9．对于一次函数，下列结论不正确的是（　　）
A．它的图象与轴交于点
B．随的增大而增大
C．当时，
D．它的图象经过第一、二、三象限
10．如图，在菱形中，对角线相交于点，点是的中点，连接，若，则下列结论错误的是（　　）
A． B．
C．菱形的面积为48 D．点到的距离为
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．若式子 在实数范围内有意义，则x应满足的条件是　 　．
12．某校为调查学生对2023年播出的《感动中国》节目中英雄人物事迹的了解情况，选取甲、乙、丙三个班级进行“感动中国故事知多少”的问卷测试，若甲、乙、丙三个班级的平均分相同，且方差分别为S甲2＝5.48，S乙2＝5.32，S丙2＝5.17，则甲、乙、丙三个班级中成比较稳定的是 　 　 班．（填“甲”或“乙”或“丙”）
13．如图，已知直线与直线交于点，则关于的不等式的解集为　 　．
14．如图，平行四边形的对角线，交于点E，F是的中点，若，则　 　．
15．如图，在矩形中，对角线、相交于点O，于E，若，，则的长为　 　 ．
三、解答题一（总共3道题，每道题7分，共21分）
16．计算：．
17．在中，于点于点．求证：．
18．《九章算术》中记“今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺．问：折者高几何？”译文：一根竹子，原高一丈，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好着地，着地处离原竹子根部4尺远．问：竹子折断处离地面有几尺？（1丈尺）
四、解答题二（总共3道题，每道题9分，共27分）
19．某商店销售，两种型号的商品，销售1台型和2台型商品的利润和为400元，销售2台型和1台型商品的利润和为320元．
（1）求每台型和型商品的销售利润；
（2）商店计划购进，两种型号的商品共10台，其中型商品数量不少于型商品数量的一半，设购进型商品台，这10台商品的销售总利润为元，求该商店购进，两种型号的商品各多少台，才能使销售总利润最大？
20．如图，在四边形中 ，，平分，过点A作， 交延长线于点E．四边形对角线交于点O，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，求的面积．
21．2025年春节，《哪吒之魔童闹海》（以下简称《哪吒2》）横空出世，现已登顶全球动画电影票房榜．小果同学为了了解这部电影在同学们中的受欢迎程度，在初三年级随机抽取了10名男生和10名女生展开问卷调查，并对数据进行整理，描述和分析（评分分数用x表示，共分为四组：；；；）下面给出了部分信息：
10名女生对《哪吒2》的评分分数：67，77，79，83，89，91，98，98，98，．
10名男生对《哪吒2》的评分分数在C组的数据是：82，83，．
20名同学对《哪吒2》评分统计表
性别 平均数 众数 中位数 方差 满分占比
女生 88 a 90
男生 88 100 b
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述图表中的______，______，______；
（2）该校初三年级有400名女生和500名男生去看过《哪吒2》，估计这些学生中对《哪吒2》的评分在D组共有多少人？
（3）根据表格中的数据进行分析，你认为是女生更喜欢《哪吒2》还是男生更喜欢？请说明理由；（写出一条理由即可）
五、解答题三（总共2道题，22题13分，23题14分，共27分）
22．如图，已知直线经过，两点．
（1）求直线的解析式；
（2）若C是线段OA上一点，将线段CB绕点C顺时针旋转得到CD，此时点D恰好落在直线AB上
①求点C和点D的坐标；
②若点P在y轴上，Q在直线AB上，是否存在以C，D，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点Q的坐标，否则说明理由．
23．如图正方形中，点E为对角线上一点，连接，过点E作，交射线于点F．
（1）求证：；
（2）若，，的长度为 ；
（3）当线段与正方形的某条边的夹角是时，直接写出的度数．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A.，故不是最简二次根式，不符合题意；
B.，故不是最简二次根式，不符合题意；
C.，故不是最简二次根式，不符合题意；
D. 是最简二次根式，符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据最简二次根式的定义逐项判断即可。
2．【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、因为，所以不能构成直角三角形，故A不符合题意；
B、因为，所以不能构成直角三角形，故B不符合题意；
C、因为，所以能构成直角三角形，故C符合题意；
D、因为，所以不能构成直角三角形，故D不符合题意．
故答案为：C．
【分析】
根据勾股定理的逆定理：先应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断，逐一判断即可解答．
3．【答案】D
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：数据：，，，按照从小到大排列是：，，，，
出现次数最多，
故这组数据的众数是，中位数是，
故答案为：D．
【分析】众数是指一组数据中出现次数最多的数；中位数是指一组数据按序排列后①偶数个数据时，中间两个数的平均数就是这组数据的中位数；②奇数个数据时，中间的数就是这组数据的中位数；；
根据众数和中位数的定义并结合各选项即可求解.
4．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定；矩形的判定
【解析】【解答】解：、中有，添加该条件不能证明是菱形，故错误.
、添加后可证是矩形，但不能证明是菱形，故错误.
、添加后可证是菱形，故正确.
、添加后可证是矩形，但不能证明是菱形，故错误．
故答案为：．
【分析】根据菱形的判定、矩形的判定、平行四边形的性质对，结合Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ各选项添加的条件逐一判断即可得答案.
5．【答案】D
【知识点】正比例函数的概念
【解析】【解答】解：A、是一次函数，故本选项不符合题意；
B、不是正比例函数，故本选项不符合题意；
C、是二次函数，故本选项不符合题意；
D、是正比例函数且k=3，故本选项符合题意；
故选：D.
【分析】
根据正比例函数的定义（一般地，形如y=kx（k是常数，）的函数，叫做正比例函数）逐项判断即可得．
6．【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除混合运算；同类二次根式
【解析】【解答】解：A、不是同类二次根式不能合并，故A不符合题意；
B、，故B符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据同类二次根式的定义可判断A；根据可判断B；根据可判断C；根据 可判断D；逐一判断即可解答.
7．【答案】C
【知识点】实数在数轴上表示；勾股定理；运用勾股定理在数轴上标出无理数对应点
【解析】【解答】解：，，
，
以原点O为圆心，对角线的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是，
故答案为：C．
【分析】
先由勾股定理计算出，再以原点O为圆心，对角线的长为半径画弧，交正半轴于一点，即可解答．
8．【答案】C
【知识点】一次函数的性质
【解析】【解答】∵一次函数的解析式为，
∴函数值y随x的增大而减小，
∵-2<1<3，
∴，
故答案为：C.
【分析】先判断出函数值y随x的增大而减小，再结合-2<1<3，可得，从而得解.
9．【答案】D
【知识点】一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：A.令，则，
一次函数的图象与轴交于点，
故该选项正确，不符合题意；
B.，
随的增大而增大，
故该选项正确，不符合题意；
C. 令，则，
，
故该选项正确，不符合题意；
D.，，
一次函数的图象经过第一、三、四象限
故该选项错误，符合题意；
故选： D．
【分析】根据一次函数图象，性质与系数的关系逐项进行判断即可求出答案.
10．【答案】C
【知识点】菱形的性质；直角三角形斜边上的中线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；等积变换
【解析】【解答】解：如图，
A、在菱形中，对角线相交于点，
，且，，
则在中，，，由勾股定理可知，故Ａ正确.
B、在菱形中，对角线相交于点，
，且，，
则在中，，，由勾股定理可知，
点是斜边的中点，
，故Ｂ正确.
C、在菱形中，，则菱形的面积为，故Ｃ错误.
D、过点作于点，如图，
根据等面积可知，
在菱形中，对角线相交于点，
，且，，
则在中，，，由勾股定理可知，
，解得，则点到的距离为，故Ｄ正确.
故答案为：C．
【分析】根据菱形性质，结合勾股定理、直角三角形斜边的中线等于斜边的一半、菱形面积公式、等面积法求线段长等知识分别对ABCD各选项进行判断即可得答案.
11．【答案】x≥5．
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：若式子 在实数范围内有意义，则x﹣5≥0，
解得：x≥5．
故答案为：x≥5．
【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式求解即可。
12．【答案】丙
【知识点】方差
【解析】【解答】解：∵S甲2＝5.48S乙2＝5.32S丙2＝5.17，
∴ 丙成绩比较稳定，
故答案为：丙.
【分析】根据方差越小越稳定，解答即可.
13．【答案】
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：把代入，得：，解得：，
∴直线与直线交于点，
当时，则．
故答案为：．
【分析】先求出n的值，再结合函数图象，利用函数值大的图象在上方的原则求解即可.
14．【答案】4
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，
平行四边形的对角线交于点，
是的中点，
是的中点，
是的中位线，
，
，
，
故答案为：．
【分析】根据平行四边形性质得是的中点，再根据F是的中点得是的中位线，即可得等于，即可得的值.
15．【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；矩形的性质；线段垂直平分线的判定；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图，
∵四边形是矩形，
∴，，
∵，，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据矩形的性质得相等，等于，根据垂直，相等，得垂直平分，即可得等于2，即可得等于4，再利用勾股定理得等于即可得答案.
16．【答案】解：
【知识点】平方差公式及应用；二次根式的乘除混合运算；实数的绝对值；化简含绝对值有理数；实数的混合运算（含开方）
【解析】　【分析】先计算的平方差、二次根式乘法、实数绝对值得
，最后合并即可得答案.
17．【答案】证明：如图，
四边形是平行四边形，
，
，
，
．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；平行四边形的性质
【解析】【分析】根据平行四边形性质得平行，相等，根据平行线性质得相等，根据垂直，垂直即可得等于，即可证明全等，根据全等性质得即可.
18．【答案】解：设竹子折断处离地面有尺，
由题意得：，，，，
∴，
则：，
解得：．
答：竹子折断处离地面有4.2尺．
【知识点】风吹树折模型；勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【分析】设竹子折断处离地面有尺，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
19．【答案】（1）解：设型利润元/台，型利润元/台，则：
，解得，
答：型利润80元/台，型利润160元/台.
（2）解：设型台，则型台，
型数量不少于型数量的一半，
，
，
，
随增大而减小
当时，，
答：型4台，型6台，总利润最大．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设型利润元/台，型利润元/台，根据题目情境列方程组，求解即可得型利润80元/台，型利润160元/台.
（2）设型台，则型台，根据题目情境列出利润W关于m的函数解析式，根据函数的增减性即可得型4台，型6台，总利润最大．
（1）解：设型利润元/台，型利润元/台
，
答：型利润80元/台，型利润160元/台；
（2）解：设型台，则型台，
型数量不少于型数量的一半，
，
，
，
随增大而减小
当时，，
答：型4台，型6台，总利润最大．
20．【答案】（1）解：∵
∴，
∵平分，
∴，
∴
∴
∵，
∴，
∵
∴四边形是平行四边形；
∵
∴四边形是菱形；
（2）解：∵四边形是菱形
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的面积．
【知识点】三角形的面积；菱形的判定与性质；角平分线的概念；直角三角形斜边上的中线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）根据直线平行性质可得，根据角平分线定义可得，则，根据等角对等边可得，再根据菱形判定定理即可求出答案.
（2）根据菱形性质可得，，根据直角三角形斜边上的中线性质可得OE，再根据勾股定理可得CE，再根据三角形面积即可求出答案.
（1）解：∵
∴，
∵平分，
∴，
∴
∴
∵，
∴，
∵
∴四边形是平行四边形；
∵
∴四边形是菱形；
（2）∵四边形是菱形
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的面积．
21．【答案】（1）98，93，10
（2）解：（人），
答：估计这些学生中对《哪吒2》的评分在D组共有450人；
（3）解：男生更喜欢《哪吒2》，
根据中位数和众数分析，男生的中位数和众数都比女生的高，因此，男生更喜欢《哪吒2》．
【知识点】扇形统计图；中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：10名女生对《哪吒2》的评分分数：67，77，79，83，89，91，98，98，98，
98出现最多，则，
根据统计表可得男生满分的有人，则中位数为第5和第6个数据，数据是：82，83，
则按从小到大排列，第5个数据为86，由满分占比，可得第6个数据为100，
则，
评分分数为A和B的人数和为，都不为0，
评分分数为A和B的人数都是1人，
，即，
故答案为：98，93，
【分析】（1）根据众数，中位数的定义可得a，b，再根据B组的人数除以占比可得m值.
（2）根据400，500乘以对应占比即可求出答案.
（3）根据各统计量的意义即可求出答案.
（1）解：10名女生对《哪吒2》的评分分数：67，77，79，83，89，91，98，98，98，
98出现最多，则，
根据统计表可得男生满分的有人，则中位数为第5和第6个数据，数据是：82，83，
则按从小到大排列，第5个数据为86，由满分占比，可得第6个数据为100，
则，
评分分数为A和B的人数和为，都不为0，
评分分数为A和B的人数都是1人，
，即，
故答案为：98，93，
（2）解：（人），
答：估计这些学生中对《哪吒2》的评分在D组共有450人；
（3）解：男生更喜欢《哪吒2》，
根据中位数和众数分析，男生的中位数和众数都比女生的高，因此，男生更喜欢《哪吒2》．
22．【答案】解：（1）∵，在直线的图象上，
∴，解得：
直线AB得表达式为．
（2）①过点D作于点E，如图1，
，，
．
在与中，
，
，
，．
设，则点D得坐标为，
点D在直线AB上，
，
，
点C得坐标为，点D得坐标为．
②存在点Q得坐标为，或．
理由如下：
设点Q的坐标为（n，- n+3）．
分两种情况考虑，如图2：
当CD为边时，
∵点C的坐标为（1，0），点D的坐标为（4，1），点P的横坐标为0，
∴0-n=4-1或n-0=4-1，
∴n=-3或n=3，
∴点Q的坐标为（3，），点Q'的坐标为（-3，）；
当CD为对角线时，
∵点C的坐标为（1，0），点D的坐标为（4，1），点P的横坐标为0，
∴n+0=1+4，
∴n=5，
∴点Q″的坐标为（5，）．
综上所述，存在以C、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，点Q的坐标为（3，），（-3，）或（5，）．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形全等及其性质；平行四边形的性质；三角形全等的判定-ASA；同侧一线三垂直全等模型；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）先根据点A，B的坐标，得到关于待定系数的方程组求解，再代回求出直线的解析式；
（2）①先利用ASA证明△BOC≌△CED，再利用全等三角形的性质求出BO，再设DE=OC=x，然后利用m表示出D点坐标，再根据点D在直线AB上，列出关于m的方程求解，求得点C和点D的坐标；
②分“CD为边”、“CD为对角线”两种情况考虑，分别求出Q'的坐标．
23．【答案】（1）证明：如图1，
过点E作于点M，的延长线交于点N，于点H，
∵四边形是正方形，
，，，，
，
∴四边形，四边形和四边形都是矩形，
，，，
，
，
，
，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
；
（2）2
（3）解：的度数是或.
【知识点】含30°角的直角三角形；矩形的判定与性质；正方形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：（2）∵四边形是正方形，且，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴F点与C点重合，
∴．
故答案为：2.
（3）∵点E为对角线上一点，
∴线段与正方形的某条边的夹角是时，有以下两种情况：
①当与的夹角是时，即，如图3①，
∴，
∵，
∴，
在四边形中，，
∴，
∴；
②当与的夹角是时，即，如图3②，
∵四边形是正方形，
∴，
在中，，
∵，
∴，
∴，
∵是的外角，
∴，
∴，
∴，
综上所述：的度数是或．
【分析】（1）过点E作垂直于点M，的延长线交于点N，垂直于点H，可得四边形，四边形和四边形都是矩形，可得等于，相等，相等，根据同角的余角相等可得相等，可证明是等腰直角三角形，得相等，进而可得相等可证明全等，根据全等性质可得相等．
（2）根据四边形是正方形，且等于2，可得等于2，等于，根据等于可得等于，进而可得等于1，等于1，等于，则可得等于，则F点与C点重合，因此等于2．
（3）当时，，在四边形中，根据四边形内角和等于，可求得等于．同理得当时，可得，综上所述，的度数是或．
（1）证明：过点E作于点M，的延长线交于点N，于点H，如图1所示：
∵四边形是正方形，
，，，，
，
∴四边形，四边形和四边形都是矩形，
，，，
，
，
，
，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
在和中，
，
，
；
（2）解：∵四边形是正方形，且，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴F点与C点重合，
∴．
故答案为：2；
（3）解：∵点E为对角线上一点，
∴线段与正方形的某条边的夹角是时，有以下两种情况：
①当与的夹角是时，即，如图3①所示：
∴，
∵，
∴，
在四边形中，，
∴，
∴；
②当与的夹角是时，即，如图3②所示：
∵四边形是正方形，
∴，
在中，，
∵，
∴，
∴，
∵是的外角，
∴，
∴，
∴，
综上所述：的度数是或．
1 / 1广东省湛江市雷州市2024-2025学年八年级下学期7月期末数学试题
一、单选题（每小题3分，共30分）
1．下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A.，故不是最简二次根式，不符合题意；
B.，故不是最简二次根式，不符合题意；
C.，故不是最简二次根式，不符合题意；
D. 是最简二次根式，符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据最简二次根式的定义逐项判断即可。
2．以下列各数为边长，能构成直角三角形的是（　　）
A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，4，5 D．4，5，6
【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、因为，所以不能构成直角三角形，故A不符合题意；
B、因为，所以不能构成直角三角形，故B不符合题意；
C、因为，所以能构成直角三角形，故C符合题意；
D、因为，所以不能构成直角三角形，故D不符合题意．
故答案为：C．
【分析】
根据勾股定理的逆定理：先应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断，逐一判断即可解答．
3．某科技论坛对 、豆包、腾讯元宝、夸克四款助手中某一项功能的月度用户评分进行了统计，数据如下表所示（单位：分）：
助手 评分（满分）
豆包
腾讯元宝
夸克
评分的众数和中位数分别是（　　）
A．， B．， C．， D．，
【答案】D
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：数据：，，，按照从小到大排列是：，，，，
出现次数最多，
故这组数据的众数是，中位数是，
故答案为：D．
【分析】众数是指一组数据中出现次数最多的数；中位数是指一组数据按序排列后①偶数个数据时，中间两个数的平均数就是这组数据的中位数；②奇数个数据时，中间的数就是这组数据的中位数；；
根据众数和中位数的定义并结合各选项即可求解.
4．若添加一个条件，使得是菱形，则这个条件可以是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定；矩形的判定
【解析】【解答】解：、中有，添加该条件不能证明是菱形，故错误.
、添加后可证是矩形，但不能证明是菱形，故错误.
、添加后可证是菱形，故正确.
、添加后可证是矩形，但不能证明是菱形，故错误．
故答案为：．
【分析】根据菱形的判定、矩形的判定、平行四边形的性质对，结合Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ各选项添加的条件逐一判断即可得答案.
5．下列函数中，是的正比例函数的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】正比例函数的概念
【解析】【解答】解：A、是一次函数，故本选项不符合题意；
B、不是正比例函数，故本选项不符合题意；
C、是二次函数，故本选项不符合题意；
D、是正比例函数且k=3，故本选项符合题意；
故选：D.
【分析】
根据正比例函数的定义（一般地，形如y=kx（k是常数，）的函数，叫做正比例函数）逐项判断即可得．
6．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除混合运算；同类二次根式
【解析】【解答】解：A、不是同类二次根式不能合并，故A不符合题意；
B、，故B符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据同类二次根式的定义可判断A；根据可判断B；根据可判断C；根据 可判断D；逐一判断即可解答.
7．如图，长方形的边长为2，边长为1，在数轴上，以原点O为圆心，对角线的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是（　　）
A． B． C． D．2.5
【答案】C
【知识点】实数在数轴上表示；勾股定理；运用勾股定理在数轴上标出无理数对应点
【解析】【解答】解：，，
，
以原点O为圆心，对角线的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是，
故答案为：C．
【分析】
先由勾股定理计算出，再以原点O为圆心，对角线的长为半径画弧，交正半轴于一点，即可解答．
8．若点，，在一次函数（是常数）的图象上，则，，的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一次函数的性质
【解析】【解答】∵一次函数的解析式为，
∴函数值y随x的增大而减小，
∵-2<1<3，
∴，
故答案为：C.
【分析】先判断出函数值y随x的增大而减小，再结合-2<1<3，可得，从而得解.
9．对于一次函数，下列结论不正确的是（　　）
A．它的图象与轴交于点
B．随的增大而增大
C．当时，
D．它的图象经过第一、二、三象限
【答案】D
【知识点】一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：A.令，则，
一次函数的图象与轴交于点，
故该选项正确，不符合题意；
B.，
随的增大而增大，
故该选项正确，不符合题意；
C. 令，则，
，
故该选项正确，不符合题意；
D.，，
一次函数的图象经过第一、三、四象限
故该选项错误，符合题意；
故选： D．
【分析】根据一次函数图象，性质与系数的关系逐项进行判断即可求出答案.
10．如图，在菱形中，对角线相交于点，点是的中点，连接，若，则下列结论错误的是（　　）
A． B．
C．菱形的面积为48 D．点到的距离为
【答案】C
【知识点】菱形的性质；直角三角形斜边上的中线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；等积变换
【解析】【解答】解：如图，
A、在菱形中，对角线相交于点，
，且，，
则在中，，，由勾股定理可知，故Ａ正确.
B、在菱形中，对角线相交于点，
，且，，
则在中，，，由勾股定理可知，
点是斜边的中点，
，故Ｂ正确.
C、在菱形中，，则菱形的面积为，故Ｃ错误.
D、过点作于点，如图，
根据等面积可知，
在菱形中，对角线相交于点，
，且，，
则在中，，，由勾股定理可知，
，解得，则点到的距离为，故Ｄ正确.
故答案为：C．
【分析】根据菱形性质，结合勾股定理、直角三角形斜边的中线等于斜边的一半、菱形面积公式、等面积法求线段长等知识分别对ABCD各选项进行判断即可得答案.
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．若式子 在实数范围内有意义，则x应满足的条件是　 　．
【答案】x≥5．
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：若式子 在实数范围内有意义，则x﹣5≥0，
解得：x≥5．
故答案为：x≥5．
【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式求解即可。
12．某校为调查学生对2023年播出的《感动中国》节目中英雄人物事迹的了解情况，选取甲、乙、丙三个班级进行“感动中国故事知多少”的问卷测试，若甲、乙、丙三个班级的平均分相同，且方差分别为S甲2＝5.48，S乙2＝5.32，S丙2＝5.17，则甲、乙、丙三个班级中成比较稳定的是 　 　 班．（填“甲”或“乙”或“丙”）
【答案】丙
【知识点】方差
【解析】【解答】解：∵S甲2＝5.48S乙2＝5.32S丙2＝5.17，
∴ 丙成绩比较稳定，
故答案为：丙.
【分析】根据方差越小越稳定，解答即可.
13．如图，已知直线与直线交于点，则关于的不等式的解集为　 　．
【答案】
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：把代入，得：，解得：，
∴直线与直线交于点，
当时，则．
故答案为：．
【分析】先求出n的值，再结合函数图象，利用函数值大的图象在上方的原则求解即可.
14．如图，平行四边形的对角线，交于点E，F是的中点，若，则　 　．
【答案】4
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，
平行四边形的对角线交于点，
是的中点，
是的中点，
是的中位线，
，
，
，
故答案为：．
【分析】根据平行四边形性质得是的中点，再根据F是的中点得是的中位线，即可得等于，即可得的值.
15．如图，在矩形中，对角线、相交于点O，于E，若，，则的长为　 　 ．
【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；矩形的性质；线段垂直平分线的判定；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图，
∵四边形是矩形，
∴，，
∵，，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据矩形的性质得相等，等于，根据垂直，相等，得垂直平分，即可得等于2，即可得等于4，再利用勾股定理得等于即可得答案.
三、解答题一（总共3道题，每道题7分，共21分）
16．计算：．
【答案】解：
【知识点】平方差公式及应用；二次根式的乘除混合运算；实数的绝对值；化简含绝对值有理数；实数的混合运算（含开方）
【解析】　【分析】先计算的平方差、二次根式乘法、实数绝对值得
，最后合并即可得答案.
17．在中，于点于点．求证：．
【答案】证明：如图，
四边形是平行四边形，
，
，
，
．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；平行四边形的性质
【解析】【分析】根据平行四边形性质得平行，相等，根据平行线性质得相等，根据垂直，垂直即可得等于，即可证明全等，根据全等性质得即可.
18．《九章算术》中记“今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺．问：折者高几何？”译文：一根竹子，原高一丈，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好着地，着地处离原竹子根部4尺远．问：竹子折断处离地面有几尺？（1丈尺）
【答案】解：设竹子折断处离地面有尺，
由题意得：，，，，
∴，
则：，
解得：．
答：竹子折断处离地面有4.2尺．
【知识点】风吹树折模型；勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【分析】设竹子折断处离地面有尺，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
四、解答题二（总共3道题，每道题9分，共27分）
19．某商店销售，两种型号的商品，销售1台型和2台型商品的利润和为400元，销售2台型和1台型商品的利润和为320元．
（1）求每台型和型商品的销售利润；
（2）商店计划购进，两种型号的商品共10台，其中型商品数量不少于型商品数量的一半，设购进型商品台，这10台商品的销售总利润为元，求该商店购进，两种型号的商品各多少台，才能使销售总利润最大？
【答案】（1）解：设型利润元/台，型利润元/台，则：
，解得，
答：型利润80元/台，型利润160元/台.
（2）解：设型台，则型台，
型数量不少于型数量的一半，
，
，
，
随增大而减小
当时，，
答：型4台，型6台，总利润最大．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设型利润元/台，型利润元/台，根据题目情境列方程组，求解即可得型利润80元/台，型利润160元/台.
（2）设型台，则型台，根据题目情境列出利润W关于m的函数解析式，根据函数的增减性即可得型4台，型6台，总利润最大．
（1）解：设型利润元/台，型利润元/台
，
答：型利润80元/台，型利润160元/台；
（2）解：设型台，则型台，
型数量不少于型数量的一半，
，
，
，
随增大而减小
当时，，
答：型4台，型6台，总利润最大．
20．如图，在四边形中 ，，平分，过点A作， 交延长线于点E．四边形对角线交于点O，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，求的面积．
【答案】（1）解：∵
∴，
∵平分，
∴，
∴
∴
∵，
∴，
∵
∴四边形是平行四边形；
∵
∴四边形是菱形；
（2）解：∵四边形是菱形
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的面积．
【知识点】三角形的面积；菱形的判定与性质；角平分线的概念；直角三角形斜边上的中线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）根据直线平行性质可得，根据角平分线定义可得，则，根据等角对等边可得，再根据菱形判定定理即可求出答案.
（2）根据菱形性质可得，，根据直角三角形斜边上的中线性质可得OE，再根据勾股定理可得CE，再根据三角形面积即可求出答案.
（1）解：∵
∴，
∵平分，
∴，
∴
∴
∵，
∴，
∵
∴四边形是平行四边形；
∵
∴四边形是菱形；
（2）∵四边形是菱形
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的面积．
21．2025年春节，《哪吒之魔童闹海》（以下简称《哪吒2》）横空出世，现已登顶全球动画电影票房榜．小果同学为了了解这部电影在同学们中的受欢迎程度，在初三年级随机抽取了10名男生和10名女生展开问卷调查，并对数据进行整理，描述和分析（评分分数用x表示，共分为四组：；；；）下面给出了部分信息：
10名女生对《哪吒2》的评分分数：67，77，79，83，89，91，98，98，98，．
10名男生对《哪吒2》的评分分数在C组的数据是：82，83，．
20名同学对《哪吒2》评分统计表
性别 平均数 众数 中位数 方差 满分占比
女生 88 a 90
男生 88 100 b
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述图表中的______，______，______；
（2）该校初三年级有400名女生和500名男生去看过《哪吒2》，估计这些学生中对《哪吒2》的评分在D组共有多少人？
（3）根据表格中的数据进行分析，你认为是女生更喜欢《哪吒2》还是男生更喜欢？请说明理由；（写出一条理由即可）
【答案】（1）98，93，10
（2）解：（人），
答：估计这些学生中对《哪吒2》的评分在D组共有450人；
（3）解：男生更喜欢《哪吒2》，
根据中位数和众数分析，男生的中位数和众数都比女生的高，因此，男生更喜欢《哪吒2》．
【知识点】扇形统计图；中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：10名女生对《哪吒2》的评分分数：67，77，79，83，89，91，98，98，98，
98出现最多，则，
根据统计表可得男生满分的有人，则中位数为第5和第6个数据，数据是：82，83，
则按从小到大排列，第5个数据为86，由满分占比，可得第6个数据为100，
则，
评分分数为A和B的人数和为，都不为0，
评分分数为A和B的人数都是1人，
，即，
故答案为：98，93，
【分析】（1）根据众数，中位数的定义可得a，b，再根据B组的人数除以占比可得m值.
（2）根据400，500乘以对应占比即可求出答案.
（3）根据各统计量的意义即可求出答案.
（1）解：10名女生对《哪吒2》的评分分数：67，77，79，83，89，91，98，98，98，
98出现最多，则，
根据统计表可得男生满分的有人，则中位数为第5和第6个数据，数据是：82，83，
则按从小到大排列，第5个数据为86，由满分占比，可得第6个数据为100，
则，
评分分数为A和B的人数和为，都不为0，
评分分数为A和B的人数都是1人，
，即，
故答案为：98，93，
（2）解：（人），
答：估计这些学生中对《哪吒2》的评分在D组共有450人；
（3）解：男生更喜欢《哪吒2》，
根据中位数和众数分析，男生的中位数和众数都比女生的高，因此，男生更喜欢《哪吒2》．
五、解答题三（总共2道题，22题13分，23题14分，共27分）
22．如图，已知直线经过，两点．
（1）求直线的解析式；
（2）若C是线段OA上一点，将线段CB绕点C顺时针旋转得到CD，此时点D恰好落在直线AB上
①求点C和点D的坐标；
②若点P在y轴上，Q在直线AB上，是否存在以C，D，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点Q的坐标，否则说明理由．
【答案】解：（1）∵，在直线的图象上，
∴，解得：
直线AB得表达式为．
（2）①过点D作于点E，如图1，
，，
．
在与中，
，
，
，．
设，则点D得坐标为，
点D在直线AB上，
，
，
点C得坐标为，点D得坐标为．
②存在点Q得坐标为，或．
理由如下：
设点Q的坐标为（n，- n+3）．
分两种情况考虑，如图2：
当CD为边时，
∵点C的坐标为（1，0），点D的坐标为（4，1），点P的横坐标为0，
∴0-n=4-1或n-0=4-1，
∴n=-3或n=3，
∴点Q的坐标为（3，），点Q'的坐标为（-3，）；
当CD为对角线时，
∵点C的坐标为（1，0），点D的坐标为（4，1），点P的横坐标为0，
∴n+0=1+4，
∴n=5，
∴点Q″的坐标为（5，）．
综上所述，存在以C、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，点Q的坐标为（3，），（-3，）或（5，）．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形全等及其性质；平行四边形的性质；三角形全等的判定-ASA；同侧一线三垂直全等模型；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）先根据点A，B的坐标，得到关于待定系数的方程组求解，再代回求出直线的解析式；
（2）①先利用ASA证明△BOC≌△CED，再利用全等三角形的性质求出BO，再设DE=OC=x，然后利用m表示出D点坐标，再根据点D在直线AB上，列出关于m的方程求解，求得点C和点D的坐标；
②分“CD为边”、“CD为对角线”两种情况考虑，分别求出Q'的坐标．
23．如图正方形中，点E为对角线上一点，连接，过点E作，交射线于点F．
（1）求证：；
（2）若，，的长度为 ；
（3）当线段与正方形的某条边的夹角是时，直接写出的度数．
【答案】（1）证明：如图1，
过点E作于点M，的延长线交于点N，于点H，
∵四边形是正方形，
，，，，
，
∴四边形，四边形和四边形都是矩形，
，，，
，
，
，
，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
；
（2）2
（3）解：的度数是或.
【知识点】含30°角的直角三角形；矩形的判定与性质；正方形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：（2）∵四边形是正方形，且，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴F点与C点重合，
∴．
故答案为：2.
（3）∵点E为对角线上一点，
∴线段与正方形的某条边的夹角是时，有以下两种情况：
①当与的夹角是时，即，如图3①，
∴，
∵，
∴，
在四边形中，，
∴，
∴；
②当与的夹角是时，即，如图3②，
∵四边形是正方形，
∴，
在中，，
∵，
∴，
∴，
∵是的外角，
∴，
∴，
∴，
综上所述：的度数是或．
【分析】（1）过点E作垂直于点M，的延长线交于点N，垂直于点H，可得四边形，四边形和四边形都是矩形，可得等于，相等，相等，根据同角的余角相等可得相等，可证明是等腰直角三角形，得相等，进而可得相等可证明全等，根据全等性质可得相等．
（2）根据四边形是正方形，且等于2，可得等于2，等于，根据等于可得等于，进而可得等于1，等于1，等于，则可得等于，则F点与C点重合，因此等于2．
（3）当时，，在四边形中，根据四边形内角和等于，可求得等于．同理得当时，可得，综上所述，的度数是或．
（1）证明：过点E作于点M，的延长线交于点N，于点H，如图1所示：
∵四边形是正方形，
，，，，
，
∴四边形，四边形和四边形都是矩形，
，，，
，
，
，
，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
在和中，
，
，
；
（2）解：∵四边形是正方形，且，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴F点与C点重合，
∴．
故答案为：2；
（3）解：∵点E为对角线上一点，
∴线段与正方形的某条边的夹角是时，有以下两种情况：
①当与的夹角是时，即，如图3①所示：
∴，
∵，
∴，
在四边形中，，
∴，
∴；
②当与的夹角是时，即，如图3②所示：
∵四边形是正方形，
∴，
在中，，
∵，
∴，
∴，
∵是的外角，
∴，
∴，
∴，
综上所述：的度数是或．
1 / 1

展开更多......

收起↑