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广西南宁市江南区2025-2026学年八年级下学期期中数学试卷（含答案）
1．下列式子中，属于最简二次根式的是（　　)
A． B． C． D．
2．我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中.下列各组数中，是“勾股数”的是（　　)
A．2，3，4 B．4，5，6 C．1，，2 D．8，15，17
3．如图，A，B两地被房子隔开，小明通过下面的方法估测 A，B间的距离：先在 AB外选一点 C，然后测出 AC，BC的中点分别为 M，N，并测出 MN的长约为 40米，由此可知 A，B间的距离约为（　　)
A．80米 B．60米 C．70米 D．20米
4．如图，体育课上体育老师测量跳远成绩的依据是（　　)
A．平行线间的距离相等 B．两点之间，线段最短
C．两点确定一条直线 D．垂线段最短
5．如图，矩形 OABC的边 OA长为 2，边 AB长为 1， OA在数轴上，以原点 O为圆心，对角线 OB的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是（　　)
A． B． C． D．
6．如图，在矩形 ABCD中，对角线 AC与 BD相交于点 O，则下列结论一定正确的是（　　)
A．AB=BC B．∠BAC=∠ACB C．AC⊥BD D．AC=BD
7．三个正方形的面积如图，正方形 A的面积为（　　)
A．164 B．6 C．36 D．8
8．如图， ABCD的对角线交点在原点，若 A （-1，2)，则点 C的坐标是（　　)
A．（1，-2) B．（-2 1)
C．（2，-1) D．（-1，-2)
9．如图， Rt△ABC中， ∠ACB=90°，点 D为 AB的中点.若∠B=36°，则∠BCD的度数为（　　)
A．72° B．60° C．44° D．36°
10．如图，在菱形 ABCD中，对角线 AC， BD 相交于点 O， AB=5.若∠BAD=120°，则 AC的长是（　　)
A．2.5 B．5 C．6 D．10
11．如图，小明从点 A出发前进 10m到达 A1，然后向右转 20°；再前进 10m到达 A2，然后又向右转 20°…，一直这样走下去，他第一次回到出发点 A时，一共走了 （　　)
A．180m B．280m C．300m D．360m
12．我们将宽与长之比为 的矩形称为黄金矩形.如图，矩形 ABCD为黄金矩形 （AB>AD) ， 在其内部作正方形 AEFD， 若矩形 ABCD的边 AB=4，那么 CF的长为 （　　)
A． B． C． D．
13．要使二次根式有意义，则x的值可以是　 　 （写出一个即可）
14．如图，足球图片正中的黑色正五边形的内角和是　 　．
15．如图， 在 Rt△ABC中， ∠C=90°， 若 BC=3， AC=4， 则 AB的长是　 　.
16．如图，正方形 ABCD的对角线相交于点 O，以点 O为顶点的正方形 OEGF的两边 OE，OF分别交正方形 ABCD的两边 AB，BC于点 M，N，记△AOM的面积为 S1， △CON的面积为 S2，若正方形 ABCD的边长 AB=10，S1=16，则 S2的大小为　 　.
17．计算：
（1）
（2）
18．已知：如图 1， △ABC中， ∠B=2∠C， D是边 BC上的点，且 CD=AD.
（1）证明： AD=AB；
（2）若 E、F分别是 BD、AC的中点且 AC=6，如图 2，求 EF的长.
19．如图，某农家乐有一块矩形空地 ABCD，矩形空地的长 BC为 宽 AB为 现要在空地中划出一块矩形区域作为小鱼塘（即图中阴影部分)，其余部分种植蔬菜，矩形小鱼塘的长为（ 宽为
（1）矩形 ABCD的周长是多少 （结果化为最简二次根式)
（2）若市场上某种蔬菜 9元/千克，农家乐种植该种蔬菜，每平方米可以产 10千克的蔬菜，如果将所种蔬菜全部销售完，销售收入为多少元
20．如图所示，点 D为△ABC内一点， AD平分∠BAC，且 BD⊥AD，垂足为 D，延长 BD交 AC于点 G，点 E为边 BC的中点，点 F在 AC上，且 CF=DE.
（1）求证：四边形 CEDF 是平行四边形；
（2）求证： AB+2CF=AC.
21．如图，有一台风中心沿东西方向 AB由 A向 B移动，已知点 C为一海港，AC=150km，BC=200km，AB=250km，经测量，以台风中心为圆心周围 125km及以内的地区会受到影响.
（1）求证： ∠ACB=90°；
（2）请通过计算说明海港 C会受台风影响；
（3）台风中心从 A开始移动时，海港 C处有一艘小型货轮开始卸货，预计 3小时完成.若台风中心每小时移动 15km，请问在海港 C受台风影响之前，请通过计算说明货轮能否完成卸货
22．如图，在矩形 ABCD中， AB=8cm，BC=4cm.点 P从点 A 出发向点 B运动，运动到点 B 即停止；同时，点Q从点 C出发向点 D运动，运动到点 D 即停止，点 P，Q的运动速度都是 1cm/s，连接 PQ，PD，QB.设点 P，Q的运动时间为 ts.
（1）当 t为何值时，四边形 PQCB 是矩形
（2）当 t为何值时，四边形 BPDQ是菱形
23．阅读与应用
“数形结合”是一种重要的数学思想，通过数和形之间的对应关系和相互转化可以解决很多抽象的数学问题.同学们发现在正方形网格中，构造某些图形可以发现和解决一些数学问题.
如图，题目中的所有网格均是正方形网格，每个小正方形的边长均为 1，且点 O，A，B，C，D都在格点上.
（1） 如图 1， AB的长度为 ▲ ， 求△AOB的面积；
（2）如图 2，在正方形网格中构造△ABC，可以比较 与 的大小，其理由如下：因为在 中，点A，B，C都为小正方形的顶点 （构造图形)，所以 AB+BC >AC （三角形任意两边之和大于第三边).因为 （勾股定理) ， BC=1， 所以 请你参考例子中的方法，在图 3中构造图形，比较 与 的大小，并说明理由；
（3） 如图 4， 直接写出∠DAB+∠CAB的度数.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、∵=1，∴不是最简二次根式，∴A不符合题意；
B、∵是最简二次根式，∴B符合题意；
C、∵=2，∴不是最简二次根式，∴C不符合题意；
D、∵=3，∴不是最简二次根式，∴D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】利用最简二次根式的定义（①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式）逐项分析判断即可.
2．【答案】D
【知识点】勾股数
【解析】【解答】解：A、∵22+32≠42，∴A不符合题意；
B、∵42+52≠62，∴B不符合题意；
C、∵不是正整数，∴C不符合题意
D、∵82+152=172，∴D符合题意；
故答案为：D.
【分析】利用勾股数的定义及判断方法（满足两个数的平方和等于第三个数的平方，且这三个数均为正整数，这三个数就是勾股数）分析求解即可.
3．【答案】A
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵AC，BC的中点分别为 M，N，
∴MN是△ABC的中位线，
∵MN的长约为 40米，
∴AB=2MN=80，
故答案为：A.
【分析】先证出MN是△ABC的中位线，再利用中位线的性质求出AB的长即可.
4．【答案】D
【知识点】垂线段最短及其应用
【解析】【解答】解：根据题意可得，测量跳远成绩的依据是： 垂线段最短，
故答案为：D.
【分析】利用垂线段最短并结合生活常识分析求解即可.
5．【答案】D
【知识点】实数在数轴上的表示；勾股定理
【解析】【解答】解：∵OA=2，AB=1，∠OAB=90°，
∴OB==
∵点O表示的数为0，
∴以原点 O为圆心，对角线 OB的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是，
故答案为：D.
【分析】先利用勾股定理求出OB的长，再结合点O表示的数求出答案即可.
6．【答案】D
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，
故答案为：D.
【分析】利用矩形的性质（①拥有平行四边形所有的性质；②四个角均是直角；③对角线相等）分析求解即可.
7．【答案】C
【知识点】勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：根据题意可得：A的面积=100-64=36，
故答案为：C.
【分析】利用正方形的面积公式及勾股定理可得A的面积.
8．【答案】A
【知识点】平行四边形的性质；关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形的，O为对角线的交点，
∴点A、C关于原点对称，
∵点A的坐标为（-1，2），
∴点C的坐标为（1，-2），
故答案为：A.
【分析】先证出点A、C关于原点对称，再利用关于原点对称的点坐标的特征（横坐标变为相反数，纵坐标变为相反数）求解即可.
9．【答案】D
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵∠ACB=90°，点 D为 AB的中点，
∴CD=BD，
∴∠DCB=∠B，
∵∠B=36°，
∴∠BCD=∠B=36°，
故答案为：D.
【分析】利用直角三角形斜边上中线的性质可得CD=BD，再利用等边对等角的性质求出∠BCD的度数即可.
10．【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=120°，
∴∠ABC=60°，AB=CB，
∴△ABC是等边三角形，
∵AB=5，
∴AC=AB=5，
故答案为：B.
【分析】先利用菱形的性质求出∠ABC=60°，AB=CB，证出△ABC是等边三角形，再利用等边三角形的性质求出AC=AB=5即可.
11．【答案】A
【知识点】多边形内角与外角；正多边形的性质
【解析】【解答】解：由题可得，正多边形的边数为360°÷20°=18，
∵每条边的长度为10，
∴总长度=10×18=180，
故答案为：A.
【分析】先求出正多边形的边数，再用“总长度=每条边的长度×边数”求解即可.
12．【答案】C
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：∵ 矩形 ABCD为黄金矩形 （AB>AD) ，
∴，
∵AB=4，
∴BC=×4=，
∵四边形ADFE是正方形，
∴DF=AD=BC=，
∴CF=DC-DF=4-（）=，
故答案为：C.
【分析】先利用黄金矩形的定义求出BC的长，再利用线段的和差求出CF的长即可.
13．【答案】3（答案不唯一，即可）
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵ 二次根式有意义
∴x-2≥0
解之：x≥2，
∴x的值可以是3.
故答案为：3.
【分析】利用二次根式有意义的条件：被开方数是非负数，可得到关于x的不等式，然后求出不等式的解集.
14．【答案】540°
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：黑色正五边形的内角和为：
(5- 2)×180° = 540°，
故答案为：540°.
【分析】根据多边形内角和即可求出答案.
15．【答案】5
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：∵∠C=90°， 若 BC=3， AC=4，
∴AB==5，
故答案为：5.
【分析】利用勾股定理直接求出AB的长即可.
16．【答案】9
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD、四边形OEGF均为正方形，
∴∠EOF=∠BOC=90°，BO=CO，∠MBO=∠NCO，
∴∠MOB=∠NOC，
∴△OBM≌△OCN，
∴S1+S2=S△AOB=S正方形ABCD=25，
∵S1=16，
∴S2=25-16=9，
故答案为：9.
【分析】先证出△OBM≌△OCN，可得S1+S2=S△AOB=S正方形ABCD=25，再结合S1=16，求出S2=25-16=9即可.
17．【答案】（1）解：原式=4+5-3
=6
（2）解：原式=
=
【知识点】二次根式的混合运算；有理数的乘方法则；化简含绝对值有理数；求算术平方根
【解析】【分析】（1）先利用有理数的乘方、绝对值和算术平方根化简，再计算即可；
（2）利用二次根式的混合运算的计算方法及步骤（①有括号先算括号内；②再算二次根式的乘除；③最后计算二次根式的加减法）分析求解即可.
18．【答案】（1）证明：∵CD＝AD，
∴∠C＝∠DAC，
∴∠ADB＝∠C＋∠DAC＝2∠C；
∵∠B＝2∠C，
∴∠ADB＝∠B，
∴AD＝AB；
（2）解：如图，连接AE，
由（1）知，AD＝AB，
又∵E是BD的中点，
∴AE⊥BD，
∴△AEC是直角三角形，
∵F是AC的中点，AC＝6，
∴EF＝AC＝3．
【知识点】直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）由CD＝AD，得到∠C＝∠DAC，再根据三角形外角的性质得到∠ADB＝2∠C，从而得到∠ADB＝∠B，即可得出结论；
（2）连接AE，先得到△AEC是直角三角形，再由F是AC的中点，即可求解．
19．【答案】（1）解：由题意得，长方形ABCD的周长＝2×(＋)＝2×(6＋4)＝（m）；
答：长方形ABCD的周长是m；
（2）解：由题意得，蔬菜地的面积＝× （)()
＝48 （10 1）＝39（m2），
∴销售收入＝39×9×10＝3510（元）．
答：如果将所种蔬菜全部销售完，销售收入为3510元．
【知识点】二次根式的实际应用
【解析】【分析】（1）利用长方形的周长公式即可求解；
（2）先求得蔬菜地的面积，再计算收入即可求解．
20．【答案】（1）证明：∵AD平分∠BAC， BD⊥AD，
∴∠BAD=∠GAD， ∠ADB=∠ADG=90°，
∵在△ABD和△AGD中
∴△ABD≌△AGD（ASA) ，
∴BD=GD，即 D是 BG的中点，
又∵E是 BC的中点，
∴DE是△BCG的中位线，
∴DE∥AC，即 DE∥CF，
又∵CF=DE，
∴四边形 CEDF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)
（2）证明：由△ABD≌△AGD，得AB=AG，
∵DE是△BCG的中位线，
∵四边形 CEDF是平行四边形，
∴DE=CF，
即 CG=2CF，
又∵AC=AG+CG，
∴AC=AB+2CF，
即 AB+2CF=AC
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）先利用“ASA”证出△ABD≌△AGD，再利用全等三角形的性质可得BD=GD，再证出DE是△BCG的中位线，利用中位线的性质可得DE∥AC，即 DE∥CF，再结合CF//DE，从而证出四边形 CEDF是平行四边形；
（2）先利用中位线的性质可得，再利用平行四边形的性质及等量代换求出CG=2CF，最后利用线段的和差及等量代换求出AB+2CF=AC即可.
21．【答案】（1）证明：∵ AC=150km，BC=200km，AB=250km，
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ABC是直角三角形且∠C=90°.
（2）解：海港 C会受影响，理由如下：
如图 1，过点 C作 CD⊥AB，交 AB于点 D，
由（1）得： ∠ACB=90°，
∵120<125，
∴海港 C会受影响
（3）解：在海港 C受台风影响之前，货轮能完成卸货，理由如下：
如图 2， 由（1）得： CD=120km，
设在海港 C开始受台风影响时，台风中心在 AB上的位置为 E，
则 CE=125km，
在 Rt△ADC 中，由勾股定理得：
在 Rt△CDE中，由勾股定理得：
∴AE=AD-DE=90-35=55（km)
由台风中心移动速度是 15km/h可得，从A到 E的时间为： （小时) ，
∴在海港 C受台风影响之前，货轮能完成卸货
【知识点】勾股定理的逆定理；勾股定理的实际应用-（台风、噪音、触礁、爆破）影响范围问题；等积变换
【解析】【分析】（1）利用勾股定理的逆定理证出△ABC是直角三角形且∠C=90°即可；
（2）过点 C作 CD⊥AB，交 AB于点 D，利用等积法求出CD的长，再比较大小即可；
（3）设在海港 C开始受台风影响时，台风中心在 AB上的位置为 E，先利用勾股定理求出AD和DE的长，再利用线段的和差求出AE的长，最后利用“时间=路程÷速度”求出从A到ED时间，再比较大小即可.
22．【答案】（1）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD =BC =4cm，AB = DC =8cm，AB∥CD，∠C =90°，
∴BP∥CQ ，
当BP =CQ 时，四边形PQCB 是平行四边形，
∵∠C =90°，
∴平行四边形PQCB 是矩形，
∴此时t=8-t，
解得： t=4.
答：当t=4时，四边形PQCB 是矩形.
（2）解：∵BP = DQ =8-t，BP∥DQ ，
∴四边形BP DQ 是平行四边形，
当DP =BP 时，四边形BP DQ 为菱形.
设t秒后，DP =BP =8-t，四边形BPDQ 为菱形，
根据勾股定理得：
即
解得： t=3.
答：当t=3时，四边形BPDQ 是菱形.
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；菱形的性质；矩形的性质；四边形-动点问题
【解析】【分析】（1）先证出当BP =CQ时，四边形PQCB是平行四边形，再结合∠C =90°，可得平行四边形PQCB 是矩形，再利用矩形的性质可得t=8-t，最后求出t的值即可；
（2）设t秒后，DP =BP =8-t，四边形BPDQ 为菱形，利用勾股定理列出方程最后求出t的值即可.
23．【答案】（1）解：（1）；
S△AOB＝9 ×1×3 ×1×2 ×2×3＝9 1.5 1 3＝3.5，
（2）解：构造△DEF，如图所示：
由勾股定理，得 在△DEF中， ∵DE+EF>DF，
（3）45°
【知识点】三角形的面积；勾股定理；等腰直角三角形；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【解答】（1）解：由题意得，AB＝．
（3）解：如图，作点C关于AB的对称点E，连接DE，AE，
∴∠CAB＝∠BAE．
由勾股定理得，AD＝DE＝，AE＝，
∴AD2＋DE2＝AE2．
∴△ADE是等腰直角三角形，且∠ADE＝90°．
∴∠DAE＝∠DEA＝45°．
∴∠DAB＋∠CAB＝∠DAE＝45°．
【分析】（1）根据勾股定理和三角形的面积公式即可得到结论；
（2）根据勾股定理和勾股定理的逆定理即可得到结论；
（3）如图，作点C关于AB的对称点E，连接DE，AE，根据勾股定理和勾股定理的逆定理即可得到结论．
1 / 1广西南宁市江南区2025-2026学年八年级下学期期中数学试卷（含答案）
1．下列式子中，属于最简二次根式的是（　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、∵=1，∴不是最简二次根式，∴A不符合题意；
B、∵是最简二次根式，∴B符合题意；
C、∵=2，∴不是最简二次根式，∴C不符合题意；
D、∵=3，∴不是最简二次根式，∴D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】利用最简二次根式的定义（①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式）逐项分析判断即可.
2．我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中.下列各组数中，是“勾股数”的是（　　)
A．2，3，4 B．4，5，6 C．1，，2 D．8，15，17
【答案】D
【知识点】勾股数
【解析】【解答】解：A、∵22+32≠42，∴A不符合题意；
B、∵42+52≠62，∴B不符合题意；
C、∵不是正整数，∴C不符合题意
D、∵82+152=172，∴D符合题意；
故答案为：D.
【分析】利用勾股数的定义及判断方法（满足两个数的平方和等于第三个数的平方，且这三个数均为正整数，这三个数就是勾股数）分析求解即可.
3．如图，A，B两地被房子隔开，小明通过下面的方法估测 A，B间的距离：先在 AB外选一点 C，然后测出 AC，BC的中点分别为 M，N，并测出 MN的长约为 40米，由此可知 A，B间的距离约为（　　)
A．80米 B．60米 C．70米 D．20米
【答案】A
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵AC，BC的中点分别为 M，N，
∴MN是△ABC的中位线，
∵MN的长约为 40米，
∴AB=2MN=80，
故答案为：A.
【分析】先证出MN是△ABC的中位线，再利用中位线的性质求出AB的长即可.
4．如图，体育课上体育老师测量跳远成绩的依据是（　　)
A．平行线间的距离相等 B．两点之间，线段最短
C．两点确定一条直线 D．垂线段最短
【答案】D
【知识点】垂线段最短及其应用
【解析】【解答】解：根据题意可得，测量跳远成绩的依据是： 垂线段最短，
故答案为：D.
【分析】利用垂线段最短并结合生活常识分析求解即可.
5．如图，矩形 OABC的边 OA长为 2，边 AB长为 1， OA在数轴上，以原点 O为圆心，对角线 OB的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是（　　)
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】实数在数轴上的表示；勾股定理
【解析】【解答】解：∵OA=2，AB=1，∠OAB=90°，
∴OB==
∵点O表示的数为0，
∴以原点 O为圆心，对角线 OB的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是，
故答案为：D.
【分析】先利用勾股定理求出OB的长，再结合点O表示的数求出答案即可.
6．如图，在矩形 ABCD中，对角线 AC与 BD相交于点 O，则下列结论一定正确的是（　　)
A．AB=BC B．∠BAC=∠ACB C．AC⊥BD D．AC=BD
【答案】D
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，
故答案为：D.
【分析】利用矩形的性质（①拥有平行四边形所有的性质；②四个角均是直角；③对角线相等）分析求解即可.
7．三个正方形的面积如图，正方形 A的面积为（　　)
A．164 B．6 C．36 D．8
【答案】C
【知识点】勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：根据题意可得：A的面积=100-64=36，
故答案为：C.
【分析】利用正方形的面积公式及勾股定理可得A的面积.
8．如图， ABCD的对角线交点在原点，若 A （-1，2)，则点 C的坐标是（　　)
A．（1，-2) B．（-2 1)
C．（2，-1) D．（-1，-2)
【答案】A
【知识点】平行四边形的性质；关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形的，O为对角线的交点，
∴点A、C关于原点对称，
∵点A的坐标为（-1，2），
∴点C的坐标为（1，-2），
故答案为：A.
【分析】先证出点A、C关于原点对称，再利用关于原点对称的点坐标的特征（横坐标变为相反数，纵坐标变为相反数）求解即可.
9．如图， Rt△ABC中， ∠ACB=90°，点 D为 AB的中点.若∠B=36°，则∠BCD的度数为（　　)
A．72° B．60° C．44° D．36°
【答案】D
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵∠ACB=90°，点 D为 AB的中点，
∴CD=BD，
∴∠DCB=∠B，
∵∠B=36°，
∴∠BCD=∠B=36°，
故答案为：D.
【分析】利用直角三角形斜边上中线的性质可得CD=BD，再利用等边对等角的性质求出∠BCD的度数即可.
10．如图，在菱形 ABCD中，对角线 AC， BD 相交于点 O， AB=5.若∠BAD=120°，则 AC的长是（　　)
A．2.5 B．5 C．6 D．10
【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=120°，
∴∠ABC=60°，AB=CB，
∴△ABC是等边三角形，
∵AB=5，
∴AC=AB=5，
故答案为：B.
【分析】先利用菱形的性质求出∠ABC=60°，AB=CB，证出△ABC是等边三角形，再利用等边三角形的性质求出AC=AB=5即可.
11．如图，小明从点 A出发前进 10m到达 A1，然后向右转 20°；再前进 10m到达 A2，然后又向右转 20°…，一直这样走下去，他第一次回到出发点 A时，一共走了 （　　)
A．180m B．280m C．300m D．360m
【答案】A
【知识点】多边形内角与外角；正多边形的性质
【解析】【解答】解：由题可得，正多边形的边数为360°÷20°=18，
∵每条边的长度为10，
∴总长度=10×18=180，
故答案为：A.
【分析】先求出正多边形的边数，再用“总长度=每条边的长度×边数”求解即可.
12．我们将宽与长之比为 的矩形称为黄金矩形.如图，矩形 ABCD为黄金矩形 （AB>AD) ， 在其内部作正方形 AEFD， 若矩形 ABCD的边 AB=4，那么 CF的长为 （　　)
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：∵ 矩形 ABCD为黄金矩形 （AB>AD) ，
∴，
∵AB=4，
∴BC=×4=，
∵四边形ADFE是正方形，
∴DF=AD=BC=，
∴CF=DC-DF=4-（）=，
故答案为：C.
【分析】先利用黄金矩形的定义求出BC的长，再利用线段的和差求出CF的长即可.
13．要使二次根式有意义，则x的值可以是　 　 （写出一个即可）
【答案】3（答案不唯一，即可）
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵ 二次根式有意义
∴x-2≥0
解之：x≥2，
∴x的值可以是3.
故答案为：3.
【分析】利用二次根式有意义的条件：被开方数是非负数，可得到关于x的不等式，然后求出不等式的解集.
14．如图，足球图片正中的黑色正五边形的内角和是　 　．
【答案】540°
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：黑色正五边形的内角和为：
(5- 2)×180° = 540°，
故答案为：540°.
【分析】根据多边形内角和即可求出答案.
15．如图， 在 Rt△ABC中， ∠C=90°， 若 BC=3， AC=4， 则 AB的长是　 　.
【答案】5
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：∵∠C=90°， 若 BC=3， AC=4，
∴AB==5，
故答案为：5.
【分析】利用勾股定理直接求出AB的长即可.
16．如图，正方形 ABCD的对角线相交于点 O，以点 O为顶点的正方形 OEGF的两边 OE，OF分别交正方形 ABCD的两边 AB，BC于点 M，N，记△AOM的面积为 S1， △CON的面积为 S2，若正方形 ABCD的边长 AB=10，S1=16，则 S2的大小为　 　.
【答案】9
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD、四边形OEGF均为正方形，
∴∠EOF=∠BOC=90°，BO=CO，∠MBO=∠NCO，
∴∠MOB=∠NOC，
∴△OBM≌△OCN，
∴S1+S2=S△AOB=S正方形ABCD=25，
∵S1=16，
∴S2=25-16=9，
故答案为：9.
【分析】先证出△OBM≌△OCN，可得S1+S2=S△AOB=S正方形ABCD=25，再结合S1=16，求出S2=25-16=9即可.
17．计算：
（1）
（2）
【答案】（1）解：原式=4+5-3
=6
（2）解：原式=
=
【知识点】二次根式的混合运算；有理数的乘方法则；化简含绝对值有理数；求算术平方根
【解析】【分析】（1）先利用有理数的乘方、绝对值和算术平方根化简，再计算即可；
（2）利用二次根式的混合运算的计算方法及步骤（①有括号先算括号内；②再算二次根式的乘除；③最后计算二次根式的加减法）分析求解即可.
18．已知：如图 1， △ABC中， ∠B=2∠C， D是边 BC上的点，且 CD=AD.
（1）证明： AD=AB；
（2）若 E、F分别是 BD、AC的中点且 AC=6，如图 2，求 EF的长.
【答案】（1）证明：∵CD＝AD，
∴∠C＝∠DAC，
∴∠ADB＝∠C＋∠DAC＝2∠C；
∵∠B＝2∠C，
∴∠ADB＝∠B，
∴AD＝AB；
（2）解：如图，连接AE，
由（1）知，AD＝AB，
又∵E是BD的中点，
∴AE⊥BD，
∴△AEC是直角三角形，
∵F是AC的中点，AC＝6，
∴EF＝AC＝3．
【知识点】直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）由CD＝AD，得到∠C＝∠DAC，再根据三角形外角的性质得到∠ADB＝2∠C，从而得到∠ADB＝∠B，即可得出结论；
（2）连接AE，先得到△AEC是直角三角形，再由F是AC的中点，即可求解．
19．如图，某农家乐有一块矩形空地 ABCD，矩形空地的长 BC为 宽 AB为 现要在空地中划出一块矩形区域作为小鱼塘（即图中阴影部分)，其余部分种植蔬菜，矩形小鱼塘的长为（ 宽为
（1）矩形 ABCD的周长是多少 （结果化为最简二次根式)
（2）若市场上某种蔬菜 9元/千克，农家乐种植该种蔬菜，每平方米可以产 10千克的蔬菜，如果将所种蔬菜全部销售完，销售收入为多少元
【答案】（1）解：由题意得，长方形ABCD的周长＝2×(＋)＝2×(6＋4)＝（m）；
答：长方形ABCD的周长是m；
（2）解：由题意得，蔬菜地的面积＝× （)()
＝48 （10 1）＝39（m2），
∴销售收入＝39×9×10＝3510（元）．
答：如果将所种蔬菜全部销售完，销售收入为3510元．
【知识点】二次根式的实际应用
【解析】【分析】（1）利用长方形的周长公式即可求解；
（2）先求得蔬菜地的面积，再计算收入即可求解．
20．如图所示，点 D为△ABC内一点， AD平分∠BAC，且 BD⊥AD，垂足为 D，延长 BD交 AC于点 G，点 E为边 BC的中点，点 F在 AC上，且 CF=DE.
（1）求证：四边形 CEDF 是平行四边形；
（2）求证： AB+2CF=AC.
【答案】（1）证明：∵AD平分∠BAC， BD⊥AD，
∴∠BAD=∠GAD， ∠ADB=∠ADG=90°，
∵在△ABD和△AGD中
∴△ABD≌△AGD（ASA) ，
∴BD=GD，即 D是 BG的中点，
又∵E是 BC的中点，
∴DE是△BCG的中位线，
∴DE∥AC，即 DE∥CF，
又∵CF=DE，
∴四边形 CEDF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)
（2）证明：由△ABD≌△AGD，得AB=AG，
∵DE是△BCG的中位线，
∵四边形 CEDF是平行四边形，
∴DE=CF，
即 CG=2CF，
又∵AC=AG+CG，
∴AC=AB+2CF，
即 AB+2CF=AC
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）先利用“ASA”证出△ABD≌△AGD，再利用全等三角形的性质可得BD=GD，再证出DE是△BCG的中位线，利用中位线的性质可得DE∥AC，即 DE∥CF，再结合CF//DE，从而证出四边形 CEDF是平行四边形；
（2）先利用中位线的性质可得，再利用平行四边形的性质及等量代换求出CG=2CF，最后利用线段的和差及等量代换求出AB+2CF=AC即可.
21．如图，有一台风中心沿东西方向 AB由 A向 B移动，已知点 C为一海港，AC=150km，BC=200km，AB=250km，经测量，以台风中心为圆心周围 125km及以内的地区会受到影响.
（1）求证： ∠ACB=90°；
（2）请通过计算说明海港 C会受台风影响；
（3）台风中心从 A开始移动时，海港 C处有一艘小型货轮开始卸货，预计 3小时完成.若台风中心每小时移动 15km，请问在海港 C受台风影响之前，请通过计算说明货轮能否完成卸货
【答案】（1）证明：∵ AC=150km，BC=200km，AB=250km，
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ABC是直角三角形且∠C=90°.
（2）解：海港 C会受影响，理由如下：
如图 1，过点 C作 CD⊥AB，交 AB于点 D，
由（1）得： ∠ACB=90°，
∵120<125，
∴海港 C会受影响
（3）解：在海港 C受台风影响之前，货轮能完成卸货，理由如下：
如图 2， 由（1）得： CD=120km，
设在海港 C开始受台风影响时，台风中心在 AB上的位置为 E，
则 CE=125km，
在 Rt△ADC 中，由勾股定理得：
在 Rt△CDE中，由勾股定理得：
∴AE=AD-DE=90-35=55（km)
由台风中心移动速度是 15km/h可得，从A到 E的时间为： （小时) ，
∴在海港 C受台风影响之前，货轮能完成卸货
【知识点】勾股定理的逆定理；勾股定理的实际应用-（台风、噪音、触礁、爆破）影响范围问题；等积变换
【解析】【分析】（1）利用勾股定理的逆定理证出△ABC是直角三角形且∠C=90°即可；
（2）过点 C作 CD⊥AB，交 AB于点 D，利用等积法求出CD的长，再比较大小即可；
（3）设在海港 C开始受台风影响时，台风中心在 AB上的位置为 E，先利用勾股定理求出AD和DE的长，再利用线段的和差求出AE的长，最后利用“时间=路程÷速度”求出从A到ED时间，再比较大小即可.
22．如图，在矩形 ABCD中， AB=8cm，BC=4cm.点 P从点 A 出发向点 B运动，运动到点 B 即停止；同时，点Q从点 C出发向点 D运动，运动到点 D 即停止，点 P，Q的运动速度都是 1cm/s，连接 PQ，PD，QB.设点 P，Q的运动时间为 ts.
（1）当 t为何值时，四边形 PQCB 是矩形
（2）当 t为何值时，四边形 BPDQ是菱形
【答案】（1）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD =BC =4cm，AB = DC =8cm，AB∥CD，∠C =90°，
∴BP∥CQ ，
当BP =CQ 时，四边形PQCB 是平行四边形，
∵∠C =90°，
∴平行四边形PQCB 是矩形，
∴此时t=8-t，
解得： t=4.
答：当t=4时，四边形PQCB 是矩形.
（2）解：∵BP = DQ =8-t，BP∥DQ ，
∴四边形BP DQ 是平行四边形，
当DP =BP 时，四边形BP DQ 为菱形.
设t秒后，DP =BP =8-t，四边形BPDQ 为菱形，
根据勾股定理得：
即
解得： t=3.
答：当t=3时，四边形BPDQ 是菱形.
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；菱形的性质；矩形的性质；四边形-动点问题
【解析】【分析】（1）先证出当BP =CQ时，四边形PQCB是平行四边形，再结合∠C =90°，可得平行四边形PQCB 是矩形，再利用矩形的性质可得t=8-t，最后求出t的值即可；
（2）设t秒后，DP =BP =8-t，四边形BPDQ 为菱形，利用勾股定理列出方程最后求出t的值即可.
23．阅读与应用
“数形结合”是一种重要的数学思想，通过数和形之间的对应关系和相互转化可以解决很多抽象的数学问题.同学们发现在正方形网格中，构造某些图形可以发现和解决一些数学问题.
如图，题目中的所有网格均是正方形网格，每个小正方形的边长均为 1，且点 O，A，B，C，D都在格点上.
（1） 如图 1， AB的长度为 ▲ ， 求△AOB的面积；
（2）如图 2，在正方形网格中构造△ABC，可以比较 与 的大小，其理由如下：因为在 中，点A，B，C都为小正方形的顶点 （构造图形)，所以 AB+BC >AC （三角形任意两边之和大于第三边).因为 （勾股定理) ， BC=1， 所以 请你参考例子中的方法，在图 3中构造图形，比较 与 的大小，并说明理由；
（3） 如图 4， 直接写出∠DAB+∠CAB的度数.
【答案】（1）解：（1）；
S△AOB＝9 ×1×3 ×1×2 ×2×3＝9 1.5 1 3＝3.5，
（2）解：构造△DEF，如图所示：
由勾股定理，得 在△DEF中， ∵DE+EF>DF，
（3）45°
【知识点】三角形的面积；勾股定理；等腰直角三角形；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【解答】（1）解：由题意得，AB＝．
（3）解：如图，作点C关于AB的对称点E，连接DE，AE，
∴∠CAB＝∠BAE．
由勾股定理得，AD＝DE＝，AE＝，
∴AD2＋DE2＝AE2．
∴△ADE是等腰直角三角形，且∠ADE＝90°．
∴∠DAE＝∠DEA＝45°．
∴∠DAB＋∠CAB＝∠DAE＝45°．
【分析】（1）根据勾股定理和三角形的面积公式即可得到结论；
（2）根据勾股定理和勾股定理的逆定理即可得到结论；
（3）如图，作点C关于AB的对称点E，连接DE，AE，根据勾股定理和勾股定理的逆定理即可得到结论．
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