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广东省深圳市坪山区2025-2026年九年级下学期数学二模试卷
1． 2026年-季度我国线下消费呈现稳健回升、结构优化的态势，一季度我国线下消费支付金额同比增长3.4%，但石油及制品同比下降9.7%。若用+3.4%表示增长3.4%，则“下降9.7%”可表示为（　　）
A．-9.7% B．+9.7% C．±9.7% D．↓9.7%
【答案】A
【知识点】用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解：用+3.4%表示增长3.4%，则“下降9.7%”可表示为-9.7%
故答案为：A
【分析】根据正负数表示具有相反意义的量即可求出答案.
2．中国华润大厦，因其独特的建筑造型而得名“春笋”——既似雨后破土、节节攀升的春笋，又如蓄势待发、线条凌厉的子弹头，成为深圳城市天际线中极具辨识度的标志。如图所示，“春笋”的主视图为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：由题意可得：
“春笋”的主视图为
故答案为：A
【分析】根据几何体的三视图即可求出答案.
3．中国华润大厦的总建筑面积约270000平方米，用科学记数法表示270000是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：270000用科学记数法表示为
故答案为：C
【分析】科学记数法是把一个数表示成a与10的n次幂相乘的形式.
4． 2026年春晚舞台上十二花神节日火速出圈，展现了四季轮转、生生不息、以花喻人的东方文化。其中十二花神依次亮相，分别对应：梅花、杏花、桃花、牡丹、石榴、荷花、蜀葵、桂花、菊花、芙蓉、山茶、水仙。主持人随机从中抽取1位花神进行互动采访，抽到“梅花”花神的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：由题意可得：
抽到“梅花”花神的概率是
故答案为：A
【分析】根据概率公式即可求出答案.
5．如图，已知的A、B、C、D四个点均在格点上，则sinA的值是（　　）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【知识点】求特殊角的三角函数值；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：过点B作BM⊥AD于点M
由图可得，BM=5，AM=5
∴△ABM为等腰直角三角形
∴∠A=45°
∴
故答案为：D
【分析】过点B作BM⊥AD于点M，根据等腰直角三角形判定定理可得△ABM为等腰直角三角形，则∠A=45°，再根据特殊角的三角函数值即可求出答案.
6．我国古代数学古典名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳兀尺干寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何 ”其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量，木条还剩余1尺：问长木多少尺 如果设木条长为x尺，绳子长为y尺，则下面所列方程组正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设木条长为x尺，绳子长为y尺
由题意可得：
故答案为：B
【分析】设木条长为x尺，绳子长为y尺，根据题意建立方程组即可求出答案.
7．如图，PA，PB分别切⊙O于点为A，B，若，的长为10π，则⊙O的半径为（　　）
A．10 B．15 C．20 D．30
【答案】B
【知识点】切线的性质；弧长的计算；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：连接OA，OB，设⊙O的半径为r
∵PA，PB分别切⊙O于点为A，B，
∴OA⊥PA，OB⊥PB
∵∠P=60°
∴∠AOB=360°-90°-90°-60°=120°
∵的长为10π
∴
解得：r=15
故答案为：B
【分析】连接OA，OB，设⊙O的半径为r，根据切线性质可得OA⊥PA，OB⊥PB，根据四边形内角和可得∠AOB，再根据弧长公式建立方程，解方程即可求出答案.
8．新定义：对于二次函数A和B，若A的顶点坐标在B的顶点坐标上方，则A是B的“仰顶函数”，例如：函数是函数-1“仰顶函数”。若无论m取任何实数，函数都是函数的“仰顶函数”，则n的取值范围（　　）
A．n<-2 B．n≤-2 C．n>2 D．n≥2
【答案】A
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：，即顶点坐标为(-2，2-n)
，即顶点坐标为(-m，-m2-4m)
∵无论m取任何实数，函数都是函数的“仰顶函数”，
∴2-n>-m2-4m，整理得：m2+4m+2>n
要使m2+4m+2>n对任意m恒成立，即m2+4m+2的最小值>n
令y=m2+4m+2=(m+2)2-2
∴当m=-2时，y的最小值为-2，即m2+4m+2的最小值为-2
∴n<-2
故答案为：A
【分析】将解析式转换为顶点式，求出顶点坐标，根据仰顶函数的定义可得2-n>-m2-4m，整理得：m2+4m+2>n，要使m2+4m+2>n对任意m恒成立，即m2+4m+2的最小值>n，结合二次函数的性质即可求出答案.
9．比较大小：3　 　（在>、<、≥、≤、=中选一个填空）。
【答案】>
【知识点】实数的大小比较
【解析】【解答】解：∵32=9，，9>8
∴3>
故答案为：>
【分析】各自平方，再比较大小即可求出答案.
10．如图，，且AB=3，则AC的长为　 　。
【答案】
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】∵
∴
∵AB=3
∴BC=
∴
故答案为：
【分析】根据平行线分线段成比例定理即可求出答案.
11．在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过第二、三、四象限，请您写出一个符合条件的一次函数表达式　 　。
【答案】y=-x-1
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】∵一次函数的图象经过第二、三、四象限
∴k<0，与y轴交于负半轴，即b<0
∴符合条件的一次函数表达式为y=-x-1
故答案为：y=-x-1
【分析】根据一次函数图象与系数的关系即可求出答案.
12．如图，过原点的直线和反比例函数相交于A、B，延长BA至C，使得点A是BC中点，过C作CD⊥x轴于D，CD交反比例函数第一象限图象于E，连接BE，若△CBE的面积为32，则k=　 　。
【答案】6
【知识点】三角形的面积；反比例函数图象上点的坐标特征；坐标系中的中点公式
【解析】【解答】设，则
∵A是BC的中点
∴
∵过C作CD⊥x轴于D，CD交反比例函数第一象限图象于E
∴点E的横坐标为3a
∴
∴
∵△CBE的面积为32
∴
解得：k=6
故答案为：6
【分析】设，则，根据线段中点可得，由题意可得点E的横坐标为3a，则，根据两点间距离可得CE，再根据三角形面积建立方程，解方程即可求出答案.
13．矩形ABCD中，E是对角线AC上一点，且F是BC上一点，若连接EF，过点E作EG⊥EF交DC的延长线于G，则=　 　。
【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】过点E作EN⊥BC于点N，过点G作GM⊥EN于点M，MN交AD于点P
设AE=x，则AC=5x
∵
∴AB=3x
∴
∵
∴
∵四边形ABCD为矩形
∴CD=AB=3x，∠BAD=∠B=∠ADC=∠BCD=90°，AD∥BC
∵∠B=∠BAP=∠PNB=90°
∴四边形ABNP为矩形
∴AP=BN，PN=AB=3x
∵AP∥CN
∴△APE∽△CNE
∴
∴
∵EN∥AB
∴
∴
∴
∴
∵∠MNC=∠NMG=∠NCG=90°
∴四边形MNCG为矩形
∴
∵EG⊥EF
∴∠MEG+∠NEF=90°
∵∠NEF+∠EFN=90°
∴∠MEG=∠EFN
∴Rt△MEG∽Rt△NFE
∴，即
解得：
∴
同理可得四边形DGMP为矩形
∴
∴
故答案为：
【分析】过点E作EN⊥BC于点N，过点G作GM⊥EN于点M，MN交AD于点P，设AE=x，则AC=5x，根据边之间的关系可得AB，根据勾股定理可得BC，根据边之间的关系可得BF，CF，根据矩形性质可得CD=AB=3x，∠BAD=∠B=∠ADC=∠BCD=90°，AD∥BC，根据矩形判定定理可得四边形ABNP为矩形，则AP=BN，PN=AB=3x，根据相似三角形判定定理可得△APE∽△CNE，则，根据边之间的关系可得PE，EN，根据平行线分线段成比例定理可得，再根据边之间的关系可得BN，NF，根据矩形判定定理可得四边形MNCG为矩形，则，根据角之间的关系可得∠MEG=∠EFN，根据相似三角形判定定理可得Rt△MEG∽Rt△NFE，则，代值计算可得ME，根据边之间的关系可得MP，同理可得四边形DGMP为矩形，则，再根据边之间的关系即可求出答案.
14．
（1）解方程：x（x-3）=0
（2）计算：
【答案】（1）x（x-3）=0
解：x=0，或者x-3=0
（2）解：原式
【知识点】零指数幂；因式分解法解一元二次方程；求特殊角的三角函数值；实数的绝对值；求算术平方根
【解析】【分析】（1）根据因式分解法解方程即可求出答案.
（2）根据算术平方根，绝对值性质，0指数幂，特殊角的三角函数值化简，再计算加减即可求出答案.
15．在化简时，两位同学分别写出如下第一步运算步骤：
小深：原式
小圳：原式
（1）小深解法第一步的依据是　 　，小圳解法第一步的依据是　 　.
A.等式的基本性质 B.分式的基本性质 C.乘法结合律 D.乘法分配律
（2）请你从小深和小圳的两种解法中选择一种解法，接着写出完整的解答过程，并从“3，-3，1，-1”中选一个合适的数作为x的值，代入求该分式的值.
【答案】（1）B；D
（2）小深：
解：原式
∵x≠3，-3，-1
∴x=1
原式
小圳：
解：原式
∵x≠3，-3，-1
∴x=1
原式
【知识点】平方差公式及应用；分式有无意义的条件；分式的混合运算；分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】（1）根据分式的性质，结合运算法则即可求出答案.
（2）根据分式的混合运算，结合平方差公式化简，结合分式有意义的条件择值计算即可求出答案.
16．在2026年世界互联网大会亚太峰会的影响下，某校组织八、九年级开展“数智赋能创新发展”主题宣传活动。老师从八、九两个年级中各抽取20名学生的“网络安全与数字素养”测试成绩进行整理，成绩分为A、B、C、D四个等级，其中90分及以上为优秀，并获评“数智赋能先锋个人”。
【数据整理】抽取学生的成绩分为如下四个等级：
等级 A B C D
成绩 95≤x≤100 90≤x<95 85≤x<90 x<85
八年级B、C等级同学的成绩分别为：86，88，89，89，92，92，93，94，94；九年级C等级同学的成绩分别为：89，89，88，88，88，88，87，86。
【数据分析】八、九年级抽取学生的测试成绩统计表如表：
年级 平均数 中位数 众数 优秀率
八年级 88 a 95 40%
九年级 88 88 88 35%
【回答问题】
（1）扇形图中n= ▲ ，表格中a= ▲ ，并补全条形统计图：
（2）若该校八年级学生有640人，九年级学生有520人，请估算该校八九年级获评“数智赋能先锋个人”的学生共有多少人
（3）某小组四位同学的测试成绩等级分别是A、B、C、D，准备从中抽取两人参加宣讲活动，求两人恰好抽到“C”和“D”等级同学的概率。
【答案】（1）n=40，a=88.5；
D等级的学生有：20-3-5-4=8人，补全图形如下：
（2）解：八年级：640×40%=256（人）
九年级：640×35%=182（人）
该校八九年级获评“数智赋能先锋个人”的学生共有256+182=438人。
（3）解：列表如下：
A B C D
A 　 （A，B） （C，C） （A，D）
B （B，A） 　 （B，C） （B，D）
C （C，A） （C，B） 　 （C，D）
D （D，A） （D，B） （D，C） 　
一共有12种等可能结果，恰好抽到“C”和“D”等级同学有2种结果，P（恰好抽到“C”和“D”等级同学）
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）由题意可得：
，即n=40
八年级测试成绩中，处在最中间的两个数为88，89
∴
故答案为：40；88.5
【分析】（1）根据C等级的人数除以总人数可得n值，再根据中位数定义可得a值，求出D等积的人数，补全图形即可.
（2）根据640乘以对应占比即可求出答案.
（3）列出表格，求出所有等可能的结果，再求出恰好抽到“C”和“D”等级同学的结果，再根据概率公式即可求出答案.
17．如图1所示：△ABC中，，以AB为直径画⊙O交AC于D
（1）求tan∠C；
（2）过点C作CE∥AB，利用圆规和无刻度直尺在图2作⊙O切线BF交CE于F，保留作图痕迹，不用写出作法和理由；
（3）在（2）的基础上，连接AF，交⊙O于点G，若CD=2，求AG的长。
【答案】（1）解：∵AB是⊙O直径
∴∠ADB=90°
∴在Rt△ADB中，
∴设BD=4x，AD=3x
.
∴AB=AC=5x
∴DC=AC-AD=5x-3x=2x
∴在Rt△CDB中，
（2）∴直线BF即为所求（或写直线BF是⊙O的切线）
（3）解：连BG，
由（1）可得CD=2x=2
∴x=1
∴BD=4x=4，AD=3x=3，AB=5x=5
∵AB∥CE
∴∠ABC=∠BCE
∵AB=AC
∴∠ACB=∠ABC
∴∠ACB=∠BCE
∴BC平分∠DCE
∵BF是⊙O的切线
∴FB⊥AB
∴∠ABF=90°
∴∠CFB=180°-∠ABF=90°
∴BF⊥CF
∵BD⊥AC
∴BF=BD=4
∴在Rt△ABF中，
∵AB是⊙O直径
∴∠AGB=90°
【知识点】勾股定理；切线的性质；解直角三角形；角平分线的判定；尺规作图-过圆外一点作圆的切线
【解析】【分析】（1）根据圆周角定理的逆定理可得∠ADB=90°，根据正切定义设BD=4x，AD=3x，根据勾股定理可得AB，根据边之间的关系可得DC，再根据正切定义即可求出答案.
（2）根据切线定义作图即可.
（3）连BG，由（1）可得CD=2x=2，则x=1，即BD=4x=4，AD=3x=3，AB=5x=5，根据直线平行性质可得∠ABC=∠BCE，根据等边对等角可得∠ACB=∠ABC，则∠ACB=∠BCE，根据角平分线判定定理可得BC平分∠DCE，根据切线性质可得FB⊥AB，根据补角角之间的关系可得BF⊥CF，根据勾股定理可得AF，再根据圆周角定理的推论可得∠AGB，再根据余弦定义建立方程，解方程即可求出答案.
18．为了共建安全有序的城市交通环境，深圳市全面推行骑行电动车佩戴安全头盔的管理规定。某商店准备进购甲、乙两种型号的头盔，已知一个甲种头盔进价比一个乙种头盔贵15元，用180元购进甲种头盔的数量与用120元购进乙种头盔的数量相同。
（1）求甲、乙两种型号头盔的进货单价；
（2）调查发现：某商家甲种头盔售价为60元/个，若每降价1元，销量可增加10个。设甲种头盔降价t元，销售量为（100+10t）个，甲种头盔总利润为y元。
①则y与t的函数关系式为 ▲ ；
②当降价多少元时，甲种头盔总利润最大 最大利润是多少
【答案】（1）解：设乙种头盔进价单价为x元/个，则甲种头盔的进货单价是（x+15）元/个
由题意可得：
解得x=30，经检验x=30是原方程的解
∴甲种头盔进货单价为30+15=45元/个，乙种头盔进货单价为30元/个。
答：甲种头盔进货单价为30+15=45元/个，乙种头盔进货单价为30元/个。
（2）①
②
∵a<0，∴当时，元
答：当降价元时，甲种头盔总利润最大是元。
【知识点】二次函数的最值；二次函数的实际应用-销售问题；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：（2）①由题意可得：
y=(15-t)(100+10t)
故答案为：
【分析】（1）设乙种头盔进价单价为x元/个，则甲种头盔的进货单价是（x+15）元/个，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（2）①根据题意建立函数关系式即可.
②根据二次函数性质即可求出答案.
19．【综合实践】
【背景】日常出行离不开公共交通，面对公共交通种类日益丰富，乘坐公交车的人逐渐减少，公交车运营面临亏损，某校数学小组调查了某公交车线路的运营情况。
【材料一】图（a）是某公共汽车线路的收支差额y（票价总收入减去运营成本）与乘客量x的函数图象，该路线的票价为2元/人。
【材料二】为了扭亏有关部门举行提高票价的听证会。
乘客代表认为：公交公司应节约能源，改善管理，降低运营成本，从而实现扭亏。
公交公司认为：运营成本难以下降，公司已经尽力，每张票需提高票价才能扭亏。
根据两种意见，可以把图（a）分别改画成图（b）和图（c）。
【问题解决】
（1）根据图中信息填空：
①写出图（a）的函数解析式：=　 　；
②由图（a）可知，乘客量达到　 　万人时，该公交路线才不会亏损，公交公司的运营成本是　 　万元；
③你认为上述三个图象中，反映乘客代表意见的是图　 　。
（2）若同时采用乘客代表（成本降低m万元，0<1）和公交公司（票价提高n元，n>0）的方案.设收支平衡时（即公交公司的票价总收入=公交公司的运营成本）的乘客量为x0（万人），则m，n，x0满足的的数量关系为　 　。
（3）若x0与n满足函数关系且当n=0.5时，x0=0.2；当n=2时，x0=0.5①求a、b的值；
②在（2）的方案下，当时，则m的取值范围是 ▲ 。
【答案】（1）y=2x-1；0.5；1；c
（2）
（3）解：，且当n=0.5时，x0=0.2；当n=2时，x0=0.5
∴代入得
解得；
②
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的其他应用
【解析】【解答】解：设函数解析式为y=kx+b
由图可得，图象经过点(0.5，0)和(0，-1)
代入解析式可得：，解得：
∴函数解析式为y=2x-1
故答案为：y=2x-1
②由图象可得，当x≥0.5时，y>0，即乘客量达到0.5万人时，该公交路线才不会亏损，公交公司的运营成本是1万元
故答案为：0.5；1
③由图可得，图(b)的运营成本不变，则为公交公司认为
图(c)的运营成本降低，则为乘客代表认为
故答案为：c
（2）由题意可得，此时的成本为1-m，票价为2+n
∴
故答案为：
（3）②由（2）可得
∵
∴n=1-m
∴
由题意可得，1∴3-m>0
∴，即
∴
∵m>0
∴
故答案为：
【分析】（1）设函数解析式为y=kx+b，由图可得，图象经过点(0.5，0)和(0，-1)，根据待定系数法代入解析式即可求出答案.
②根据函数图象信息即可求出答案.
③根据函数图象信息即可求出答案.
（2）由题意可得，此时的成本为1-m，票价为2+n，根据公交公司的票价总收入=公交公司的运营成本建立等式即可求出答案.
（3）①将当n=0.5时，x0=0.2；当n=2时，x0=0.5，代入解析式即可求出答案.
②由（2）可得，则n=1-m，即，由题意可得，10，建立不等式，解不等式即可求出答案.
20．【问题情境】数学兴趣小组以矩形纸片ABCD为基本图形，探索几何图形折叠变化中的数学问题，其中AB=15，AD=20。
（1）【特例探究】如图1：小坪对矩形ABCD进行折叠，使得C和A重合，折痕分别交AD和BC于E、F，点D的对应点是D'，连接AC。
①根据轴对称性质：
∵对应点的连线被对称轴垂直且平分
∴EF是 ▲ 的垂直平分线
②请探究BF和DE的数量关系，并说明理由。
（2）【拓展延伸】
①如图2：小山沿着过点B的直线折叠，使得点C的对应点C'恰好在CA的延长线上，折痕交AD于M，点D的对应点为D'，求线段AC'的长。
②小深沿着与图2中BM平行的直线折叠矩形ABCD，折痕分别交AM、AB于P、Q，点C和点D的对应点分别是C'和D'。
请你借助图3进行分析，当△AC'D'是等腰三角形时，直接写出折痕PQ的长度。
【答案】（1）解：①AC
②∵四边形ABCD是矩形
∴∠D=∠B=∠DCF=∠DAB=90°，AB=CD
∵沿EF折叠后C与A重合
∴DE=D'E，D'A=DC=AB；∠D=∠D'=∠B=90°；∠DCF=∠D'AF=90°
∴∠1+∠EAF=∠2+∠EAF=90°
∴∠1=∠2
∴△D'AE≌△BAF（ASA）
∴DE=D'E=BF
（2）解：①∵AB=15，AD=BC=20
∴
∵∠ACB+∠CBN=∠ABN+∠CBN=90°
∴∠ACB=∠ABN
∴，即
∴AN=9，CN=AC-AN=16
由折叠性质可得C'N=CN=16
∴AC'=C'N-AN=7
②或或
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：（2）②因为翻折前后两个图形关于PQ对称，因此可以看作是点A沿PQ折叠对应点A'落在CA上，△A'DC为等腰三角形，分以下三种情况讨论：
当A'D=A'C时，作A'E⊥CD于点E
∴，此时A'为AC中点
∴
PQ∥BM，且BM⊥AC
∴△APQ∽△AMB
∴
∵
∵
∴
∴
∴
当A'D=CD时，作DE⊥AC于点E，则
∴A'C=2CE=18
∴
同理可得
∴
当A'C=DC=15时，则
同理可得
综上所述，PQ的长度为或或
【分析】（1）①根据折叠性质即可求出答案.
②根据矩形性质可得∠D=∠B=∠DCF=∠DAB=90°，AB=CD，根据折叠性质可得DE=D'E，D'A=DC=AB；∠D=∠D'=∠B=90°；∠DCF=∠D'AF=90°，根据角之间的关系可得∠1=∠2，再根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案.
（3）①根据勾股定理可得AC，根据角之间的关系可得∠ACB=∠ABN，根据正弦定义可得，即，代值计算可得AN，根据边之间的关系可得CN，再根据折叠性质，结合边之间的关系即可求出答案.
②根据等腰三角形性质分类讨论：当A'D=A'C时，作A'E⊥CD于点E，则，此时A'为AC中点，根据线段中点可得A'C，根据相似三角形判定定理可得△APQ∽△AMB，则，解直角三角形即可求出答案；当A'D=CD时，作DE⊥AC于点E，则，根据边之间的关系即可求出答案；当A'C=DC=15时，则，根据边之间的关系即可求出答案.
1 / 1广东省深圳市坪山区2025-2026年九年级下学期数学二模试卷
1． 2026年-季度我国线下消费呈现稳健回升、结构优化的态势，一季度我国线下消费支付金额同比增长3.4%，但石油及制品同比下降9.7%。若用+3.4%表示增长3.4%，则“下降9.7%”可表示为（　　）
A．-9.7% B．+9.7% C．±9.7% D．↓9.7%
2．中国华润大厦，因其独特的建筑造型而得名“春笋”——既似雨后破土、节节攀升的春笋，又如蓄势待发、线条凌厉的子弹头，成为深圳城市天际线中极具辨识度的标志。如图所示，“春笋”的主视图为（　　）
A． B． C． D．
3．中国华润大厦的总建筑面积约270000平方米，用科学记数法表示270000是（　　）
A． B． C． D．
4． 2026年春晚舞台上十二花神节日火速出圈，展现了四季轮转、生生不息、以花喻人的东方文化。其中十二花神依次亮相，分别对应：梅花、杏花、桃花、牡丹、石榴、荷花、蜀葵、桂花、菊花、芙蓉、山茶、水仙。主持人随机从中抽取1位花神进行互动采访，抽到“梅花”花神的概率是（　　）
A． B． C． D．
5．如图，已知的A、B、C、D四个点均在格点上，则sinA的值是（　　）
A．1 B． C． D．
6．我国古代数学古典名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳兀尺干寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何 ”其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量，木条还剩余1尺：问长木多少尺 如果设木条长为x尺，绳子长为y尺，则下面所列方程组正确的是（　　）
A． B．
C． D．
7．如图，PA，PB分别切⊙O于点为A，B，若，的长为10π，则⊙O的半径为（　　）
A．10 B．15 C．20 D．30
8．新定义：对于二次函数A和B，若A的顶点坐标在B的顶点坐标上方，则A是B的“仰顶函数”，例如：函数是函数-1“仰顶函数”。若无论m取任何实数，函数都是函数的“仰顶函数”，则n的取值范围（　　）
A．n<-2 B．n≤-2 C．n>2 D．n≥2
9．比较大小：3　 　（在>、<、≥、≤、=中选一个填空）。
10．如图，，且AB=3，则AC的长为　 　。
11．在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过第二、三、四象限，请您写出一个符合条件的一次函数表达式　 　。
12．如图，过原点的直线和反比例函数相交于A、B，延长BA至C，使得点A是BC中点，过C作CD⊥x轴于D，CD交反比例函数第一象限图象于E，连接BE，若△CBE的面积为32，则k=　 　。
13．矩形ABCD中，E是对角线AC上一点，且F是BC上一点，若连接EF，过点E作EG⊥EF交DC的延长线于G，则=　 　。
14．
（1）解方程：x（x-3）=0
（2）计算：
15．在化简时，两位同学分别写出如下第一步运算步骤：
小深：原式
小圳：原式
（1）小深解法第一步的依据是　 　，小圳解法第一步的依据是　 　.
A.等式的基本性质 B.分式的基本性质 C.乘法结合律 D.乘法分配律
（2）请你从小深和小圳的两种解法中选择一种解法，接着写出完整的解答过程，并从“3，-3，1，-1”中选一个合适的数作为x的值，代入求该分式的值.
16．在2026年世界互联网大会亚太峰会的影响下，某校组织八、九年级开展“数智赋能创新发展”主题宣传活动。老师从八、九两个年级中各抽取20名学生的“网络安全与数字素养”测试成绩进行整理，成绩分为A、B、C、D四个等级，其中90分及以上为优秀，并获评“数智赋能先锋个人”。
【数据整理】抽取学生的成绩分为如下四个等级：
等级 A B C D
成绩 95≤x≤100 90≤x<95 85≤x<90 x<85
八年级B、C等级同学的成绩分别为：86，88，89，89，92，92，93，94，94；九年级C等级同学的成绩分别为：89，89，88，88，88，88，87，86。
【数据分析】八、九年级抽取学生的测试成绩统计表如表：
年级 平均数 中位数 众数 优秀率
八年级 88 a 95 40%
九年级 88 88 88 35%
【回答问题】
（1）扇形图中n= ▲ ，表格中a= ▲ ，并补全条形统计图：
（2）若该校八年级学生有640人，九年级学生有520人，请估算该校八九年级获评“数智赋能先锋个人”的学生共有多少人
（3）某小组四位同学的测试成绩等级分别是A、B、C、D，准备从中抽取两人参加宣讲活动，求两人恰好抽到“C”和“D”等级同学的概率。
17．如图1所示：△ABC中，，以AB为直径画⊙O交AC于D
（1）求tan∠C；
（2）过点C作CE∥AB，利用圆规和无刻度直尺在图2作⊙O切线BF交CE于F，保留作图痕迹，不用写出作法和理由；
（3）在（2）的基础上，连接AF，交⊙O于点G，若CD=2，求AG的长。
18．为了共建安全有序的城市交通环境，深圳市全面推行骑行电动车佩戴安全头盔的管理规定。某商店准备进购甲、乙两种型号的头盔，已知一个甲种头盔进价比一个乙种头盔贵15元，用180元购进甲种头盔的数量与用120元购进乙种头盔的数量相同。
（1）求甲、乙两种型号头盔的进货单价；
（2）调查发现：某商家甲种头盔售价为60元/个，若每降价1元，销量可增加10个。设甲种头盔降价t元，销售量为（100+10t）个，甲种头盔总利润为y元。
①则y与t的函数关系式为 ▲ ；
②当降价多少元时，甲种头盔总利润最大 最大利润是多少
19．【综合实践】
【背景】日常出行离不开公共交通，面对公共交通种类日益丰富，乘坐公交车的人逐渐减少，公交车运营面临亏损，某校数学小组调查了某公交车线路的运营情况。
【材料一】图（a）是某公共汽车线路的收支差额y（票价总收入减去运营成本）与乘客量x的函数图象，该路线的票价为2元/人。
【材料二】为了扭亏有关部门举行提高票价的听证会。
乘客代表认为：公交公司应节约能源，改善管理，降低运营成本，从而实现扭亏。
公交公司认为：运营成本难以下降，公司已经尽力，每张票需提高票价才能扭亏。
根据两种意见，可以把图（a）分别改画成图（b）和图（c）。
【问题解决】
（1）根据图中信息填空：
①写出图（a）的函数解析式：=　 　；
②由图（a）可知，乘客量达到　 　万人时，该公交路线才不会亏损，公交公司的运营成本是　 　万元；
③你认为上述三个图象中，反映乘客代表意见的是图　 　。
（2）若同时采用乘客代表（成本降低m万元，0<1）和公交公司（票价提高n元，n>0）的方案.设收支平衡时（即公交公司的票价总收入=公交公司的运营成本）的乘客量为x0（万人），则m，n，x0满足的的数量关系为　 　。
（3）若x0与n满足函数关系且当n=0.5时，x0=0.2；当n=2时，x0=0.5①求a、b的值；
②在（2）的方案下，当时，则m的取值范围是 ▲ 。
20．【问题情境】数学兴趣小组以矩形纸片ABCD为基本图形，探索几何图形折叠变化中的数学问题，其中AB=15，AD=20。
（1）【特例探究】如图1：小坪对矩形ABCD进行折叠，使得C和A重合，折痕分别交AD和BC于E、F，点D的对应点是D'，连接AC。
①根据轴对称性质：
∵对应点的连线被对称轴垂直且平分
∴EF是 ▲ 的垂直平分线
②请探究BF和DE的数量关系，并说明理由。
（2）【拓展延伸】
①如图2：小山沿着过点B的直线折叠，使得点C的对应点C'恰好在CA的延长线上，折痕交AD于M，点D的对应点为D'，求线段AC'的长。
②小深沿着与图2中BM平行的直线折叠矩形ABCD，折痕分别交AM、AB于P、Q，点C和点D的对应点分别是C'和D'。
请你借助图3进行分析，当△AC'D'是等腰三角形时，直接写出折痕PQ的长度。
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解：用+3.4%表示增长3.4%，则“下降9.7%”可表示为-9.7%
故答案为：A
【分析】根据正负数表示具有相反意义的量即可求出答案.
2．【答案】A
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：由题意可得：
“春笋”的主视图为
故答案为：A
【分析】根据几何体的三视图即可求出答案.
3．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：270000用科学记数法表示为
故答案为：C
【分析】科学记数法是把一个数表示成a与10的n次幂相乘的形式.
4．【答案】A
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：由题意可得：
抽到“梅花”花神的概率是
故答案为：A
【分析】根据概率公式即可求出答案.
5．【答案】D
【知识点】求特殊角的三角函数值；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：过点B作BM⊥AD于点M
由图可得，BM=5，AM=5
∴△ABM为等腰直角三角形
∴∠A=45°
∴
故答案为：D
【分析】过点B作BM⊥AD于点M，根据等腰直角三角形判定定理可得△ABM为等腰直角三角形，则∠A=45°，再根据特殊角的三角函数值即可求出答案.
6．【答案】B
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设木条长为x尺，绳子长为y尺
由题意可得：
故答案为：B
【分析】设木条长为x尺，绳子长为y尺，根据题意建立方程组即可求出答案.
7．【答案】B
【知识点】切线的性质；弧长的计算；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：连接OA，OB，设⊙O的半径为r
∵PA，PB分别切⊙O于点为A，B，
∴OA⊥PA，OB⊥PB
∵∠P=60°
∴∠AOB=360°-90°-90°-60°=120°
∵的长为10π
∴
解得：r=15
故答案为：B
【分析】连接OA，OB，设⊙O的半径为r，根据切线性质可得OA⊥PA，OB⊥PB，根据四边形内角和可得∠AOB，再根据弧长公式建立方程，解方程即可求出答案.
8．【答案】A
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：，即顶点坐标为(-2，2-n)
，即顶点坐标为(-m，-m2-4m)
∵无论m取任何实数，函数都是函数的“仰顶函数”，
∴2-n>-m2-4m，整理得：m2+4m+2>n
要使m2+4m+2>n对任意m恒成立，即m2+4m+2的最小值>n
令y=m2+4m+2=(m+2)2-2
∴当m=-2时，y的最小值为-2，即m2+4m+2的最小值为-2
∴n<-2
故答案为：A
【分析】将解析式转换为顶点式，求出顶点坐标，根据仰顶函数的定义可得2-n>-m2-4m，整理得：m2+4m+2>n，要使m2+4m+2>n对任意m恒成立，即m2+4m+2的最小值>n，结合二次函数的性质即可求出答案.
9．【答案】>
【知识点】实数的大小比较
【解析】【解答】解：∵32=9，，9>8
∴3>
故答案为：>
【分析】各自平方，再比较大小即可求出答案.
10．【答案】
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】∵
∴
∵AB=3
∴BC=
∴
故答案为：
【分析】根据平行线分线段成比例定理即可求出答案.
11．【答案】y=-x-1
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】∵一次函数的图象经过第二、三、四象限
∴k<0，与y轴交于负半轴，即b<0
∴符合条件的一次函数表达式为y=-x-1
故答案为：y=-x-1
【分析】根据一次函数图象与系数的关系即可求出答案.
12．【答案】6
【知识点】三角形的面积；反比例函数图象上点的坐标特征；坐标系中的中点公式
【解析】【解答】设，则
∵A是BC的中点
∴
∵过C作CD⊥x轴于D，CD交反比例函数第一象限图象于E
∴点E的横坐标为3a
∴
∴
∵△CBE的面积为32
∴
解得：k=6
故答案为：6
【分析】设，则，根据线段中点可得，由题意可得点E的横坐标为3a，则，根据两点间距离可得CE，再根据三角形面积建立方程，解方程即可求出答案.
13．【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】过点E作EN⊥BC于点N，过点G作GM⊥EN于点M，MN交AD于点P
设AE=x，则AC=5x
∵
∴AB=3x
∴
∵
∴
∵四边形ABCD为矩形
∴CD=AB=3x，∠BAD=∠B=∠ADC=∠BCD=90°，AD∥BC
∵∠B=∠BAP=∠PNB=90°
∴四边形ABNP为矩形
∴AP=BN，PN=AB=3x
∵AP∥CN
∴△APE∽△CNE
∴
∴
∵EN∥AB
∴
∴
∴
∴
∵∠MNC=∠NMG=∠NCG=90°
∴四边形MNCG为矩形
∴
∵EG⊥EF
∴∠MEG+∠NEF=90°
∵∠NEF+∠EFN=90°
∴∠MEG=∠EFN
∴Rt△MEG∽Rt△NFE
∴，即
解得：
∴
同理可得四边形DGMP为矩形
∴
∴
故答案为：
【分析】过点E作EN⊥BC于点N，过点G作GM⊥EN于点M，MN交AD于点P，设AE=x，则AC=5x，根据边之间的关系可得AB，根据勾股定理可得BC，根据边之间的关系可得BF，CF，根据矩形性质可得CD=AB=3x，∠BAD=∠B=∠ADC=∠BCD=90°，AD∥BC，根据矩形判定定理可得四边形ABNP为矩形，则AP=BN，PN=AB=3x，根据相似三角形判定定理可得△APE∽△CNE，则，根据边之间的关系可得PE，EN，根据平行线分线段成比例定理可得，再根据边之间的关系可得BN，NF，根据矩形判定定理可得四边形MNCG为矩形，则，根据角之间的关系可得∠MEG=∠EFN，根据相似三角形判定定理可得Rt△MEG∽Rt△NFE，则，代值计算可得ME，根据边之间的关系可得MP，同理可得四边形DGMP为矩形，则，再根据边之间的关系即可求出答案.
14．【答案】（1）x（x-3）=0
解：x=0，或者x-3=0
（2）解：原式
【知识点】零指数幂；因式分解法解一元二次方程；求特殊角的三角函数值；实数的绝对值；求算术平方根
【解析】【分析】（1）根据因式分解法解方程即可求出答案.
（2）根据算术平方根，绝对值性质，0指数幂，特殊角的三角函数值化简，再计算加减即可求出答案.
15．【答案】（1）B；D
（2）小深：
解：原式
∵x≠3，-3，-1
∴x=1
原式
小圳：
解：原式
∵x≠3，-3，-1
∴x=1
原式
【知识点】平方差公式及应用；分式有无意义的条件；分式的混合运算；分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】（1）根据分式的性质，结合运算法则即可求出答案.
（2）根据分式的混合运算，结合平方差公式化简，结合分式有意义的条件择值计算即可求出答案.
16．【答案】（1）n=40，a=88.5；
D等级的学生有：20-3-5-4=8人，补全图形如下：
（2）解：八年级：640×40%=256（人）
九年级：640×35%=182（人）
该校八九年级获评“数智赋能先锋个人”的学生共有256+182=438人。
（3）解：列表如下：
A B C D
A 　 （A，B） （C，C） （A，D）
B （B，A） 　 （B，C） （B，D）
C （C，A） （C，B） 　 （C，D）
D （D，A） （D，B） （D，C） 　
一共有12种等可能结果，恰好抽到“C”和“D”等级同学有2种结果，P（恰好抽到“C”和“D”等级同学）
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）由题意可得：
，即n=40
八年级测试成绩中，处在最中间的两个数为88，89
∴
故答案为：40；88.5
【分析】（1）根据C等级的人数除以总人数可得n值，再根据中位数定义可得a值，求出D等积的人数，补全图形即可.
（2）根据640乘以对应占比即可求出答案.
（3）列出表格，求出所有等可能的结果，再求出恰好抽到“C”和“D”等级同学的结果，再根据概率公式即可求出答案.
17．【答案】（1）解：∵AB是⊙O直径
∴∠ADB=90°
∴在Rt△ADB中，
∴设BD=4x，AD=3x
.
∴AB=AC=5x
∴DC=AC-AD=5x-3x=2x
∴在Rt△CDB中，
（2）∴直线BF即为所求（或写直线BF是⊙O的切线）
（3）解：连BG，
由（1）可得CD=2x=2
∴x=1
∴BD=4x=4，AD=3x=3，AB=5x=5
∵AB∥CE
∴∠ABC=∠BCE
∵AB=AC
∴∠ACB=∠ABC
∴∠ACB=∠BCE
∴BC平分∠DCE
∵BF是⊙O的切线
∴FB⊥AB
∴∠ABF=90°
∴∠CFB=180°-∠ABF=90°
∴BF⊥CF
∵BD⊥AC
∴BF=BD=4
∴在Rt△ABF中，
∵AB是⊙O直径
∴∠AGB=90°
【知识点】勾股定理；切线的性质；解直角三角形；角平分线的判定；尺规作图-过圆外一点作圆的切线
【解析】【分析】（1）根据圆周角定理的逆定理可得∠ADB=90°，根据正切定义设BD=4x，AD=3x，根据勾股定理可得AB，根据边之间的关系可得DC，再根据正切定义即可求出答案.
（2）根据切线定义作图即可.
（3）连BG，由（1）可得CD=2x=2，则x=1，即BD=4x=4，AD=3x=3，AB=5x=5，根据直线平行性质可得∠ABC=∠BCE，根据等边对等角可得∠ACB=∠ABC，则∠ACB=∠BCE，根据角平分线判定定理可得BC平分∠DCE，根据切线性质可得FB⊥AB，根据补角角之间的关系可得BF⊥CF，根据勾股定理可得AF，再根据圆周角定理的推论可得∠AGB，再根据余弦定义建立方程，解方程即可求出答案.
18．【答案】（1）解：设乙种头盔进价单价为x元/个，则甲种头盔的进货单价是（x+15）元/个
由题意可得：
解得x=30，经检验x=30是原方程的解
∴甲种头盔进货单价为30+15=45元/个，乙种头盔进货单价为30元/个。
答：甲种头盔进货单价为30+15=45元/个，乙种头盔进货单价为30元/个。
（2）①
②
∵a<0，∴当时，元
答：当降价元时，甲种头盔总利润最大是元。
【知识点】二次函数的最值；二次函数的实际应用-销售问题；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：（2）①由题意可得：
y=(15-t)(100+10t)
故答案为：
【分析】（1）设乙种头盔进价单价为x元/个，则甲种头盔的进货单价是（x+15）元/个，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（2）①根据题意建立函数关系式即可.
②根据二次函数性质即可求出答案.
19．【答案】（1）y=2x-1；0.5；1；c
（2）
（3）解：，且当n=0.5时，x0=0.2；当n=2时，x0=0.5
∴代入得
解得；
②
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的其他应用
【解析】【解答】解：设函数解析式为y=kx+b
由图可得，图象经过点(0.5，0)和(0，-1)
代入解析式可得：，解得：
∴函数解析式为y=2x-1
故答案为：y=2x-1
②由图象可得，当x≥0.5时，y>0，即乘客量达到0.5万人时，该公交路线才不会亏损，公交公司的运营成本是1万元
故答案为：0.5；1
③由图可得，图(b)的运营成本不变，则为公交公司认为
图(c)的运营成本降低，则为乘客代表认为
故答案为：c
（2）由题意可得，此时的成本为1-m，票价为2+n
∴
故答案为：
（3）②由（2）可得
∵
∴n=1-m
∴
由题意可得，1∴3-m>0
∴，即
∴
∵m>0
∴
故答案为：
【分析】（1）设函数解析式为y=kx+b，由图可得，图象经过点(0.5，0)和(0，-1)，根据待定系数法代入解析式即可求出答案.
②根据函数图象信息即可求出答案.
③根据函数图象信息即可求出答案.
（2）由题意可得，此时的成本为1-m，票价为2+n，根据公交公司的票价总收入=公交公司的运营成本建立等式即可求出答案.
（3）①将当n=0.5时，x0=0.2；当n=2时，x0=0.5，代入解析式即可求出答案.
②由（2）可得，则n=1-m，即，由题意可得，10，建立不等式，解不等式即可求出答案.
20．【答案】（1）解：①AC
②∵四边形ABCD是矩形
∴∠D=∠B=∠DCF=∠DAB=90°，AB=CD
∵沿EF折叠后C与A重合
∴DE=D'E，D'A=DC=AB；∠D=∠D'=∠B=90°；∠DCF=∠D'AF=90°
∴∠1+∠EAF=∠2+∠EAF=90°
∴∠1=∠2
∴△D'AE≌△BAF（ASA）
∴DE=D'E=BF
（2）解：①∵AB=15，AD=BC=20
∴
∵∠ACB+∠CBN=∠ABN+∠CBN=90°
∴∠ACB=∠ABN
∴，即
∴AN=9，CN=AC-AN=16
由折叠性质可得C'N=CN=16
∴AC'=C'N-AN=7
②或或
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：（2）②因为翻折前后两个图形关于PQ对称，因此可以看作是点A沿PQ折叠对应点A'落在CA上，△A'DC为等腰三角形，分以下三种情况讨论：
当A'D=A'C时，作A'E⊥CD于点E
∴，此时A'为AC中点
∴
PQ∥BM，且BM⊥AC
∴△APQ∽△AMB
∴
∵
∵
∴
∴
∴
当A'D=CD时，作DE⊥AC于点E，则
∴A'C=2CE=18
∴
同理可得
∴
当A'C=DC=15时，则
同理可得
综上所述，PQ的长度为或或
【分析】（1）①根据折叠性质即可求出答案.
②根据矩形性质可得∠D=∠B=∠DCF=∠DAB=90°，AB=CD，根据折叠性质可得DE=D'E，D'A=DC=AB；∠D=∠D'=∠B=90°；∠DCF=∠D'AF=90°，根据角之间的关系可得∠1=∠2，再根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案.
（3）①根据勾股定理可得AC，根据角之间的关系可得∠ACB=∠ABN，根据正弦定义可得，即，代值计算可得AN，根据边之间的关系可得CN，再根据折叠性质，结合边之间的关系即可求出答案.
②根据等腰三角形性质分类讨论：当A'D=A'C时，作A'E⊥CD于点E，则，此时A'为AC中点，根据线段中点可得A'C，根据相似三角形判定定理可得△APQ∽△AMB，则，解直角三角形即可求出答案；当A'D=CD时，作DE⊥AC于点E，则，根据边之间的关系即可求出答案；当A'C=DC=15时，则，根据边之间的关系即可求出答案.
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