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2026年全国I卷高考数学模拟预测一
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．若复数，则的共轭复数的虚部为（ ）
A． B． C．3 D．
2．已知,，则
A． B． C． D．
3．已知双曲线的一条渐近线方程是，则的离心率是（ ）
A． B． C．5 D．
4．函数图象的对称中心可能是( )
A． B． C． D．
5．已知是定义域为的奇函数，满足．若，则（ ）
A．13 B．0 C． D．1
6．已知平面向量，，且，则实数m的值为
A． B． C． D．
7．“陶辛水韵”于1999年被评为芜湖市新十景之一，每年入夏后，千亩水面莲叶接天，荷花映日，吸引远道游客纷至沓来，坐上游船穿过一座座圆拱桥，可以直达“香湖岛”赏荷．圆拱的水面跨度20米，拱高约5米．现有一船，水面以上高3米，欲通过圆拱桥，船宽最长约为（ ）
A．12米 B．13米 C．14米 D．15米
8．已知，，且，则（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是，下列说法中正确的是（ ）
A． B．向量与的夹角是60°
C．平面 D．直线与AC所成角的余弦值为
10．已知抛物线的焦点到准线的距离为2，则下列说法正确的是（ ）
A．过点恰有2条直线与抛物线有且只有一个公共点
B．若为上的动点，则的最小值为4
C．直线与抛物线相交所得弦长为8
D．抛物线与圆交于两点，则
11．若，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．曲线在处的切线的倾斜角为，则______．
13．设等比数列的前n项和为，若，则___________．
14．如图，要用个元件组成一个电路系统，当且仅当从到的电路为通路状态时，系统正常工作.已知每个元件正常工作的概率为，在电路系统正常工作的条件下，记此时系统中损坏的元件个数为，则__________.
四、解答题：本题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（13分）口袋中装有除颜色，编号不同外，其余完全相同的2个红球，4个黑球，现从中同时取出3个球．
（1）求恰有两个黑球的概率；
（2）记取出红球的个数为随机变量，求的分布列和数学期望．
16．（15分）随着互联网高速发展，传统的线下赌博也呈现出逐渐发展到线上的趋势，搭上互联网便车的新型赌博模式，其危害性和隐蔽性比起传统赌博模式有过之而无不及，其迷惑性更大，传播范围更广，线上赌博的特点往往是披着“公平游戏”的外衣，利用人性的贪婪最终赌徒输光了一切，如何认识“久赌无赢，赌徒输光”的现象？概率知识给你一双慧眼！有一种掷骰子走跳棋的线上“游戏”：棋盘上标有第0站、第1站、第2站、…第站……，规定玩家本金为元时，棋子的初始位置在第站，且掷骰子每局赢的概率为，输的概率也；玩家赢一局，棋子向前跳一站，输了则向后跳一站.若棋子在第0站则游戏结束：若棋子不在第0站而玩家要终止游戏，则棋子在第站，玩家可得到元.现有某玩家想要赢得含本金的元（且）时停止游戏，设此玩家手头拥有（，且）元时，输光的概率为.
（1）求，；
（2）证明：为等差数列；
（3）求此玩家本金为100元时，想要赢得含本金的1000元的概率？并试用概率知识来解释“即使是公平的游戏，赌徒最终会输光本金”.
17．（15分）如图，在多面体中，四边形为直角梯形，，，，，四边形为矩形．
(1)求证：平面平面ABCD；
(2)线段MN上是否存在点H，使得二面角的余弦值为？若不存在，请说明理由．若存在，确定点H的位置．
18．（17分）已知椭圆 的左右顶点为A ，A ， 左右焦点为F ，F ，过F ，F 分别作两条互相平行的直线l ，l ，其中l 交E于A，B两点， l 交E于C，D两点， 且点A，C位于x轴同侧， 直线A C与A A交于点P. 当l 与x轴垂直时，△PF F 是面积为1的等腰直角三角形.
(1)求椭圆E的方程;
(2)若直线A C与直线A A的斜率之和为1， 求直线l ，l 的方程;
(3)求 的取值范围.
19．（17分）设函数．
(1)求在上的值域．
(2)设关于的方程有两个不相等的根，．
（i）证明：．
（ii）证明：．
2026年全国I卷高考数学模拟预测一（解析版）
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．若复数，则的共轭复数的虚部为（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】D
【分析】根据复数的共轭复数的概念和复数虚部的概念即可解答.
【详解】，其虚部为.
故选：D.
2．已知,，则
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】先求得集合的元素，由此求得补集.
【详解】依题意，所以，故，故选C.
【点睛】本小题主要考查集合补集的概念及运算，考查一元二次方程的解法，属于基础题.
3．已知双曲线的一条渐近线方程是，则的离心率是（ ）
A． B． C．5 D．
【答案】D
【分析】根据其渐近线方程列出方程，即可求得离心率.
【详解】因双曲线的一条渐近线方程为，
依题意，，则其离心率为
故选：D.
4．函数图象的对称中心可能是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】令即可求出f(x)对称中心横坐标，从而可判断求解．
【详解】由，得，
当时，．
故选：C．
5．已知是定义域为的奇函数，满足．若，则（ ）
A．13 B．0 C． D．1
【答案】D
【分析】根据奇函数的性质得到，，再由，即可得到是以为周期的周期函数，再求出、、的值，即可得解.
【详解】解：因为是定义域为的奇函数，所以，，
又，所以，即，
所以，即是以为周期的周期函数，
又，所以，，
，
所以，
所以
.
故选：D
6．已知平面向量，，且，则实数m的值为
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由和求出，再由向量垂直的坐标形式，求出的值即可.
【详解】由，，得，
，，
.
故选：B
【点睛】本题主要考查向量垂直的坐标表示，属于基础题.
7．“陶辛水韵”于1999年被评为芜湖市新十景之一，每年入夏后，千亩水面莲叶接天，荷花映日，吸引远道游客纷至沓来，坐上游船穿过一座座圆拱桥，可以直达“香湖岛”赏荷．圆拱的水面跨度20米，拱高约5米．现有一船，水面以上高3米，欲通过圆拱桥，船宽最长约为（ ）
A．12米 B．13米 C．14米 D．15米
【答案】B
【分析】建立平面直角坐标系，根据已知条件求出圆的方程为.代入，得出，即可得出答案.
【详解】
如图，拱形桥，
以所在的直线为轴，以线段的垂直平分线为轴，如图建立平面直角坐标系，
则，，，圆心在轴上，设为，
则有，即，
整理可得，解得，
所以，圆心为，半径为，
所以，圆的方程为.
设，则有，解得.
所以，要使小船通过圆拱桥，船宽最长为.
因为，所以.
故选：B.
8．已知，，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先根据指数对数的运算性质将变形为，再通过放缩得到不等式，进而利用同构函数，将不等式转化为，再利用的单调性解不等式即可.
【详解】由，得，
即．
因为，，所以，即，
所以，
且．
因为函数在上单调递增，
又，
所以，
即，
故，
所以A正确，B，C，D错误．
故选：A．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是，下列说法中正确的是（ ）
A． B．向量与的夹角是60°
C．平面 D．直线与AC所成角的余弦值为
【答案】ACD
【分析】由空间向量的线性运算、夹角、数量积依次进行运算求解即可.
【详解】如图，由已知，，，
对于A，∵，
∴
，
∴，即，故选项A正确；
对于B，如上图所示，连接，易知，故向量与的夹角即向量与的夹角，
由已知及平行六面体的性质易知，，，
∴三角形是等边三角形，，将向量与平移至同起点，向量与的夹角为，
∴向量与的夹角为，故选项B错误；
对于C，易知四边形为菱形，∴，
又∵
，
∴，∴，
又∵，平面，平面，
∴平面，故选项C正确；
对于D，，
∴
，
∴，
又∵，
∴，
∴,
,
∴，
∴直线与AC所成角的余弦值为，故选项D正确.
故选：ACD.
10．已知抛物线的焦点到准线的距离为2，则下列说法正确的是（ ）
A．过点恰有2条直线与抛物线有且只有一个公共点
B．若为上的动点，则的最小值为4
C．直线与抛物线相交所得弦长为8
D．抛物线与圆交于两点，则
【答案】BC
【分析】根据给定条件，求出抛物线的方程，再结合抛物线定义逐项推理、计算判断即得.
【详解】由抛物线的焦点到准线的距离为2，得，抛物线的方程是，
过点可以作2条直线与抛物线相切，而直线与抛物线相交，只有1个交点，
从而过点恰有3条直线与抛物线有且只有一个公共点，A错误；

抛物线的准线方程是，设到准线的距离为，则，
过作准线的垂线，垂足为，则由抛物线的定义知，
，因此的最小值为4，B正确；

直线过抛物线的焦点，设直线交于点，
由得，则，，C正确；
抛物线与圆交于两点，则关于轴对称，设，
则，解得，则，D错误.

故选：BC
11．若，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】先由条件推得，对于A，利用指数函数的单调性，即可判断；对于B，根据条件，可得，再利用三角函数的单调性，可得，即可判断；对于C，利用在区间上单调递减，可得，再利用和的单调性，即可推得；对于D，利用和的单调性，可得，再利用对数函数的单调性，即可推得.
【详解】由，可得，则，
对于A，由是增函数，是减函数，可得，
故，故A正确；
对于B，因为，所以，
又在区间上单调递增，则在区间上单调递增，
所以，则有，故B错误；
对于C，由，又在区间上单调递减，
可得，故有是减函数，则，
又由在上是增函数可得，，因此，故C正确；
对于D，因为在上是增函数，所以，又是减函数，得，
因此，两边取对数可得，故D正确.
故选：ACD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．曲线在处的切线的倾斜角为，则______．
【答案】/
【分析】求导，根据导数的几何意义可得，再结合齐次式问题运算求解.
【详解】因为，可得，
由题意可知：，
所以
，
即.
故答案为：.
13．设等比数列的前n项和为，若，则___________．
【答案】
【分析】根据等比数列前项和的基本量计算，或根据等比数列的性质来求得.
【详解】法一：设等比数列的公比为q，若，则，所以；
由，得，即，
所以，解得，
则．
法二：由等比数列的性质知，，，…成等比数列，
其公比为，设，显然，
则，，所以，所以．
故答案为：
14．如图，要用个元件组成一个电路系统，当且仅当从到的电路为通路状态时，系统正常工作.已知每个元件正常工作的概率为，在电路系统正常工作的条件下，记此时系统中损坏的元件个数为，则__________.
【答案】
【分析】设由2个并联元件组成的整体依次为系统，其损坏的元件个数为，，可得，结合两点分布可得，即可得结果.
【详解】设由2个并联元件组成的整体依次为系统，其损坏的元件个数为，，
则，可得，
在电路系统正常工作的条件下，可知系统均正常工作，对应概率为，
则，可得，，
则，所以.
四、解答题：本题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（13分）口袋中装有除颜色，编号不同外，其余完全相同的2个红球，4个黑球，现从中同时取出3个球．
（1）求恰有两个黑球的概率；
（2）记取出红球的个数为随机变量，求的分布列和数学期望．
【答案】（1）；（2）的分布列为
的数学期望．
【详解】试题分析：（1）利用古典概型，记“恰有两个黑球”为事件，即可求解；（2）的可能取值为，，，根据古典概型分别求得，，，从而可得的概率分布及其期望．
试题解析：（1）记“恰有两个黑球”为事件，则；（2）的可能取值为，，，则，，，
∴的分布列为
∴的数学期望．
考点：1．古典概型求概率；2．离散型随机变量的分布列与期望．
16．（15分）随着互联网高速发展，传统的线下赌博也呈现出逐渐发展到线上的趋势，搭上互联网便车的新型赌博模式，其危害性和隐蔽性比起传统赌博模式有过之而无不及，其迷惑性更大，传播范围更广，线上赌博的特点往往是披着“公平游戏”的外衣，利用人性的贪婪最终赌徒输光了一切，如何认识“久赌无赢，赌徒输光”的现象？概率知识给你一双慧眼！有一种掷骰子走跳棋的线上“游戏”：棋盘上标有第0站、第1站、第2站、…第站……，规定玩家本金为元时，棋子的初始位置在第站，且掷骰子每局赢的概率为，输的概率也；玩家赢一局，棋子向前跳一站，输了则向后跳一站.若棋子在第0站则游戏结束：若棋子不在第0站而玩家要终止游戏，则棋子在第站，玩家可得到元.现有某玩家想要赢得含本金的元（且）时停止游戏，设此玩家手头拥有（，且）元时，输光的概率为.
（1）求，；
（2）证明：为等差数列；
（3）求此玩家本金为100元时，想要赢得含本金的1000元的概率？并试用概率知识来解释“即使是公平的游戏，赌徒最终会输光本金”.
【答案】（1）；；（2）证明见解析；（3）答案见解析.
【解析】（1）由必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，直接求解即可；
（2）设有本金元，由于掷骰子每局赢的概率为，输的概率也，所以一局游戏结束后，可能会剩元和元，所以，进而得，从而可证得为等差数列；
（3）由（2）可得，可求得玩家本金为100元时，想参与该游戏获得1000元的概率为，而当，，由此可知即使是公平的游戏，赌徒最终会输光本金
【详解】解：（1）玩家手头有0元表示输光了，这是必然事件，所以，
玩家通过游戏获得元停止游戏，输光是不可能事件，所以
（2）玩家下一局手头获得元，可由上一局手头元得到，或者手头元得到
，
所以数列（）首项为，公差为的等差数列
(3)玩家手头拥有元时，输光的概率为
所以玩家本金为100元时，想参与该游戏获得1000元的输光的概率，
故玩家本金为100元时，想参与该游戏获得1000元的概率为
当赌徒无限贪婪时，即，，
所以即使是公平的游戏，赌徒最终会全部输光本金
【点睛】关键点点睛：此题考查概率的应用，考查分析问题的能力，解题的关键是由题意得，从而可得数列（）首项为，公差为的等差数列，进而有，属于中档题
17．（15分）如图，在多面体中，四边形为直角梯形，，，，，四边形为矩形．
(1)求证：平面平面ABCD；
(2)线段MN上是否存在点H，使得二面角的余弦值为？若不存在，请说明理由．若存在，确定点H的位置．
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，为线段上靠近的四等分点
【分析】（1）根据平面几何知识，结合勾股定理得，再根据证明平面即可证明结论；
（2）根据题意，以为原点，为轴，为轴，过作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系，利用坐标法求解即可.
【详解】（1）证明：如图1，∵四边形为直角梯形，，，，，
∴由平面几何的知识得，，又，
∴在中，满足，
∴为直角三角形，且．
∵四边形为矩形，
∴．
∵，，，平面，平面，
∴平面．
又∵平面，
∴平面平面；
（2）解：存在点，使得二面角的余弦值为，点为线段上靠近的四等分点．
以为原点，为轴，为轴，过作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系，如图2，
∴，
设，由，即，得．
设平面的一个法向量为，
∴，即，不妨设，则．
平面的一个法向量为．
设二面角的平面角大小为，
∴，解得或（舍去）
所以当点为线段上靠近的四等分点时，二面角的余弦值为．
18．（17分）已知椭圆 的左右顶点为A ，A ， 左右焦点为F ，F ，过F ，F 分别作两条互相平行的直线l ，l ，其中l 交E于A，B两点， l 交E于C，D两点， 且点A，C位于x轴同侧， 直线A C与A A交于点P. 当l 与x轴垂直时，△PF F 是面积为1的等腰直角三角形.
(1)求椭圆E的方程;
(2)若直线A C与直线A A的斜率之和为1， 求直线l ，l 的方程;
(3)求 的取值范围.
【答案】(1)
(2)直线直线
(3)
【分析】（1）根据△PF F 是等腰直角三角形得到直线方程和方程，然后求出，再根据得到方程组求解.
（2）利用对称性得到,然后把条件转化为，再然后结合韦达定理求出和的斜率.
（3）通过对称性得到，然后求出直线和直线方程，通过相乘得到P的轨迹方程，最后通过P的轨迹方程消元得到的取值范围.
【详解】（1）
设,
故直线的方程为
由,得, 所以
不妨设，
由△PF F 是等腰直角三角形可得
所以直线方程为：，同理可得方程为：，
所以交点，
由△PF F 是等腰直角三角形面积为1可得，
解得，
又在直线上，
所以,
所以，又，
所以
所以椭圆方程.
（2）
由图形对称性可得：，
所以，
设,
将 和椭圆得方程联立得
所以
,
故直线直线
（3）
易得点关于原点对称，
由(2)知,
则直线，直线 ,
将两式相乘得 ，
其中 ，
故点P的轨迹方程为：，即
设 则
当时， ,
当时，, , ,
综上， ,
故.
19．（17分）设函数．
(1)求在上的值域．
(2)设关于的方程有两个不相等的根，．
（i）证明：．
（ii）证明：．
【答案】(1)
(2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析
【分析】（1）求导得，进而可得在上单调递增，在上单调递减，可求值域．
（2）（i）令，求导，通过二次求导得的单调性，可求得，设，求导可证，可得，利用的单调性可证结论；（ii）求得曲线在处和在处的切线方程，设，求导可证，结合（1）进而计算可得结论.
【详解】（1）由，得，
当时，，所以在上单调递增，
当时，，所以在上单调递减，
所以在取得极大值，也是最大值，
又，，，又，
所以在上的值域为．
（2）（i）由，得，
令，求导得，
设，则，
当时，，所以在上单调递增，
当时，，所以在上单调递减，
当时，，，，
所以存在唯一的，使得，
当，，所以在上单调递增，
当，，所以在上单调递减，
当时，，当时，，
因为关于的方程有两个不相等的根，，
所以，
设，得，
当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
所以，所以，所以，当且仅当时取到等号，
因为，所以，解得.
可得在上单调递增，
所以，
所以，所以.
（ii）因为，所以曲线在处的切线方程为，
因为，所以曲线在处的切线方程为.
由（1）得，所以，
设，则，
设，则，
当时，，所以在上单调递增，
当时，，所以在上单调递减，
且当时，，，
所以当时，，即，所以在上单调递增，
当时，，即，所以在上单调递减，
所以，所以，
设直线与两条切线的交点横坐标为，，
由，解得，
由，解得，
所以，
所以
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页

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