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成都七中万达学校高2024级半期考试
数学试题参考答案及评分意见
写在前面，下面是本次期末考试试卷出题的想法来源。
1.教材第37页第1题； 2.教材第6页例题5；
3.教材第82页第11题； 4.双练一测第93页第9题；
5.双练一测第127页第7题； 6.双练一测第128页第11题；
7.双练一测第99页第7题以及104页13题的综合；
8.双练一测第130页第11题；
9.双练一测第94页11题以及第141页第8题；
10.双练一测第132页第12题以及双练一测153页第9题；11.双练一测第86页第14题、88页15题以及教材10-11页的综合； 12.教材81页第6题；
13.双练一测87页第9题以及教材27页17题；
14.教材56页第10题以及双练一测109页第7题、双练一测145页第11题；
15.模仿的2022级以及2023级零诊出第一问证明线面平行，第二问很容易建系求线面角或者面面角；
16.第（1）问教材95页例题7以及双练一测157页15题，第（2）问双练一测132页14题；
17.第（1）问教材41页11题，第（2）问错位相减很常见，和周考基本一样，第（3）问双练一测104页12题D选项；
18.模仿的2022级以及2023级零诊出一个抛物线的题目，且含有根据特定条件求直线；
19.第（1）问教材81页第7题，第（2）问教材99页12题，第（3）问模仿的2022级以及2023级零诊出一个导数与数列结合的题目；此类型在2017年浙江卷中也考过类似。
一、单项选择题：（每小题5分，共40分）.
1．D 2．C 3．A 4．B 5．D 6．A 7．B 8．A
二、多项选择题：（每小题6分，共18分）.
9．ACD 10．AB 11．ACD
三、填空题：(每小题5分，共15分).
12． 13．168 14．，（第一空2分，第二空3分）
四、解答题：(共77分).
15．解：连结，交于点，连结，因为点分别是的中点，所以，平面平面，所以平面；
（2）因为，，由，可得，如图，以为轴的正方向，建立空间直角坐标系，则，
于是，
设平面的法向量为，所以，故可取，设平面的法向量为，所以，故可取，设平面与平面所成角为，
则，
则平面与平面所成角的余弦值．
16．解：（1）函数的定义域为；当时，，则；
令，即，解得；当时，，在上单调递增；
当时，，在上单调递减；
的递增区间为，递减区间为，极大值为，无极小值.
（2）由，得；令，即，解得；
，当时，，在上单调递增；
当时，，在上单调递减.
①当，即时，函数在区间上单调递减，此时的最小值为；
②当，即时，函数在区间上单调递增，在上单调递减；
，，
当时，，此时最小值为；
当时，，此时最小值为.
③当，即时，函数在区间上单调递增，此时的最小值为；
综上所述，当时，在区间上的最小值是；当时，在区间上的最小值是.
17．解：（1）因为数列中， ，，两边同时取倒数，可得，，
两边同时减去，可得，即，
因为，所以，所以数列是以为首项，以为公比的等比数列；
由（1）知，所以，
①
所以②
两式相减可得.所以.
（2）因为，所以，所以，所以，
因，所以，因为，所以，所以.
18．解：（1）当与轴垂直时，，则，解得：，即：.
（2）（ⅰ）由与抛物线交于，两点知直线斜率不为0，可设：，，，
联立方程组：，得到：，由韦达定理：，，
则，，
因为，
代入可知：，解得：，即：或：；
（ⅱ）由对称性，不妨取：，由于，故：，
因为，设，所以：，联立解得：，同理有：，所以，
由（2）得：，，代入可知：，故：，
由于，故，则，即：，因为，所以：，联立解得：，因为，，三点共线，所以在直线上，代入得：，解得：，故的坐标为.
19．解：（1）函数，则设的图像与轴相切于点，则，，所以；
（2）（i）由于，则，又因为，则，证明等价于证明，令，则，令，得，则时，，则函数单调递减，时，，则函数单调递增，所以当时，函数取得最小值为
即，，则，也即是得证.
（ii）由（i）知，所以，
则，所以，则，
由（i）知，时，，，所以，则，
所以，所以.成都七中万达学校2025-2026学年下期高2024级半期考试
数学试卷
满 分: 150分 时 间：120分钟
第Ⅰ卷（选择题，共58分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．乘积展开后共有（ ）项.
A．9 B．14 C．18 D．24
2．已知数列满足，，则（ ）．
A．1 B．2 C．4 D．
3．已知曲线在处的切线与直线垂直，则（ ）
A． B． C． D．1
4．已知等差数列的前项和为，且，则（ ）
A． B．18 C． D．22
5．已知函数，则“在上单调递减”的充要条件是（ ）
A． B． C． D．
6．设，则的大小顺序为（ ）
A． B．
C． D．
7．记为数列的前n项和，为数列的前n项积，且，则当取得最小值时，（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
8．若函数有唯一极值点，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分。
9．记为等差数列的前项和，若，，则（ ）
A． B．
C． D．当或5时，最小
10．已知函数，则（ ）
A．有两个极值点 B．当且仅当
C．当时， D．若，则
11．假定有一排蜂房，形状如图所示，一只蜜蜂在左下角，由于受了伤，只能爬行，假设只能向右（包括右上，右下，不允许往回走）从一间蜂房爬到与之相邻的蜂房中去，这只蜜蜂从蜂房出发，想爬到第号蜂房，记该蜜蜂爬到第号蜂房的路线数为数列，则（ ）

A． B．
C． D．
第Ⅱ卷（综合题，共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡上.
12．已知函数满足，则___________．
13．小明周末打开了一款航天基地主题的游戏，看着屏幕上熟悉的平面布局，他突然意识到沉迷游戏不如用数学探索世界.于是他将基地平面图转化为涂色问题：中央中控楼不涂色，周围五个功能区域如图所示。现用红、黄、蓝、绿四种颜色给这五个区域涂色，要求相邻区域不同色（其中四种颜色可以用完，也可以不需用完）。则不同的涂色方法有__________种（用数字作答）.
14．数列满足，，则是等比数列，则__________，__________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．如图，在直三棱柱中，，分别是的中点．已知，．
(1)证明：平面；
(2)求平面与平面所成角的余弦值．
16．已知函数
(1)当时，求的极值；
(2)当时，讨论函数在区间上的单调性及最小值．
17．已知数列中，，，.
(1)证明：数列为等比数列；
(2)求数列的前n项和；
(3)记，数列的前n项和为，判断与的大小关系，并说明理由.
18．已知抛物线：（），过点的直线交于，两点，为坐标原点，当与轴垂直时，.
(1)求抛物线的解析式；
(2)若，过轴上一点作直线，，的垂线，垂足分别为，，，且满足，，三点共线.
（ⅰ）求直线的方程；（ⅱ）求点的坐标.
已知函数，的图像与轴相切.
(1)求的值；
(2)设正项数列满足，.
（i）证明：；
（ii）证明：.

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