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第七章 复数
[时间：120分钟 分值：150分]
一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分)
1.(2023·新高考全国Ⅰ)已知z=，则z-等于(　　)
A.-i B.i C.0 D.1
2.(2023·新高考全国Ⅱ)在复平面内，(1+3i)(3-i)对应的点位于(　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
3.若z1，z2为复数，则“z1+z2是实数”是“z1，z2互为共轭复数”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
4.复数z在复平面上对应的点位于第四象限，则复数在复平面上对应的点位于(　　)
A.第一或第二象限或虚轴的正半轴上
B.第二或第三象限或实轴的负半轴上
C.第三或第四象限或虚轴的负半轴上
D.第一或第四象限或实轴的正半轴上
5.(2022·全国乙卷)已知z=1-2i，且z+a+b=0，其中a，b为实数，则(　　)
A.a=1，b=-2 B.a=-1，b=2
C.a=1，b=2 D.a=-1，b=-2
6.设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，且z1=3-2i，则|+z2|等于(　　)
A.2 B.5 C.3 D.10
7.若复数z满足|z-1|=2，则在复平面内，复数z所对应的点组成的图形的周长为(　　)
A.π B.2π C.3π D.4π
8.1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式eix=cos x+isin x(e是自然对数的底数，i是虚数单位)，这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.下列说法正确的是(　　)
A.+1=0 B.=1
C.cos x= D.sin x=
二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9.已知i为虚数单位，下列说法中正确的是(　　)
A.若复数z满足|z-i|=，则复数z在复平面内对应的点在以(1，0)为圆心，为半径的圆上
B.若复数z满足z+|z|=2+8i，则复数z=-15+8i
C.若复数z1，z2满足|z1|=|z2|，则z1·=z2·
D.若复数z1，z2满足|z1|=|z2|，则=
10.已知集合M={m|m=in，n∈N*}，其中i为虚数单位，则下列元素属于集合M的是(　　)
A.(1-i)(1+i) B.
C. D.(1-i)2
11.已知z1，z2∈C，下列命题正确的是(　　)
A.|z1|2=
B.=(z2≠0)
C.若z1·z2=0，则z1，z2至少有1个为0
D.若z1，z2是两个虚数，z1+z2∈R，z1·z2∈R，则z1，z2为共轭复数
三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
12.(2023·天津)已知i是虚数单位，化简的结果为　　　　.
13.若复数z=a+i(a∈R)与它的共轭复数所对应的向量互相垂直，则a=　　　　.
14.如果1-2i是关于x的实系数方程x2+px+q=0的一个根，其中i是虚数单位，则pq=　　　　.
四、解答题(本题共5小题，共77分)
15.(13分)已知复数z=(a2-2a-3)+(a+1)i，a∈R.
(1)当z为纯虚数时，求复数z2 024；(6分)
(2)当a=0时，复数z在复平面内对应的点记为点A，将点A绕着原点顺时针旋转90°到达点B，求所对应的复数的共轭复数.(7分)
16.(15分)已知m∈R，复数z=(m-2)+(m2-9)i.
(1)若z在复平面内对应的点在第一象限，求m的取值范围；(6分)
(2)若z的共轭复数与复数+5i相等，求m的值.(9分)
17.(15分)已知复数z1满足(1+i)z1=-1+5i，z2=a-2-i，其中i为虚数单位，a∈R，若|z1-|<|z1|，求a的取值范围.
18.(17分)已知复数z满足|z|=，z2的虚部为2.
(1)求复数z；(7分)
(2)设z，z2，z-z2在复平面内对应的点分别为A，B，C，求△ABC的面积.(10分)
19.(17分) 在英语中，实数是Real Number，一般取Real的前两个字母“Re”表示一个复数的实部；虚数是Imaginary Number，一般取Imaginary的前两个字母“Im”表示一个复数的虚部.如：Re(2+3i)=2，Im(2+3i)=3；Re(-3i)=0，Im(-3i)=-3.已知复数z是方程x2+2x+2=0的根.
(1)若Im(z)>0，且=b-2i(a，b∈R，i是虚数单位)，求a+b；(7分)
(2)若Im(z)<0，复数z1=，t∈R，且Re(z1)<0，Im(z1)>0，求实数t的取值范围.(10分)
第七章 复数
[时间：120分钟 分值：150分]
一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分)
1.(2023·新高考全国Ⅰ)已知z=，则z-等于(　　)
A.-i B.i C.0 D.1
答案　A
解析　因为z==
==-i，所以=i，
即z-=-i.
2.(2023·新高考全国Ⅱ)在复平面内，(1+3i)(3-i)对应的点位于(　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
答案　A
解析　因为(1+3i)(3-i)=3+8i-3i2=6+8i，
则所求复数在复平面内对应的点为(6，8)，位于第一象限.
3.若z1，z2为复数，则“z1+z2是实数”是“z1，z2互为共轭复数”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案　B
解析　由题意，不妨设z1=a+bi，
z2=c+di(a，b，c，d∈R)，
若z1+z2是实数，则z1+z2=a+bi+c+di=(a+c)+(b+d)i∈R，
故b+d=0，即b=-d，
由于a，c不一定相等，故z1，z2不一定互为共轭复数，故充分性不成立；
若z1，z2互为共轭复数，则z2=a-bi，
故z1+z2=2a∈R，故必要性成立.
因此“z1+z2是实数”是“z1，z2互为共轭复数”的必要不充分条件.
4.复数z在复平面上对应的点位于第四象限，则复数在复平面上对应的点位于(　　)
A.第一或第二象限或虚轴的正半轴上
B.第二或第三象限或实轴的负半轴上
C.第三或第四象限或虚轴的负半轴上
D.第一或第四象限或实轴的正半轴上
答案　D
解析　设z=a+bi，a，b∈R.
∵复数z在复平面上对应的点位于第四象限，∴a>0，b<0.
又==(a-b)+(a+b)i，a-b>0，a+b∈R，
故复数在复平面上对应的点位于第一或第四象限或实轴的正半轴上.
5.(2022·全国乙卷)已知z=1-2i，且z+a+b=0，其中a，b为实数，则(　　)
A.a=1，b=-2 B.a=-1，b=2
C.a=1，b=2 D.a=-1，b=-2
答案　A
解析　由题意知=1+2i，
所以z+a+b=1-2i+a(1+2i)+b
=a+b+1+(2a-2)i，
又z+a+b=0，且a，b∈R，
所以解得
6.设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，且z1=3-2i，则|+z2|等于(　　)
A.2 B.5 C.3 D.10
答案　D
解析　由题意得，z2=-3-2i，
∴+z2=(3-2i)2+(-3-2i)
=5-12i-3-2i=2-14i，
∴|+z2|==10.
7.若复数z满足|z-1|=2，则在复平面内，复数z所对应的点组成的图形的周长为(　　)
A.π B.2π C.3π D.4π
答案　D
解析　由|z-1|=2，则在复平面内，复数z所对应的点组成的图形为以(1，0)为圆心，2为半径的圆，
故复数z所对应的点组成的图形的周长为2π×2=4π.
8.1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式eix=cos x+isin x(e是自然对数的底数，i是虚数单位)，这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.下列说法正确的是(　　)
A.+1=0 B.=1
C.cos x= D.sin x=
答案　C
解析　对于A，当x=时，
因为=cos+isin=i，
所以+1=i+1≠0，选项A错误；
对于B，=
==eπi=cos π+isin π=-1，选项B错误；
对于C，由eix=cos x+isin x，
得e-ix=cos(-x)+isin(-x)=cos x-isin x，
所以eix+e-ix=2cos x，
得出cos x=，选项C正确；
对于D，由C选项的分析得eix-e-ix=2isin x，得出sin x=-i，选项D错误.
二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9.已知i为虚数单位，下列说法中正确的是(　　)
A.若复数z满足|z-i|=，则复数z在复平面内对应的点在以(1，0)为圆心，为半径的圆上
B.若复数z满足z+|z|=2+8i，则复数z=-15+8i
C.若复数z1，z2满足|z1|=|z2|，则z1·=z2·
D.若复数z1，z2满足|z1|=|z2|，则=
答案　BC
解析　满足|z-i|=的复数z在复平面内对应的点在以(0，1)为圆心，为半径的圆上，故A错误；
设z=a+bi(a，b∈R)，
则|z|=，由z+|z|=2+8i，
得a+bi+=2+8i，
故解得
∴z=-15+8i，故B正确；
设z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，a1，b1，a2，b2∈R，
若|z1|=|z2|，则=，
即+=+，
∴z1·=+=+=z2·，故C正确；
若z1=1，z2=i，则|z1|=|z2|，
而=1，=-1，故D错误.
10.已知集合M={m|m=in，n∈N*}，其中i为虚数单位，则下列元素属于集合M的是(　　)
A.(1-i)(1+i) B.
C. D.(1-i)2
答案　BC
解析　根据题意，M={m|m=in，n∈N*}，
当n=4k(k∈N*)时，in=1；
当n=4k+1(k∈N)时，in=i；
当n=4k+2(k∈N)时，in=-1；
当n=4k+3(k∈N)时，in=-i，
∴M={-1，1，i，-i}.
选项A中，(1-i)(1+i)=2 M；
选项B中，==-i∈M；
选项C中，==i∈M；
选项D中，(1-i)2=-2i M.
11.已知z1，z2∈C，下列命题正确的是(　　)
A.|z1|2=
B.=(z2≠0)
C.若z1·z2=0，则z1，z2至少有1个为0
D.若z1，z2是两个虚数，z1+z2∈R，z1·z2∈R，则z1，z2为共轭复数
答案　BCD
解析　设z1=a+bi，z2=c+di，a，b，c，d∈R.
对于选项A，例如z1=i，则|z1|2=1，=-1，
显然|z1|2≠，故A错误；
对于选项B，因为z2≠0，
则===+i，
可得=-i；
又因为=a-bi，=c-di，
可得===-i，
所以=(z2≠0)，故B正确；
对于选项C，因为z1·z2=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i=0，
可得
解得a=b=0或c=d=0，
即z1=0或z2=0，
所以z1，z2至少有1个为0，故C正确；
对于选项D，若z1，z2是两个虚数，则b≠0，d≠0，
因为z1+z2=(a+c)+(b+d)i∈R，
则b+d=0，即b=-d，
又因为z1·z2=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i∈R，
则ad+bc=0，即ad-dc=0，可得a=c，
所以z1=c-di=，即z1，z2为共轭复数，故D正确.
三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
12.(2023·天津)已知i是虚数单位，化简的结果为　　　　.
答案　4+i
解析　由题意可得===4+i.
13.若复数z=a+i(a∈R)与它的共轭复数所对应的向量互相垂直，则a=　　　　.
答案　±1
解析　=a-i，因为复数z与它的共轭复数所对应的向量互相垂直，所以a2=1，所以a=±1.
14.如果1-2i是关于x的实系数方程x2+px+q=0的一个根，其中i是虚数单位，则pq=　　　　.
答案　-10
解析　因为1-2i是关于x的实系数方程x2+px+q=0的一个根，
所以(1-2i)2+p(1-2i)+q=0，
即p+q-3-(2p+4)i=0，
所以解得
所以pq=-10.
四、解答题(本题共5小题，共77分)
15.(13分)已知复数z=(a2-2a-3)+(a+1)i，a∈R.
(1)当z为纯虚数时，求复数z2 024；(6分)
(2)当a=0时，复数z在复平面内对应的点记为点A，将点A绕着原点顺时针旋转90°到达点B，求所对应的复数的共轭复数.(7分)
解　(1)由题意得解得a=3，
所以z=4i，则z2 024=(4i)2 024=42 024.
(2)当a=0时，z=-3+i，
则A(-3，1)，则B(1，3)，
所以=(4，2)，
所对应的复数z1=4+2i，
所以=4-2i.
16.(15分)已知m∈R，复数z=(m-2)+(m2-9)i.
(1)若z在复平面内对应的点在第一象限，求m的取值范围；(6分)
(2)若z的共轭复数与复数+5i相等，求m的值.(9分)
解　(1)由题意得解得m>3，
所以m的取值范围是{m|m>3}.
(2)因为z=(m-2)+(m2-9)i，
所以=(m-2)+(9-m2)i，
因为与复数+5i相等，
所以解得m=-2.
17.(15分)已知复数z1满足(1+i)z1=-1+5i，z2=a-2-i，其中i为虚数单位，a∈R，若|z1-|<|z1|，求a的取值范围.
解　由题意，得z1==2+3i，
因为z2=a-2-i，所以=a-2+i，
所以|z1-|=|(2+3i)-(a-2+i)|
=|4-a+2i|=，|z1|=，
又因为|z1-|<|z1|，
所以<，
所以a2-8a+7<0，解得1所以a的取值范围是(1，7).
18.(17分)已知复数z满足|z|=，z2的虚部为2.
(1)求复数z；(7分)
(2)设z，z2，z-z2在复平面内对应的点分别为A，B，C，求△ABC的面积.(10分)
解　(1)设z=a+bi(a，b∈R)，
由已知条件得a2+b2=2，
因为z2=a2-b2+2abi，所以2ab=2.
所以a=b=1或a=b=-1，
即z=1+i或z=-1-i.
(2)当z=1+i时，
z2=(1+i)2=2i，z-z2=1-i.
所以点A(1，1)，B(0，2)，C(1，-1)，
所以S△ABC=|AC|×1=×2×1=1；
当z=-1-i时，
z2=(-1-i)2=2i，z-z2=-1-3i.
所以点A(-1，-1)，B(0，2)，C(-1，-3)，
所以S△ABC=|AC|×1=×2×1=1.
综上，△ABC的面积为1.
19.(17分) 在英语中，实数是Real Number，一般取Real的前两个字母“Re”表示一个复数的实部；虚数是Imaginary Number，一般取Imaginary的前两个字母“Im”表示一个复数的虚部.如：Re(2+3i)=2，Im(2+3i)=3；Re(-3i)=0，Im(-3i)=-3.已知复数z是方程x2+2x+2=0的根.
(1)若Im(z)>0，且=b-2i(a，b∈R，i是虚数单位)，求a+b；(7分)
(2)若Im(z)<0，复数z1=，t∈R，且Re(z1)<0，Im(z1)>0，求实数t的取值范围.(10分)
解　由z是方程x2+2x+2=0的根，Δ=22-4×1×2=-4<0，
解得z==-1±i.
(1)因为Im(z)>0，所以z=-1+i，所以==b-2i，
则a=(b-2i)(-1+i)=-b+2+(b+2)i，a，b∈R，
所以解得
所以a+b=2.
(2)因为Im(z)<0，所以z=-1-i.
又i2 027=i2 024·i3=-i，
所以z1====.
因为Re(z1)<0，Im(z1)>0，
所以解得-2

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