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2025-2026学年辽宁省大连市第八中学高二（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知随机变量且，则( )
A. B. C. D.
2.若，，，依次成等差数列，，，依次成等比数列，则( )
A. B. C. 或 D. 或
3.通过随机抽样绘制得到如图所示的某种商品每千克价格单位：百元与该商品消费者年需求量单位：千克的散点图，下列说法正确的是( )
A. 若去掉图中右上方的点后，“每千克价格”与“年需求量”这两个变量的线性相关系数变小
B. 若去掉图中右上方的点后，“每千克价格”与“年需求量”这两个变量的线性相关系数变大
C. 将“每千克价格”的单位由百元变为元，“每千克价格”与“年需求量”这两个变量的线性相关系数变大
D. 将“每千克价格”的单位由百元变为元，“每千克价格”与“年需求量”这两个变量的线性相关系数变小
4.已知等差数列的公差为，若，，成等比数列，是数列的前项和，则等于( )
A. B. C. D.
5.对于事件，，，，，则( )
A. B. C. D.
6.已知数列满足，，则( )
A. B. C. D.
7.某大学届毕业生小张向银行贷款元用于自主创业，并跟银行约定按照“等额本金还款法”分年进行还贷，贷款的年利率为，则小张第年的还款金额为( )
A. 万元 B. 万元 C. 万元 D. 万元
8.已知数列满足，给出下列四个结论：
存在，使得为常数列；
对任意的，为递增数列；
对任意的，既不是等差数列也不是等比数列；
对于任意的，都有．
其中所有结论中正确的有个．
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.某校开展寒假社会实践活动据统计高二班学生的实践时间单位：小时与班学生的实践时间单位：小时均服从正态分布，且，，则( )
A. B.
C. D.
10.为测试一种新研发药物的有效性，研究人员对某种动物种群进行试验，从该试验种群中随机抽查了只，得到如下数据单位：只：
发病 未发病 合计
使用药物
未使用药物
合计
从该动物种群中任取只，记事件表示此动物发病，事件表示此动物使用药物，定义的权值，在发生的条件下的权值，则( )
A. 的估值为，的估值为 B. 的估值为，的估值为
C. 可化为 D. 可化为
11.已知在数列中，，数列的前项和为，且满足，则( )
A. 数列是等比数列 B. 数列是等比数列
C. 数列是等差数列 D. 若，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.某公司统计了年月份到月份某产品的销售额如表：
月份
销售额万元
根据表中数据，通过最小二乘法求得的经验回归方程为，则 ．
13.已知等差数列的前项和为，首项，为的最小值，则的值可以为 写出符合条件的一个值即可．
14.若数列满足且，则称数列为“对数底数列”已知数列是“对数底数列”且，则当且时， ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知数列是公差为的等差数列，是公比为的等比数列，且，，，若数列满足．
求数列的通项公式；
求数列的前项和．
16.本小题分
某公司新开发了一款游戏软件，为了解该游戏软件在青年男性和青年女性中的使用体验，某机构进行了一项调查，统计结果如下表．
单位：人
体验 性别 合计
青年男性 青年女性
较好
一般
合计
求出，的值；
试比较该游戏软件在不同青年性别中有较好体验的概率大小；
依据小概率值的独立性检验，请判断该游戏软件的使用体验是否与体验者的性别有关？
参考公式及数据：，其中．
17.本小题分
设是数列的前项和，已知，．
证明：是等比数列；
若，求数列的前项和，证明：；
记，若不等式恒成立，求实数的范围．
18.本小题分
为加深青少年对党的历史、党的知识、党的理论和路线方针的认识，激发爱党爱国热情，坚定走新时代中国特色社会主义道路的信心，某校举办了党史知识挑战赛该挑战赛共分关，规则如下：两人一组，首先某队员先上场从第一关开始挑战，若挑战成功，则该队员继续挑战下一关，否则该队员被淘汰，并由第二名队员接力，从上一名队员失败的关卡开始继续挑战，当两名队员均被淘汰或者关都挑战成功，挑战比赛结束已知甲乙两名同学一组参加挑战赛，若甲每一关挑战成功的概率均为，乙每一关挑战成功的概率均为，且甲、乙两人每关挑战成功与否互不影响，每关成功与否也互不影响．
已知甲先上场，，，，
求挑战没有一关成功的概率；
设为挑战比赛结束时挑战成功的关卡数，求；
如果关都挑战成功，那么比赛挑战成功试判断甲先出场与乙先出场比赛挑战成功的概率内是否相同，并说明理由．
19.本小题分
定义，我们称为维向量，其模长，维向量可构成维空间在维空间中放置一个维球，记其半径为，体积为，则记维向量，已知维球的直径，其体积为．
求，；
证明：；
记为数列的前项和，证明：．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.．
13.填写之间的任意一个实数都可．
14.．
15.解：由，，，得，
而，则，，
因此，，；
．
16.解：由题意，可得方程组，解得，．
由得，
体验 性别 合计
青年男性 青年女性
较好
一般
合计
所以该游戏软件在青年男性中有较好体验的概率为，
该游戏软件在青年女性中有较好体验的概率，
因此青年男性概率更大．
零假设为：该游戏软件的使用体验与体验者的性别无关，
由题意计算得，，
所以依据小概率值的独立性检验，推断不成立，
即可以判断该游戏软件的使用体验与体验者的性别有关．
17.解：证明：已知，当时，，
两式相减得：，
整理得：，，
当时，，，满足，
又，因此是首项为，公比为的等比数列，得证；
证明：由可知，所以，
所以，
所以，
因为，所以．
由，得：，因此，
化简不等式左边：，，
因此，
不等式恒成立对任意恒成立，
设，则，
当，，
即，，，时，；当时，，
因此的最大值为，
故，即的取值范围为．
18.解：记甲先上场且挑战没有一关成功的概率为，
则；
依题可知，的可能取值为，，，
则由知，
，
，
的分布列为：


；
设甲先出场成功概率为，乙先出场成功概率为，
则
，
，
，
，
，
因此，甲先出场与乙先出场比赛挑战成功的概率相同．
19.解：因为向量，
所以，
于是，
故，
．
证明：因为
所以，，
于是，
，
可得．
证明：因为
，
设的前项和为，
，
，
两式相减得；
于是．
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